数学模型与实验报告习题

数学模型与实验报告姓名：王珂班级：121111学号：442指导老师：沈远彤数学模型与实验一、数学规划模型某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。

现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。

（1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。

（2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资若投资，每天最多购买多少吨铝原料（3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元（4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划题目分析：每5吨原料可以有如下两种选择：1、在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元2、在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元限制条件：原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。

工作时间不可超过480小时线性规划模型：设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有：Max z = 7200x1/5 +6400x2/5x1 + x2 ≦ 25012x1/5 + 8x2/5 ≦ 4800≦3x1/5 ≦ 100, x2 ≧ 0用LINGO求解得：VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1X2ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE1234做敏感性分析为：VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOFF INCREASE DECREASEX1X2ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE234 INFINITY1、可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。

因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A产品，在乙设备上用150吨原料生产B产品。

最大盈利为336000.2、由运算结果看约束条件1（原料）的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。

3、同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。

4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化范围上限是1920，下限是1280。

若每吨A 获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许范围内，所以保持原计划不变。

二、微分方程模型在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。

设尾数n(t)的(相对)减少率为常数; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。

分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量|/|n n 表示，记作E ，即单位时间捕获量是En(t)。

问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大。

基本假设：1.鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。

2.鱼苗尾数相对减少率为常数。

3.由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与本身重量成正比。

4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。

符号表示模型的建立：由基本假设：鱼苗尾数()t n 相对减少率为常数，则可得以下微分方程：()()t kn dtt dn -= ()1 由基本假设：由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。

可得以下微分方程：()()()t m k t s k dtt dm 21-= ()2又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼的最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的表面积相关。

由基本假设中鱼群的表面积服从正态分布，即：()()()()22221σσπu t s et s f --=()3其中u 为()t s 的均值，2σ为()t s 的方差。

则在此条件下：()()(){}()t n T s t s P T N >= ()4又由()()t En t N = ()5得：()(){}T s t s P E >= ()6模型的求解：关于鱼尾数随时间变化的微分方程组：()()()00dn t kn t dtn n⎧=-⎪⎨⎪=⎩可直接求解得：()kte n t n -=0()7又椭球体的体积为：34abcV π=()8 表面积近似为：()324abc s π=()9 又V m ρ=()10 则可得：3232434344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=πρππρπm m s()11则将()11式代入()2式可得：()()()t m k t m k dt t dm 2321434-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=πρπ()12 又()00m m = 所以求解可得:()232211331133022443344k t k k m t m ek k πππρπρ-⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎥=⨯+-⨯⨯⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭()13不妨设()()()a t b t c t >>，则：()()W b T c T π= ()14 此时()()()()4s T a T b T c T π≈ ()15 则()()4s T Wa T = ()16由基本假设()s t 服从正态分布，则()(){}()(){}()()()()11141P s t s T P s t s T s t u s T u P s T u Wa T u σσσσ>=-≤--⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭-⎛⎫=-Φ ⎪⎝⎭-⎛⎫=-Φ ⎪⎝⎭其中()t Φ为标准正态分布函数则由此将渔网网眼面积和单位时间最大捕获量联系起来，此时仅需将通过调查将()a t 函数进行研究，进而使得()(){}P s t s T >取得最大值，则此时()()(){}()N t P s t s T n t =>⨯取得最大值 又()(){}E P s t s T =>则可通过查找标准正态分布表求得结论。

三、统计回归模型下表列出了某城市18位35岁—44岁经理的年平均收入1x 千元，风险偏好度2x 和人寿保险额y 千元，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险。

研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年平均收入及风险偏好度之间的关系。

研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握地认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表中的数据来建立一个合适的回归模型，验证上面看法，并给出进一步的分析。

数学模型解：为大致分析y与x1和x2关系，首先利用表1的数据分别作出y对于x1和x2的散点图（见图1和图2中的圆点）x1=[ ];>> y1=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133]; >> p=polyfit(x1,y1,2)p =+000 +001>> x2=0::85;y2=polyval(p,x2); plot(x1,y1,'o',x2,y2)1x y 对的散点图从图中可以发现，随着1x 的增加，y 的值有明显向上弯曲的二次增长趋势，图中的曲线是用二次函数模型εβββ+++=212110x x y （1）拟合的。

（其中ε是随机误差）>> x3=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; >> q=polyfit(x3,y1,1) q =+001 +001>> x4=0::15;y3=polyval(q,x4); plot(x3,y1,'o',x4,y3)的一次的散点图对2x y从图中可以发现，随着2x 的增加，y 的值比较明显的线性增长趋势，图中的曲线是用线性函数模型εββ++=210x y（2）拟合的。

（其中ε是随机误差）综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型εββββ++++=21322110x x x y（3）（3）式右端的1x 和2x 称为回归变量，21322110x x x ββββ+++是给定年平均收入1x 、风险偏好度2x 时，人寿保险额y 的值，其中的参数3210,,,ββββ称为回归系数。

还有影响y 的其它因素作用都包含在随机误差ε中。

模型求解：使用MATLAB 统计工具箱的命令regress 求解，求解过程如下>> x1=[ ];x2=[7 5 10 6 4 5 4 6 9 5 2 7 4 3 5 1 8 6]; x3=x1.*x1; x0=ones(18,1); x=[x0 x1' x2' x3'];y=[196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133];>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x,b =+001+000bint =+001 +001+000+000 +000stats =+004 +000由此得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平05.0=α）、检验统计量p F R ,,2的结果见下表结果分析：2R= 指因变量y（保险额）的%可由模型确定，F的值远远超过F的检验的临界值，p远小于α，因此模型（3）从整体来看是可用的。