运筹学线性规划
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管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学基础-线性规划(方法)
问题描述
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
线性规划问题通常由三个基本部分组成，即决策变量、约束条件 和目标函数。决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是 限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最大或最小的函数。
线性规划的应用领域
01
02
03
04
生产计划
在制造业中，线性规划可以用 于制定最优的生产计划，以最 大化利润或最小化成本。
02
线性规划的基本概念
线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的数学模型，描 述了多个变量之间的线性关系。
线性方程组可以用矩阵和向量表示，通过矩阵运算 和代数方法求解。
线性方程组有多种解法，如高斯消元法、LU分解、 迭代法等。
约束条件与目标函数
02
01
03
约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为变量的 上界、下界或等式约束。
目标函数是描述问题目标的数学表达式，通常是最小 化或最大化的线性或非线性函数。
约束条件和目标函数共同构成了线性规划问题的数学 模型。
线性规划的解
线性规划的解是指满足 所有约束条件并使目标 函数取得最优值的变量 取值。
线性规划问题可能有多 个解，也可能无解或无 界解。
最优解的性质包括最优 性、可行性和唯一性。
最优解可以通过求解线 性方程组或使用专门的 优化软件获得。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
01
基本概念
单纯形法是一种求解线性规划问题的迭代算法，通过 不断迭代寻找最优解。
02 1. 初始化 选择一个初始可行解，并确定初始基可行解。
03
2. 迭代
根据目标函数系数和约束条件系数，计算出单纯形表 格，然后进行迭代更新。
运筹学基础-线性规划(方法)
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
运筹学-1、线性规划
则：
x1 x2 100
x1 ( x3 ) x4 x2 2
设x3为第二年新的投资； x4为第二年的保留资金；
则：
18
•设x5为第三年新的投资；x6为第三年的保留资金；
则：
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
•设x7为第四年新的投资；第四年的保留资金为x8；
max Z 2 x7 x9 x1 x2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x4 2 x5 2 x6 0 s.t 4 x3 x5 2 x6 2 x7 2 x8 0 4 x5 x7 2 x 8 2 x9 0 x 0, j 1, 2, , 9 j
13
例3：（运输问题）设有两个砖厂A1 、A2 ，产 量分别为23万块、27万块，现将其产品联合供应三 个施工现场B1 、 B2 、 B3 ，其需要量分别为17万 块、18万块、15万块。各产地到各施工现场的单位 运价如下表： 现场 砖厂 B1 B2 B3
A1 A2
5 6
14 18
7 9
问如何调运才能使总运费最省？
20
例5：（下料问题） 某一机床需要用甲、乙、 丙三种规格的钢轴各一根，这些轴的规格分别是 2.9,2.1, 1.5(m),这些钢轴需要用同一种圆钢来做，圆 钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，最少要用多 少根圆钢来生产这些钢轴？
解：第一步：设一根圆钢切割成甲、乙、丙三 种钢轴的根数分别为y1,y2,y3，则切割方式可用不等 式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4 表示，求这个不等式的有实 际意义的非负整数解共有8组，也就是有8种不同的 下料方式，如下表所示：
运筹学线性规划问题与图解法
线性规划问题的基本特征
❖ 决策变量：向量(x1… xn)T 代表一个具体的 方案，一般有xi非负
❖ 约束条件：线性等式或不等式 ❖ 目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求Z极大
（Max）或极小(Min)
线性规划问题的一般形式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn (=, )b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn (=, )b2 ……… am1X1+ am2X2+…+ amnXn (=, )bm Xj 0(j=1,…,n)
Ai
❖ 配料问题:每单位原料i含vitamin如下：
原料 A B Ｃ 每单位成本
1
4 10
2
2
6 12
5
3
1 71
6
4
2 53
8
每单位添
加剂中维生 素最低含量
12 14 8
求：最低成本的原料混合方案
解：设每单位添加剂中原料i的用量为 xi (i =1,2,3,4)
minZ= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4 4x1 + 6x2 + x3+2x4 12 x1 + x2 +7x3+5x4 14 2x2 + x3+3x4 8 xi 0 (i =1,…,4)
x1+x2+x3 ≤9
+0s1 +0s2
－x’1+x2+x’3－ x”3 + s1=9
-x1-2x2+x3 ≥2
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
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. 一订制成型商拥有1个注塑机模具和2个不同的模具。由于工艺的不同， 利用第一个模具可以在6小时内生产100箱200ml的果汁杯；而利用第二 个模具可以在5小时内生产100箱350ml的鸡尾酒杯。该成型商每周只有 60小时工作时间。他将每周生产出的杯子存放在容积为150m3 的库房。 一箱200ml的果汁杯需要占据0.1m3 的存储空间，而一箱350ml的鸡尾 酒杯需要占据0.2m3 。两种产品的售价分别为果汁杯5元/箱，鸡尾酒杯 4.5元/箱。果汁杯的需求量小于800箱/周，鸡尾酒杯的需求量没有限 制。为了使收入最大化，该成型商应每周生产两种杯子各多少箱？ .
决策变量：
总收入 =0.85×1000=850元/1000kg 成本：
铸铁A：40+9=49元/1000kg 铸铁B：45+9=54元/1000kg 铸铁C：25+9=34元/1000kg
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总利润 850 − 49xA − 54xB − 34xC − 14xp
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
思考题1
. 写 . 出例四的线性规划模型。
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
17 / 21
线性规划的假设条件
成比例假设 可加性假设 成比例+可加性=线性假设 线性约束条件+线性目标函数 连续变量假设
模型中的每一个变量都可以在其取值范围内任意取值； 变量的非整数值有实际意义； 若非整数值无意义——整数规划。
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例五：分段线性函数
考虑例一（玻璃杯制造问题）：假设200ml果汁杯的价格不再是固 定值500元/百箱，而是一个分段线性函数，如下图所示： .
原问题线性规划模型
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max z = 500x1 + 450x2 s.t. 6x1 + 5x2 ≤ 60 10x1 + 20x2 ≤ 150 x1 ≤ 8 . 思考题2：如何修改该问题的线性规划模型？ x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
三种原料的供应量和价格分别为： 原料 A B C 最大日供给量（升） 16000 20000 10000 售价（元/升） 0.20 0.15 0.11
. . . . . .
试确定效益最大化的生产方案。 .
曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院) 运筹学（2011春）
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例三问题分析
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4 / 21
例一问题分析
决策变量：
200ml果汁杯数量 350ml鸡尾酒杯数量
资源：
注塑机 库房
约束条件：
生产能力 库存能力 市场需求
目标函数：
收益最大化
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例一问题分析（续）
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定义决策变量：
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..Leabharlann ..曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例二等价线性规划模型
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线性规划模型（2）
min z = 49xA + 54xB + 34xC + 14xp s.t. 1000xA + 1000xB + 1000xC + xp = 1000 4.5xA + 5.5xB + 4.2xC + xp ≥ 4.5 40xA + 13xB + 5.0xC ≥ 35 40xA + 13xB + 5.0xC ≤ 60 . xA , xB , xC , xp ≥ 0
问题描述
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例一问题分析
决策变量：
200ml果汁杯数量 350ml鸡尾酒杯数量
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例一问题分析
决策变量：
200ml果汁杯数量 350ml鸡尾酒杯数量
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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本讲学习目标
掌握线性规划的基本假设 通过对不同问题类型的例子，掌握线性规划模型的建立过程 能够建立特定问题的线性规划模型
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例一：产品混合问题
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例三：二维混合问题
. 一 . 个生产汽油和汽油添加剂的公司准备购买3个等级的馏分油——A，B和 C。这些馏分油将用于合成不同的产品。 产品 1 2 3 Max allowed A 60% 15% Min allowed C 20% 60% 50% 售价（元/升） 1.8 1.5 1.2
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例二线性规划模型
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线性规划模型（1）
max z = 850 − 49xA − 54xB − 34xC − 14xp s.t. 1000xA + 1000xB + 1000xC + xp = 1000 4.5xA + 5.5xB + 4.2xC + xp ≥ 4.5 4.0xA + 13xB + 5.0xC ≥ 35 4.0xA + 13xB + 5.0xC ≤ 60 . xA , xB , xC , xp ≥ 0
x1 = 每周生产200ml果汁杯的数量，单位：百箱/周 x2 = 每周生产350ml鸡尾酒杯的数量，单位：百箱/周
建立目标函数：
max z = 500x1 + 450x2
确定约束条件：
6x1 + 5x2 ≤ 60 10x1 + 20x2 ≤ 150 x1 ≤ 8 . x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
运筹学（2011春）
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例三问题分析（续）
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约束条件：
日供应量： xA1 + xA2 + xA3 ≤ 16000 xB1 + xB2 + xB3 ≤ 20000 xC1 + xC2 + xC3 ≤ 10000 成分约束： 0.4xA1 –0.6xB1 –0.6xC1 ≤ 0 0.85xA2 –0.15xB2 –0.15xC2 ≤ 0 –0.2xA1 –0.2xB1 + 0.8xC1 ≥ 0 –0.6xA2 –0.6xB2 + 0.4xC2 ≥ 0 –0.5xA3 –0.5xB3 + 0.5xC3 ≥ 0 xij ≥ 0, i = A, B, C, j = 1, 2, 3
决策变量：
.
. xij = 每日用于产品j的原料i的量，其中i = A，B，C；j = 1，2，3 .
目标函数：
. max z = 1.8(xA1 + xB1 + xC1 ) + 1.5(xA2 + xB2 + xC2 ) + 1.2(xA3 + xB3 + x . C3 )–0.2(xA1 + xA2 + xA3 )–0.15(xB1 + xB2 + xB3 )–0.11(xC1 + xC2 + xC3 )
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曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
运筹学（2011春）
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例二：一个更加复杂的产品混合问题
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问题描述
. 工厂计划生产1000kg铸件，其中至少包含0.45%的锰元素，3.5%–6% 的硅元素。铸件每公斤售价0.85元。生产原料为三种生铁，其锰元素和 硅元素的含量分别为： Mn Si 售价（每1000kg） A 0.45% 4.00% 40元 B 0.55% 1.30% 45元 C 0.42% 0.50% 25元
曹瑾鑫 博士/副教授 (内蒙古大学交通学院)
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xij ≥ 0, i = A, B, C, j = 1, 2, 3
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运筹学（2011春）
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例四：多周期问题
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问题描述
. 一公司可以生产资本型产品和消费型产品，公司生产计划的制定周期为 5年。第一年年初，公司储备有100单位资本型产品和50单位消费型产 品。每1单位资本型产品可以生产3个单位新的资本型产品，这一过程将 消耗储备的3单位的消费型产品；每1单位的资本型产品也可以用于生产 10个消费型产品。两种生产方式的周期均为不间断的2年。生产出来的 资本型产品可以用于后续的生产，也可以闲置。第5年末将售出所有库 存产品。各周期产品价格如下表所示。试制定受益最大的生产计划。 周期 1 2 3 4 5 6