圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。
（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件r=①化简可得：222()()x a y b r-+-=②引导学生自己证明222()()x a y b r-+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用及解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 及圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置及半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 及A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 及直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
圆一般式的圆心和半径公式
圆的一般式方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）
半径公式为：
推导过程：
扩展资料：
1、圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，
b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
2、在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数个点。
圆有无数条半径和无数条直径。
圆是轴对称、中心对称图形。
对称轴是直径所在的直线。
同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。
当多边形的边数越多时，其形状、周长、面积就都越接近于圆。
所以，世界上没有真正的圆，圆实际上只是概念性的图形。
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 :222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是222r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3.求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB长为30x y -=上,求此圆的方程.2. 圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理, 得22222220x y ax by a b r +--++-=,反过来, 将①配方得：22224()()224D E D E Fx y +-+++=. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2240DE F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;(2)当2240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22D E--; （３)当2240D E F +-<时,方程①不表示任何图形.结论:当2240D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1)2x 和2y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,0422>-+FA E D ）说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
圆标准方程和一般式方程
温故知新
1.已知两点坐标P1（x1,y1）、P2（x2,y2）
两点间距离公式：
P 1P 2（ x2x1 ） 2(y2y1)2
2.圆的定义：
y r P(x,y)
平面内到定点的距离等于定
长的点的集合 .
o
x
定点是圆心， 定长是半径.
3.点和圆的位置关系有几种？用数量关系如何来判断？ (d表示点到圆心的距离)
⑴点在圆内
·d r O
d<r
⑵点在圆上
·d r O
d=r
· ⑶点在圆外
dr O
d>r
进入新课 圆的标准方程
建立圆心是C(a ,b),半径是r(r >0)的圆的方程.
设P(x,y)是圆上任意一点,根 据圆的定义,P到圆心的距离等于 半径r,即 |PC|=r.
由两点间的距离公式,点P适合 的条件可表示为:
D , E , 半径 1是 D2E24F.
2 2
2
圆的一般式方程:
x 2 y 2 D E x F y 0
具有以下特点：
(1) x2与y2项的系数相等且不等零于 ；
(2) 不含 xy项；
(3) D 2E24F0.
例题讲解
例4 用配方法判定下 的列 图方 像程 是否是 如果是，圆 求出它的圆心. 和半径
o
x
y
(2)如果圆心在原点,a=0,b=0,
那么圆的方程是: x2y2 r2
r
o
x
例题讲解
例1已知圆的方 （x程 3)2为 (y1)2 2,求 （1）圆心 C的坐标和圆r； 的半径 （2）判断M 点 （3， 2）、 N（2， 0）、 P（4， 1）
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圆的标准方程
【学习目标】
1明确圆的标准方程的特点，掌握圆的标准方程，以及能通过圆的标准方程熟练地求出
它的圆心和半径，。
2 能判断点与圆的位置关系，会用待定系数法求圆的标准方程
【自主预习】
1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？
2、①若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？
②若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？
③若一个圆的圆心是（a ，b ），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？
3、分析圆的标准方程有何特点？
4、写出下列圆的方程
⑴圆心在原点，半径为3
⑵圆心在点C(3,4),半径为5
⑶经过点P （5，1），圆心在点C(8，-3)
⑷已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB 为直径的圆的方程。
5根据圆的方程写出圆心和半径
⑴
5)3()222=-+-y x （ ⑵2
222()2）（-=++y x
【典例探究】
例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点
)4,3(),1,1(),0,1(321---p p p 和圆的位置关系。
的条件呢？的条件是什么？在圆外内
在圆（思考：点)0()()),(22200>=-+-r r b y a x y x M
例题2、△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。
例题3 已知一个圆C 经过两个点A （2，-3），B （-2，-5），且圆心在直线0
32:=--y x l
上，求此圆的方程。
思考：比较例题2和例题3，你能归纳求任意△ABC外接圆的方程的两种方法吗？
【课堂检测】
1、写出下列圆的标准方程
（1）圆心在C(-3,4),半径长是5（2）圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)
2、已知两点A(4，9),B(6,3),求以AB为直径的圆的方程，并判断点M（6，9），N（3，3）Q（5，3）在圆上、在圆内、还是在圆外？
3、△ABC的三个顶点的坐标分别是A(4，0),B(0，3),C (0,0),求它的外接圆的方程。
4、已知一个圆C 经过两个点A （6，0），B （1，5），且圆心在直线0872:=+-y x l 上，
求此圆的方程。
圆的一般方程
【学习目标】
1讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程转化为圆的标准方程。
2会用转代法求轨迹方程.
【自主学习】
1下列方程分别表示什么图形
（1）01422
2=++-+y x y x
(2) 054222=++-+y x y x
(3) 064222=+--+y x y x
(4) 0F E D 22=++++y x y x
2、圆的一般方程是什么？
3、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
【典例探究】
例题1 △ABC 的三个顶点的坐标分别是A(-1，5),B(-2，-2),C (5，5),求它的外接圆的方
程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。
思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤
例题2一动点M 到定点A （4，0）的距离是到B （2，0）的距离的2倍，求动点M 的轨迹
方程。
例题3已知O 为为坐标原点，P 在圆C ：1)22
2=+-y x （上运动，，求线段OP 的中点M
的轨迹方程。
【拓展提高】
已知实数x,y 满足方程0142
2=+-+x y x ，求：22y x +的最大值和最小值
【课堂检测】
1、 求下列各方程表示的圆的圆心坐标和半径长。
（1）0622=-+x y x （2）022
2=++by y x
（3）0332222=+--+a ay zax y x
2、判断下列方程分别表示什么图形
（1）02
2=+y x
（2）0642-22=-++y x y x
（3）02222=-++b ax y x 3圆
14)32
2=++-）（（y x 关于直线0=+y x 对称的圆的方程是（ ） A 、
14-)322=++）（（y x B 、
13)422=++-）（（y x C 、
13-)422=++）（（y x D 、
14-)322=+-）（（y x 4、已知定点A （4，0）点，P 在圆C ：422=+y x 上运动，，求线段P A 的中点M 的轨迹
方程。
高一.一部数学作业NO.10
1、圆心为C （-1,-1）,半径为2的圆的标准方程（ ）
A 、
21-)1-22=+）（（y x B 、41-)1-2
2=+）（（y x C 、21)122=+++）（（y x D 、41)122=+++）（（y x
2、圆
932
2=++y x ）（表示的圆的圆心与半径分别是（ ） A 、（3，0） ，9 B 、（-3，0） ，C 、（-3，0） ，3 D 、(3, 0) ,3
3、点与圆的位置关系是（ ）
A 、在圆外
B 、在圆内
C 、在圆上
D 、不确定
4、过A(2，-3),B(-2，-5)两点，面积最小的圆的标准方程方程是（ ） A 、204-22=+
）（y x B 、20422=++）（y x C 、
20)422=++y x （ D 、20)422=++y x （ 5、圆122=+y x 的圆心到直线02543=-+y x 的距离是（ ）
A 、5
B 、4
C 、3
D 、2
6、方程29x y -=表示的曲线是（ ）
A 、一条射线
B 、一个圆
C 、两条射线
D 、半个圆
7、圆
5)22
2=++y x （关于点（1，1）的对称的圆的方程为
8、已知圆C 的圆心坐标为C （1，3），且该圆经过坐标原点，则它的标准方程是
9、圆
2
22)()r b y a x =-+-（过原点，则r 、、b a 满足的关系式为 10、使圆
242-2
2=++）（）（y x 上的点与点（5，0）的距离的最大值是 ， 最小值是
11、已知一个圆C 经过两个点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02-:=+y x l 上，
求此圆的标准方程。
12、已知直线l 与圆C 相交于点A （1，0），和点B （0，1）
（1）求圆心所在的直线方程
（2）若圆的半径为1，求圆C 的方程。
，
一、选择题
1
2 3 4 5 6
二、7 ， 8
9 ， 10 最大值 最小值
班级 姓名 日期2012-2-23
高一.一部数学作业NO.11
1、圆0-22=++y x y x 圆心是（ ）
A 、（1，-1）
B 、（2121-，） ，
C 、（21-21，）
D 、（21-21-，） 2、方程06-42-22=++y x y x 表示的图形（ ）
A 、以（-1，2）为圆心，11为半径
B 、以（1，-2）为圆心，11为半径
C 、以（-1，-2）为圆心，11为半径
D 、以（1，2）为圆心，11为半径
3、两圆064-2
2=++y x y x ，06-22=+x y x 的圆心连线方程为 A 、03=++y x B 、05--2=y x
C 、09--3=y x
D 、073-4=+y x
4、圆0862-22=+++y x y x 面积为（ ）
A 、π8
B 、 π4
C 、π2
D 、
π 5、已知直线ax-y+b=0,圆M: 022a -22=++by x y x .则l 与M 在同一坐标系中的图形只
可能是（ ）
A B C D
6、方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围 （ ）
A 、2-<a
B 、032<<-a
C 、02<<-a
D 、 3
22<<-a 7、已知圆C 经过点A （5，1），和点B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为
8、如果圆的方程为022
22=++++k y kx y x 那么当圆的面积最大时，圆心为
9、已知圆0-22=++y mx y x 始终被直线1+=x y 平分，则m =
10、求圆心在x y -=上且过两点（2，0），（0，-4）的圆的一般方程，并把它化成标准方程
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、已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹。