量子力学复习题

3.6 算符与力学量的关系（续５）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
F Cn n C d
2 2 n
EX１ 求在能量本征态 n ( x) 量和动能的平均值 Solve
L * n
2 n x sin( ) 下，动 L L
ˆx, p ˆy, p ˆ z 彼此对易，它们有共同的 Ex.1 动量算符 p
本征函数完备系 i pr 3 2 (r ) (2) p e ( r ) 描述的状态中， px , p y , pz 同时有确定值。 在 p
ˆ ,L ˆ2 ] 0 ˆ2 和 L ˆ 对易，即 [ L Ex.2 角动量算符 L z z
( 2a 0 )
2
e

e
i pr cos
r 2 sin drdd

2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
r a0
e

i pr cos
r drd cos
2 i pr

p (2a0 )
3
re
0

r a0
[e

i pr
e
]dr
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
思考题 （1）若两个厄米算符有共同本征态，它们是否就彼 此对易。 （2）若两个厄米算符不对易，是否一定就没有共同 本征态。 （3）若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都 同时具有确定值。 ˆ, B ˆ ] =常数，A ˆ 能否有共同本征态。 ˆ 和B （4）若 [ A ˆ 和L ˆ （5）角动量分量 L 能否有共同本征态。 x y
n A sin ( x a ) 1 ( x) 2a 0 n A sin ( x a) 2 ( x) 2a 0
n 1, 2,3,
n 1, 2,3,
思 考 题
E ix i t
i E1 t
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
ˆ 本征态 Y 下， Ex.1 利用测不准关系证明，在 L z lm Ly 0 Lx 0
Prove:
ˆ ，L ˆ ] iL ˆ [ L y z x
ˆ 本征态 Y 中，测量力学量 L 有确定值， 由于在 L z lm z 所以 均方偏差必为零，即 Lz
1 ei 2 x / , 4 ei 3 x / , 2 e i 2 x / , 5 ei 2 x / ,
| x | a | x | a | x | a | x | a
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
ˆ i x , P 特别地，当 U x x 代入上对易式，即证得 x ˆ i y , P 同理可证： y ˆ i z, P z


3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
ˆ、 L ˆ2、L ˆ 彼此对易： Ex.3 氢原子的算符 H z
ˆ,L ˆ2 ] 0 [H
ˆ,L ˆ ]0 [H z
ˆ2 , L ˆ ]0 [L z
在 nlm r , , 状态中， 故 H , L2 , Lz 可同时有确定值:
它们有共同的本征函数完备系 { nlm (r , , ) }
-2 m=10 kg ，速度V=5.0102m/s Ex.2 求飞行的子弹
对应的德布罗意波长
1 2 E mv 2
h h 25 1.3 10 nm 2mE mv
波长太小 , 在宏观上测不到！
§2.1 波函数的统计解释（续13）
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
归一化常数
归一化的波函数
A a/


1/ 2
1 2 a
1 i a2 x2 t 2 2
(r , t ) a /


1/ 2
e
§2.1 波函数的统计解释（续14）
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
因此它们有共同的本征函数完备系 { Yl m ( , ) } 。
L2 和 Lz 可同时有确定值: 在 Ylm , 描述的状态中，
L2 l (l 1) 2， Lz m
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续10）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
2 ( 2 l 1 ) 1 3 5 ( 2 n 1 ) n n 1 l 0
个波函数，即 En 的简并度为n2
Ex.
n = 2 时，E2 是4度简并的，对应的波函数有
200 , 211 , 210 , 211
库仑场中电子的能级 En 只与 n 有关，与 (l , m) 无 关，对 l、m 简并，这是库仑场所特有的。
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4

3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续２）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
Ex
Prove
ˆ x i 证明对易关系式 U ( x), p
设 f x, y, z 为任一可微函数
2 2 2 2 （ L y ) （Lz ) Lx 4
则测不准关系：
2 2 2 2 2 （Ly ) 0 Lx 0 Lx 4 4
平均值的平方 为非负数
欲保证不等式成立，必有： Lx 0
同 理
Ly 0
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１8)
3.6 算符与力学量的关系（续８）
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism

a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2

C p 与动量值 P 的大小有关，与 p 的方向无关， 由此得到动量 的几率分布 p
W ( p) C p
es4 En 2 2 L2 l (l 1) 2 , Lz m 2n ,
Ex.4 坐标算符与动量算符不对易 [ x, Px ] i ，
故 x , Px 一般不可同时具有确定值。 ˆ ,L ˆ ,L ˆ 彼此不对易，故 L , L , L 一般不 Ex.5 L x y z x y z 可能同时有确定值。
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
L 2 2 L 2 ˆ p2 P d * * n ( x) n ( x)dx n ( x)dx n ( x) 2 2 0 2 2 0 dx 2 2 2 n 2 n x n 2 ( ) sin ( )dx L L 0 L 2 L2 2 L
U ( x) x
ˆ f UP ˆ PU ˆ ˆ f PUf ˆ U x , P f UP x x x x x Uf f U f f iU if iU iU i x x x x x U U U ˆ U x , Px i if i f x x x
e 1.60210 (2) 10
λ = 1A = 10- 10 m = 0.1 纳米
0
3 4 10 纳米 若V=100000伏，
（1纳米=10-9m）
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
电子波长比可见光的波长（λ〜10-7m）小5个数 量级，比原子的半径（0.1 - 0.2纳米） ) ( x, t )
2

a

e
a 2 x 2
（3）由几率密度的极值条件
d ( x, t ) a 2 a2 x2 2a xe 0 dx
由于
x0
d 2 ( x, t ) dx 2
0
x 0
故 x 0 处，粒子出现几率最大。
补充作业题
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
3 ( r )d p 100 (r ) C p p
其中
C p ( r ) 100 (r )d
* p

1
2 r a0 3 2 0 0 0
L
d * ˆ P ( x)P n ( x)dx i n ( x) n ( x)dx dx 0 0 2n n x n x i 2 sin( ) cos( )dx L L L 0
L
in 2n x 2 sin dx 0 L 0 L
L
3.6 算符与力学量的关系（续６）
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
Ex.1 求经电势差为V伏特的电场加速后的电子的波长。 能量 E eV