同济大学高等数学《导数及其应用》word教案
高等数学教案Word版(同济)第二章01
第一讲 I 授课题目: §2.1 导数概念 II 教学目的与要求:1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义；2. 会用导数描述一些物理量；3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。
III 教学重点与难点: 重点：导数的概念难点：用导数的定义判断函数的可导性 IV 讲授内容:微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。
主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。
先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。
一、直线运动的速度，切线问题 1．直线运动的速度 先建立坐标系：设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。
此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置），运动完全由位置函数所确定。
位置函数：)(t f s = （1） 从时刻0t 到t 一个时间间隔，有平均速度为：000)()(t t t f t f t t s s --=-- （2） 时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t 的速度，但动点在时刻0t 的速度的精确概念还得让0t t →，即：0)()(limt t t f t f v t t --=→ （3）极限值叫做动点在时刻0t 的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。
2． 切线斜率问题建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的斜率为：0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→ （4）割线斜率的极限就是切线的斜率二、导数的定义1.函数在一点处的导数与导函数讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式： 00)()(l i mx x x f x f x x --→ （5）此处的0x x -和)()(0x f x f -的分别是函数)(x f y =的自变量的增量x ∆和函数的增量y ∆ 式（5）写成：0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ （6） 由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。
导数及其应用教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教案教案概述：本教案旨在引导学生全面了解导数的概念、性质以及其在实际问题中的应用。
通过理论讲解、示例分析和实践练习，培养学生对导数的理解和运用能力，提高他们解决实际问题的能力。
教学目标：1. 理解导数的定义和性质；2. 掌握常见函数的导数计算方法；3. 理解导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用；4. 运用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 常见函数的导数计算方法；3. 导数在函数图像、极值和曲线运动等方面的应用。
教学难点：1. 导数在实际问题中的应用；2. 运用导数解决复杂实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、示例题、练习题、实际问题案例等；2. 学生准备：教材、笔记本、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，与学生一起回顾函数的变化率和斜率的概念；2. 提问：你认为如何计算函数在某一点的变化率或斜率？二、理论讲解（15分钟）1. 讲解导数的定义和性质，包括函数在某一点的导数定义、导数的几何意义和导数的性质；2. 通过示例解释导数的计算方法，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数计算；3. 引导学生理解导数的物理意义，如速度、加速度等的概念。
三、示例分析（15分钟）1. 分析示例题，引导学生运用导数的定义和性质计算函数的导数；2. 分析函数图像的特征，如切线、极值点等，与导数的关系；3. 分析曲线运动的问题，如速度、加速度等与导数的关系。
四、实践练习（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，涵盖导数的计算、函数图像分析和实际问题应用等方面；2. 引导学生独立解题，鼓励他们思考和探索；3. 辅导学生解决遇到的问题，及时给予指导和反馈。
五、实际问题应用（15分钟）1. 提供一些实际问题案例，如物体的运动问题、最优化问题等；2. 引导学生分析问题，建立数学模型，并运用导数解决问题；3. 鼓励学生展示解题过程和结果，进行讨论和交流。
导数及其应用教案
课题：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究探究一：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --探究二：高台跳水：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
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导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。
可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。
函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。
即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。
即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-3.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)xxe e =')( (8)a a a xxln )(=' 5.函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
导数及其应用教案设计
导数及其应用教案设计一、教学目标1.理解导数的定义和概念；2.掌握导数的计算方法；3.了解导数的几何意义和物理意义；4.应用导数解决实际问题。
二、教学重点1.导数的定义和概念；2.导数的计算方法。
三、教学难点1.导数的几何意义和物理意义；2.导数在实际问题中的应用。
四、教学准备1.教学课件；2.教学工具：黑板、彩色笔；3.教学素材：与导数相关的题目和实例。
五、教学过程Step 1 引入导数的概念（10分钟）1.引入问题：小明从家里出发骑自行车到学校，经历了不同的路段，那么他在每个路段上的速度是多少呢？2.学生思考问题，并提出速度的定义。
3.介绍导数的概念：导数是研究函数变化率的工具，它描述了一个函数在其中一点附近的变化速率。
Step 2 导数的计算方法（20分钟）1. 导数的定义：设函数y=f(x)，当x在x0处有极限存在，那么函数f(x)在x0处的导数定义为：f'(x0)=lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)。
2.通过例题演示如何计算导数。
3.引入常见导数的计算法则，如幂函数、反函数、指数函数等。
Step 3 导数的几何意义和物理意义（15分钟）1.导数的几何意义：表示函数在其中一点处的切线斜率。
2.通过例题演示导数的几何意义。
3.导数的物理意义：表示物体运动的速度或速度的变化率。
4.通过例题演示导数的物理意义。
Step 4 导数在实际问题中的应用（25分钟）1.介绍导数在实际问题中的应用，如最大值最小值问题、函数的图像判断等。
2.通过例题演示导数在实际问题中的应用。
3.引入微分的概念，并介绍微分的定义和计算方法。
Step 5 拓展与巩固（20分钟）1.指导学生通过课堂练习和课后作业巩固所学知识。
2.引导学生从日常生活中发现和应用导数的问题。
六、教学反思通过引入问题、讲解定义、演示例题等方式，让学生逐步理解导数的概念和计算方法。
在讲解导数的几何意义和物理意义时，通过具体示例，帮助学生更好地理解和应用导数。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、导数的基本概念导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在计算机科学、物理学、经济学等领域，导数都具有广泛的应用。
在微积分中，函数f(x)在点x=a处的导数可以表示为f'(a)，它描述了函数在该点附近的局部行为。
导数可以通过两种方式计算：几何定义和算术定义。
1. 几何定义：导数可以理解为函数图像在某点的斜率，表示为$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。
2. 算术定义：导数可以理解为函数在某点上的瞬时速度，表示为$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。
二、导数的性质及计算方法导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的可加性：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的和f(x)+g(x)也在该点上可导，且导数满足$(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$。
2. 导数的乘法规则：若函数f(x)和g(x)都在某点上可导，那么它们的乘积f(x)g(x)也在该点上可导，且导数满足$(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$。
3. 导数的链式法则：若函数y=f(g(x))可以分解为两个函数f(u)和g(x)，且它们在某点上可导，那么复合函数y也在该点上可导，并且满足$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{dy}}{{du}}\cdot \frac{{du}}{{dx}}$。
计算导数的方法主要有以下几种：1. 利用基本函数的导数公式进行求导。
2. 利用导数的性质，例如可加性、乘法规则和链式法则，对复杂函数进行求导。
3. 利用导数的几何定义，通过极限的方法进行求导。
三、导数的应用导数在实际问题中有着广泛的应用，以下介绍几个常见的应用领域：1. 最优化问题：导数可以帮助我们找到函数的最大值和最小值。
导数及其应用 教案
导数及其应用教案教案标题：导数及其应用教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握求函数导数的基本方法；3. 理解导数的几何意义和应用。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和求导方法的教材；2. 教具：白板、彩色笔、计算器、投影仪等；3. 课件：包含导数概念、求导方法和应用实例的课件；4. 练习题：包含不同难度的求导练习题。
教学过程：Step 1：导入导数概念（15分钟）1. 利用课件和白板，引导学生回顾函数的变化率概念，并与导数进行对比；2. 解释导数的定义和符号表示，强调导数表示函数在某一点的变化率；3. 通过图示和实例，展示导数的几何意义。
Step 2：求导方法介绍（20分钟）1. 介绍求导的基本方法，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导法则；2. 利用课件和实例，演示不同类型函数的求导过程；3. 强调求导法则的应用和重要性。
Step 3：导数的应用（25分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、最优化问题等；2. 利用课件和实例，展示导数在实际问题中的具体应用过程；3. 引导学生思考导数在其他学科中的应用，如物理、经济等领域。
Step 4：练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生在课堂上完成求导练习；2. 鼓励学生互相讨论和解答问题，提高求导能力；3. 收集学生的答案，进行讲评和指导。
Step 5：课堂总结（10分钟）1. 总结导数的概念、求导方法和应用；2. 强调导数在数学和其他学科中的重要性；3. 鼓励学生继续深入学习和应用导数知识。
教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的导数应用实践，如通过编程模拟物体运动、经济模型等；2. 提供更多的挑战性练习题，培养学生的分析和解决问题的能力；3. 拓展导数概念，引入高阶导数和导数的应用领域，如微分方程等。
教学评估：1. 课堂练习题的完成情况和答案准确性；2. 学生对导数概念、求导方法和应用的理解程度；3. 学生在实际问题中应用导数的能力和创造性。
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第9次课2学时第二章导数与微分导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。
导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。
本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。
§2、1导数的概念一、 引例1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。
准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。
设曲线方程为)(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。
由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。
我们不难求得PQ 的斜率为：0)()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即0)()(limx x x f x f k x x --=→。
若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。
2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s=（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时，位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度为00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用00)()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当0t t →时，0)()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时，二、导数的定义综合上两个问题，它们均归纳为这一极限00)()(limx x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。
定义：设函数)(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ∆（x x ∆+0仍在该邻域中）时，函数相应地有增量y ∆，若增量比极限：x yx ∆∆→∆0lim即00)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '，0x x y ='，x x dxdy=或x x dxdf =。
即000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。
注1：导数的常见形式还有：xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0000；hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→；hh x f x f x f h )()(lim)(0000--='→；（h 即自变量的增量x ∆）2：x y ∆∆反映的是曲线在],[0x x 上的平均变化率，而0)(x x dxdy x f =='是在点0x 的变化率，它反映了函数)(x f y =随0x x →而变化的快慢程度。
3：这里x x dxdy=与x x dxdf =中的dx dy 与dxdf 是一个整体记号，而不能视为分子dy 或df 与分母dx ，待到后面再讨论。
4：若极限x yx ∆∆→∆0lim即00)()(lim 0x x x f x f x x --→不存在，就称)(x f y =在0x x =点不可导。
特别地，若∞=∆∆→∆x yx 0lim，也可称)(x f y =在0x x =的导数为∞，因为此时)(x f y =在0x 点的切线存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =。
若)(x f y =在开区间I 内的每一点处均可导，就称)(x f y =在I 内可导，且对I x ∈∀，均有一导数值)(x f '，这时就构造了一新的函数，称之为)(x f y =在I 内的导函数，记为)(x f y '=，或y '，dx dy ，dxx df )(等。
事实上，x x f x x f y x ∆-∆+='→∆)()(lim或hx f h x f y h )()(lim 0-+='→注5：上两式中，x 为I 内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而x ∆与h 是变量。
但在导函数中，x 是变量。
6：)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是导函数)(x f y '=在0x x =点的值，不要认为是])([0'x f ；7：为方便起见，导函数就称为导数，而)(0x f '是在0x 点的导数。
【例1】 设0)0(=f ，证明欲A xx f x =→)(lim，那么)0(f A '=。
证明：因为A x f x f xx f x f x f x =--⇒=--→0)0()(lim )(0)0()(0所以)0(f A '=。
【例2】若)(x f 在0x 点可导，问：→--+hh x f h x f )()(00？解：hh x f x f h x f h x f h h x f h x f )()()()()()(000000--+-+=--+)(2)()(000x f x f x f '='+'→。
反过来，亦证明：)(2)()(000x f hh x f h x f '→---+。
三、 求导数举例【例1】求函数c x f =)(（c 为常数）的导数。
解：lim0h f x h f x c cf x h h→+--'===（）（）（）即0c '=（）注：这里是指c x f =)(在任一点的导数均为0，即导函数为0。
【例2】求nx x f =)(（n 为正整数）在a x =点的导数。
解：11221)(lim lim)(-----→→=++++=--='n n n n n ax nn a x na a x a ax x a x a x a f 即1)(-='n na a f ， 亦即1)(-=='n a x nna x，若将a 视为任一点，并用x 代换，即得1)()(-='='n n nx x x f注：更一般地，μx x f =)(（μ为常数）的导数为1)(-='μμx x f ，由此可见，x x 121)(=',)0(1)1(2≠-='x xx 。
【例3】 求x x f sin )(=在a x =点的导数。
解：a ax ax a f a x cos sin sin lim)(=--='→,即a x a x cos )(sin ='=同理：若视a 为任意值，并用x 代换，使得x x f cos )(='，即x x cos )(sin ='。
注：同理可证：x x sin )(cos -='。
【例4】求)1,0()(≠>=a a a x f x的导数。
解：ha a h a a h x f h x f x f h h xx h x h h 1lim lim )()(lim )(000-⋅=-=-+='→+→→所以a a a xxln )(='。
注：特别地，xx e e =')(。
【例5】求)1,0(log )(≠>=a a xx f a 的导数。
解：hx hh x h x h x f h x f x f a h a a h h )1(log limlog )(log lim )()(lim )(000+=-+=-+='→→→ ax e x x h x a h xa h ln 1log 1)1(log 1lim 0==+⋅=→。
注1：等最后讲到反函数求导时，可将x a log 作为xa 的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：一、给出x ∆； 二、算出y ∆； 三、求增量比xy∆∆； 四、求极限。
3、xx 1)(ln ='。
【例6】讨论x x f =)(在0=x 处的导数。
解：考虑h h h hf h f h h h sgn lim lim )0()0(lim000→→→==-+，由§1.4例4知h h sgn lim 0→不存在，故x 在0=x 点不可导。
然而，1s g n lim 00-=-→h h 及1sgn lim 00=+→h h ，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若h x f h x f h )()(lim0000-++→，即000)()(lim 0x x x f x f x x --+→[hx f h x f h )()(lim 0000-+-→即00)()(lim0x x x f x f x x ---→]存在，就称其值为)(x f 在0x x =点的右（左）导数，并记为))(()(00x f x f ''-+，即00000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='+→+→+ [00000000)()(lim )()(lim)(0x x x f x f h x f h x f x f x x h --=-+='-→-→-]。
定理1：)(x f 在0x x =点可导⇔)(x f 在0x x =点的左导数和右导数均存在且相等，即)()(00x f x f '='+-。
注1：[例6])(x f 的左导数为-1，右导数为1。
因为11≠-，所以在0=x 点不可导；2：[例6]也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数；4：若)(x f 在),(b a 内可导，且在a x =点右可导，在b x=点左可导，即),(a f '+)(b f '-存在，就称)(x f 在],[b a 上可导。
四、 导数的几何意义由前面的讨论知：：函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。
从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。