2019年复旦大学微分几何教学大纲.doc
复旦大学课程教学大纲
复旦大学课程教学大纲课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I）英文名称 Mathematical Analysis（I）学分数 5 周学时 6任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。
课程性质：本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。
从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。
总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。
在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。
本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。
教学目的：2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。
以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。
✧虽然数学分析是数学课程，但我们学习的是“认识自然的系统的思想和方法”——许多实践和成就表明，数学对于我们认识自然是极其有效的——许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景。
复旦大学教学大纲
复旦大学教学大纲教学目标：本课程旨在通过系统性学习，培养学生的综合素质，为他们的学术和职业发展奠定坚实的基础。
具体目标包括：1. 提供全面深入的学科知识和理论；2. 培养学生的创造思维和解决问题的能力；3. 培养学生良好的沟通能力和团队合作精神；4. 培养学生的自主学习和持续学习的能力；5. 培养学生的道德情操和社会责任感。
课程设置：1. 课程名称：XXXXX学时安排：总学时XX，理论学时XX，实践学时XX，实验学时XX。
考核方式：笔试、实验报告、小组讨论及课堂表现等。
先修课程：无2. 主要内容：模块一：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块二：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块三：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料模块四：XXXXX- 概述XXXXX- 重点掌握XXXXX- 学习方法及参考资料3. 教学方法：本课程采用多种教学方法以促进学生的全面发展。
- 讲授：老师依据教学大纲进行系统的讲解，引导学生理解和掌握相关知识；- 讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，分享自己的见解和观点，培养分析问题和解决问题的能力；- 实践：通过实际案例、实验、实地考察等方式，帮助学生将理论知识应用到实际问题中；- 小组合作：通过小组项目、案例分析等活动，培养学生的团队协作和沟通能力；- 自主学习：鼓励学生主动探索、独立思考，通过自主学习来加深对知识的理解。
4. 教材及参考资料：教材：- 主教材：XXXXX- 辅助教材：XXXXX参考资料：- XXXXX- XXXXX5. 考核方式与评分比例：- 平时表现：XX%- 期末考试：XX%- 实验报告/作业：XX%- 小组讨论/项目：XX%- 其他：XX%6. 作业要求：- 每周必须完成的作业内容及提交要求；- 作业要求内容的合理性和创意性；- 作业评分标准。
最新复旦大学微分几何教学大纲
5．1曲面的基本方程
5．2曲面论的基本定理
教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6测地曲率测地线（7学时）
6．1测地曲率向量测地曲率
6．2计算测地曲率的Liouville公式
6．3测地线
6．4法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6．5应用
6．6测地扰率
§2主法向量与从法向量曲率与扰率（2学时）
教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。
§3Frenet标架Frenet公式（1学时）
教学要求：掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题。
§4曲线在一点邻近的性质（1学时）
教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§7空间曲线的整体性质（2学时）
7．1球面的Crofton公式*
7．2 Fenchel定理*
7．3 Fary-Milnor定理*
教学要求：理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质：球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何（时）
曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
4．2主方向主曲率
《微分几何》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
微分几何教学大纲
微分几何教学大纲一、引言背景介绍目标概述二、课程介绍2.1 课程目标2.2 课程重点2.3 课程难点2.4 课程适用对象三、教学内容3.1 基础知识讲解3.1.1 点、线、面的定义与性质3.1.2 向量代数3.1.3 空间坐标系3.2 曲线与曲面3.2.1 参数方程与向量值函数3.2.2 曲线的切线与法线3.2.3 曲面的切平面与法线3.3 微分几何的基本概念3.3.1 曲线的弧长与切向量3.3.2 曲面的面积与法向量3.3.3 曲率与曲率圆3.4 光滑曲线与曲面3.4.1 光滑曲线的性质3.4.2 光滑曲面的性质四、教学方法4.1 理论讲解4.1.1 以概念为核心，讲解基本知识4.1.2 结合示例，深入理解概念与定理 4.1.3 引导学生进行逻辑推理与证明4.2 实践操作4.2.1 利用数学软件进行图像绘制与计算 4.2.2 解决实际问题，提高应用能力4.3 互动讨论4.3.1 引导学生提出问题，进行讨论 4.3.2 促进学生之间的合作与交流4.4 实例分析4.4.1 分析典型问题，培养解题思维4.4.2 提供真实案例，激发学习兴趣五、教学评价5.1 课堂小测验5.1.1 阶段性测试，检验基础掌握情况 5.1.2 题型包括选择题、填空题等5.2 实验报告5.2.1 学生完成相关实验，撰写报告 5.2.2 采用标准评分体系进行评价5.3 课程论文5.3.1 学生独立完成课题研究5.3.2 评价论文的创新性和逻辑性六、参考教材6.1 《微分几何导论》6.2 《微分几何与曲面建模》6.3 《微分几何引论》七、教学进度安排7.1 第一周：基础知识讲解7.2 第二周：曲线与曲面7.3 第三周：微分几何的基本概念7.4 第四周：光滑曲线与曲面7.5 第五周：复习与考试八、总结与展望8.1 教学成果总结8.2 教学改进建议8.3 未来发展趋势探讨以上为《微分几何教学大纲》的基本内容概览。
通过系统性的教学安排，激发学生对微分几何的学习兴趣，提高其应用能力和解决问题的能力。
复旦大学微分几何教学大纲
微分几何教学大纲(Differential Geometry)课程代码318.022.1 编写时间课程名称微分几何英文名称Differential Geometry学分数 3 周学时3+1任课教师傅吉祥开课院系数学学院预修课程课程性质：本课程是数学系基础数学与应用数学专业（相对于复旦大学）的必修课。
基本要求和教学目的：通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概念与研究微分几何的一些常用方法。
以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
课程基本内容简介：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的理论。
主要内容有：曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率；Frenet标架与Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶点定理与Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲率；曲面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
曲面的整体性质初步，内容包括：曲面的整体表述；曲面上的Gauss-Bonnet公式；向量场与孤立奇点的指标；球面的刚性；极小曲面中的Bernstein定理；完备曲面与Hopf-Rinow定理。
教学方式:课堂授课+习题课教材和教学参考资料作者教材名称出版社出版年月教材苏步青，胡和生微分几何高等教学出版社1979参考资料ElementaryDifferentialGeometryAndrew Pressley Springer 姜国英黄宣国微分几何一百例高等教育出版社教学内容安排：第一章三维欧氏空间的曲线论（13学时）§1 曲线曲线的切向量弧长（1学时）教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线。
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
微分几何教学大纲
《微分几何》教学大纲一、总则1、本课程的教学目的和要求：微分几何是综合性大学数学系各专业的重要基础课，也是应用性很强的一门数学课。
微分几何课的目的一方面使学生学好作为数学基础的微分几何课，以便为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。
2、本课程的主要内容：本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。
主要内容有：（1）曲线论，内容包括：向量函数及其微积分，曲线的切线、法平面，曲线的密切面、基本三棱形，曲率、挠率和Frenet公式、曲线的局部结构及曲线论的基本定理、几类特殊曲线等。
（2）曲面论，内容包括：曲面的基本概念、切平面、法线曲线族和曲线网，曲面的第一基本形式和第一类基本量等概念，第二基本形式、渐进线、共扼线、主方向和曲率线、曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构，直纹面和可展曲面，曲面论的基本定理，测地线，常Gauss曲率的曲面等。
3教学重点与难点：本课程的重点空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。
难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。
4本课程的知识范围及相关课程的关系：本课程以微积分、线性代数、空间解析几何，微分方程等为基础课。
而微分几何又是现代微分方程和现代实、复分析的重要基础。
5教材的选用：根据具体情况与教学实践，选用梅向明、黄敬之编写的《微分几何》。
二、课程内容及学时分配。
第一章曲线论第一节向量代数复习1、教学内容。
复习解析几何中向量的基本概念和运算。
2、教学目的及要求。
熟练掌握向量的基本运算：加、减、数积和向量积及其性质。
3、教学重点与难点。
向量的基本运算及其性质。
4、教学时间分配及进度安排。
2学时。
5、主要教学环节的组织。
课堂讲授。
第二节向量函数1、教学内容。
向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。
2、教学目的及要求。
熟练掌握向量函数的微积分运算，具有特殊条件的向量函数的性质。
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微分几何教学大纲
(Differential Geometry )
课程代码318.022.1编写时间
课程名称微分几何
英文名称Differential Geometry
学分数3周学时3+1任课教师傅吉祥开课院系数学学院
预修课程
课程性质：
本课程是数学系基础数学与应用数学专业（相对于复旦大学）的必修
课。
基本要求和教学目的：
通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概
念与研究微分几何的一些常用方法。
以便为以后进一步学习、研究现代几
何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能
力。
课程基本内容简介：
本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的理论。
主要内容有：
曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；
曲率与扰率； Frenet 标架与 Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基
本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几
何性质，等周不等式，四顶点定理与 Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一
些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转
曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基
本形式；曲面上的活动标架与基本公式； Weingarten 变换与曲面的渐近线、
共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss 曲率和平均曲率；曲
面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常 Gauss 曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。
曲面的整体性质初步，内容包括：曲面的整体表述；曲面上的Gauss-Bonnet 公式；向量场与孤立奇点的指标；球面的刚性；极小曲面中
的 Bernstein 定理；完备曲面与 Hopf-Rinow 定理。
教学方式 :
课堂授课 +习题课
教材和教学参考资料
作者教材名称出版社出版年月教材苏步青，胡和生微分几何高等教学出版社1979参Elementary Andrew Pressley Springer
考Differential
资Geometry
料姜国英黄宣国微分几何一百例高等教育出版社
教学内容安排：
第一章三维欧氏空间的曲线论（13学时）
§1曲线曲线的切向量弧长（1学时）
教学要求：理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会
用弧长参数表示曲线。
§2主法向量与从法向量曲率与扰率（2学时）
教学要求：理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切平面等基本概念，会计算曲率与挠率。
§3 Frenet标架Frenet公式（1学时）
教学要求：掌握 Frenet 公式，能运用 Frenet 公式去解决实际问题。
§4曲线在一点邻近的性质（1学时）
教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式，理解扰率符号的集合意义。
§5曲线论基本定理（1学时）
教学要求：掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些
简单的曲线。
§6平面曲线的一些整体性质（5学时）
6．1关于闭曲线的一些概念
6．2切线的旋转指标定理
6．3凸曲线*
6．4等周不等式*
6．5四顶点定理*
6．6 Cauchy-Crofton公式*
教学要求：理解平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简单曲线、切线像、相对全曲率、旋转指标、凸曲线。
掌握平面曲线的一些整体性质：
简单闭曲线切线的旋转指标定理，凸曲线的几何性质，等周不等式，四顶
点定理与 Cauchy-Crofton公式。
§7空间曲线的整体性质（2学时）
7．1球面的Crofton公式*
7．2 Fenchel定理*
7．3 Fary-Milnor定理*
教学要求：理解全曲率的概念。
掌握空间曲线的一些整体性质：
球面的 Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。
第二章三维欧氏空间中曲面的局部几何（27学时）
§1曲面的表示切向量法向量（4学时）
1． 1曲面的定义
1． 2切向量切平面
1． 3法向量
1． 4曲面的参数表示
1．5例
1． 6单参数曲面族平面族的包络面可展曲面
教学要求：掌握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；了解旋转曲面与直纹面的表示；掌握可展曲面的特征。
§2曲面的第一、第二基本形式（4学时）
2．1曲面的第一基本形式
2．2曲面的正交参数曲线网
2．3等距对应曲面的内蕴几何
2．4共形对应
2．5曲面的第二基本形式
教学要求：掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧长、两相交曲线的交角与面积的计算，并理解其几何意义；了解等距对应
与共形对应；掌握第二基本形式。
§3曲面上的活动标架曲面的基本公式（3学时）
3． 1省略和式记号的约定
3． 2曲面上的活动标架曲面的基本公式
3． 3 Weingarten变换W
3． 4曲面的共轭方向渐近方向渐近线
教学要求：掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式，能求正交
参数曲线网的联络系数；理解 Weingarten 变换与共轭方向、渐近方向，会求一些简单曲线的渐近曲线。
§4曲面上的曲率（7学时）
4． 1曲面上曲线的法曲率
4． 2主方向主曲率
4．3 Dupin标线
4．4曲率线
4．5主曲率及曲率线的计算总曲率平均曲率
4．6曲率线网
4．7曲面在一点的邻近处的形状
4．8 Gauss映照及第三基本形式
4．9总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面
教学要求：理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义，并会对它们进行计算；掌握Gauss 映照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；掌握极小曲面的几何意义并会
求一些简单的极小曲面。
§5曲面的基本方程及曲面论的基本定理（4 学时）
5． 1曲面的基本方程
5． 2曲面论的基本定理
教学要求：掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。
§6测地曲率测地线（7学时）
6． 1测地曲率向量测地曲率
6． 2计算测地曲率的 Liouville公式
6． 3测地线
6． 4法坐标系测地极坐标系测地坐标系
6． 5应用
6． 6测地扰率
6． 7Gauss-Bonnet 公式
教学要求：理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用 Liouville 公式计算测
地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行研究；理解（局部） Gauss-Bonnet 公式。
§7曲面上的向量的平行移动（2学时）
7． 1向量沿曲面上一条曲线的平行移动绝对微分
7． 2绝对微分的性质
7． 3自平行曲线
7． 4向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示
7． 5沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系
教学要求：理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。
第三章曲面的整体性质初步（10学时）
§1曲面的整体表述（1学时）
教学要求：理解曲面的整体表述、坐标转移函数与可定向曲面的
概念。
§2曲面上的Gauss-Bonnet公式（2学时）
教学要求：理解 Euler-Poincare 示性数与整体的 Gauss-Bonnet 公式；能用整体的 Gauss-Bonnet 公式来分析与解决一些实际问题。
§3向量场（2学时）
教学要求：理解光滑向量场在孤立奇点的指标的概念并能计算；
掌握紧致定向曲面上光滑向量场关于指标的Poincare 定理。
§4球面的刚性（1 学时）
教学要求：理解与掌握球面的刚性定理，体会拓扑性质对整体微
分几何的影响，会证明紧致曲面的椭圆点的存在性。
§5极小曲面（ 2 学时）
教学要求：了解关于极小曲面的Bernstein 定理。
§6完备曲面 Hopf-Rinow 定理（ 2 学时）
教学要求：理解与掌握完备曲面的概念，理解完备曲面Hopf-Rinow
定理
作业和考核方式：闭卷笔试
*如该门课为多位教师共同开设，请在教学内容安排中注明。
**考虑到有时同一门课由不同院系的教师开设，请任课教师填写此栏。