微分几何课程教学大纲

“微分几何”课程教学大纲

英文名称：

课程编号：

学时：学分：

适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）

先修课程：数学分析、高等代数与几何

使用教材及参考书：

陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社

梅向明著，《微分几何》

虞言林著，《微分几何》

一、课程性质、目的和任务

本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。

二、教学基本要求

本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。

三、教学内容及要求

第一章预备知识

标架

向量值函数

第二章曲线论

参数曲线

曲线的弧长

曲线的曲率和标架

挠率和公式

曲线论基本定理

曲线在一点的标准展开

平面曲线

重点掌握：曲线的标架及公式

第三章曲面的第一基本形式

曲面的定义

切不面及切向量

曲面的第一基本形式

曲面上正交参数曲面网的存在性

保长对应和保角对应

可展曲面

重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。

第四章曲面的第二基本形式

第二基本形式

法曲率

映射和映射

主方向和主曲率的计算

标形和曲面在一点的近似展开

某些特殊曲面。

重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理

自然标架的运动公式

曲面一唯一性定理

曲面论基本议程

曲面的存在定理

定理。

重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线

测地曲率和测地挠率

测地线

测地坐标系

常曲率曲面

向量场的平行移动

公式

重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。

大纲制定者：李洪军执笔

大纲审定者：陈红斌

大纲批准者：张胜利

大纲校对者：李洪军

“数学分析”课程教学大纲

英文名称：

课程编号：

课程类型：必修课

学时：学分：

适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生

先修课程：高中数学

使用教材及参考书：

．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。

．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年

．

一、课程性质、目的和任务

本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。

二、教学基本要求

要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。

三、教学内容及要求

第一章集合、映射与函数

重点掌握：集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。

第二章序列极限

重点掌握：序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。

了解：区间套定理及柯西收敛准则。

第三章函数极限与连续

重点掌握：函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。

了解：一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。

第四章微分、导数

重点掌握：微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。

第五章利用导数研究函数

重点掌握：微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。了解：平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。

第六章不定积分

重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。

第七章定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。

了解：微分方法概念。

第八章欧氏空间与多元函数

重点掌握：维欧氏空间定义，中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。

了解：连续与紧性，连续与连通性等概念。

第九章多元函数的微分学

重点掌握：偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。

了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。

第十章多元函数微分学的应用

重点掌握：方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。

了解：陷函数的重积分

第十一章多元函数的重积分

重点掌握：重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。了解：重积分在物理上的应用。

第十二章曲线积分与曲面积分

重点掌握：第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。

了解：它们的几何或物理意义及应用。

第十三章：各种积分间的联系

重点掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。

第十四章广义积分

重点掌握：无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。

第十五章数项级数

重点掌握：无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。

了解：广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。

第十六章函数项级数、幂级数

重点掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。

了解：逼近定理。

第十七章傅里叶级数

重点掌握：傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。

第十八章实数理论

重点掌握：上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。

第十九章含参变量的积分

重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。

第二十章含参量的广义积分

重点掌握：含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。

了解：阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，Γ函数、β函数，含参变量积分与函数逼近问题。

第二十一章场论初步

重点掌握：场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。了解：保守场与势函数。

第二十二章节外微分形式与斯托克司公式

重点掌握：反对称的κ重线性函数，κ次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。掌握外微分形式与斯托克司公式。

了解：流形与流形上的积分。

四、学时分配