广东省揭阳市第三中学2020届高三上学期第二次月考(10月)数学(理)试题 Word版含答案
广东省揭阳市第三中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理
广东省揭阳市第三中学2020届高三数学上学期第二次月考试题理第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）．．．．．．．．．．．．2BAxxAxxxB( )2<∩－3≤2}，则－4≤0}，等于＝1.已知集合{＝{||－xxxxxxxx≤2}≤1} －2≤ D. {≤4} C. {－1≤|A. {－2≤|－1≤≤4} B. {||2xxxx)<∈R，则“－3”的＋2 ( 2.设－3>0”是“既不充分也不必要条件必要不充分条件 C. 充要条件 D. A. 充分不必要条件 B.f )x bxxbf xxf 为常数＋2))为定义在R上的奇函数，当(≥0时，，(－)＝33.．设(7( 则2)(－等于4 D.－A.6 B. －6 C.41??－1.50.90.48??cba，则 ( ，＝8 ＝)4.若＝4，??2cabbacabcacb > D. C.>A. >>>> B.>>fxxx的大致图象为( 1)＋(ln(|)＝)|5. 函数－A B C D1fxx－的零点所在的区间为log函数( ())＝6. 2x A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 32?xaxa?1)f(x)?x?(f(x)y?f(x)在点处的为奇函数，则曲线.7. 设函数若切线方程为( )xy?yx??y??x?y22x．D ．． B C A．- 1 -5在区间［，8］上是单调函数，则k8. 若函数f(x)＝2x－kx＋5) 2的取值范围是(，＋∞)32，＋∞) D．[32，32） C．(－∞，20]∪[ BA．(－∞，20］．（20满足约束条件）9.，则目标函数设的最小值为（A. -4 B. -2 C. 0 D. 2，当10.）若正数取得最小值时，满足的值为（ D. 5B. 2C. A.223)( 处的极值为6，则数对(a ，b)为＝11.已知函数f(x)＝x ＋2ax ＋bx ＋a 在x1DCAB 19) ，－5)或19) (4. (－－2，5) 2. (－19，4) ，. (4，－.(实已知函数=012. ，则方程 根的个数为（）5B ．3C ．4D ．A ．2第Ⅱ卷（非选择题 满分90分） 分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）二、填空题（本大题共4小题，每小题5．．．．．．．．．．．．1xy 的定义域为函数13.＋_________________＝．＋1x －22ln (1＋x －x)＋1，f(a)＝3，则f(－＝14.已知函数f(x)a)＝________．xx ，log>0，?1?2f af xa ＝________.＝)若＝15.已知函数((，则)? 2x x ≤0.2，??对任意16.上连续，已知函数在都有；在中任意取两个不相等，都有的实数，则实数的取值范围是恒成立；若_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在．．答题卷的相应区域答题.） ．．．．．．．．．．aa ＝4，前中，}4项和为{17.（ 12分）在等差数列18.n 2a }的通项公式；求数列{ (1)nbnT .项和}，求数列(2) 设{的前nn - 2 -2R.∈＋2，a 12分）已知函数f(x)＝x＋ax18. （2xxfxf，求不等式－(的解集；)(1) 若不等式≥(1)≤0的解集为[1，2]2axfgxx(1，2)(＝)上有两个不同的零点，(求实数)＋的取值范围．＋1(2) 若函数在区间为直角梯形，的底面19. （ 12分）如图，且四棱锥，为等边三角形，平面的中点．平面；点分别为；（1平面）证明：所成角的正弦值．）求直线（2与平面2ln2.ax－g(x)＝－x 12分）已知函数f(x)＝x＋x，20. （2ln的也相切，求实数a＝－x＋ax－2f(x)(1) 若曲线＝x1x在x＝处的切线与函数g(x) 值；1????＋tt， (t>0)(2) 求函数f(x)在上的最小值．??4食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康 21. （ 12分）万元，搭建了200带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种20甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入单位：Q与投入a(P黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入1，每年两个大棚的总)设甲大棚的投入为120.x(单位：万元＝＝P80＋42a，Qa＋满足万元) 4 )．单位：万元收益为f(x)( 的值；(1) 求f(50) 最大？试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益(2) f(x)- 3 -cosθ，2x＝??22. （ 10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，?sin θ＋22＝y??以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C的极坐标方程；π2πθρll，(，设直线∈R)(ρ∈l若直线(2) l，的极坐标方程分别为θ＝R)，＝COMNOMN的面积．，，，求△与曲线的交点为211263- 4 -届高三级第一学期第二次阶段考试揭阳市第三中学2020 高三数学（理科）参考答案及评分标准 ) 分，共60分一、选择题(本大题共12小题，每小题51.D 2. B 3. A 4.D 5. A 6.B 7.B 8. C 9.C 10. B 11.D 12.B) 分5分，共20二、填空题(本大题共4小题，每小题 1 ，＋∞) 14. －13. [－1,2)∪(2 1. 16. 15. 2或－在中任意取两个不相等的由可知函数对称；关于直线【详解】恒成立；可知函数上单调递减，由对称，都有在区间实数性可知函数可得，则由在区间上单调递增，不妨设，即，解得，整理得，所以实数的取值范围或．是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17. （ 12分）【解答】 (1) 设等差数列{a}的公差为d.＋d＝4，?1?a＝3，??1?解得所以a＝n＋2 由已知得……………5分?4×3n d＝1，4ad＝18，n a＋???1?2n＝n·2，(1)可得b(2) 由nn32①，2＋…＋n×2 ＝＋…＋b1×2＋2×2＋3×＋所以T＝bb＋b nn2311＋n234n②，＋×2n×2××2T＝12＋2×2＋32＋…＋(n－1)nn＋12－21nn1＋1＋＋n23n，n22①－②，得－T＝＋2＋＋…＋2－×2×(1－n)2－2＝×－＝n2n21－1＋n＋×－(n1)22. ……………12分＝T所以n（18. 122]，[10f(x) (1) 分）【解答】因为不等式≤的解集为，22. xf(x)，所以3a所以＝－＝－3x＋222－1x－1f(x)由≥，得23x－xx≤＋，1 解得≥x或≤x，12- 5 -1??21≥≤或xx|x.?2axg(x)＝2x＋＋3在区间的解集为1－xf(x)所以不等式≥??2??，）>0g（1??，2）>0g（?2，24>0a－，2解得－5<a< (1，2)上有两个不同的零点，则(2) 由题知函数a，<21<－?4－626)． (－5，－所以实数a的取值范围是，连接，）设的中点为19. （ 12分）【解答】（1为的中位线，为的中点，所以，且；则可得，且，中，在梯形，所以四边形是平行四边形，平面，，又，平面平面．的中点，连接，法二：设为为的中点，的中位线，所以，是所以平面，又，平面平面，，且，又在梯形中，所以四边形是平行四边形，，平面，又平面，- 6 -，平面，又所以平面平面，又平面，平面．2）设，又的中点为．（，平面因为平面，交线为，平面平面，，，又由．轴，轴，为即有两两垂直，如图，以点为轴建立坐标系．为原点，为，已知点设平面的法向量为：．的一个法向量为则有，，可得平面，可得：，- 7 -与平面．所成角的正弦值为所以直线1lnln f(1)1时，f′(1)＝分）【解答】 (1) f′(x)＝1x＋x·＝，x＋1，当x＝20. （ 12x1. －＝x在＝0，所以f(x)x＝1处的切线方程为y，1x－y＝??2，＝0联立得x＋(1－a)x＋1?2，－2y＝－x＋ax??2，由题意可知，Δ＝(1－a)－4＝01.或－所以a＝311????????ln，＋∞，0∈∈xf(x)f′(x)<0，单调递减，当时，(2) 由(1)知f′(x)＝当x＋1，x ee????时，f′(x)>0，f(x)单调递增．1111111????????????ln＋t＋＋tt ；＝f＝，即0<t≤－时，f(x)①当0<t<t＋≤????；＝f＝－f(x)②当0<t<<t＋，即－<t<时，min??????ee444441111111??eeee44111ln t.min etf(t)＝f(x)③当≤t<t＋，即t≥时，＝min ee41111?????????ln＋＋tt，－，0<t≤????e444?1111?，－，－<t< 综上，＝f(x)min eee4?1?ln.t≥tt，e f(50)万元，所以50万元，则乙大投棚入150（ 12分）【解答】因为甲大棚投入21.1277.5.＝＋120＋2×50×＝80＋1504411意得依题2x＋250＋f(x)知＝80＋(20042x＋－x)＋120＝－x，4(2) 由题44，20x≥?1?＝－180，故f(x)x?20≤≤≤180)．x＋42x＋250(20≤x?420x ≥200－??，∈＝x6[25，5]t令1122f(x)时，x＝128＝＋82)282，当t，即82－＝－＋＋＝－则f(t)t42t250(t max44 282，＝万元．28272128所以投入甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大，且最大收益为- 8 -cosθ，x＝2??22，所4(y－2)＝由参数方程22. （ 10分）【解答】 (1) 得普通方程x＋?sin，＝2θ＋2y??2222sincossinsin4θ.θ＝0以极坐标方程为ρ，即θ＋ρθ－4ρρ＝sinθ.C的极坐标方程为ρ＝4故曲线ππOMMρCO2.＝＝(ρ∈(2) 由直线l：θ＝R)与曲线＝的交点为4sin，，得M1662π2πONONρClθρ因为∠2，得＝3.＝又直线：＝(R)∈与曲线4sin的交点为，＝N233πMON，＝211ONOMS3.2＝××＝所以·＝223OMN△22- 9 -。
广东省揭阳市第三中学2020届高三下学期第三次测试数学(理)试题 Word版含解析
广东揭阳第三中学2020届疫情下第三次试（理科数学）试题高三数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则()R A B =（ ） A. {}01x x <≤B. {}01x x <<C. {}12x x ≤<D.{}02x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可. 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =≥(){}{}{}02101R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题. 2.i 是虚数单位，复数313iz i=+，则（ ）A. 1322z -=B. 34z =C. 3322z =- D.3344z i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可. 【详解】333333444(13)(13)i i i z i i +===++-1122z -==，||2z == 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题.3.已知,,a b c 满足312346,log 4,,5a b c ===则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数与对数的性质，即可进行判断.【详解】3123464,1,log 42,1,015a abc c =>>==-=<<<，故a c b >> 故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题. 4.二项式261()2x x-的展开式中3x 的系数为（ ） A. 52-B.52C.1516D. 316-【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开的通项，求解即可.【详解】通项为()()6212316611122r rrr rr rr T C x C xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,1)-，则它的离心率为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，得出12b a =，再结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为b y x a=±点()2,1-在渐近线上，所以12b a =，由2e == 故选：D【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.6.某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有（ ） A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种【答案】A 【解析】 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用组合的方法计算，最后利用分步乘法计数原理，将结果相乘，即可得出答案.【详解】第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法； 第三步，为乙地选1名老师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种 故选：A【点睛】本题主要考查简单组合问题的求解，属于中档题.7.函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断.【详解】因为()33()()()cos cos()x x x x f x f x x x x x ----==-=--+-+- 又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B 和D.又21124f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故排除C . 故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可.8.若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y x -的最大值为（ ）A. 72-B. 52-C. 32-D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】画出平面区域，结合目标函数几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4y x-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.不妨取84(,)33B 时，4y x -取最大值443183-=- 故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）A. 1162DF AB AC =-- B. 1134DF AB AC =-- C. 3142DF AB AC =-+D. 1126DF AB AC =--【答案】A 【解析】 【分析】设AB AF λ=，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-，即可得出答案.【详解】设AB AF λ=，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+ 因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A. 47a =B. 16240S =C. 1019a =D.20381S =【答案】D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【详解】当2n 时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+．所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11.已知圆锥顶点为P ，底面的中心为O ，过直线OP 的平面截该圆锥所得的截面是面积为33 ）A. B. 3πC.D. 9π【答案】B 【解析】 【分析】根据正三角形的面积，得出圆锥的高为3，底面圆的直径为出答案.【详解】因为过直线12O O 的平面截该圆锥所得的截面是面积为设正三角形边长为a 2=，解得a =所以圆锥的高为3，底面圆的直径为所以该圆锥的体积为213332V ππ⎛=⨯⨯⨯= ⎝⎭． 故选：B【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积，属于中档题.12.已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题：（ ） ①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线π4x =对称 ③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[2,2]-其中所有正确的编号是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③【答案】C 【解析】 【分析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos 0x ≥，cos 0x <时，对应的最值，即可得出()f x 的值域.【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin2f x x x x x x x =+⋅=+函数π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π4π33f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．由于6πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3π26πf f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故排除②． 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin22sin2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确．当cos 0x ≥时，()2cos sin sin22sin cos sin22sin2f x x x x x x x x =+=+= 故它的最大值为2，最小值为2-当cos 0x <时，()2cos sin sin22sin cos sin20f x x x x x x x =+=-+=， 综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确． 故选：C【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写在．．．．试题卷上无效．．．．．．. 13.曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =- 【解析】 【分析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．【详解】∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1， 又∵切点坐标为（1，0）， ∴切线方程为y ＝x ﹣1． 故答案为y ＝x ﹣1．【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键．14.设△ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos cos sin b C c B a A +=，则A =__________.【答案】2π 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可.【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin B C C B A +=()3sin +sin B C A =，3sin sin A A =,()0,,sin 0,sin 1A A A π∈∴≠=，则2A π=故答案为2π 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.15.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知32=2+2a S ，43=2+2a S 则公比为q 为________. 【答案】3 【解析】 【分析】32=22a S +，43=2+2a S ，两式相减，即可得出公比.【详解】32=22a S +，43=2+2a S 以上相减可得433a a =，所以数列的公比为3q =， 故答案为3【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，属于基础题.16.已知函数())f x x =，若实数,a b 满足(1)()0f a f a ++=，则a =_______. 【答案】12- 【解析】 【分析】判断该函数的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】函数()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-则())lnf x x =为奇函数当0x ≥时，()0f x '=>，则函数()f x 在R 上单调递增 故()()()()()101f a f a f a f a f a ++=⇒+=-=-，1a a +=-，12a =- 故答案为12-【点睛】本题主要考查了函数单调性以及奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．．17.在△ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若22()3a c b ac +=+，点D 在边AB 上，且1BD =，DA DC =. （1）若BCD ∆CD 的长； （2）若AC =A ∠的大小. 【答案】（1；（2）18A π∠=或6A π∠=【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得出3B π=，再由三角形面积公式得出2BC =，最后利用余弦定理即可得出CD 的长；（2）利用正弦定理，化简得出cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用诱导公式得出sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可得出A ∠的大小.【详解】（1）又由()223a c b ac +=+可得222a c b ac +-=由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，0B π<<所以3B π=因为BCD1sin 12BC BD B BD ⋅==，所以2BC = BCD 中,由余弦定理，得22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 所以CD =（2）由题意得设DCA A θ∠=∠= △ADC 中，由正弦定理，()sin 2sin AC CD A A π=-得CD = ① 在△BCD 中，由正弦定理sin sin CD BD B DCB=∠ 即11sin sin 2sin 2333CDπππθπθ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ② 由①②可得cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由223ππθθ-=+，解得18πθ=由2,23ππθθπ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.6πθ=故18A π∠=或6A π∠=.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题. 18.在几何体ABCDE 中，2CAB π∠=，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，2AB AC BE ===，1CD =.（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；（2）求二面角A DE B--的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）2 2【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理以及线面平行的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC所以//CD BE又因为CD⊄平面ABE，BE⊂平面ABE，所以//CD平面ABEl=平面ABE平面ACD，CD⊂平面ACD，则//CD l又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE所以//l平面BCDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系因为2CAB π∠=，2AB AC BE ===，1CD =.所以2222BC AC AB =+=则()0,0,0C ，)2,2,0A,()0,22,0B ,()0,0,1D ,()0,22,2E设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =()2,2,1AD =--,()0,22,1DE =则0n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,20x z z -+=+= 令22z =，则3,1xy，所以(3,1,22n =-设平面BCDE 的法向量为()1,,n x y z =()0,0,1CD =,()0,22,0CB =则110n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,220z y ==取1x =，则0y z ==所以()11,0,0n =1112cos ,2n n n n n n ⋅== 所以12,2sin n n =，故二面角A DE B --的正弦值22【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法求面面角，属于中档题.19.某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核. （1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =【解析】 【分析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出X 的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望()E X . 【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D , “该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知()45P D =，()()34P E P F == 由于C DEF DEF DEF =++()()2434334331111154544544P C P DEF DEF DEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18=； （2）X 可取0,1,2,3,4,5()211105480P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()241115420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121133254440P X C ==⨯⨯⨯= ()124133354410P X C ==⨯⨯⨯=，()213945480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()243955420P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()113399190123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.20.如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、 ，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ； （2）求MNF ∆面积的最大值. 【答案】（1）2413；（2）33【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线l 的方程，直线HG 的方程，进而得出2,013G ⎛⎫-⎪⎝⎭，由距离公式得出GF ； （2）设直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，0MNF S ∆=，当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-，联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理以及弦长公式，得出222414m m MN +⋅-=. 【详解】（1）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c-=-⇒-+= ∴12e =∴2c =, 22212b a c =-= ∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0- 直线l的方程为()184y x =+ 即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设1122,,M x y N x y ，()00,H x y则124813y y +=，123613y y = 所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=- 直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---=⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在 当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设1122,,M x y N x y()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+MN == 点F 到直线l的距离d ==1122MNFS MN d ∆=⋅==7216=≤=当且仅当=，即m =时（此时适合于△＞0的条件）取等号,所以当114k m ==±时，直线l为)814y x =±+时，MNF ∆面积取得最大值为【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21.已知函数()()1ln 1f x x x =++，()ln 1xg x e x -=++（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()h x f x g x =-，若()h x 的最小值为M ，证明：2211M e e--<<-. 【答案】（1）在0,上单调递增；（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而得出()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ ，结合()f x 的单调性，即可证明2211M e e--<<-. 【详解】(1)()()1ln 1ln ln 1f x x x x x x =++=++()1ln 1f x x x +'=+， 设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x -=++=-='()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增()()min 120m x m ==>，即0fx所以()f x 在0,上单调递增(2) ()()()()1ln ln ln xx h x f x g x x x ex x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++' ，设()ln 1x F x e x -=++()11x x xe x F x e x xe ='-=-+， 设()xG x e x =- ()10x G x e ='->，所以()G x 在0,上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在0,上单调递增()()12120,10e e F eeF ee------=>=-<所以()F x 在0,上恰有一个零点()210,x e e--∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ 由（1）知()0f x 在0,上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=- 所以2211M e e--<<-【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22.在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（Ⅰ）280x y -+=，24y x =【解析】 【分析】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得普通方程．由曲线C 的参数方程为22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得曲线C 直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y ，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：d ==【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x tt ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得：280x y -+=． 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=．由曲线C的参数方程为22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得：24y x =．所以曲线C 直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则45d ===当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l ． 【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明．【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++， 即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++， 故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=， 所以3a b c++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．努力的你，未来可期!精品。
2020届广东省揭阳市第三中学高三下学期第三次测试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省揭阳市第三中学高三下学期第三次测试数学（理）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则()R A B =I ð（ ） A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B【解析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可. 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =≥(){}{}{}02101R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<ð故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题. 2．i是虚数单位，复数z =）A．122z -=B．4z =C．322z =- D．344z =+ 【答案】D【解析】根据复数的除法运算，模长公式求解即可. 【详解】34z ===+1122z -==，||2z == 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义，属于基础题.3．已知,,a b c 满足312346,log 4,,5a b c ===则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据指数与对数的性质，即可进行判断. 【详解】3123464,1,log 42,1,015a abc c =>>==-=<<<，故a c b >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小，属于中档题. 4．二项式261()2x x-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．52-B ．52C ．1516D ．316-【答案】A【解析】根据二项式展开的通项，求解即可. 【详解】 通项为()()6212316611122r rrr r r rr T Cx C xx --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1233r -=，则3r =，()333334615122T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.5．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(2,1)-，则它的离心率为（ ） ABCD【答案】D【解析】根据双曲线的性质，得出12b a =，再结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，其渐近线为b y x a=±点()2,1-在渐近线上，所以12b a =，由251b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，属于中档题.6．某学校开展脱贫攻坚社会实践走访活动，学校安排了2名教师带队，4名学生参与，为了调查更具有广泛性，将参加人员分成2个小组，每个小组由1名教师和2名学生组成，到甲、乙两地进行调查，不同的安排方案共有（ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种【答案】A【解析】将任务分三步完成，在每步中利用组合的方法计算，最后利用分步乘法计数原理，将结果相乘，即可得出答案. 【详解】第一步，为甲地选一名老师，有122C =种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有246C =种选法； 第三步，为乙地选1名老师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有26112⨯⨯=种 故选：A 【点睛】本题主要考查简单组合问题的求解，属于中档题.7．函数()3cos x x f x x x -=+在-22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，以及特殊值即可判断. 【详解】因为()33()()()cos cos()x x x xf x f xx x x x----==-=--+-+-又定义域关于原点对称，故该函数为奇函数，排除B和D.又21124fππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，故排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数图像的选择，通常结合函数的性质，以及特殊值进行判断即可. 8．若,x y满足4,20,24,x yx yx y+≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4yx-的最大值为（）A．72-B．52-C．32-D．1-【答案】D【解析】画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示4yx-表示该平面区域中的点(),x y与(0,4)A确定直线的斜率由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB上任意一点时，取得最大值. 不妨取84(,)33B时，4yx-取最大值443183-=-故选：D【点睛】本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.9．在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 则（ ）A ．1162DF AB AC =--u u u r u u ur u u u rB ．1134DF AB AC =--u u u r u u ur u u u rC ．3142DF AB AC =-+u u u r u u ur u u u rD ．1126DF AB AC =--u u u r u u ur u u u r【答案】A【解析】设AB AF λ=u u u r u u u r，由平行四边形法则得出144AE AF AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，再根据平面向量共线定理得出得出=3λ，由DF AF AD =-u u u r u u u r u u u r，即可得出答案. 【详解】设AB AF λ=u u u r u u u r ，111124444AE AB A A C A AC D F λ==+=+u u u r u u u u u ur u u u r r u u u r u u u r因为C E F 、、三点共线，则1=144λ+，=3λ 所以1111132262DF AF AD AB AB AC AB AC =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r故选：A【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =且对于任意1n >，*n N ∈满足()1121n n n S S S +-+=+，则（ ）A ．47a =B ．16240S =C ．1019a =D ．20381S =【答案】D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【详解】当2n …时，111112(1)22n n n n n n n n n S S S S S S S a a +-+-++=+⇒-=-+⇒=+． 所以数列{}n a 从第2项起为等差数列，1,122,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…，所以，46a =，1018a =． 21()(1)(1)12n n a a n S a n n +-=+=-+，1616151241S =⨯+=，2020191381S =⨯+=．故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．11．已知圆锥顶点为P ，底面的中心为O ，过直线OP 的平面截该圆锥所得的截面是面积为 ）A ．B ．3πC ．D ．9π【答案】B【解析】根据正三角形的面积，得出圆锥的高为3，底面圆的直径为根据圆锥体积公式即可得出答案. 【详解】因为过直线12O O 的平面截该圆锥所得的截面是面积为设正三角形边长为a 2=，解得a =所以圆锥的高为3，底面圆的直径为所以该圆锥的体积为21333V ππ=⨯⨯⨯=⎝⎭． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积，属于中档题.12．已知函数()2(cos cos )sin f x x x x =+⋅，给出下列四个命题：（ ）①()f x 的最小正周期为π ②()f x 的图象关于直线π4x =对称③()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 ④()f x 的值域为[2,2]-其中所有正确的编号是（ ） A ．②④ B ．①③④C ．③④D ．②③【答案】C【解析】举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论cos 0x ≥，cos 0x <时，对应的最值，即可得出()f x 的值域. 【详解】()()2cos cos sin 2cos sin sin2f x x x x x x x =+⋅=+函数π3f ⎛⎫⎪⎝⎭4π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π4π33f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，故①错误．由于6πf ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴3π26πf f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故排除②． 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()2cos sin sin22sin2f x x x x x =+=，单调递增，故③正确．当cos 0x ≥时，()2cos sin sin22sin cos sin22sin2f x x x x x x x x =+=+= 故它的最大值为2，最小值为2-当cos 0x <时，()2cos sin sin22sin cos sin20f x x x x x x x =+=-+=， 综合可得，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，故④正确． 故选：C 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.二、填空题13．曲线ln y x =在点()10，处的切线方程为__________. 【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程． 【详解】 ∵y ＝lnx ，∴1'y x=， ∴函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线斜率为1， 又∵切点坐标为（1，0）， ∴切线方程为y ＝x ﹣1． 故答案为：y ＝x ﹣1． 【点睛】本题考查了函数导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键． 14．设△ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若2cos cos sin b C c B a A +=，则A =__________.【答案】2π【解析】利用正弦定理求解即可. 【详解】2cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理得3sin cos sin cos sin B C C B A +=()3sin +sin B C A =，3sin sin A A =,()0,,sin 0,sin 1A A A π∈∴≠=Q ，则2A π=故答案为2π 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.15．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知32=2+2a S ，43=2+2a S 则公比为q 为________. 【答案】3【解析】32=22a S +，43=2+2a S ，两式相减，即可得出公比. 【详解】32=22a S +，43=2+2a S 以上相减可得433a a =，所以数列的公比为3q =，故答案为3 【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，属于基础题.16．已知函数())f x x =，若实数,a b 满足(1)()0f a f a ++=，则a =_______.【答案】12-【解析】判断该函数的奇偶性以及单调性，即可求解. 【详解】函数()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-则())lnf x x =为奇函数当0x ≥时，()0f x '=>，则函数()f x 在R 上单调递增 故()()()()()101f a f a f a f a f a ++=⇒+=-=-，1a a +=-，12a =- 故答案为12- 【点睛】本题主要考查了函数单调性以及奇偶性的应用，属于中档题.三、解答题17．在△ABC 中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若22()3a c b ac +=+，点D 在边AB 上，且1BD =，DA DC =. （1）若BCD ∆CD 的长； （2）若AC =A ∠的大小. 【答案】（1（2）18A π∠=或6A π∠=【解析】（1）根据余弦定理得出3B π=，再由三角形面积公式得出2BC =，最后利用余弦定理即可得出CD 的长；（2）利用正弦定理，化简得出cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用诱导公式得出sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用正弦函数的性质，即可得出A ∠的大小.【详解】（1）又由()223a c b ac +=+可得222a c b ac +-=由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，0B π<<所以3B π=因为BCD V1sin 12BC BD B BD ⋅==，所以2BC =在BCD V 中,由余弦定理，得22212cos 4122132CD BC BD BC BD B =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 所以CD =（2）由题意得设DCA A θ∠=∠= 在△ADC 中，由正弦定理，()sin 2sin AC CD A A π=-得CD = ① 在△BCD 中，由正弦定理sin sin CD BDB DCB=∠ 即11sin sin 2sin 2333CDπππθπθ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ② 由①②可得cos sin 23πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭即sin sin 223ππθθ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由223ππθθ-=+，解得18πθ=由2,23ππθθπ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得.6πθ=故18A π∠=或6A π∠=.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.18．在几何体ABCDE 中，2CAB π∠=，CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，2AB AC BE ===，1CD =.（1）设平面ABE 与平面ACD 的交线为直线l ，求证：l ∥平面BCDE ； （2）求二面角A DE B --的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2）22【解析】（1）利用线面平行的判定定理以及线面平行的性质定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）因为CD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC 所以//CD BE又因为CD ⊄平面ABE ，BE ⊂平面ABE ， 所以//CD 平面ABEl =平面ABE I 平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，则//CD l又l ⊄平面BCDE ，CD ⊂平面BCDE 所以//l 平面BCDE（2）建立如图所示的空间直角坐标系因为2CAB π∠=，2AB AC BE ===，1CD =.所以2222BC AC AB =+=则()0,0,0C ，)2,2,0A,()0,22,0B ,()0,0,1D ,()0,22,2E设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =v()2,2,1AD =--u u u r ,()0,22,1DE =u u u r 则0n AD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r即220,20x z z +=+=令22z =，则3,1x y ==-，所以(3,1,22n =-r设平面BCDE 的法向量为()1,,n x y z =r()0,0,1CD =u u u r ,()0,22,0CB =u u u r 则1100n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r 即0,20z ==取1x =，则0y z ==所以()11,0,0n =v1112cos ,n n n n n n ⋅==r r r rr r所以12,sin n n =r r，故二面角A DE B --的正弦值22 【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及利用向量法求面面角，属于中档题.19．某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立.现对小明同学进行以上三次射击的考核. （1）求小明同学恰好命中一次的概率；（2）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望()E X . 【答案】（1）18；（2）分布列见解析，()195E X = 【解析】（1）根据事件的独立性以及互斥事件的性质，求解即可；（2）得出X 的可能取值，并得出相应的概率，得出分布列，即可得出数学期望()E X . 【详解】（1）记：“小明恰好命中一次”为事件C ，“小明射击A 靶命中”为事件D , “该射手第一次射击B 靶命中”为事件E ，“该射手第二次射击B 靶命中”为事件F ， 由题意可知()45P D =，()()34P E P F == 由于C DEF DEF DEF =++()()2434334331111154544544P C P DEF DEF DEF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18=； （2）X 可取0,1,2,3,4,5()211105480P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，()241115420P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()121133254440P X C ==⨯⨯⨯= ()124133354410P X C ==⨯⨯⨯=，()213945480P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()243955420P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭()113399190123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了事件独立性的应用以及求离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.20．如图，设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线：2a x c=-与x轴交于P 点，AB 为椭圆的长轴，已知8AB =，且2PA AF =，过P 点作斜率为k 直线l 与椭圆相交于不同的两点M N 、 ，（1）当14k =时，线段MN 的中点为H ，过H 作HG MN ⊥交x 轴于点G ，求GF ；（2）求MNF ∆面积的最大值. 【答案】（1）2413；（2）33【解析】（1）利用椭圆的性质得出椭圆方程，根据题意得出直线l 的方程，直线HG 的方程，进而得出2,013G ⎛⎫-⎪⎝⎭，由距离公式得出GF ； （2）设直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，0MNF S ∆=，当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =-，联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理以及弦长公式，得出222414m m MN +⋅-=，利用三角形面积公式，结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】（1）∵8AB =, ∴4a =，又∵2PA AF =，即()2222310aa a c e e c-=-⇒-+=∴12e =∴2c =, 22212b a c =-=∴椭圆的标准方程为2211612x y +=点P 的坐标为()8,0-，点F 的坐标为()2,0- 直线l 的方程为()184y x =+ 即48x y =-联立224811612x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得21348360y y -+=，设()()1122,,M x y N x y ，()00,H x y则124813y y +=，123613y y =所以12024213y y y +==，0024848481313x y =-=⨯-=- 直线HG 的斜率为4-，直线HG 的方程为24841313y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 令0y =，解得213x =-即2,013G ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22421313G F GF x x ⎛⎫=-=---=⎪⎝⎭（2）直线l 的方程为()8y k x =+，当0k =时，三角形不存在 当0k ≠时，设1m k=，直线l 的方程为8x my =- 联立22811612x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234481440m y my +-+=，设()()1122,,M x y N x y()()()2224843414457640m m m ∆=--+⨯=->，解得2m >或2m <-1224834m y y m +=+，12214434y y m =+MN=234m=+点F到直线l的距离d==1122MNFS MN d∆=⋅==7216=≤=当且仅当=，即m=△＞0的条件）取等号,所以当1km==时，直线l为)8y x=+时，MNF∆面积取得最大值为【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及三角形面积问题，属于中档题.21．已知函数()()1ln1f x x x=++，()ln1xg x e x-=++（1）讨论()f x的单调性；（2）设()()()h x f x g x=-，若()h x的最小值为M，证明：2211Me e--<<-.【答案】（1）在()0,+?上单调递增；（2）见解析【解析】（1）利用导数证明单调性即可；（2）利用导数证明()h x在()00,x上单调递减，在(),x+∞上单调递增，从而得出()0000001ln ln ln1xM h x x x x x xe==-=++，()21,x e e--∈，结合()f x的单调性，即可证明2211Me e--<<-.【详解】(1)()()1ln1ln ln1f x x x x x x=++=++()1ln1f x xx+'=+，设()()221111ln 1,x m x x m x x x x x-=++=-=' ()01m x x >'⇒>；()001m x x <⇒<<'所以()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+?上单调递增()()min 120m x m ==>，即()0f x ¢>所以()f x 在()0,+?上单调递增(2) ()()()()1ln ln ln xx h x f x g x x x ex x x e --=-=+--=-()ln 1x h x e x -=++' ，设()ln 1x F x e x -=++()11x x xe x F x e x xe='-=-+， 设()xG x e x =- ()10x G x e ='->，所以()G x 在()0,+?上单调递增()()010G x G >=>，即()0F x '>，所以()F x 在()0,+?上单调递增()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+?上恰有一个零点()210,x ee --∈且()00ln 10*x e x -++=()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增()00000001ln ln ln 1x M h x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈ 由（1）知()0f x 在()0,+?上单调递增所以()()()2102211f e f x f e e e ----=<<=- 所以2211M e e--<<-【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性，以及利用导数证明不等式，属于较难题.22．在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（Ⅰ）280x y -+=，24y x =（Ⅱ【解析】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得普通方程．由曲线C的参数方程为22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得曲线C 直角坐标方程．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．利用点到直线的距离公式可得：d ==，利用二次函数的单调性即可得出最小值．【详解】（Ⅰ）由直线l 的参数方程为8(2x t t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数t ，可得：280x y -+=． 所以直线l 直角坐标方程为280x y -+=．由曲线C的参数方程为22(x s s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．消去参数s ，可得：24y x =．所以曲线C 直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）设点(,)P x y，则22(x ss y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）．则d ===当s =4x =，4y =，所以点P 到直线l． 【点睛】本题考查了参数方程、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23．设a 、b 、c 均为正数，（Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅱ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）运用重要不等式222a b ab +…，222b c bc +…，222c a ca +…，累加可得证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论和三个数的完全平方公式，整理可得证明． 【详解】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得 222a b ab +…，222b c bc +…，222c a ca +…， 以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++…， 即222a b c ab bc ca ++++…；（Ⅱ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++…，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=…，所以a b c ++ 【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题．。
2020届广东省揭阳市第三中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(PDF版)
=
1
……6
分
2ac 4
（II）由（I）知 b2 =2ac. 因为 B= 90o ，由勾股定理得 a2 c2 =b2 .
故 a2 c2 =2ac ，的 c=a= 2 . 19.（本题满分 12 分）
所以△ABC 的面积为 1. ………………12 分
（Ⅰ）∵{an}是公差 d≠0 的等差数列，且 a4+a6=26，∴a5=13，又∵a2，a6，a22 成等比数列， ∴（13+d）2=（13﹣3d）（13+17d），解得：d=3 或 d=0（舍），∴an=a5+（n﹣5）d=3n﹣2；
揭阳三中 2019―2020 学年度第一学期高三级第 1 次月考
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1、设集合 M={1,2,3}，N={x| log2 x 1），则 M N =( ) A．{3} B．{2,3} C．{1,3} D．{1,2,3} 2、设 f (x) 是 R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
20、（本题满分 12 分）
有编号为 D1, D2,L , D10 的 10 个零件，测量其直径（单位：mm），得到下面数据： 其中直径在区间（148，152]内的零件为一等品．
页
3第
编号 D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
直径 151 148 149 151 149 152 147 146 153 148 （1）从上述 10 个零件中，随机抽取 2 个，求这 2 个零件均为一等品的概率；
则
广东省揭阳三中届高三数学上学期第二次月考试卷(含解析)【含答案】
2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．{3} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3}2．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数3．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.44．设集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，2]5．若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）e x﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣16．函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[3，+∞）7．如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2，四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．B．C．D．8．函数f（x）=4lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C． D．9．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”10．如图所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．11．函数的零点x0属于区间（）A．B．C．D．12．设命题p：函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，命题q：函数y=lg（x2+2x﹣c）的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．R二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．函数的定义域为．（用区间表示）14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）= ．15．设g（x）=，则g（g（））= ．16．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．求下列各式的值．（1）（）+﹣（）+3•e0；（2）；（3）lg25+lg2•lg50．18．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．19．某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）20．设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．21．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？2015-2016学年广东省揭阳三中高三（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={1，2，3}，N={x|log2x＞1），则M∩N=（）A．{3} B．{2，3} C．{1，3} D．{1，2，3}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：log2x＞1=log22，即x＞2，∴N={x|x＞2}，∵M={1，2，3}，∴M∩N={3}．故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．f（x）f（﹣x）是奇函数B．f（x）|f（﹣x）|是奇函数C．f（x）﹣f（﹣x）是偶函数 D．f（x）+f（﹣x）是偶函数【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令题中选项分别为F（x），然后根据奇偶函数的定义即可得到答案．【解答】解：A中令F（x）=f（x）f（﹣x），则F（﹣x）=f（﹣x）f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）f（﹣x）为偶函数，B中F（x）=f（x）|f（﹣x）|，F（﹣x）=f（﹣x）|f（x）|，因f（x）为任意函数，故此时F（x）与F（﹣x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）|f（﹣x）|的奇偶性不确定，C中令F（x）=f（x）﹣f（﹣x），令F（﹣x）=f（﹣x）﹣f（x）=﹣F（x），即函数F（x）=f（x）﹣f（﹣x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（﹣x），F（﹣x）=f（﹣x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（﹣x）为偶函数，故选D．【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算．3．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选C．【点评】此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题．4．设集合M={x|﹣1≤x＜2}，N={x|x﹣k≤0}，若M∩N≠∅，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[﹣1，+∞）C．（﹣1，+∞） D．[﹣1，2]【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N的解集，然后根据集合M和N的交集不为空即两个集合有公共元素，得到k的取值范围．【解答】解：集合N的解集为x≤k，因为M∩N≠∅，得到k≥﹣1，所以k的取值范围是[﹣1，+∞）故选B【点评】本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．5．若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y=f（﹣x）e x﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）e x+1 D．y=f（x）e x﹣1【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正确；B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B错误；C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正确；D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D错误；故选：A．【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．6．函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．[﹣3，3] C．（﹣∞，3] D．[3，+∞）【考点】函数的单调性及单调区间；指数函数综合题．【分析】将原函数分离成两个简单函数y=，z=x2﹣6x+5，根据同增异减性可得答案．【解答】解：令z=x2﹣6x+5是开口向上的二次函数，x∈（﹣∞，3]上单调递减，x∈[3，+∞）上单调递增．则原函数可以写为：y=，z=x2﹣6x+5因为y=单调递减故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）故选D．【点评】本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．7．如图的曲线是幂函数y=x n在第一象限内的图象．已知n分别取±2，四个值，与曲线c1、c2、c3、c4相应的n依次为（）A．B．C．D．【考点】幂函数图象及其与指数的关系．【专题】数形结合．【分析】由题中条件：“n取±2，±四个值”，依据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象特征可得．【解答】解：根据幂函数y=x n的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n=2，曲线c2的n=，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n=，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选A．【点评】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．8．函数f（x）=4lnx﹣x2的大致图象是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求导，从而可求得函数f（x）=4lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=4lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣2x=由f′（x）＞0得，0＜x＜；f′（x）＜0得，x＞；∴f（x）=4lnx﹣x2，在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；∴x=时，f（x）取到极大值．又f（）=2（ln2﹣1）＜0，∴函数f（x）=4lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．9．下列有关命题的说法中错误的是（）A．若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题B．“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C．“”的必要不充分条件是“”D．若命题p：“∃实数x使x2≥0”，则命题¬p为“对于∀x∈R都有x2＜0”【考点】全称命题；复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】A：结合条件“p或q”为假命题判断p、q的情况，由此即可做出判断．B：分别判断“x=1”⇒“x≥1”与“x≥1”⇒“x=1”的真假，进而根据充要条件的定义可得答案．C：分别判断“”⇒“”与“”⇒“”的真假，再根据充分必要条件进行判断；D：由“∃实数x，使x2≥0”，根据特称命题的否定为一个全称命题，结合特称命题“∃x∈A，P（A）”的否定为“x∈A，非P（A）”，可得答案．【解答】解：对于A：由题意可知：“p或q”为假命题，∴p、q中全为假，正确；B：当“x=1”时“x≥1”成立，即“x=1”是“x≥1”充分条件当“x≥1”成立时，x＞1或x=1，即“x=1”不一定成立，即“x=1”是“x≥1”不必要条件“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件，正确；C：∵“”不能⇒“”，如x=．反之一定能推出，∴“”的充分不必要条件是“”，故C错；D：命题：“∃实数x使x2≥0”为特称命题，其否定是一个全称命题，即命题：“∃实数x使x2≥0”的否定为“∀x∈R，x2＜0”正确．故选C．【点评】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想．值得同学们体会反思．10．如图所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】综合题；压轴题．【分析】由已知中（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，根据扇形面积公式及三角形面积公式，我们易求出f（x）的解析式，然后利用特值法，分别判断不同区间上函数图象与直线y=x 的关系，即可得到答案．【解答】解：如图所示，单位圆中的长为x，f（x）表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍扇形OAB的面积为，三角形ABC的面积为，弓形面积为则f（x）=x﹣sinx，f（π）=π∴（1）0≤x≤π，sinx≥0，f（x）=x﹣sinx≤x，此时f（x）的图象在y=x的下方（2）π＜x≤2π，sinx≤0，f（x）=x﹣sinx≥x，此时f（x）的图象在y=x的上方观察四个选项，只有D符合，故选D【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据已知计算出函数的解析式，从而分析函数的性质及图象表象是解答本题的关键．11．函数的零点x0属于区间（）A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得 f（）＞0，f（）＜0，可得f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间．【解答】解：由于幂函数为（0，+∞）上的增函数，指数函数为R上的减函数，则f（）=＞0，f（）=＜0，故f（1）f（2）＜0，根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为（1，2），故答案为：B【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，由函数的解析式求函数的值，属于基础题．12．设命题p：函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，命题q：函数y=lg（x2+2x﹣c）的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．[﹣1，+∞）D．R【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】先求出命题p和命题q，然后根据命题p、q的取值范围和命题p、q有且仅有一个正确，来确定c的取值范围．【解答】解：∵命题p：函数y=lg（x2+2x﹣c）的定义域为R，∴x2+2x﹣c＞0的解题为R，∴△=4+4c＜0，∴c＜﹣1．即命题p：c＜﹣1．∵函数y=lg（x2+2x﹣c）的值域为R，∴x2+2x﹣c能取到所有大于零的值这就要求抛物线t=x2+2x﹣c的值域包括t＞0这一范围由于其开口向上，只需判别式大于等于零所以4﹣4c≥0，∴c≤1．即命题q：c≤1．∵命题p、q有且仅有一个正确，∴c的取值范围为c＜﹣1．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．函数的定义域为[1，+∞）．（用区间表示）【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由二次根式的定义可知log3x≥0，结合对数函数的性质可推导出函数的定义域．【解答】解：由题设条件知log3x≥0解得x≥1．∴函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查对数函数的特点，解题时要注意等于0的情况，属于基础题．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）= ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题．【分析】可设幂函数y=f（x）=xα，由题意可求得α的值，从而可得f（2），可得答案．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵其图象过点，∴f（）==，∴α=．∴f（2）==，∴log2f（2）=log2=，故答案为：．【点评】本题考查幂函数的概念与解析式，求得α的值是关键，考查待定系数法与计算能力，属于基础题．15．设g（x）=，则g（g（））= ．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．【解答】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=﹣ln2＜0，∴g（g（））=g（﹣ln2）=e﹣ln2==2﹣1=．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．16．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为y=13×1.01x，x∈N*．【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】原来人口约13亿，依次写出一年后的人口，二年后的人口，归纳得出经过x年后我国人口数函数解析式．【解答】解：原来人口约13亿，一年后的人口约：13×（1+1%），二年后的人口约：13×（1+1%）×（1+1%）=13×（1+1%）2，等等，依此类推，则函数解析式y=13×1.01x，x∈N*．故答案为：y=13×1.01x，x∈N*【点评】此类题，常可构建函数y=N（1+p）x，这是一个应用范围很广的函数模型，在复利计算、工农业产值、人口数量等方面都涉及到此式，p＞0，表示平均增长率，p＜0，表示减少或折旧率．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．求下列各式的值．（1）（）+﹣（）+3•e0；（2）；（3）lg25+lg2•lg50．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．（2）（3）利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分12分）解：（1）（）+﹣（）+3•e0=+10+3=13．（2）==3．（3）lg25+lg2•lg50=lg25+lg•lg（10×5）=lg25+（1﹣lg5）•（1+lg5）=1．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．18．已知p：﹣2≤1﹣≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】先解出p，q下的不等式，再求出非p，非q，根据非p是非q的充分不必要条件即可得到限制m的不等式，解不等式即得m的取值范围．【解答】解：解得：﹣2≤x≤10，解x2﹣2x+1﹣m2≤0得：1﹣m≤x≤1+m；∴非p：x＜﹣2，或x＞10；非q：x＜1﹣m，或x＞1+m；∵“非p”是“非q”的充分而不必要条件，即由非p能得到非q，而由非q得不到非p；∴1﹣m≥﹣2，且1+m≤10，解得m≤3；∴实数m的取值范围为（﹣∞，3]．【点评】考查分式不等式，一元二次不等式的求解，充分条件的概念，必要条件的概念，充分不必要条件的概念，本题也可借助数轴求解．19．某工厂生产某种产品，已知该产品的产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为，且生产x吨的成本为R=50000+200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入﹣成本）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将实际问题转化成数学最值问题，利用导数求最值【解答】解：设生产x吨产品，利润为y元，则y=px﹣R=（50000+200x）=+24000x﹣50000（x＞0）+24000，由y'=0，得x=200∵0＜x＜200时y'＞0，当x≥200时y'＜0∴当x=200时，y max=3150000（元）答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元）【点评】本题考查建立数学模型，三次函数的最值用导数来求．20．设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．【考点】函数图象的作法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|的图象如图．（2）方程f（x）=5的解分别是和，由于f（x）在（﹣∞，﹣1]和[2，5]上单调递减，在[﹣1，2]和[5，+∞）上单调递增，结合函数的单调性求得A，从而得到A B的关系．（3）当x∈[﹣1，5]时，令g（x）=k（x+3）﹣（﹣x2+4x+5）进行整理配得=，根据k＞2，讨论对称轴与1的关系，分别求得g（x）min ＞0，从而得出结论．【解答】解：（1）如图f（x）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象如下：…（2）方程f（x）=5的解分别是和，由于f（x）在（﹣∞，﹣1]和[2，5]上单调递减，在[﹣1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此．…由于，∴B⊂A．…（3）当x∈[﹣1，5]时，f（x）=﹣x2+4x+5．g（x）=k（x+3）﹣（﹣x2+4x+5）=x2+（k﹣4）x+（3k﹣5）=，∵k＞2，∴．又﹣1≤x≤5，…①当，即2＜k≤6时，取，g（x）=．min∵16≤（k﹣10）2＜64，∴（k﹣10）2﹣64＜0，则g（x）min＞0．…②当，即k＞6时，取x=﹣1，g（x）min=2k＞0．由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[﹣1，5]．因此，在区间[﹣1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．…【点评】本题主要考查作函数的图象，集合间的关系，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．21．已知函数，f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．【解答】解：（Ⅰ），当a=1时，令导数大于0，可解得0＜x＜1，令导数小于0，可解得x＜0（舍）或x＞1故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+∞）（Ⅱ）得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2∴，由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴．【点评】此题是个难题．本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况．含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题．。
广东省揭阳市第三中学2020届高三物理上学期第二次月考试题(含解析)
广东省揭阳市第三中学2020届高三物理上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题：本题共8小题，每题6分，在每小题给出的四个选项中，第14～18题只有一个选项符合题目要求。
第19～21题有多选项题目要求。
全部答对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的的0分。
1.一个质点受两个互成锐角的力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF,则质点以后（）A. 一定做匀变速曲线运动B. 在相等的时间内速度的变化一定相等C. 可能做匀速直线运动D. 可能做变加速曲线运动【答案】AB【解析】试题分析：质点原来是静止的，在F1、F2的合力的作用下开始运动，此时质点做的是直线运动，运动一段时间之后，物体就有了速度，而此时将F1突然增大为F1+△F，F1变大了，它们的合力也就变了，原来合力的方向与速度的方向在一条直线上，质点做的是直线运动，把F1改变之后，合力的大小变了，合力的方向也变了，就不再和速度的方向在同一条直线上了，所以此后质点将做曲线运动，由于F1、F2都是恒力，改变之后它们的合力还是恒力，质点的加速度就是定值，所以在相等的时间里速度的增量一定相等，故质点是在做匀变速运动，故AB正确，CD错误．故选AB。
考点：曲线运动的条件【名师点睛】本题即考查了物体做曲线运动条件，还考查了学生对匀变速运动的理解；质点做直线运动还是曲线运动，就看合力的方向与速度的方向是否在同一条直线上，在同一条直线上，就做直线运动，不在一条直线上，质点就做曲线运动。
2.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率v A＝10m/s匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小v B为（）A.53m/s3B. 20 m/sC.203m/s3D. 5 m/s 【答案】C【解析】【详解】将B点的速度分解如图所示：则有：2Av v=，2cos30Bv v=︒，解得：203m/scos30ABvv==︒；故A，B，D错误；C正确；故选C.3.如图所示，在动摩擦因数为0.2的水平面上有一个质量为1kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成45°角的不可伸长的轻绳一端相连，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，取g＝10m/s2，则（）A. 水平面对小球的弹力仍为零B. 小球的加速度为0C. 小球的加速度为8m/s2D. 小球的加速度为10m/s2【答案】C【解析】【详解】A.在剪断轻绳前，小球受重力、绳子的拉力以及弹簧的弹力处于平衡，根据共点力平衡得，弹簧的弹力：F＝mg tan45°＝10×1＝10N，剪断轻绳的瞬间，弹簧的弹力仍然为10N，小球此时受重力、支持力、弹簧弹力和摩擦力四个力作用，水平面对小球的弹力不为零，故A 错误；BCD.小球所受的最大静摩擦力为：f ＝μmg ＝0.2×10N ＝2N ，根据牛顿第二定律得小球的加速度为：21028m /s 1F f a m --===．合力方向向左，故C 正确，BD 错误。
2020届广东省揭阳市第三中学高三毕业班下学期第三次模拟测试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省揭阳市第三中学2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟测试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R ，集合{}220A x x x =-<，{}10B x x =-≥，则()R A B =（ ） A. {}01x x <≤ B. {}01x x << C. {}12x x ≤< D. {}02x x <<【答案】B【解析】【分析】根据集合间的交集运算，补集运算求解即可. 【详解】{}02A x x =<<，{}1B x x =≥ (){}{}{}02101R A B x x x x x x ⋂=<<⋂<=<<故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.2.i 是虚数单位,复数z =,则（ ）A. 12z -=B. z =C. 32z =D.34z =+ 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算,模长公式求解即可.【详解】33444z+===+1122z-==,||2z==故选：D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及几何意义,属于基础题.3.已知,,a b c满足312346,log4,,5a b c===则（）A. a b c<< B. b c a<< C. c a b<< D.c b a<<【答案】B【解析】【分析】根据指数与对数的性质,即可进行判断.【详解】3123464,1,log42,1,015a abc c=>>==-=<<<,故a c b>>故选：B【点睛】本题主要考查了指数与对数比较大小,属于中档题.4.二项式261()2xx-的展开式中3x的系数为（）A.52- B.52C.1516D.316-【答案】A【解析】【分析】根据二项式展开的通项,求解即可.。
广东省揭阳市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题
广东省揭阳市第三中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( )A 1B ． 1C ．D ．2＋2．在ABC ∆中，已知120A =，a=b =B 的度数是（ ） A ．45或135 B ．135 C ．45 D ．75 3．等差数列{}n a 中，3581052a a a a +++=，则67a a +=（ ）A ．13B ．24C ．26D ．48 4．在等比数列{}n a 中，344a a +=，22a =，则公比q 等于（ ）．A ．2-B ．1或2-C ．1D ．1或2 5．等差数列{}n a 的前m 项的和是40，前2m 项的和是100，则它的前3m 项的和是（ ） A ．130 B ．180 C ．210 D ．260 6．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c b ac +-=，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若742S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 8．在△ABC 中，已知cos A cos B ＞sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 9．在等差数列{}n a 中，912162a a =+，则{}n a 的前11项和11S =（ ） A ．132 B ．66C ．48D ．24 10．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）A ．172B ．192C ．10D ．1211．已知数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2011a 为（ ） A ．17 B ．37 C ．57 D ．6712．设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=,若,,a b c 成等差数列且18CA CB ⋅=，则 c 边长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．在ABC ∆中，60ab =，ABC S ∆=ABC ∆c 的长为_____．14．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，BC =BA AC ⋅的值为______． 15．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______． 16．数列{}n a 的前n 项和n S ，若1(1)n a n n =+，则5S =_________.三、解答题17．在△ABC 中，内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． （1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值18．设{}n a 为等差数列，n S 是等差数列的前n 项和，已知262a a +=，1575S =. （1）求数列的通项公式n a ；（2）n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T . 19．在ABC 中,内角A ､B ､C 的所对的边是a ､b ､c ,若1cos cos sin sin 2B C B C -= （1）求A ；（2）若4a b c =+=,求ABC 的面积.20．如图，某河段的两岸可视为平行线l ，m ．有一名学生为了测量该河段的宽度，他在河段的一岸边选取相距120米的A 、B 两点，并观察对岸的点C ，测得75CAB ∠=，45CBA ∠=.（6sin 754=）（1）求线段BC 的长度；（2）求该河段的宽度．21．如果数列{}n a 的前n 项和为248n S n n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值.22．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()1n n b n N a =∈-． （1）求证数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．参考答案1．C【分析】由A 与B 的度数求出sin A 与sin B 的值，再由a 的值，利用正弦定理即可求出b 的值．【详解】 由正弦定理可知：a b sinA sinB=，b 42asinB sinA ===， 故选C ．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式．2．C【分析】由已知及正弦定理可求sin B ，根据大边对大角可求A ＞B ，从而可求B 的值． 【详解】解：∵120A =，a =b =∴由正弦定理得：sin sin b A B a ===，a b >，可得A B >，45B ︒∴=．故选C ．【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，属于基础题．3．C【分析】利用3105867==a a a a a a +++即可求出．解：因为358103105867()()2=52a a a a a a a a a a +++=+++=+（）， 所以6726a a +=．故选：C ．【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，是基础题．4．B【解析】分析：根据等比数列的通项公式将3a ，4a 用2a 和q 表示，可得关于q 的一元二次方程，解方程可得.详解：∵等比数列{}n a 中，344a a +=，22a =，∴234224a a q q +=+=，∴220q q +-=，解得1q =或2q =-，故选B ．点睛：本题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题． 5．B【分析】设前3m 项和为 x ，则40,10040,100x --成等差数列，解出 x 的值，即为所求．【详解】解：等差数列{}n a 的每m 项的和成等差数列，设前3m 项和为x ，则40,10040,100x --成等差数列，故2(10040)10040x -=-+，180x =．故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质，前n 项和的性质，得到 40,10040,100x --成等差数列，是解题的关键．6．B根据余弦定理结合题中等式，算出cos B ，结合三角形内角的范围，可得角B ．【详解】解：∵222a c b ac +-=， ∴由余弦定理，得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， 结合(0,)B π∈，可得3B π=． 故选B ．【点睛】本题给出三角形三边的平方关系，求B 的大小．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题．7．C【分析】充分运用等差数列前n 项和与某些特殊项之间的关系解题．【详解】解：n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， 则1747427774222a a a S a +=⨯=⨯==， 46a ∴=．故选：C ．【点睛】灵活运用等差数列的性质及前n 项和公式，可巧妙处理有关等差数列的求和问题． 8．C【解析】由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos A ·cos B －sin A sin B ＝cos (A ＋B )＞0，所以A ＋B ＜90°，所以C ＞90°，C 为钝角．故选C. 9．A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为912162a a =+，所以()11181162a d a d +=++，1512a d +=，612a =，()11111611111322a a S a +===，故选A.10．B【解析】 试题分析：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=. 考点：等差数列.11．D【分析】利用数列递推关系可得：3n n a a +=即可得出．【详解】 解：数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，167a = 21324652121,7733621,2,777a a a a a ∴=-=⨯-==-==⨯=3n n a a +∴=． 201167031167a a a ⨯+∴===． 故选D ．【点睛】 本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．B【解析】试题分析：∵sin cos sin cos sin 2A B B A C ⋅+⋅=，∴sin()sin 2sin cos A B C C C +==，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴1cos 1832CA CB ba ab π⋅===，∴ab=36,又,,a b c 成等差数列，∴2b=a+c ，又，三式联立解得a=b=c=6,故选B 考点：本题考查了正余弦定理的综合运用点评：熟练掌握正余弦定理及数量积的概念是解决此类问题的关键，属基础题 13．3【分析】由题意和三角形的面积公式可得sin C ，再由正弦定理可得c 值．【详解】解：∵ABC ∆中，60ab =，面积ABC S ∆=∴11sin 6022S ab C sinC ==⨯⨯=，解得2sinC =，∵ABC ∆∴由正弦定理可得2sin 32c R C ===． 故答案为3．【点睛】 本题考查正弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．14．32- 【解析】【分析】首先根据余弦定理求出cos A ，然后根据向量数量积的量，求出3||||cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=，进而求出BA AC ⋅即可． 【详解】 解：由余弦定理得222()()()94101cos 1242AB AC BC A AB AC+-+-===⋅，13||||cos 3242AB AC AB AC A ∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=， 32BA AC AB AC ∴⋅=-⋅=-． 故答案为：32-． 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及余弦定理解三角形，属于基础题． 15．【分析】由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解.【详解】由题意画出示意图，如图：可得30MAB ∠=，105MBA ∠=，60AB =，则1803010545M ∠=--=，在MAB △中，由正弦定理得sin sin MB AB MAB M =∠即122MB =，解得MB =故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了转化化归思想，属于基础题.16．56. 【解析】试题分析：，所以．考点：数列求和．17．（1）B =60°（2）a c ==【解析】（1)由正弦定理得【考点定位】本题主要考察三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 18．（1）n-3（2）21944n n - 【解析】试题分析：⑴∵21+d a a =，61+5d a a =,∴26126d=2a a a +=+①,又1511510575S a d =+=②，解方程①②，得1=-2a ，d=1，∴数列的通项公式n a =n-3； ⑵∵21522n S n n =-，∴1522n S n n =-，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为-2公差是12等差数列，∴前n 项的和为2(1)11922244n n n T n n n -=-+⨯=- 考点：本题考查了等差数列的通项及前n 项和点评：等差数列及其前n 项和是常考考题之一，要求学生掌握等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式，并熟练运用19．（1）23π.（2【分析】(1)根据余弦的差角公式化简,并利用三角形内角和为π利用诱导公式求解即可.(2)利用余弦定理可得4bc =,再代入面积公式求解即可.【详解】 (1)1cos cos sin sin cos()cos()cos 2B C B C B C A A π-=+=-=-= ∴1cos 2A =-,又∵(0,)A π∈,∴23A π=. (2)由余弦定理有： 22222()21cos 222b c a b c a bc A bc bc +-+--===-,又因为4a b c =+=, 16122211422bc bc bc bc --=-=-⇒=2,sin 3A A π=∴=, 11sin 422ABC S bc A ∴==⨯=△【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换在解三角形中运用,同时也考查了解三角形中余弦定理与面积公式的运用,属于基础题. 20．(1) 米 (2) 60+.【分析】（1）求出角ACB ∠，然后利用正弦定理，即可求出BC 的长度；（2）过点B 作对岸的垂线，垂线段的长度即为该河段的宽度，根据条件，解垂线形成的直角三角形即可．【详解】解：（1）∵75CAB ∠=，45CBA ∠=，∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=，由正弦定理得：sin sin AB BC ACB CAB=∠∠，∴120sin 75sin 60AB BC ===（米）. （2）如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=，sin BD BCD BC∠=，∴(sin 45602BD BC ==⋅=+∴该河段的宽度为60+.【点睛】 本题考查正弦定理的实际应用，另外正确作出辅助线形成直角三角形是解题的关键． 21．(1) 249n a n =- (2) -576.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-，即可求出2n ≥时，数列{}n a 的通项公式，然后检验1a ，最终可得结果；（2）利用n S 的二次函数性质可求得其最小值．【详解】解：（1）当1n =时，1114847a S ==-=-，当2n ≥时，()()()221481481n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦249n =-， 经检验，147a =-满足此式.∴249n a n =-.（2）∵()224824576n S n n n =-=--，∴当24n =时，n S 取得最小值-576．【点睛】本题（1）主要考查了利用数列的递推公式1n n n a S S -=-求解数列的通项公式，（2）主要考查了求解数列和的最小值问题，关键是将其转化为二次函数的最值问题，难度不大．22．（1）见解析；（2）最大项为43a =，最小项为31a =-【分析】（1）根据等差数列的定义，证明1n n b b +-是常数即可；（2）根据数列{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，即得.【详解】（1）由*112(2,)n n a n n N a -=-≥∈得*112()n na n N a +=-∈， 1111111111121n n n n n n b b a a a a ++-=-=-=-----，又152b =-， 所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列. （2）17(1)2n b b n n =+-=-，121127n n a b n ∴=+=+-． 13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >， 故数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-.【点睛】本题考查等差数列的定义，以及求数列的最大项和最小项，是基础题.。
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揭阳市第三中学2020届高三级第一学期第二次阶段考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |－2<x ≤2}，则A ∩B 等于( )A. {x |－1≤x ≤4}B. {x |－2≤x ≤4}C. {x |－2≤x ≤1}D. {x |－1≤x ≤2}2.设x ∈R ，则“x 2＋2x －3>0”是“x <－3”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x －7x ＋2b (b 为常数)，则f (－2)等于( )A.6B. －6C.4D.－4 4.若a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则 ( )A. c >a >bB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 5. 函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象为( )A B C D6. 函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 7. 设函数.32()(1)f x x a x ax =+-+若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =C ．2y x =D ．y x =-8. 若函数f(x)＝2x 2－kx ＋5在区间［5，8］上是单调函数，则k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，20］B ．（20，32）C ．(－∞，20]∪[ 32，＋∞)D ．[32，＋∞) 9.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）A. -4B. -2C. 0D. 2 10.若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ）A. B. 2 C. D. 511.已知函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为6，则数对(a ，b)为( ) A . (－2，5) B . (－19，4) C . (4，－19) D . (－2，5)或(4，－19)12. 已知函数，则方程=0实根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域．．．．．．．．．．答题．．.） 13.函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域为_________________． 14.已知函数f(x)＝ln (1＋x 2－x)＋1，f(a)＝3，则f(－a)＝________． 15.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝________.16.已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 17.（ 12分）在等差数列{a n }中，a 2＝4，前4项和为18.(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设，求数列{b n }的前n 项和T n .18. （ 12分）已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋2，a ∈R.(1) 若不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2) 若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．19. （ 12分）如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．20. （ 12分）已知函数f(x)＝x ln x ，g(x)＝－x 2＋ax －2.(1) 若曲线f(x)＝x ln x 在x ＝1处的切线与函数g(x)＝－x 2＋ax －2也相切，求实数a 的值； (2) 求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋14(t>0)上的最小值． 21. （ 12分） 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a(单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？ 22. （ 10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求曲线C 的极坐标方程；(2) 若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R)，θ＝2π3(ρ∈R)，设直线l 1，l 2与曲线C的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．揭阳市第三中学2020届高三级第一学期第二次阶段考试高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.D2. B3. A4.D5. A6.B7.B8. C9.C 10. B 11.D 12.B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. [－1,2)∪(2，＋∞) 14. －115. 2或－1. 16.【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17. （ 12分）【解答】 (1) 设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，4a 1＋4×32d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝n ＋2 ……………5分 (2) 由(1)可得b n ＝n·2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1 ②，①－②，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2－2n ＋11－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2. ……………12分18. （ 12分）【解答】 (1) 因为不等式f(x)≤0的解集为[1，2]，所以a ＝－3，所以f(x)＝x 2－3x ＋2. 由f(x)≥1－x 2，得1－x 2≤x 2－3x ＋2， 解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f(x)≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤12或x ≥1.(2) 由题知函数g(x)＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，g （2）>0，1<－a4<2，a 2－24>0，解得－5<a<－26，所以实数a 的取值范围是(－5，－26)． 19. （ 12分）【解答】（1）设的中点为，连接，为的中点，所以为的中位线，则可得，且； 在梯形中，，且，，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面．法二：设为的中点，连接，为的中点，所以是的中位线，所以，又平面，平面，平面，又在梯形中，，且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，又，所以平面平面，又平面，平面．（2）设的中点为，又．因为平面平面，交线为，平面，平面，又由，，．即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．已知点，设平面的法向量为：． 则有，可得平面的一个法向量为，，可得：，所以直线与平面所成角的正弦值为．20. （ 12分）【解答】 (1) f′(x)＝ln x ＋x·1x ＝ln x ＋1，当x ＝1时，f′(1)＝1，f(1)＝0，所以f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－x 2＋ax －2，得x 2＋(1－a)x ＋1＝0， 由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＝0，所以a ＝3或－1.(2) 由(1)知f′(x)＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0<t<t ＋14≤1e ，即0<t ≤1e －14时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫t ＋14＝⎝⎛⎭⎫t ＋14ln ⎝⎛⎭⎫t ＋14； ②当0<t<1e <t ＋14，即1e －14<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t<t ＋14，即t ≥1e时，f(x)min ＝f(t)＝t ln t.综上，f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫t ＋14ln ⎝⎛⎭⎫t ＋14，0<t ≤1e －14，－1e ，1e －14<t<1e ，t ln t ，t ≥1e.21. （ 12分）【解答】 因为甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，所以f(50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5.(2) 由题知f(x)＝80＋42x ＋14(200－x)＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f(x)＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ∈[25，65]，则f(t)＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f(x)max ＝282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．22. （ 10分）【解答】 (1) 由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2，得普通方程x 2＋(y －2)2＝4，所以极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2) 由直线l 1：θ＝π6(ρ∈R)与曲线C 的交点为O ，M ，得ρM ＝OM ＝4sin π6＝2.又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R)与曲线C 的交点为O ，N ，得ρN ＝ON ＝4sin 2π3＝2 3.因为∠MON＝π2， 所以S △OMN ＝12OM ·ON ＝12×2×23＝2 3.。