第一讲：二次函数综合问题(一)
中考数学专题复习《二次函数综合题》知识点梳理及典例讲解课件
时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .
∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－
−
＋ .∴
时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题
初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题初步认识二次函数与其他函数的综合应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中的应用十分广泛。
本文将从初步认识二次函数开始，探讨二次函数与其他函数的综合应用题，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、初步认识二次函数二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其中a、b、c为常数，且a表示二次函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，称为正向开口；当a<0时，二次函数开口向下，称为负向开口。
b表示二次函数在横轴上的平移，c表示二次函数在纵轴上的平移。
二、二次函数的基本性质1. 零点和解析式二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求解二次方程ax^2+ bx + c = 0得出。
解析式可以利用求根公式或配方法得出，其中求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
2. 对称轴和顶点坐标二次函数的对称轴是x = -b/2a，当x = h时，函数值f(h)最大或最小，该点称为顶点，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 函数图像和开口情况根据二次函数的a值，可以确定函数的开口方向和开口程度。
当a>0时，二次函数开口向上，a的绝对值越小，开口程度越大；当a<0时，二次函数开口向下，a的绝对值越小，开口程度越大。
三、二次函数与其他函数的综合应用题1. 求解方程假设小明去超市购买苹果和香蕉，苹果的单价为x元/个，小明购买了a个苹果。
香蕉的单价为y元/个，小明购买了b个香蕉。
若小明总共花费了m元，请问每个苹果和香蕉的单价分别是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a*x + b*y = m；m = 10。
将方程组转化为二次函数的形式，得到f(x, y) = ax + by - m 和 g(x, y) = m - 10。
求解方程组即求解二次函数f(x, y) = 0和g(x, y) = 0的交点，即可得到每个苹果和香蕉的单价。
高三数学专题01-二次函数综合问题例谈
二次函数综合问题例谈=二次函数是中学代数的基本内容之一；它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数；可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质；还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线；可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系；使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时；有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系；是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此；从这个意义上说；有关二次函数的问题在高考中频繁出现；也就不足为奇了. 学习二次函数；可以从两个方面入手：一是解析式；二是图像特征. 从解析式出发；可以进行纯粹的代数推理；这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发；可以实现数与形的自然结合；这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1. 代数推理由于二次函数的解析式简捷明了；易于变形（一般式、顶点式、零点式等）；所以；在解决二次函数的问题时；常常借助其解析式；通过纯代数推理；进而导出二次函数的有关性质.1.1 二次函数的一般式c bx ax y ++=2)0(≠c 中有三个参数c b a ,,. 解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1 已知f x ax bx ()=+2；满足1≤-≤f ()12且214≤≤f ()；求f ()-2的取值范围.分析：本题中；所给条件并不足以确定参数b a ,的值；但应该注意到：所要求的结论不是()2-f 的确定值；而是与条件相对应的“取值范围”；因此；我们可以把1≤-≤f ()12和4)1(2≤≤f 当成两个独立条件；先用()1-f 和()1f 来表示b a ,.解：由()b a f +=1；()b a f -=-1可解得：))1()1((21)),1()1((21--=-+=f f b f f a （*） 将以上二式代入f x ax bx ()=+2；并整理得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2)1(2122x x f x x f x f ,∴ ()()()1312-+=f f f .又∵214≤≤f ()；2)1(1≤-≤f ,∴ ()1025≤≤f .例2 设()()f x ax bx c a =++≠20；若()f 01≤；()f 11≤；()f －11≤, 试证明：对于任意-≤≤11x ；有()f x ≤54. 分析：同上题；可以用()()()1,1,0-f f f 来表示c b a ,,.解：∵ ()()()c f c b a f c b a f =++=+-=-0,1,1,∴ ()()()()0)),1()1((21),0211(21f c f f b f f f a =--=--+=, ∴ ()()()()()222102121x f x x f x x f x f -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.∴ 当01≤≤-x 时；()()()().4545)21(1)1(2212210212122222222222≤++-=+--=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-++≤-⋅+-⋅-++⋅≤x x x x x x x x x x x x x x f x x f x x f x f当10-≤≤x 时； ()()()()222102121x f x x f x x f x f -⋅+-⋅-++⋅≤ 222122x x x x x -+-++≤ )1(22222x x x x x -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= .4545)21(122≤+--=++-=x x x 综上；问题获证.1.2 利用函数与方程根的关系；写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=例３ 设二次函数()()f x ax bx c a =++>20；方程()f x x -=0的两个根x x 12,满足0112<<<x x a. 当()x x ∈01,时；证明()x f x x <<1. 分析：在已知方程()f x x -=0两根的情况下；根据函数与方程根的关系；可以写出函数()x x f -的表达式；从而得到函数)(x f 的表达式.证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<<<< , ∴ 0))((21>--x x x x a ,∴ 当()x x ∈01,时；x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ,,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴ 1)(x x f <,综上可知；所给问题获证. 1.3 紧扣二次函数的顶点式,44222a b ac a b x a y -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=对称轴、最值、判别式显合力例4 已知函数xz a x f 22)(-=。
高一年段数学培优教材第一讲二次函数
高一年段数学培优教材第一讲 二次函数一、基础知识：1． 二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- 2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。
（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。
（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数。
延伸：若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。
（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2b f m f n f a -中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。
常依对称轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。
3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。
二、综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。
例2：设2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）当x R ∈时，(4)(2)()f x f x f x x -=-≥且，（2）当21(0,2),()2x x f x +⎛⎫∈≤ ⎪⎝⎭时， （3）()f x 在R 上的最小值为0。
二次函数综合题专项讲解（经典）
第16题QP N Oyx初中二次函数综合题专项讲解引言：二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。
解压轴题有三个步骤：认真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。
审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。
二次函数一般会出现在选择题（或填空题）、解答题的倒数几个题目中。
选择题和填空题时易时难。
解答题较难，一般有2—3小题。
第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。
第2—3小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关的关系，系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
一、重庆一中13—14学年度上期半期考试二次函数习题1212．．如图，直线y kx c =+与抛物线2y ax bx c =++的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线1x =，且OA OD =直线y kx c =+与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）则下列命题中正确命题的个数是（下列命题中正确命题的个数是（ ））. ①0abc >; ; ②②30a b +>; ; ③③10k -<<; ④k a b >+; ; ⑤⑤0ac k +>A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．如右图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知20ax bx c ++>时x 的取值范围是的取值范围是_______________________________________________________________________________________．．1818．已知抛物线．已知抛物线2122y x x =-+的图象如左图所示，点N 为抛物线的顶点，直线ON 上有两个动点P 和Q ,且满足22PQ =,在直线x=1DCBAoyx第12题xy OEB A第25题 xyOEBA备用图备用图轴的对称图象的解析式为轴的对称图象的解析式为 ________关于关于对称图象的解析式为对称图象的解析式为 __________________，关于顶点旋转______ 对称轴为 _ ____ _ ____ x 时，时，Yy x O 22x21(轴的交点：抛物线与的图像与轴的两个交点的横坐标、轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的①有两个交点抛物线与24b acx a-③没有交点抛物线与）直线与抛物线的交点：一次函数：一次函数与二次函数的交点， 与与212212)()(y y x x -+- 元的苹果，物价部门规定每箱元的价格调查，平均每天销售90箱，价箱）之间的函数关系式．（3分）分）开口方向0112Oxy 对称轴对称轴在对称轴在与;与轴交于正半轴；与25.已知二次函数()22a +b=0+b=0；；的横坐标分别为的横坐标分别为-1,3-1,3-1,3，，0；②20a b +=； ③⑤只有 D.5x）三点． ，）三点．x，）过点xA 72x = B(0,4) A(6,0) E F xyO 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，5-4-3-2-1-1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 AEBC¢1-O2l1lx y【陈老师*专用】二次函数综合题21 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙作⊙A A 的切线L.（1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点（及点（00，9），求此抛物线的解析式；，求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙作⊙A A 的切线DE DE，，E 为切点，求此切线长；为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△上的一个动点，当△BFD BFD 与EAD EAD△相似时，求出△相似时，求出BF 的长的长 ．。
高考数学培优资料--第1讲 二次函数综合问题(学生)
第一讲 二次函数综合问题一、方程的解与对应不等式的解集问题(三个二次问题)1、若方程20ax bx c ++=的两个根为1和3，则方程20ax bx c -+=的两个根为 ，方程20cx bx a ++=的两个根为 ，方程20cx bx a -+=的两个根为 .232ax >+的解集是(4,)b ，则a =_ __，b = . 3．若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为______ __.二、二次函数与集合的综合问题(根的分布问题)4．已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围.5．已知集合A ＝｛045|2≤+-x x x ｝，B ＝｛022|2≤++-a ax x x ｝，且B ⊆A ，求实数a 的取值范围.三、二次函数的最值问题(区间最值)6．当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．8．求函数1)(2-+=ax x x f 在]21,23[-上的最大最小值.9．设函数f （x ）=ax 2+8x +3（a <0 ).对于给定的负数a ，有一最大的正数()l a ，使得在整个区间[0，()l a ]上不等式|f （x ）|≤5 都成立.问：a 为何值时()l a 最大？求出这个最大的()l a .四、与函数定义域值域有关的参数问题10．已知二次函数b a x ax x f ++-=2)(2的定义域为[0，3]，而值域为[1，5]，求a 、b 的值.11．已知二次函数2()(0,)f x x bx c b c R =++≥∈.若()f x 的定义域为[1,0]-时，值域也是[1,0]-，符合上述条件的函数()f x 是否存在？若存在，求出()f x 的解析式；若不存在，请说明理由.《训练题》一、选择题1．二次函数12--=ax x y 在区间[0，3]上有最小值－2，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．4C ．310-D ．22．设函数∈++=a x a ax x x f ,(232)(2R ）的最小值为m （a ），当m （a ）有最大值时a 的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．98 D ．89 3．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[－3，0]B ．(]3,-∞-C ．[)0,3-D ．[－2，0]4．设二次函数)1(,0)(,)(2+<-+-=m f m f a x x x f 则若的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．正、负不定，与m 有关D ．正、负不定，与a 有关5．已知0)53()2(,2221=+++--k k x k x x x 是方程（k 为实数）的两实数根，则2221x x +的最小值为（ ） A ．19 B ．18 C ．955 D ．不存在6．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)二、填空题7．设二次函数f (x )，对x ∈R 有)21()(f x f ≤=25，其图象与x 轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则f (x )的解析式为8．已知二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间[－3，2]上的最大值为4，则a 的值为9．一元二次方程0)2()1(22=-+-+a a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是10．某商品进货单价为每个8元，按10元一个销售时，每天可售出50个.如果该商品每个提高销售价1元，其每天销售量就要减少5个，为获得最大利润，则该商品最佳售价应为每个 元.三、解答题11．a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2)(有最小值－1，最大值1.求使函数取得最大值和最小值时相应的x 的值.12．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当22)(,0x x x f x -=≥时， （Ⅰ）求x <0时，)(x f 的解析式；（Ⅱ）问是否存在这样的正数a ，b ，当)(,],[x f b a x 时∈的值域为]1,1[ab ？若存在，求出所有的a ，b 的值；若不存在说明理由.13．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用左图的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用右图的抛物线段表示.（Ⅰ）写出左图表示的市场售价与时间的函数关系P=f (t)；写出右图表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大.（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）。
【推荐】第22章二次函数-综合问题(1)
海南省洋浦中学 宋楠楠
2014年4月24日
方法回顾
8
6
用待定系数法求二次函数关系式的方法
1.一般式：已知三个点的坐标
4
y ax2 bx c
2.顶点式：已知顶点坐标或对称轴或最值 ● 2
y a(x -15 h)2 k
-10Βιβλιοθήκη -53.交点式：已知抛物线与X轴的两个交点 -2
y a(x x1)( x x2 )
-4
-6
-8
●
5
●
第一关
1.根据条件，求二次函数关系式 （1）已知抛物线经过点（2,6），（-1,0）
（3,0） ； （2）已知抛物线的顶点为（1,-2）且过点
（3,2）.
第二关
2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交 C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为 （0，3）它的对称轴是直线x= 1 求抛物线所对应的函数关系式 2
第三关
我来当家做主！！！
请各位小老师编一道题目
题设：
结论：二次函数关系式 y x2 2x 3
小结
二次函数关系式的确定 1.分析题意，选择合适的形式（一般式，顶点
式，交点式） 2.找出已知点，代入求值 3.写出二次函数关系式
作业
我是小小命题家
每位同学自己编3道形式不同而所求二次
函数关系式为 y x2 2x 3 的习题，
并写出解答过程。
中考数学复习二次函数的综合性问题课件
∴ －3< p<0，
3
∵－
2
＜0， 3
27
∴当p＝－ 2 时， S 有最大值，最大值为 8 .
第十九页，共32页。
例2 如图，在平面(píngmiàn)直xO角y中坐，标系
抛物线与 x轴交于点 A(－1，0)，B (3，
0)，与 y轴交于点 C，直线(BzChí的xi解àn析)(jiě xī)式
为y＝kx ＋3，抛物线的顶点为 D，对称
∴AO ＝3，OC ＝1，OB＝ 3，∴AC ＝4，
∵BO ⊥AC ，
∴S △ ABC
＝ 1 AC ·BO ＝ 1
2
2
×4×3＝6；
连接 AD 、 DB ，如解图②， ∵点D(－1， 4)，DE ⊥x 轴
第九页，共32页。
于点 E， ∴点E(－1，0)，AE ＝2，OE＝1，DE＝4， ∴S四边形 AOBD ＝S △ ADE ＋S ＝ 梯形(OtBīDxíEng)
第二十七页，共32页。
例 2题图④
解 ：△CBD 为直角三角形，△ CDE为等腰
直角三角形．理由(lǐyóu)如下：
如解图②，过点 C作CC′⊥DE于点C′，由 (1)知， y＝－ x 2＋2x＋3＝－ (x－ 1)2＋4， ∴顶点(Dd的ǐn坐gd标iǎ(nz)u(ò1b，iā4o))，为在 Rt △DCC′中， 由勾股定理得 CD2＝2， 在Rt △BDF 中，由勾股定理得 BD 2＝DF2＋
第十七页，共32页。
和△ BPP′两部分(bù fen)，据此求AB出P△的面积(miàn jī)，
结合(jiéhé)二次函数性质求出其最大值即可．
解：(6)如解图⑤， ∵点P在抛物线上， ∴点
P 的 坐 标 为 (p ， － p2 － 2p ＋ 3) ， 过 点 P 作
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戴氏教育乐山精品堂初三春季班
第一讲：二次函数综合问题（一）
一、知识点回顾：
（一）形式： 1、一般式: 2y ax bx c =++
2、顶点式: ()2
y a x h k =-+ 顶点为（h, k ）
3、交点式：12()()y a x x x x =-- （0a ≠，1x ，2x 是拋物线与x 轴两交点的
横坐标） （二）图像：
1、拋物线：轴对称图形
（1）拋物线与X 轴的两个交点()()1200A x B x ，，，关于对称轴对称
（2）等高两点关于对称轴对称,即平行于x 轴的直线与拋物线的两交点
),)(,(21n m n m
（3）常用结论：a b 2-=2
21x x += 221m m + 2、图像的大致形状
（1）a 定开口：a>0 向上，有最小值；a<0向上，有最大值
（2）ab 定“左右”:ab 同号，对称轴在y 轴左边； ab 异号，对称轴在y 轴右边
（3）c 定上下：必与y 轴交于（0，c ）c>0,交于y 轴正向； c<0,交于y 轴负
向
（4）当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．
当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点；
当0∆<时，图像与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；
2' 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
（5）特殊点位置：x=1，y=a+b+c ; x= —1，y=a-b+c (根据b 前面的数
确定x=?)
(6) 若只涉及2a ：b 的问题时，应该选用对称轴 x=a b 2-
进行演算 （三）、增减性问题：
（1） a>0 当x<a b 2-时递减，当x> a b 2- 时递增； a<0 当x<a
b 2- 时
递增，当x> a
b 2- 时递减； （2）判断两个点的函数值大小：
a>0，与对称轴的距离越近函数值越小；
a<0，与对称轴的距离越近函数值越大。
直接利用“作差”，讨论函数值大小问题。
（四）、二次函数与其它知识的结合
（五）、补充公式：任意两点的中点坐标： （ 2
21x x + ， 221y y + ） 任意两点距离公式：
任意点到线的距离公式：
二次函数综合问题：
一、 二次函数中涉及点的坐标问题：
（1）作辅助线:过点作与X 轴或Y 轴的垂线
（2）利用直角三角形相似、勾股、三角函数计算
例题：
221221)()(y y x x d -+-=1
20
++-=k b y kx d o
二、拋物线的平移问题
口诀：（横向移动）在X上——左“+”，右“—”
（纵向移动）在常量C上——上“+”，下“—”
例题：
已知拋物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。
（1）求拋物线①的表达式及点P的坐标；
（2）将拋物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的拋物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；
（3）设拋物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值。
三、拋物线与一元二次方程的结合
（1）判断与X 轴的交点情况： ⊿=b2 — 4ac
（2）涉及（X1 .0）与（X2,0）问题时，利用以下公式计算
1、 2、 3、 4、
5、
例题：
21221221214)()(X X X X X X X X -+=-=-a b X X -=+21a c
X X =∙212122122212)(X X X X X X -+=+212212214)()(X X X X X X -+=-。