课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练2-11
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练7-2
课时知能训练一、选择题1．(2011·深圳质检)设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．3πa 2B ．6πa 2C ．12πa 2D ．24πa 2图7－2－92．如图7－2－9所示，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1—ABC 1的体积为( )A.312B.34 C.612 D.643．某几何体的三视图如图7－2－10所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )图7－2－10A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 3 4．(2011·广东高考)如图7－2－11，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()图7－2－11A．43B．4 C．23D．25．一个几何体的三视图如图7－2－12所示，该几何体的表面积为()图7－2－12A．280B．292C．360D．372二、填空题6．一个几何体的三视图如图7－2－13所示，则这个几何体的体积为________．图7－2－137．(2011·天津高考)一个几何体的三视图如图7－2－14所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.图7－2－14图7－2－158．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图7－2－15所示)，则球的半径是________cm.三、解答题9．如图7－2－16所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．图7－2－1610．(2011·陕西高考)如图7－2－17，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.图7－2－17(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D —ABC 的表面积．11．如图7－2－18所示是一几何体的直观图、正视图、侧视图、俯视图．图7－2－18(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥面PCD ； (2)求几何体BEC —APD 的体积．答案及解析1．【解析】 ∵2R ＝a 2＋a 2＋(2a )2＝6a ， ∴S 球＝4πR 2＝6πa 2. 【答案】 B2．【解析】 在△ABC 中，BC 边长的高为32，即棱锥A —BB 1C 1上的高为32，又S △BB 1C 1＝12，∴VB 1—ABC 1＝VA —BB 1C 1＝1332×12＝312.【答案】 A3．【解析】 由三视图可知该几何体为一个半圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋3π2. 【答案】 C4．【解析】 由三视图知，该几何体为四棱锥，如图所示．依题意AB ＝23，菱形BCDE 中BE ＝EC ＝2.∴BO ＝22－12＝3， 则AO ＝AB 2－BO 2＝3，因此V A —BC DE ＝13·AO ·S 四边形BCDE ＝13×3×2×232＝2 3.【答案】 C5．【解析】 该几何体的直观图如图所示，将小长方体的上底面补到大长方体被遮住的部分，则所求的表面积为小长方体的侧面积加上大长方体的表面积，∴S ＝S 侧＋S 表＝6×8×2＋2×8×2＋(2×8＋2×10＋8×10)×2＝360. 【答案】 C6．【解析】 由三视图知，该几何体为底面为直角梯形的四棱柱，其高为1，又底面梯形的面积S ＝(1＋2)×22＝3， ∴V 柱＝S ·h ＝3. 【答案】 37．【解析】 由三视图知，几何体为两个长方体的组合体，又V 1＝1×2×1＝2，V 2＝2×1×1＝2， ∴几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝4. 【答案】 48．【解析】 设球的半径为r cm ，由等体积法得πr 2·6r ＝43πr 3×3＋8πr 2，解得r ＝4.【答案】 49．【解】 设正四棱柱的底面边长为a ， 则V ＝Sh ＝a 2h ＝a 2·4＝16， ∴a ＝2.由题意知：2R ＝|A 1C |， |A 1C |＝26，∴R ＝6， S ＝4πR 2＝24π.10．【证明】 (1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB . ∵DB ⊂平面BCD ，DC ⊂平面BCD . 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC . ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA . ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DC A ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin 60°＝32，∴三棱锥D —ABC 的表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.11．【解】 (1)证明 由几何体的三视图可知，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥面ABCD ，PA ∥EB ，PA ＝2EB ＝4，PA ＝AD .∵PA ＝AD ，F 为PD 的中点，∴PD⊥AF.又∵CD⊥DA，CD⊥PA，DA⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，DA∩PA＝A，∴CD⊥平面APD又∵AF⊂平面APD，∴CD⊥AF.又∵PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD且PD∩DC＝D∴AF⊥面PCD.(2)V BEC—APD＝V C—APEB＋V P—ACD＝13×12×(4＋2)×4×4＋13×12×4×4×4＝803.。
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习阶段知能检测6
阶段知能检测(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a 2＜b 2，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＜b B.1a 2＞1b 2C ．|a |＜|b |D ．a 3＜b 32．如果a ＞b ＞c ，且有a ＋b ＋c ＝0，则( ) A ．a ·b ＞a ·c B ．a ·c ＞b ·c C ．a ·|b |＞c ·|b | D ．a 2＞b 2＞c 23．(2011·浙江高考)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．284．设n 为正整数，f (n )＝1＋1213＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )＞2n ＋12 B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不对5．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≥4，或a ≤－4 D ．a ＜－4，或a ＞46．已知2x ＋8y＝1(x ＞0，y ＞0)，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．14C ．16D ．187．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为()8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)9．(2011·广东高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z＝OM →·OA→的最大值为( ) A ．4 2 B ．3 2 C ．4 D ．310．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．若点P (x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上，则3x ＋27y 的最小值是________．12．若实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤2y ≤2，x ＋y ≥2，则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．13．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点； ……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为________． 14．若log a (a 2＋1)＜log a (2a )＜0，则a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知a ＞0，b ＞0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .16．(本小题满分13分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)证明：1a＞c .17．(本小题满分13分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A 、B ，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：最大收益是多少？18．(本小题满分14分)祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办了个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)．(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案；①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂．问哪种方案更合算？19．(本小题满分14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图1(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f(n)个小正方形．图1(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f(1)1f(2)－11f(3)－1＋…＋1f(n)－1的值．20．(本小题满分14分)(2012·佛山模拟)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈[－1,1])．(1)若t>0，求f(x)的最小值h(t)；(2)对于(1)中的h(t)，若t∈(0,2]时，h(t)<－2t＋m2＋4m恒成立，求实数m的取值范围．答案及解析1．【解析】 ∵a 2＜b 2，∴a 2＜b 2，即|a |＜|b |. 【答案】 C2．【解析】 ∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0，∴a ·b ＞a ·c . 【答案】 A3．【解析】 作出可行域，如图所示，两条直线的交点为A (3,1)，作直线3x ＋4y ＝0，并将它向右上平移，当过点A (3,1)时，3x ＋4y 取得最小值，且最小值为3×3＋4×1＝13.【答案】 A4．【解析】 ∵f (2)＝32，f (4)＞2＝42，f (8)＞52，f (16)＞3＝62，f (32)＞72，∴猜想：f (2n )≥n ＋22.【答案】 C5．【解析】 由题意知Δ＝a 2－16＞0，解得a ＞4或a ＜－4. 【答案】 D6．【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )(2x ＋8y )＝10＋2y x 8x y ≥10＋22y x ×8xy＝18，当且仅当2y x ＝8xy时取等号．【答案】 D7．【解析】 方程ax 2－x －c ＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝1， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝－2＋1，－ca ＝－2×1，∴⎩⎨⎧a ＝－1c ＝－2. ∴f (x )＝－x 2－x ＋2， ∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，令f (－x )＝0得x ＝2或x ＝－1，选B. 【答案】 B8．【解析】 易知f (1)＝3，则不等式f (x )＞f (1)等价于⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋6＞3或⎩⎨⎧x ＜0，x ＋6＞3，解得－3＜x ＜1或x ＞3. 【答案】 A9．【解析】由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.【答案】 C10．【解析】 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0. 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0， 解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n －2＝24， 即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝56＋16(4m n ＋n m )≥56＋46＝32，当且仅当n ＝2m 时等号成立．【答案】 A11．【解析】 由题意知，x ＋3y ＝2， ∴3x ＋27y ≥23x ·27y ＝23x ＋3y＝6，当且仅当3x ＝27y ， 即x ＝1，y ＝13时等号成立．【答案】 612．【解析】 线性约束条件对应的可行域为△ABC (如图)．而z ＝y x ＋1为点(x ，y )与(－1,0)连线的斜率．由图形知，z max ＝20＋1＝2.【答案】 213．【解析】 观察所给命题知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)， 直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x，故命题n 是“点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点”．【答案】 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n3x的一个交点14．【解析】 ∵a 2＋1≥1且log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1， 由log a (a 2＋1)＜log a (2a )，得a 2＋1＞2a ，恒成立， 由log a (2a )＜0得2a ＞1，∴a ＞12.综上知12＜a ＜1.【答案】 (12，1)15．【证明】 b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝(b 2a －a )＋(a 2b b )＝(b ＋a )(b －a )a ＋(a ＋b )(a －b )b＝(a －b )(a ＋b )(1b －1a )＝1ab (a －b )2(a ＋b )，∵a ＞0，b ＞0， ∴1ab＞0，a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴1ab(a －b )2(a ＋b )≥0， 即b 2a ＋a 2b (a ＋b )≥0， ∴b 2a ＋a 2ba ＋b . 16．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不相等的实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的一个根． 又x 1·x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a 0)．∴1a 是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a ＜c ，又1a＞0，由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f (1a )＞0，这与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c .又∵1a ≠c .∴1a ＞c .17．【解】 设搭载产品A x 件，产品B y 件， 预计总收益z ＝80x ＋60y .则⎩⎨⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ∈N ，y ∈N ，作出可行域，如图．作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎨⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)． 所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元． 18．【解】 由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12n ＋n (n －1)2×4]－72 ＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0， 解得2＜n ＜18.又n ∈N ，故从第三年开始获利． (2)①年平均利润＝f (n )n ＝40－2(n ＋36n )≤16. 当且仅当n ＝6时取等号．故此方案共获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2(n －10)2＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128故第②种方案共获利128＋16＝144(万美元)． 故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算． 19．【解】 (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25， ∴f (5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，由上式规律得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . ∴f (n )－f (n －1)＝4(n －1)， f (n －1)－f (n －2)＝4·(n －2)， f (n －2)－f (n －3)＝4·(n －3)， …f (2)－f (1)＝4×1，∴f (n )－f (1)＝4[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1] ＝2(n －1)·n ， ∴f (n )＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n 2－2n ＋1－1＝12(1n －1－1n )， ∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n.20．【解】 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1，①当－t <－1，即t >1时，f (x )在[－1,1]上单调递增，f (x )的最小值为 f (－1)＝－2t 2＋2t －1；②当－1≤－t <0，即0<t ≤1时， f (x )在[－1,1]上的最小值为 f (－t )＝－t 3＋t －1；∴h (t )＝⎩⎨⎧－t 3＋t －1 t ∈(0，1]－2t 2＋2t －1 t ∈(1，＋∞)(2)令g (t )＝h (t )＋2t＝⎩⎨⎧－t 3＋3t －1 t ∈(0，1]－2t 2＋4t －1 t ∈(1，2]. ①0<t ≤1时，由g ′(t )＝－3t 2＋3≥0，∴g (t )在(0,1]上单调递增，②1<t ≤2时，g (t )＝－2t 2＋4t －1＝－2(t －1)2＋1，g (t )在(1,2]上单调递减，由①、②可知，g (t )在区间(0,2]上的最大值为g (1)＝1.所以h (t )<－2t ＋m 2＋4m 在(0,2]内恒成立，等价于g (t )<m 2＋4m 在(0,2]内恒成立，即只要1<m 2＋4m 即可，解m 2＋4m －1>0得m <－2－5或m >－2＋ 5.所以m 的取值范围为(－∞，－2－5)∪(－2＋5，＋∞)．。
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练2-8
课时知能训练一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－122．(2012·东莞质检)为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(精确度0.01)，如下表所示：A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)3．已知a是函数f(x)＝2x－log 12x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定4．(2012·珠海模拟)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)5．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝e x－1 D．f(x)＝ln(x－1 2 )二、填空题6．“a＝14”是“函数f(x)＝ax2－x＋1只有一个零点”的________条件．7．若函数f(x)＝2－|x－1|－m有零点，则实数m的取值范围是________．8．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z则k＝________.三、解答题9．若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，求g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点． 10．设函数f (x )＝(12|x －1|，g (x )＝log 2x (x ＞0)，试判定函数φ(x )＝f (x )－g (x )在(0,2]内零点的个数．10．【解】 (1)当x ∈(0,1)时，g (x )＝log 2x ＜0，f (x )＝(12)|x －1|＝(12)1－x ＞0， ∴方程f (x )＝g (x )在(0,1)内无实根，∴φ(x )＝f (x )－g (x )在(0,1)内无零点．(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝(12)x －1， ∴φ(x )＝f (x )－g (x )＝(12)x －1－log 2x 在[1,2]上是减函数，且φ(x )的图象连续不间断，又φ(1)＝1－0＝1＞0，φ(2)＝12－1＝－12＜0， ∴φ(1)·φ(2)＜0，因此φ(x )在(0,2)内有唯一零点，根据(1)、(2)知，φ(x )＝f (x )－g (x )在(0,2]内有唯一的零点．11．中央电视台有一档娱乐“鉴宝”节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一“艺术品”的售价机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种“艺术品”，价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了，880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？答案及解析1．【解析】 依题意2a ＋b ＝0，b ＝－2a .令bx 2－ax ＝0，∴－2ax 2－ax ＝0.解之得x ＝0或x ＝－12. 【答案】 C2．【解析】 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)＜0，∴零点在(1.8,2.2)上．【答案】 C3．【解析】 ∵f (a )＝2a －log 12a ＝0. 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴当0＜x 0＜a 时，f (x 0)＜f (a )＝0.【答案】 C4．【解析】 f (－1)·f (0)＜0，且函数f (x )的图象连续不间断．【答案】 B5．【解析】 ∵A 、B 、C 、D 四个选项中的零点是确定的：A ：x ＝14，B ：x ＝1，C ：x ＝0，D ：x ＝32. ∵g (x )＝4x ＋2x －2在R 上连续且g (14)＝2＋12－2＝2－32＜0，g (12)＝2＋1－2＝1＞0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14＜x 0＜12， 0＜x 0－14＜14，∴|x 0－14|＜14. 因此函数f (x )＝4x －1的零点x ＝14满足． 【答案】 A6．【解析】 当a ＝14时，Δ＝(－1)2－4a ＝0， ∴f (x )＝ax 2－x ＋1只有一个零点，但a ＝0时，f (x )＝ax 2－x ＋1也有一个零点，∴“a ＝14”是“函数f (x )只有一个零点”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要7．【解析】 令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|， ∵|x －1|≥0，∴0＜(12)|x －1|≤1，即0＜m ≤1. 【答案】 0＜m ≤18．【解析】 令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)递增，∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.【答案】 29．【解】 ∵13是函数f (x )的零点， ∴f (13＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6. ∴g (x )＝x 2＋5x －6，由x 2＋5x －6＝0，得x ＝1或x ＝－6，∴g (x )的零点为1和－6.11．【解】 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格．。
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习课时知能训练3-7
课时知能训练一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为() A．75°B．60°C．45°D．30°3．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．△ABC的形状不确定图3－7－24．(2011·天津高考)如图3－7－2所示，△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为()A.33B.36C.63D.665．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c ＝2a，则()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a与b大小不能确定二、填空题6．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，sin A＝13，则a＝________.7．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.8．△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，A ＝π3，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题9．(2011·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 10．(2012·济南调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．11．(2011·江西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．答案及解析1．【解析】 由余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac， 由a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝32， 又0＜B ＜π，∴B ＝π6. 【答案】 A2．【解析】 S △ABC ＝12×3×4sin C ＝33，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝60°.【答案】 B3．【解析】 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，得a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，不妨令a ＝5，b ＝11，c ＝13.∵c 2＝169，a 2＋b 2＝52＋112＝146，∴c 2＞a 2＋b 2，根据余弦定理，易知△ABC 为钝角三角形．【答案】 C4．【解析】 设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝2a 2－43a 22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理知sin C ＝AB BC ·sin A ＝34×223＝66. 【答案】 D 5．【解析】 ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，∴由余弦定理，(2a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，因此ab ＝a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )＞0，∴a －b ＞0，故a ＞b .【答案】 A 6．【解析】 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin A sin B ＝532. 【答案】 532 7．【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，且A ＋C ＝2B ，∴3B ＝π，B ＝π3， 由正弦定理，a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝12.【答案】 128．【解析】 由余弦定理知，22＝b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2＝bc ＋4， ∴2bc ≤bc ＋4，∴bc ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin π3＝34bc ≤ 3. 【答案】 39．【解】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ， 从而sin A ＝3cos A ，∴cos A ≠0，tan A ＝3，又0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2所以sin C ＝cos A ＝1310．【解】 (1)由cos 2C ＝－14，得1－2sin 2C ＝－14， ∴sin 2C ＝58，又0＜C ＜π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c sin C，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0＜C ＜π， 得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以b ＝6，c ＝4或b ＝26，c ＝4.11．【解】(1)由3a cos A＝c·cos B＋b·cos C及正弦定理，得3sin A cos A＝sin C·cos B＋sin B·cos C＝sin(B＋C)，∵B＋C＝π－A，且sin A≠0，∴3cos A·sin A＝sin A，则cos A＝1 3 .(2)由cos A＝13得sin A＝223，则cos B＝－cos(A＋C)＝－13cos C＋223sin C，代入cos B＋cos C＝233，得cos C＋2sin C＝3，从而得sin(C＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0＜φ＜π2，则C＋φ＝π2，于是sin C＝63.由正弦定理得c＝a sin Csin A＝32.。
课堂新坐标2013届高考数学一轮复习课件：第三章第三节 三角函数的性质(广东专用)
已知函数 f(x)＝2sin
x 4cos
x4－2
3sin2x4＋
3，且 g(x)＝f(x
高
落 实 ·
＋π3)．
考 体 验
固
(1)判断 g(x)的奇偶性；
·
基 础
(2)求 g(x)的单调递增区间．
明 考
情
课 时 知 能 训 练
菜单
第二十页，编辑于星期日：二十点 十四分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
知 能
自 主
y＝ 2cos x－1的定义域为[2kπ－π3，2kπ＋π3]，k∈Z.
高
落
考
实
· 固 基 础
(2)依题意1x＋ ＋πl4o≠g12kxπ≥＋0π2，k∈Z.
体 验
· 明 考 情
∴0＜x≤2，且 x≠kπ＋π4(k∈Z)，
课
∴函数 f(x)的定义域是{x|0＜x≤2，且 x≠π4}．
时 知 能
明 考 情
【思路点拨】 由定义或偶次根下非负转化为三角不等式，借助几何
课 时
直观性求解．
知
能
训
练
菜单
第十一页，编辑于星期日：二十点 十四分。
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）（广东专用）
典
例
探
【尝试解答】 (1)由 2cos x－1≥0，即 cos x≥12.
究 · 提
根据函数的单调ห้องสมุดไป่ตู้，结合图象知：
奇函数
最小正周期
__2_π____
2π
课
时
__π____
知
能
训
练
菜单
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课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习8-2
课时知能训练一、选择题1．(2012·阳江模拟)已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为()A.12B．－12C．2D．－22．直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为() A．－12 B．－2 C．0 D．103．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．3 D．－34．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为()A．y＝12x－1 B．y＝12x－12C．y＝12＋12D．y＝12x＋15．(2011·北京高考)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题6．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．7．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．8．经过直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0的直线l的方程为________．三、解答题9．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．10．(2012·宁波模拟)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .11．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．答案及解析1．【解析】 点A (0,3)，B (－1,1)在直线l 1上，则点A ，B 关于直线y ＝－x的对称点A ′(－3,0)，B ′(－1,1)在直线l 2上，故直线l 2的斜率k ＝1－0－1－(－3)＝12. 【答案】 A2．【解析】 由2m －20＝0得m ＝10，由垂足(1，p )在直线mx ＋4y －2＝0上得，10＋4p －2＝0，∴p ＝－2，又垂足(1，－2)在直线2x －5y ＋n ＝0上，∴2×1－5×(－2)＋n ＝0，∴n ＝－12.【答案】 A3．【解析】 设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧ a ＝－5，b ＝－3. 故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 【答案】 B4．【解析】 由⎩⎨⎧ y ＝2x ＋1，y ＝x .得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过点(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0,1)关于直线y ＝x 对称的点(1,0)在所求直线上，∴所求直线的方程y －0－1－0＝x －1－1－1y ＝12x －12.【答案】 B5．【解析】 设C (t ，t 2)，又A (0,2)，B (2,0)则直线AB 的方程为y ＝－x ＋2.∴点C 到直线AB 的距离d ＝|t 2＋t －2|2. 又∵|AB |＝22，∴S △ABC ＝12×|AB |·d ＝|t 2＋t －2|. 令|t 2＋t －2|＝2得t 2＋t －2＝±2，∴t 2＋t ＝0或t 2＋t －4＝0，符合题意的t 值有4个，故满足题意的点C 有4个．【答案】 A6．【解析】 所求直线的斜率为12故所求的直线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 【答案】 x －2y －1＝07．【解析】 设所求直线方程为2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－6)， 则有|2－3－6|22＋32＝|2－3＋m |22＋32，即|m －1|＝7，∴m ＝8 故所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.【答案】 2x ＋3y ＋8＝08．【解析】 解方程组⎩⎨⎧ 3x －2y ＋1＝0，x ＋3y ＋4＝0，得交点坐标(－1，－1)． 又直线l 的斜率k ＝3.所以l 的方程为y ＋1＝3(x ＋1)，即3x －y ＋2＝0.【答案】 3x －y ＋2＝09．【解】 (1)证明 l 的方程化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0， 由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＋1＝0x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l的距离最大，又直线PA 的斜率k P A ＝4－33＋215，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.10．【解】 (1)由⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝2. 由于点P 的坐标是(－2,2)．所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.(2)又直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2.则直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1.11．【解】 如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连结AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即b －4a·3＝－1. ∴a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为(a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②①②联立，解得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4即2x ＋y －9＝0.解⎩⎨⎧ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．。
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习8-4
课时知能训练一、选择题1．(2012·清远质检)已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π 2．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．53．过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝04．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝( ) A.33 B.33或－33C. 3D.3或－ 35．(2012·广州模拟)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)始终平分圆M ：x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0的周长，则1a ＋4b 的最小值为( ) A ．8 B ．16 C ．1 D ．20二、填空题6．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.8．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是________．三、解答题9．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.(1)求证：不论m 取何实数，曲线C 恒过一定点；(2)求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条定直线上．10．(2012·揭阳调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA→＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．答案及解析1．【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56π. 【答案】 D2．【解析】 由圆的几何性质可知，当点(1,1)为弦AB 的中点时，|AB |的值最小，此时|AB |＝2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 B3．【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3，当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512，此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 【答案】 B4．【解析】 ∵OM →·CM→＝0， ∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 【答案】 D5．【解析】 由圆M 化为(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16，∴圆M 的圆心M (－4，－1)．依题意，直线l 过圆心M (－4，－1)，∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，从而(1a ＋4b )＝(1a ＋4b)(4a ＋b ) ＝8＋b a ＋16a b≥8＋216＝16， 当且仅当b a ＝16a b ，即b ＝12，a ＝18时，取等号， ∴1a ＋4b的最小值为16. 【答案】 B6．【解析】 (1)圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，又k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 【答案】 x －y ＋5＝07．【解析】 公共弦所在的直线方程为y ＝1a，由已知得，圆心(0,0)到公共弦的距离为1，∴1a＝1，∴a ＝1.【答案】 18．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1,3)，故设PQ 方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0，由PQ 与圆O 相切得， |3－k |k 2＋1＝2，即k 2＋6k －7＝0，解得k ＝1或k ＝－7.【答案】 1或－79．【证明】 (1)曲线C 的方程为x 2＋y 2－20＋m (－4x ＋2y ＋20)＝0，故其经过圆x 2＋y 2－20＝0与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点．又因为直线－4x ＋2y ＋20＝0与圆x 2＋y 2－20＝0相切于点(4，－2)，所以不论m 取何实数，曲线C 恒过定点(4，－2)．(2)曲线C 的方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5m 2－20m ＋20＝5(m －2)2. 当m ≠2时，5(m －2)2>0.所以曲线C 表示一个圆，且圆心P (2m ，－m )在定直线x ＋2y ＝0上．10．【解】 (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a1，故b ＝－a ， 则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎨⎧ a ＝2b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎨⎧ (m －4)2＋n 2＝42m 2＋n 2≠0(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝45n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q (45125符合题意． 11．【解】 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )＞0，解得－34k ＜0，即k 的取值范围为(－34，0)． (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)．所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k .。
课堂新坐标2013届高三数学(文)一轮复习阶段知能检测10
阶段知能检测(十)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是( )A.23B.38C.59D.782．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红黑球各一个图13．如图1所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C D ．无法计算4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A.310 B.25 C.12 D.355．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率是( )A.15B.25C.35D.456．某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只有帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )A ．一定不会淋雨B ．淋雨的可能性为34C ．淋雨的可能性为12D ．淋雨的可能性为14图27．如图2所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )A ．1－π4 B.π4C ．1－π8D ．与a 的取值有关8．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是( )A.110 B.310 C.25 D.14图39．如图3所示，ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点．取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π810．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X、Y，则log2X Y＝1的概率为()A.16B.536C.112D.12第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．12．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为110，响第二声时被接的概率为310，响第三声时被接的概率为25，响第四声时被接的概率为110，则电话在响前四声内被接的概率为________．13．已知函数f(x)＝6x－4(x＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合A，函数g(x)＝2x－1(x ＝1,2,3,4,5,6)的值域为集合B，任意x∈A∪B，则x∈A∩B的概率是________．14．(2012·佛山模拟)已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球．(1)试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率．16．(本小题满分13分)汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．17．(本小题满分13分)(2012·深圳质检)已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3＜0}，B ＝{x |x ＋2x －3＜0}． (1)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(2)设(a ，b )为有序实数对，其中a ∈A ，b ∈B ，且a ，b 为整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．18．(本小题满分14分)设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从－4，－3，－2，－1四个数中任取的一个数，b 是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[－4，－1]任取的一个数，b 是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．19．(本小题满分14分)(2011·福建高考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：(1)若所抽取的203件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2.现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．20．(本小题满分14分)某中学的高二(1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．答案及解析1．【解析】 因为每张奖券都可能被小明抽到，且等可能，共有3种结果，其中中奖的结果有2种，故小明抽到中奖券的概率为23.【答案】 A2．【解析】 红黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球，红黑球各一个”为互斥事件，又任取两球还包含“两个红球”等事件，故不是对立事件．【答案】 D3．【解析】 由几何概型知：S 阴S 正方形23.故S 阴＝23×22＝83.【答案】 B4．【解析】 基本事件为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10个．不相克的事件数为10－5＝5，∴抽取的两种物质不相克的概率是51012.【答案】 C5．【解析】 试验的全部结果构成的区域是[－2,3]，所求事件构成的区域为(1,3]，故所求概率为P ＝3－13－(－2)＝25【答案】 B6．【解析】 基本事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，又只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.【答案】 D7．【解析】 阴影部分的面积S 阴影＝a 2－π(a 2)2＝(1－π4)a 2，∴所求事件的概率P ＝(1－π4)a 2/a 2＝1－π4.【答案】 A8．【解析】 从袋中随机取出2个小球，其基本事件是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种，其中符合条件的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)四种情况．故所求概率为P ＝410＝25. 【答案】 C9．【解析】 设事件A 表示“在长方形ABCD 内取点，到点O 的距离大于1”，则试验的全部结果构成的区域为长方形ABCD ，事件A 发生的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝2－π2，因此P (A )＝2－π22＝1－π4.【答案】 B10．【解析】 由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对，∴概率为336＝112. 【答案】 C11．【解析】 [－1,2]的长度为3，|x |≤1的解集为[－1,1]的长度为2，所以概率是23.【答案】2312．【解析】 设响n 声时被接的概率为P n ，则P 1＝110，P 2＝310，P 3＝25，P 4＝110.故前四声内被接的概率为P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝910.【答案】91013．【解析】 根据已知条件可得A ＝{2,8,14,20,26,32}， B ＝{1,2,4,8,16,32}．∴A ∪B ＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}，A ∩B ＝{2,8,32}． 所以任取x ∈A ∪B ，则x ∈A ∩B 的概率是39＝13.【答案】 1314．【解析】 作出可行域知，平面区域U 为△OAB 及其内部，平面区域A 为△ODC 及其内部，又S △OAB ＝12×6×6＝18，S △ODC ＝12×4×2＝4，故所求事件的概率P ＝S △ODC S △OAB ＝418＝29. 【答案】2915．【解】 (1)一共有8种不同的结果，列举如下：(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑)．(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A .事件A 包含的基本事件为(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A 包含的基本事件数为3.由(1)可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为P (A )＝38.16．【解】 (1)设该厂本月生产轿车为n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300.所以n ＝2 000.z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001 000＝m5，解得m ＝2. 也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作A 1，A 2，B 1，B 2，B 3，则从中任取2辆的所有基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共10个．其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)．∴从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710.17．【解】 (1)A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |－2＜x ＜3}， 设事件“x ∈A ∩B ”的概率为P 1，又A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}， 这是一个几何概型，则P 1＝38.(2)因为a ，b ∈Z ，且a ∈A ，b ∈B ，所以，基本事件共12个：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)．设事件E 为“b －a ∈A ∪B ”，则E 包含9个基本事件． 所以事件E 的概率P (E )＝912＝34. 18．【解】 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ＜0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ＋b ≤0. (1)基本事件共12个：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件．事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|－4≤a ≤－1，1≤b ≤3}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|－4≤a ≤－1，1≤b ≤3，a ＋b ≤0}，所求概率为这两区域面积的比． 所以所求的概率P ＝3×2－12×223×2＝23.19．【解】 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝0.35，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件． 所以b ＝320＝0.15. 等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1， 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1， 所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．共10个基本事件．设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”， ∴事件A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．故所求的概率P (A )＝410＝0.4.20．【解】 (1)用古典概型的定义，P ＝m n ＝460＝115.∴某同学被抽到的概率为115.设有x 名男同学，则4560＝x4，∴x ＝3，∴男、女同学的人数分别为3与1.(2)把3名男同学和1名女同学记为a 1，a 2，a 3，b ，则选取两名同学的基本事件有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 1)，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，a 1)，(a 3，a 2)，(a 3，b )，(b ，a 1)，(b ，a 2)，(b ，a 3)共12种，其中有一名女同学的有6种．选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P ＝612＝12(3)x 1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x 2＝69＋70＋70＋72＋745＝71，s 21＝(68－71)2＋…＋(74－71)25＝4，s 22＝(69－71)2＋…＋(74－71)25＝3.2，则x 1＝x 2，s 21＞s 22，∴第二次做试验的同学得到的数据更稳定．。
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课时知能训练
一、选择题
1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)
2．(2012·梅州调研)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞)
D ．(0，12)
3．对于在R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (x )≥f (a ) B ．f (x )≤f (a ) C ．f (x )＞f (a ) D ．f (x )＜f (a )
4．(2011·浙江高考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能．．．
为y ＝f (x )的图象是( )
5．(2012·东莞调研)函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )
x 在区间(1，＋∞)上一定( )
A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数 二、填空题
6．函数f (x )＝x (e x －1)－1
2x 2的单调增区间是________．
7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，则f (2)＝________. 8．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0
在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π
2)上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f (x )＝sin x ＋cos x ；②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x . 三、解答题
9．已知函数f (x )＝e x －ax －1.
(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
(2)是否存在a ，使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
10．(2012·肇庆调研)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值1
2. (1)求a ，b 的值；
(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．
11．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．
(1)求f (x )的表达式；
(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．
答案及解析
1．【解析】 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )＞0，解得x ＞2. 【答案】 D
2．【解析】 f ′(x )＝3x 2－6b ，且f (x )在(0,1)内有极小值． ∴f ′(x )＝0在(0,1)内有解，
易知b ＞0且0＜2b ＜1，解之得0＜b ＜12. 【答案】 D
3．【解析】 由(x －a )f ′(x )≥0知，
当x ＞a 时，f ′(x )≥0；当x ＜a 时，f ′(x )≤0. ∴当x ＝a 时，函数f (x )取得最小值，则f (x )≥f (a )． 【答案】 A
4．【解析】 设h (x )＝f (x )e x ，则 h ′(x )＝(2ax ＋b )e x ＋(ax 2＋bx ＋c )e x ＝(ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c )e x .
由x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点． 因此ax 2＋2ax ＋bx ＋b ＋c ＝c －a ＝0，∴c ＝a . ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋a .
若方程ax 2＋bx ＋a ＝0有两根x 1，x 2，则 x 1x 2＝a
a ＝1，D 中图象一定不满足该条件． 【答案】 D
5．【解析】 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a 的取值范围为a ＜1，
∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－a x 2.
易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )＞0，所以g (x )为增函数． 【答案】 D
6．【解析】 易知f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(x ＋1)(e x －1)， 令f ′(x )＞0，得x ＞0或x ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)和(0，＋∞) 7．【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
由题意⎩⎨⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎨⎧
1＋a ＋b ＋a 2
＝10，
3＋2a ＋b ＝0，
消去b ，得a ＝4或a ＝－3.
但当a ＝－3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故不存在极值． ∴a ＝4，b ＝－11，f (2)＝18. 【答案】 18
8．【解析】 在定义域(0，π
2)内，由f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0，得①是凸函数；
由f ″(x )＝－1
x 2＜0，得②是凸函数； 由f ″(x )＝－6x ＜0，得③是凸函数； 由f ″(x )＝2e x ＋x e x ＞0，得④不是凸函数． 【答案】 ①②③
9．【解】 (1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . ∵f (x )在R 上单调递增
∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.
(2)由已知f (x )在(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增可知，f (0)是f (x )的极小值．
∴f ′(0)＝e 0－a ＝0⇒a ＝1，经检验，a ＝1符合要求． ∴存在a ＝1满足条件．
10．【解】 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x ，又f (x )在x ＝1处有极值12.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝12，
f ′(1)＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12，
2a ＋b ＝0.
解之得a ＝1
2且b ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝1
2x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)， 且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)
x
.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)． 11．【解】 (1)由f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .得
g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b. 又g(x)是奇函数，则g(－x)＝－g(x)．
∴－ax3＋(3a＋1)x2－(b＋2)x＋b
＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
从而3a＋1＝0且b＝0，
∴b＝0，a＝－1 3，
因此f(x)＝－1
3x
3＋x2.
(2)由(1)知，g(x)＝－1
3x
3＋2x
∴g′(x)＝2－x2＝(2＋x)(2－x)，
当x∈[1,2]时，令g′(x)＝0，x＝2是极值点．
又g(2)＝42
3，g(1)＝
5
3，g(2)＝
4
3.
因此g(x)在[1,2]上的最大值为g(2)＝42
3，最小值g(2)＝
4
3.。