5[1].2 可分离变量的方程
大学高等数学上册讲义笔记可分离变量 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数齐次 二阶常系数非齐次
课时八微分方程考点重要程度分值常见题型1.可分离变量★★★3~0选择、填空6.齐次微分方程★★★3~03.一阶线性微分方程必考10~6大题4.二阶常系数齐次5.二阶常系数非齐次1、可分离变量形式：()()g y dy f x dx =方法：两边同时积分解：分离变量2dyxdx y=两边同时积分2dyxdxy =⎰⎰得：2ln y x C =+22xCx Cy e e e +⇒==⋅11 ()C x x C y e e C e C e ⇒=±⋅==±题2.ln 0xy y y '-=解：ln 0dyxy y dx-=分离变量ln dy dxy y x=两边积分ln dy dxy y x=⎰⎰得1ln ln ln y x C =+11ln ln ln C C x e e x=+=111ln ln (C=)C C C y e xy e x Cx e =⇒=±=±2、齐次微分方程题1.()220x xy dx xydy ++=解：2122y dy x xyxydx xyx++=-=-令y u x =y xu =du y u x dx'=+替换上式得：12du uu x dx u++=-整理得：()2112u du ux u dx u u++=--=-分离变量()211udu dx x u =-+两边积分得()211udu dx x u =-+⎰⎰1ln 1ln 1u x C u ⇒++=-++将y u x =代回1ln 1ln 1y x Cy x x++=-++化简整理：ln1ln y x x C x x y+++=+ln xy x C x y⇒++=+3、一阶线性微分方程解：()1P x =，()xQ x e -=()1P x dx dx x==⎰⎰()()P x dxx x Q x e e e dx x-⎰=⋅=⎰⎰所以方程通解：()x y e x C -=+题2.已知()f x 为可导函数，且满足方程()()20xtf t dt x f x =+⎰，求()f x 解：两边求导()()2xf x x f x '=+整理得2y xy x'-=-()P x x =-()2Q x x =-()212P x dx xdx x =-=-⎰⎰()()22112222x x P x dx Q x e dx xe dx e --⎰=-=⎰⎰故方程通解：()22211122222x x x f x ee C Ce -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭0x =时代入原方程()()20xtf t dt x f x =+⎰()000f ⇒=+()00f ⇒=代入()0,0点，即02C =+2C ⇒=-故()21222x f x e=-通解公式：()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰4、二阶常系数齐次线性微分方程形式：0y Py Qy '''++=题1.求微分方程230y y y '''--=的通解.解：特征方程2230r r --=特征根：11r =-23r =则312x xy C e C e -=+原方程：20y y y '''++=特征方程：2210r r ++=特征根：121r r ==-通解为：()12xy C C x e -=+代入04x y ==得14C =则()24xy C x e -=+()224x xy C e C x e --'=-+代入02x y ='=-得222 42C C -=-=所以方程的解：()42xy x e -=+5、二阶常系数非齐次线性方程形式：()x m y py qy e P x λ'''++=题1.256x y y y xe '''-+=特征方程：2560r r -+=特征根：122,3r r ==通解：2312x xY C e C e =+从原方程可知：2λ=，()m P x x =设方程特解为：()2xy xeax b *=+()()22222xy e axbx ax b *'=+++()()2244842xy e axbx ax b a *''=++++将y *，()y *'()y *''代入原方程化简后得：22ax a b x-+-=对应系数相等1212201a a ab b ⎧-==-⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎩2112xy x x e *⎛⎫⇒=-- ⎪⎝⎭则方程通解为23212112x x xy C e C e x x e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭特征根1r ，2r 通解12r r ≠1212r x r x y C e C e =+12r r =()112r xy C C x e =+12rr iαβ==±()12cos sin x y e C x C x αββ=+课时八练习题1．ln 0xy y y '-=2．23550x x y '+-=3．()33230x y dx xy dy +-=4．sin cos x y y x e -'+=5．()()3222dy x y x dx-=+-6．20y y y '''+-=7．430y y y '''-+=06x y ==010x y ='=8．690y y y '''++=9．450y y y '''-+=10．225521y y x x '''+=--。
总结一阶微分方程的类型及其解法
总结一阶微分方程的类型及其解法一阶微分方程是指只包含未知函数的一阶导数的方程。
一阶微分方程广泛应用于物理、工程、经济等各个领域，并且在实际问题中具有重要的作用。
下面将总结一阶微分方程的类型及其解法。
一阶微分方程可以分为可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、可化为常数系数线性方程、可化为直接积分方程等几种类型。
1.可分离变量方程：可分离变量方程指的是方程可以通过将变量分离到方程的两侧来求解。
形式为dy/dx = f(x)g(y)。
首先将方程化为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
最后可以求出y的解。
2.齐次方程：齐次方程指的是方程为dy/dx = f(x, y)/g(x, y)的形式，其中f(x, y)和g(x, y)为齐次函数。
这类方程可以通过进行变量代换，令y = ux，即可将方程化为可分离变量的形式，进而解出y的解。
3.线性方程：线性方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式。
对于这类方程，可以使用线性常数变易法来求解。
通过引入一个特殊的函数u(x)，可以将方程化为du/dx + [P(x) - Q(x)]u = 0的形式。
然后可以使用可分离变量的方法来求解。
4.伯努利方程：伯努利方程指的是方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n的形式，其中n为常数且n≠0。
1、对于这类方程，可以通过简单的变量代换y = u^(1-n)来将方程化为线性方程，从而方便地求解。
5.可化为常数系数线性方程：可化为常数系数线性方程指的是方程可以通过适当的变换化为形如dy/dx + Py = Q的方程，其中P和Q为常数。
一般来说，这类方程可以通过进行一些适当的代换变量和函数来求解。
6.可化为直接积分方程：可化为直接积分方程是一类特殊的一阶微分方程，形式为M(x,y) +N(x,y)dy/dx = 0。
对于这类方程，可以通过将方程两边进行积分，从而将方程转化为积分方程的形式，进而求出y的解。
可分离变量的微分方程
dV πr 2 dh
(3)
其中r是时刻t的水面半径，右端置负号是由于dh<0 而dV>0的缘故，又因
r 100 2 (100 h) 2 200h h 2
所以(3)式变成：dV π(200h h )dh (4) 比较(2)和(4)两式，得：
设G ( y )、F ( x)分别为g ( y )、f ( x)的原函数, 则 :
G ( y ) F ( x) c
(3)
隐式解:(3)式为微分方程(2)的隐式解 隐式通解:(3) 式中含有任意常数,因此(3)式为微分方 程(2)的隐式通解.
dy 例1 求微分方程 2 xy的通解. dx
此方程为逻辑斯蒂曲线方程.
例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子 而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象
叫做衰变.由原子物理学知道，见到的衰变速度与当
时未衰变的原子的含量M成正比.已知t=0时铀的含量
为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规
律.
dM 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数 .由于 dt 铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM M0000 c ( ) 0.62 2 g 3 5 π 14 105 0.62 2 g 15
π t 4.65 2 g
3 (7 105 103 h 2
5 3h 2 )
解 : 由原方程得 dy 2 xdx y
dy 两端积分得 2 xdx y
当y 0时，有 ln y x 2 c1 ye
x 2 c1
微分方程(可分离变量的微分方程)
即 y xu,
dy du u x , dx dx du 代入原式 u x f ( u), dx du f ( u) u 即 . 可分离变量的方程 dx x
6
齐次微分方程的解
1 : 当 f (u) u 0时,
du 得 ln C1 x , f ( u) u du 即 x Ce ( u ) , （ ( u ) ） f ( u) u y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
13
dy (2) 线性非齐次方程 P ( x ) y Q( x ). dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) 两边积分 ln y dx P ( x )dx , y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
9.2一阶微分方程
最基本的微分方程是一阶微分方程。 一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y’)=0或 y’=f(x,y),其中F(x,y,y’)是x,y,y’的已知函数； f(x,y)是x,y的已知函数。
1
一、可分离变量方程
分离变量方程： g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程：通过适当 变形，能够转化为分离变量方程
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
12
一阶线性微分方程的解法
(1) 线性齐次方程
常见的有解析解的常微分方程---经典总结
常见的有解析解的常微分方程---经典总结1、可分离变量方程：1122()()()()0f x g y dx f x g y dy += 两边同除以12()()0g y f x ≠，得1221()()0()()f x g y dx dy f x g y += 积分，得1221()()()()f xg y dx dy C f x g y +=⎰⎰ 2、齐次方程：'()y y f x =令y u x =，则y ux =，'du y u x dx=+ 于是，原方程()ln ()()du du dx du u x f u x C dx f u u x f u u⇒+=⇒=⇒=+--⎰ 3、可化为齐次型的方程：111222()a x b y c dy f dx a x b y c ++=++ （1）当120c c ==时，11112222()()()ya b a x b y dy y x f f g y dx a x b y x a b x ++===++，利用2求解（2）11220a b a b =，即1122a b a b λ==，则22122222()()()a x b y c dy f g a x b y dx a x b y c λ++==+++ 令22a x b y u +=，则22()du a b g u dx =+，利用1求解（3）11220a b a b ≠，1c ，2c 不全为0解方程组11122200a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩，求交点(,)αβ4、一阶线性方程：'()()y p x y q x +=第一步：求对应齐次方程'()0y p x y +=的通解，得()p x dx y Ce -⎰=第二步：令原方程的解为()()p x dx y C x e -⎰=第三步：代入原方程整理，得()()'()()()()p x dx p x dx C x e q x C x q x e dx C -⎰⎰=⇒=+⎰第四步：写出原方程通解()()[()]p x dx p x dx y q x e dx C e -⎰⎰=+⎰5、贝努里方程：'()()n y p x y q x y +=，其中0,1n ≠令1n z y -=，则原方程1()()1dz p x z q x n dx ⇒+=-(1)()(1)()dz n p x z n q x dx ⇔+-=-，利用4求解6、全微分方程：(,)(,)0M x y dx N x y dy +=，且M N y x ∂∂=∂∂通解为0000(,)(,)x yx y M x y dx N x y dy C +=⎰⎰ 7、不显含y 的二阶方程：''(,')y f x y =令'y p =，则'''y p =原方程'(,)p f x p ⇒=，这个一阶方程的解为1(,)p x C ϕ=即1'(,)y x C ϕ=，原方程通解为12(,)y x C C ϕ=+⎰8、不显含x 的二阶方程：''(,')y f y y =令'y p =，则''dp dp dy dp y p dx dy dx dy=== 原方程1(,)dp f y p dy p⇒=，其解为1(,)p y C ϕ= 即1(,)dy y C dxϕ=，原方程通解为21(,)dy x C y C ϕ=+⎰9、二阶常系数线性齐次方程：220d y dy p q dx dx++=第一步：求特征方程20p q λλ++=的两根。
可分离变量方程
•可分离变量方程
•齐次方程
•其它
一、可分离变量的微分方程
1. 定义： 一阶微分方程：y h( x, y )
dy 即 h( x, y ) dx
f ( x) 若 h( x , y ) g( y )
即形如
g( y )dy f ( x )dx
可分离变量的微分方程.
齐次方程
1、变量代换
2、求解
思考题
dy x y x y 求解微分方程 cos cos . dx 2 2
思考题解答
dy x y x y cos cos 0, dx 2 2 dy x y 2 sin sin 0, dx 2 2
x sin dx , y 2 2 sin 2
由牛顿力学的知识可得 dv F mg kv m ma dt dv 1 mg 即 dt v mg kv m k
mg v0 0 C v k mg t , v k
Ce
k t m
k t mg 1 e m k
例 5 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过 程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间 的距离)随时间t的变化规律.
设M ( x , y)为L上任一点， M
MT为切线, 斜率为 y,
o
x
OMN NMR,
1 MN为法线, 斜率为 , y
N
L
tan OMN tan NMR,
y
M
o
T
R
x
N
L
由夹 角正 切公 式得
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法1. 可分离变量形式：dy/dx=f(x)g(y)，可以通过分离变量的方法将变量分开，然后积分求解。
具体步骤如下：1）将方程改写为g(y)dy=f(x)dx；2）同时对两边积分，即∫g(y)dy=∫f(x)dx；3）求积分，得到方程的通解；4）如果已知初始条件，将初始条件代入通解中，求解常数，得到特解。
2. 齐次方程形式：dy/dx=f(y/x)，可以通过变量代换的方法将方程转化为可分离变量的形式，然后采用可分离变量的方法求解。
具体步骤如下：1）将方程中的变量代换为u=y/x，即令y=ux；2）将方程转化为关于u和x的方程，即dy/dx=u+xdu/dx；3）将转化后的方程改写为u+xdu/dx=f(u)，得到可分离变量的形式；4）采用可分离变量的方法求解，得到方程的通解；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
3. 线性一阶方程形式：dy/dx+p(x)y=q(x)，可以采用积分因子法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)；2）确定积分因子μ(x)，计算公式为μ(x)=exp(∫p(x)dx)；3）将方程乘以积分因子μ(x)得到μ(x)dy/dx+μ(x)p(x)y=μ(x)q(x)，左边可化为d(μ(x)y)/dx；4）对方程进行积分，得到（μ(x)y=∫μ(x)q(x)dx；5）根据已知初始条件求解常数，得到特解。
1. 齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，可以通过特征方程的解法求解，具体步骤如下：1）将方程改写为特征方程m²+pm+q=0；2）根据特征方程的不同情况（实根、复根、重根），求解特征方程得到特征根；3）根据特征根的不同情况，构造方程的通解。
2. 非齐次线性方程形式：d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=f(x)，可以采用常数变易法求解，具体步骤如下：1）先求齐次线性方程的通解；2）根据题目给出的非齐次项f(x)，选取常数变易法的形式y=c(x)y1(x)，其中y1(x)为齐次方程的一个解；3）将常数变易法的形式代入原方程，消去常数项，得到关于c(x)的方程；4）求解c(x)的方程，得到特解；5）齐次方程的通解加上特解，得到非齐次方程的通解。
可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程
dx
2
2
解 d y cos x y cos x y 0,
dx
2
2
d y 2sin x sin y 0,
dx
22
dy 2sin
y
sin x d x, 2
2
ln csc y cot y 2cos x C 为所求通解.
22
2
例3 一个充满气体的气球突然破了一个孔，
漏气的速率正比于气球内气体的质量，
x
x
例6 求方程sin x d y y cos x 5sin x ecos x的通解 dx
解 将方程化为标准型
d y y cot x 5ecos x, dx 则, P( x) cot x, Q( x) 5ecos x ,
利用公式常数变易公式得通解
y e P( x)d x Q( x)e P( x)d x d x C e cot xd x 5ecos xe cotd x d x C
x,
ln y P( x)d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P( x)d x .
2º非齐次线性方程： d y P( x) y Q( x). dx
将 C 变易 C( x) (待定)
作变换 y C( x)e P( x)d x
y C( x) e P( x)d x C( x) [P( x)]e P( x)d x ,
第九章
第二节 可分离变量的微分方程 和一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
二 、一阶线性微分方程
一、可分离变量的微分方程
类型1. d y h( x)g( y) (1.1) dx ——可分离变量的微分方程.
求解法： 设函数g( y)和h( x)是连续的,
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22
5.2 可分离变量的微分方程
当轮船的前进速度为v0时, 推进器停止工作, 已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系 数为mk,其中k > 0为常数,而m为船的质量). 问经过 多少时间, 船的速度减为原速度的一半? dv 解 由题意 m mkv 2 可分离变量的方程 dt dv dv 两端积分 2 kdt 分离变量 2 kdt v v 1 1 1 1 解得 kt C C kt v v0 v0 v 1 v0 初始条件 v (0) v0 当v 时, t 即得. kv0 2
t 解 将关系式 f ( x ) 0 f dt ln 2两边求导, 2 ( x ) f 2 x 2 f ( x ) 2 f ( x ) 得f 2 可分离变量方程 df ( x ) 2dx 分离变量
2x
f ( x)
两边积分 ln f ( x ) 2 x lnC f ( x ) Ce2 x 由原关系式 f (0) ln 2 C ln 2, 得
t 特解 M M 0e , 即为衰变规律.
负号是由于当 t 增加时M单调减少
9
5.2 可分离变量的微分方程
初始条件: 例 求游船上的传染病人数. y(0) 1, y(12) 3 一只游船上有800人,一名游客患了某种传染病, 12小时后有3人发病.由于这种传染病没有早期症状, 故感染者不能被及时隔离. 直升机将在60至72小时 将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的 人数之积成正比. 解 用 y(t)表示发现首例病人后 t 小时时的感染人数, 800 y( t ) 表示 t 刻未受感染的人数, 由题意, 可分离变量微分方程 dy ky(800 y ), 其中k > 0为比例常数. 得 dt dy 分离变量 kdt , y(800 y )
因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系: 5 π 5 3 32 t (7 10 10 h 3h 2 ). 4.65 2 g
15
5.2 可分离变量的微分方程
三、小结
可分离变量的微分方程
( y )dy ( x )dx
解法:
分离变量 两端积分 隐式(或显式)通解
23
P b ( P0 b)eax
8
5.2 可分离变量的微分方程
例 衰变问题.衰变速度与未衰变原子含量M成 正比, 已知M t 0 M0 , 求衰变过程中铀含量 M (t)随 时间 t 变化的规律. dM , 由题设条件 分离变量 解 衰变速度 dt dM dM dt M ( 0衰变系数 ) M dt dM 两端积分 M dt , ln M t lnC , 得, 通解 M Cet , 代入 t 0 M0 , 得 M 0 Ce0 C M
10
5.2 可分离变量的微分方程
dy kdt , y(800 y )
初始条件 y(0) 1, y(12) 3
1 1 1 dy kdt , 即 800 y 800 y 1 [ln y ln( 800 y )] kt C1 , 两边积分, 得 800 800 y 通解 (C e800C1 ). 1 Ce 800kt 由初始条件 y(0) 1, 得 C 799. 再由 y(12) 3, 1 799 便可确定出 800k ln 0.09176 . 12 2397 800 所以 y( t ) 0.09176t . 1 799e
( y )dy ( x )dx
可分离变量的方程
特点 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个
变量的微分之积. 两端积分可得通解.
5.2 可分离变量的微分方程
可分离变量的方程求通解的步骤是: 1. 分离变量, 把方程化为 ( y )dy ( x )dx 的形式; 2. 将上式 两边积分 ( y )dy ( x )dx C ; 其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x , C ) 就是方程的通解 (隐式通解).
o hdh
即
d V 0.62 2gh d t
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0 ),
13
5.2 可分离变量的微分方程
对应下降体积
d V 0.62 2gh d t
2 2
dV π r 2 dh
200h h2 r 100 (100 h) h 2 dV π ( 200h h ) dh h r 因此得微分方程定解问题:
f ( x ) e2 x ln 2.
18
5.2 可分离变量的微分方程
作业
习题5.2(145页) 1.(1)(3)(5)(7)(13) 2.(2)(3)(7) 3. 5. 6.
19
5.2 可分离变量的微分方程
一、举 例
如果一阶微分方程 F ( x, y, y) 0 可以写成 y f ( x ) g( y ) 的形式,
16
5.2 可分离变量的微分方程
思考题
设f ( x )满足关系式 f ( x )
则f ( x ) ( B ).
0
考研数学一, 3分
2x
t f dt ln 2, 2
A. e x ln 2; B. e2 x ln 2; C. e x ln 2; D. e2 x ln 2
或
可分离变量的方程
M1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0
易于化为形式 ( y )dy ( x )dx 特点 等式的每一边仅是一个变量的函数与 这个变量的微分之积. 两端积分可得通解.
20
5.2 可分离变量的微分方程
( y )dy ( x )dx , 可分离变量方程的初值问题 y x x0 y0
这种解方程的方法称为 分离变量法.
3
5.2 可分离变量的微分方程
例 求方程 x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 的通解.
y x 解 分离变量 2 dy 2 dx 1 y 1 x y x 两端积分 2 dx 2 dy 1 x 1 y
1 1 1 2 2 ln ( y ) ln ( x ) ln C 1 1 2 2 2
分析 有两种方法
其一, 将所给选项代入关系式直接验算, (B)正确.
其二, 对积分关系式两边求导化为微分方程,
并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程
所应满足的初始条件.
17
5.2 可分离变量的微分方程
一般, 未知函数含于变上限的积分中时, 常可 通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初 始条件而解之.
100cm
o hdh
将方程分离变量: 3 1 π dt ( 200h 2 h 2 ) dh 0.62 2 g
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5.2 可分离变量的微分方程
3 1 h π 2 2 dt ( 200h h ) dh 0.62 2 g h r 100cm 两端积分, 得 o hdh π 3 1 2 2 t ( 200h h ) dh 0.62 2 g π 400 3 2 2 5 2 ( h h ) C h t 0 100 0.62 2 g 3 5 π 14 105 利用初始条件, 得 C 0.62 2 g 15
x
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5.2 可分离变量的微分方程
注 应用问题建立微分方程的方法: 直接利用物理定律、经济学知识或几何条件 列出方程, 常见的物理定律有力学、热学、光学、 电学的定律.
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5.2 可分离变量的微分方程
二、应 用
例 根据经验知道, 某产品的净利润P与广告支 dP 出x有如下的关系: a(b P ) dx 其中a为正的比例常数, b为正的常数; 且广告支出 为零时, 净利润为P0, 0 P0 b. 求净利润 P P ( x ). 解 将题设方程 分离变量得 1 dP adx Pb 两端积分得 ln( P b) ax ln C 0 由此可得 P0 b Ce ax C P0 b. 净利润为
11Biblioteka 5.2 可分离变量的微分方程
直升机将在60至72小时将疫苗运到, 试估算疫苗 运到时患此传染病的人数. 800 y( t ) 0.09176t . 1 799e 下面计算 t 60, 72 小时时的感染者人数 800 y(60) 0.0917660 188, 1 799e 800 y(72) 0.0917672 385. 1 799e 从上面数字可看出,在72小时疫苗运到时, 感 染的人数将是60小时感染人数的2倍. 可见在传染 病流行时及时采取措施是至关重要的.
5.2 可分离变量的微分方程
5.2
可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程 应 用 举 例 小结 思考题 作业
第5章
微分方程
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5.2 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F ( x , y , y ) 0 或
y' f ( x, y),
如果一阶微分方程能够化为形如
ln( y ) lnC (1 x ) 1
2 2
1 y 2 C (1 x 2 ) 为方程的通解.
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5.2 可分离变量的微分方程
考研数学三, 四(4分)
微分方程 xy y 0 满足初始条件y(1) 2的特解为 xy 2. 可分离变量方程 dy dx 解 分离变量 y x dy dx 两端积分 y x ln y ln x ln C C 所以 y 为方程的通解. 2 x 1