平面向量的数量积及应用
高中数学中的平面向量的数量积与向量积的应用
高中数学中的平面向量的数量积与向量积的应用平面向量是高中数学中的重要概念，它在几何和代数两个层面上都有广泛的应用。
其中，数量积和向量积是平面向量最常用的两种运算方式。
数量积主要用于计算两个向量之间的夹角和长度，而向量积则用于计算平面向量的面积和解决与平面相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量积的应用。
1. 数量积的应用数量积（也叫点积或内积）是两个向量相乘后再相加的结果，具体计算方式是两个向量的对应分量相乘再相加。
数量积的应用主要包括计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直或平行、计算向量的长度等。
首先，数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量a 和a，它们的数量积为a·a，根据数量积的定义，可以得到a·a=|a||a|cos a，其中|a|和|a|分别代表向量a和a的长度，a为向量a 和a之间的夹角。
通过这个公式，我们可以轻松地计算出两个向量之间的夹角大小。
其次，数量积还可以用于判断两个向量之间的关系。
如果两个向量的数量积为0，即a·a=0，那么这两个向量是垂直的；如果两个向量的数量积大于0，即a·a>0，那么这两个向量是锐角；如果两个向量的数量积小于0，即a·a<0，那么这两个向量是钝角。
另外，数量积还可以用于计算向量的长度。
根据数量积的定义，可以得到a·a=|a|^2。
通过这个公式，我们可以求得向量的长度，即|a|=√(a·a)。
这个公式在实际问题中经常被用到，以计算物体的位移、速度等。
2. 向量积的应用向量积（也叫叉积或外积）是两个向量相乘后得到一个新向量，具体计算方式是两个向量的对应分量按照一定规律相乘再相加。
向量积的应用主要包括计算平面向量的面积、判断三个向量是否共面、求解直线的方程等。
首先，向量积可以用于计算平面向量的面积。
设有两个向量a和a，它们的向量积为a×a，那么a与a所张成的平行四边形的面积就等于向量积的长度，即|a×a|。
平面向量的数量积与几何应用
平面向量的数量积与几何应用在平面几何学中，向量是非常重要的概念。
在平面向量中，数量积是一种常见的运算，它能够帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量之间的关系以及解决几何问题。
本文将介绍平面向量的数量积及其在几何中的应用。
一、平面向量的数量积定义当给定两个平面向量a和b时，我们可以通过计算它们的数量积来得到一个实数。
数量积通常用符号a·b表示，计算公式如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示向量a和b 之间的夹角。
二、平面向量的数量积性质1. 交换律：a·b = b·a2. 结合律：(ka)·b = k(a·b)，其中k为实数3. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c根据这些性质，我们可以简化计算，并灵活应用数量积的概念。
三、数量积的几何意义1. 判断垂直关系：若a·b=0，则向量a和向量b垂直。
2. 计算夹角：通过计算a·b，我们可以得到向量a和向量b之间的夹角θ的余弦值。
进而可以求得夹角的大小。
3. 判断共线关系：若a·b=|a|*|b|，则向量a和向量b共线，并且方向相同；若a·b=-|a|*|b|，则向量a和向量b共线，但方向相反。
4. 计算投影：向量a在向量b上的投影表示为P = a·(b/|b|)，表示a 在b上的投影长度。
它的方向与向量b的方向相同或相反，长度为|a|*cosθ。
通过上述的几何意义，我们可以运用数量积来解决一些常见的几何问题。
四、数量积的几何应用举例1. 判断线段相交：假设有两个线段AB和CD，可以定义向量AB和向量CD，若向量AB和向量CD的数量积不为零，则线段AB和CD 相交。
2. 判断平行四边形：对于一个平行四边形ABCD，可以定义向量AB，向量BC，向量CD和向量DA，若相邻两个向量的数量积相等，则该四边形为平行四边形。
平面向量的数量积和向量积的定义和性质
平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。
在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。
接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。
一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。
数量积是一个标量。
1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。
5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。
数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。
根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。
通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。
二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。
给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。
向量积是一个向量。
1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。
4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。
平面向量的数量积与应用
向量夹角计算
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定义：两个非零向量的夹角是指它们所在的直线之间的夹角，取值范围为$[0^{\circ},180^{\circ}]$
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计算公式：$\cos\theta = \frac{\overset{\longrightarrow}{u} \cdot \overset{\longrightarrow}{v}}{|\overset{\longrightarrow}{u}| \cdot |\overset{\longrightarrow}{v}|}$，其中 $\overset{\longrightarrow}{u}$和$\overset{\longrightarrow}{v}$是两个非零向量，$\theta$是它们的夹角
平面向量的数量积 与应用
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目录
平面向量的数量积概念 平面向量的数量积的应用
平面向量的数量积运算
平面向量的数量积的扩展 应用
01
平面向量的数量积 概念
定义与性质
定义：平面向量的数量积是 两个向量之间的点积，表示 为a·b，等于它们的模长和 夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和 分配律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
几何意义
平面向量的数量积表示向量在 平面上的投影长度
等于两个向量在垂直方向上的 投影的乘积
表示两个向量在平面上的夹角 大小
等于两个向量在水平方向上的 投影的乘积
运算性质
交换律：a · b = b · a 分配律：(a+b) · c = a · c + b · c 数乘性质：k(a · b) = (ka) · b = a · (kb) 向量数量积的性质：|a · b| ≤ |a| |b|
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
平面向量的数量积与向量积的性质与应用
平面向量的数量积与向量积的性质与应用平面向量是代表大小和方向的有向线段。
在研究平面向量的性质和应用时，我们经常会涉及到数量积和向量积这两个概念。
本文将分别介绍平面向量的数量积和向量积，并探讨它们的性质和应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为点积或内积，是指两个向量之间的数量乘积。
给定两个平面向量u和v，它们的数量积的定义如下：u · v = |u| |v| cosθ其中，|u|和|v|分别表示向量u和v的模（长度），θ表示u和v之间的夹角。
数量积的结果是一个标量，即一个实数。
1.1 数量积的性质数量积具有以下性质：性质1：交换律u · v = v · u性质2：分配律(u + v) · w = u · w + v · w性质3：数量积与向量模的关系u · u = |u|^2性质4：数量积为零的条件当且仅当两个向量正交（即夹角θ=90°）时，它们的数量积为零。
1.2 数量积的应用数量积具有广泛的应用，其中一些常见的应用如下：应用1：求向量夹角通过数量积的定义，我们可以得到夹角θ的计算公式：cosθ = (u · v) / (|u| |v|)应用2：判断向量正交当且仅当两个向量的数量积为零时，它们相互垂直。
因此，可以利用数量积来判断向量是否正交。
二、平面向量的向量积平面向量的向量积，也称为叉积或外积，是指两个向量之间的向量乘积。
给定两个平面向量u和v，它们的向量积的定义如下：u × v = |u| |v| sinθ n其中，|u|和|v|分别表示向量u和v的模，θ表示u和v之间的夹角，n是垂直于u和v所在平面的单位向量，其方向由右手定则确定。
向量积的结果是一个垂直于u和v所在平面的向量。
2.1 向量积的性质向量积具有以下性质：性质1：反交换律u × v = -v × u性质2：分配律u × (v + w) = u × v + u × w性质3：数量积与向量模的关系|u × v| = |u| |v| sinθ2.2 向量积的应用向量积也具有广泛的应用，其中一些常见的应用如下：应用1：求向量的面积两个非零向量u和v的向量积的模等于由u和v所张成的平行四边形的面积。
平面向量的数量积及平面向量的应用
解析 建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b),且0≤y≤b.
所以 PA
+3 PB
=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以| PA
+3 PB
|= 25
(3b
4
y)2
(0≤y≤b),
所以当y= 3 b时,| PA
+3 PB
§5.2 平面向量的数量积及平面向量的应用
知识清单
考点一 向量数量积的定义及长度、角度问题 1.两向量夹角的定义和范围
2.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
3.平面向量的数量积
4.向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=⑤ |a|·cos θ . (2)a⊥b⇔⑥ a·b=0 . (3)当a与b同向时,⑦ a·b=|a||b| ;当a与b反向时,⑧ a·b=-|a||b| . 特别地,a·a=⑨ |a|2 .
解析 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
所以a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos
θ= a b
| a || b |
=
2 4|
| a |2 a |2
=- 1 ,又0≤θ≤π,
2
所以θ= 2 ,故选C.
3
例4 (2017江西七校联考,13)已知向量a=(1, 3 ),b=(3,m),且b在a的方向
标→求 AF · BC
解析 解法一:如图,
AF · BC
=( AD
平面向量的数量积和向量投影
平面向量的数量积和向量投影平面向量是在平面内具有大小和方向的箭头表示的量，它可以通过数量积和向量投影来进行运算和分析。
本文将介绍平面向量的数量积和向量投影的概念、计算方法以及应用场景。
一、数量积的概念和计算方法数量积（也称为点积或内积）是两个向量之间的一种运算，用来计算两个向量之间的相似程度。
对于平面向量A和B来说，其数量积的表示形式为A·B，计算公式为：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
通过数量积，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 当A·B > 0时，表示向量A和B之间的夹角小于90°，即两个向量的方向趋于一致；2. 当A·B < 0时，表示向量A和B之间的夹角大于90°，即两个向量的方向趋于相反；3. 当A·B = 0时，表示向量A和B之间的夹角为90°，即两个向量互相垂直。
二、向量投影的概念和计算方法向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影长度，表示了一个向量在另一个向量方向上的影响力。
对于平面向量A和B来说，向量A 在向量B上的投影长度的计算公式为：projB(A) = |A| cosθ其中，|A|表示向量A的模长，θ表示A和B之间的夹角。
通过向量投影，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 当向量A在向量B上的投影长度等于向量B的模长时，说明向量A与向量B的方向一致；2. 当向量A在向量B上的投影长度为0时，说明向量A与向量B 的方向垂直；3. 当向量A在向量B上的投影长度小于向量B的模长时，说明向量A的方向与向量B的方向夹角小于90°；4. 当向量A在向量B上的投影长度大于向量B的模长时，说明向量A的方向与向量B的方向夹角大于90°。
三、数量积和向量投影的应用场景1. 平面向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，进而帮助我们判断两个向量之间的关系，如平行、垂直等；2. 数量积还可以用来计算向量在某个方向上的分量，可以应用于力学、工程等领域的力分析问题；3. 向量投影可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度，常用于物理学中的力分析问题和数学中的几何分析问题。
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5．平面向量数量积的性质 设 a，b 是两个非零向量，e 是单位向量，于是有： ①e· a＝a· e＝|a|cosθ(θ 为 a，e 的夹角)． ②a⊥b⇔a· b＝0. ③当 a 与 b 同向时，a· b＝|a||b|； 当 a 与 b 反向时，a· b＝－|a||b|， 特别地，a· a＝a2＝|a|2，|a|＝ a2. a· b ④cosθ＝ (θ 为 a，b 的夹角)． |a||b| ⑤|a· b|≤|a||b|. 6．平面向量数量积的运算律 ①a· b＝b· a. ②(λa)· b＝λ(a· b)＝a· (λb)(λ∈R)． ③(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
→ ＝2BD →， →＝ (2011 湖南)在边长为 1 的正三角形 ABC 中， 设BC CA → ，则AD →· →＝ 1 3CE BE .
4
1 4
【解析】由题意画出图形如图所示，取一组基底 1 → → → → → → → {AB，AC}，结合图形可得AD＝2(AB＋AC)，BE＝AE－ 2→ → 1 → → 2→ → 1 → → → AB＝ AC－ AB，∴ AD· BE＝ (AB＋ AC)· ( AC－AB)＝ 3 2 3 3 1→ → 1 1 1 1 2 1→ 2 → AC － AB － AB· AC＝ － － cos60° ＝－ . 2 6 3 2 6 4 【命题立意】本题考查向量的线性运算和数量积运算， 主要考查学生的运算求解能力及利用数形结合思想解决 问题的能力，属中档题，难度适中．
四、平面向量数量积的综合应用 例 4 已知平面上三个向量 a、b、c 的模长均为 1，它们 之间的夹角为 120° . (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求 k 的取值范围．
【解析】(1)|a|＝|b|＝|c|，a，b，c 之间的夹角 均为 120° 1 ∴a· c＝|a|· |c|cos120° ＝－ 2 1 b· c＝|b||c|cos120° ＝－ 2 ∴(a－b)· c＝a· c－b· c＝0 ∴(a－b)⊥ c. (2)由|ka＋b＋c|>1 得 |ka＋b＋ c|2>1 即(ka＋b＋c)2>1， ∴k2a2＋b2＋c2＋2ka· b＋2b· c＋2kc· a>1 即 k2－2k>0，∴k<0 或 k>2.
y－2· x＝0 1· 2 2 x ＋ y ＝20 x＝2 ，∴ y＝4 x＝－2 或 y＝－4
，
∴c＝(2, 4)或 c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)， ∴(a＋2b)· (2a－b)＝0， 即 2a2＋3a· b－2b2＝0 5 2 2 ∴2|a| ＋3a· b－2|b| ＝0， ∴2×5＋3a· b－2× 4 ＝0， 5 a· b 所以 a· b＝－ ，∴cosθ＝ ＝－1 2 |a|· |b| ∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.
【点评】本题考查了平面向量数量积来证明两向 量的垂直关系，和向量的模的转化：|a|2＝a2＝a·a.
→· →＝ 3 〔备选题〕例 5 在△ABC 中，已知 2AB AC → |· → |＝3BC → 2，求角 A、B、C 的大小． |AB |AC
【解析】设 BC＝a，AC＝b，AB＝c. →· → ＝ 3|AB → |· →| 由 2AB AC |AC 得 2bccosA＝ 3bc， 3 所以 cosA＝ . 2 π 又 A∈(0，π)，因此 A＝ . 6 → |· → |＝3BC → 2，得 cb＝ 3a2. 由 3|AB |AC 3 2 于是 sinC· sinB＝ 3sin A＝ . 4 5π 3 所以 sinC· sin( －C)＝ ， 6 4 1 3 3 sinC· ( cosC＋ sinC)＝ . 2 2 4
【知识要点】 1．两向量的夹角 → ＝a，OB → ＝b，则∠AOB 叫 a 与 b 的夹角． 已知非零向量 a，b，作OA
[0，π] . a 与 b 的夹角的取值范围是
0 ；当 a 与 b 反向时，它们的夹 当 a 与 b 同向时，它们的夹角为____
角为
π
.
2．向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把
π 因此 sin2 C－ 3cos2C＝0 即 2sin(2C－ 3)＝0. π 5π π π 4π 由 A＝6知 0<C< 6 ，所以－3<2C－ 3< 3 ， π π 从而 2C－3 ＝0 或 2C－ 3＝π， π 2π 即 C＝6 或 C＝ 3 ， π 2π π π π 2π 故 A＝6， B＝ 3 ， C＝ 6或 A＝6 ， B＝6， C＝ 3 .
4．已知 2a－b＝(－1， 3)，c＝(1， 3)，且 a· c＝3，|b|＝4，则 b 与 c 的夹角为
π 3
.
【解析】一方面，(2a－b)· c＝2a· c－b· c ＝6－b· c 另一方面，(2a－b)· c＝－1×1＋ 3× 3 ＝－1＋3＝2. ∴6－b· c＝2，∴b· c＝4 4 1 b· c ∴cos<b，c>＝ ＝ ＝ |b||c| 4×2 2 π 又<b，c>∈[0，π]，∴<b，c>＝ . 3
第29讲
平面向量的数量积及应用
【学习目标】 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量的 数量积可以处理长度和角度问题．
【基础检测】 1．已知下列结论：① |a |2＝a2；②(a· b)2＝a2· b2 ； ③(a－b)2＝a2－2a· b＋b2；④若 a＝a· b，则 a＝b. 其中正确的个数有( B ) A．1 B．2 C．3 D．4
|a||b|cosθ
叫做 a 与 b 的
数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任何向量的 数量积为 0.
3．向量数量积的几何意义 向量的投影：|a|cosθ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， 当 θ 为锐角时，它是正值；当 θ 为钝角时， 它是负值 ； 当 θ 为直角时，它是零． a· b 的几何意义： 数量积 a· b 等于 a的长度|a| 与 b 在 a 方向上的投影|b|cosθ 的乘积． 4．数量积的坐标表示 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝ x1x2＋y1y2 . x2 y 2 若 a＝(x，y)，则|a|＝ . 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)， → ＝ x1－x22＋y1－y22. 则AB
2．已知 a＝(3,4)，b＝(4,7)，则 b 在 a 上 的投影为( A ) A．8 B．6 C．4 D．2
a· b 3×4＋4×7 【解析】b 在 a 上的投影为 ＝ 2 2 ＝8. |a| 3 ＋4 故选 A.
3 ．已知 a· b ＝0，|a|＝ 1 ，|b|＝ 2 ，则 |2a －b| ＝( B ) A．0 B．2 2 C．4 D．8
→ → AB AC → 与AC → 满足( → ＝0 且 2． 已知非零向量AB ＋ )· BC → | |AC →| |AB → AC → 1 AB · ＝ ，则△ABC 为( D ) → | |AC →| 2 |AB A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
1．给出以下四个命题，其中正确的是( C ) A．对任意两个向量 a，b 都有|a· b|＝|a||b| → ＝λ1a＋b， B．若 a，b 是两个不共线的向量，且AB → ＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则 A、B、C 共线⇔λ1λ2＝－1 AC C．若向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则 a＋b 与 a－b 的夹角为 90° D．若向量 a、b 满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝ 13， 则 a，b 的夹角为 60°
→· → 5．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，AC＝4，则AB BC ＝ －9 .
→· → ＝ ( AC → ＋ CB → )· →＝ 【解析】 解法一： AB BC BC →· → ＋CB →· → ＝－BC → 2＝－9. AC BC BC →· → ＝－BA →· → ＝－|BA → ||BC → |cosB ＝ 解法二：AB BC BC 3 －5×3× ＝－9. 5
→ → AB AC → 与AC → 满足( → 【解析】非零向量AB ＋ )· BC → | |AC →| |AB ＝0，即角 A 的平分线垂直于 BC，∴AB＝AC，又 → AC → 1 AB π cosA＝ · ＝ ，所以 A＝ ，故△ABC 为等边三 3 → | |AC →| 2 |AB 角形．
【点评】本题考查了向量垂直转化为数量积为零、 向量的模长两个知识点，还与三角函数知识联系在 一起．
三、平面向量的平行与垂直问题 例 3 已知 a，b，c 是同一平面内的三个向量， 其中 a＝(1,2)． (1)若|c|＝2 5，且 c∥a，求 c 的坐标； 5 (2)若|b|＝ ，且 a＋2b 与 2a－b 垂直，求 a 2 与 b 的夹角 θ.
【点评】平面向量与三角函数在“角”之间存在 着密切的联系，如果在平面向量与三角函数的交 汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思 维性和挑战性，若根据所给的三角函数的结构及 向量间的相互关系进行处理．可使解题过程得到 简化，从而提高解题的速度．
1． 要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意 义， 熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规 律．向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数 量积不满足结合律：(a· b)· c≠a· (b· c)；消去律：a· b＝a· c b＝c；a· b＝0 a＝0 或 b＝0，但满足交换律和分 配律． 2．公式 a· b ＝|a||b|cosθ ；a· b＝x1x2＋y1y2 ；|a|2 ＝a2 ＝x2＋y2 的关系非常密切，必须能够灵活综合运用． 3．通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平 面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直 线是否垂直． 4．a∥b⇔x1y2－x2y1＝0 与 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 要 区分清楚．