2010年兰州市高三诊断考试试卷数学(理科)第一次
2023年甘肃省第一次高考诊断考试第一次理科数学答案
故 ｇ（ｘ）≤ｇ（１）＝０，
所以当 ａ＝１时，ｌｎｘ≤ｘ－１，即 ｆ（ｘ）≤ｘ－１． ４分
⑵①解：令 ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ，则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ－１＝ａｘ－ｘ，
当 ０＜ｘ＜ａ时，ｈ′（ｘ）＞０，函数 ｈ（ｘ）为增函数；当 ｘ＞ａ时，ｈ′（ｘ）＜０，函数 ｈ（ｘ）为减函数，
令 Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ， ２
则 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ， 由（１）知 ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知 ｅｌｎｘ≤ｘ，即 ｌｎｘ≤ ｘ ｅ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案 第 ５页 （共 ６页）
得 ２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
( ) ∴曲线 Ｃ是以点 １２，０为焦点，直线 ｘ＝－１ ２为准线的抛物线，
其方程为：ｙ２＝２ｘ． ４分
（２）设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－１），设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
{联立
ｙ２ ＝２ｘ ，可得
ｙ＝ｋ１（ｘ－１）
ｋ２ １ｘ２ －（２ｋ２ １ ＋２）ｘ＋ｋ２ １ ＝０，
则 Δ＝（２ｋ２ １＋２）２－４ｋ４ １＝４（２ｋ２ １＋１）＞０， 且 ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ １ｋ２ １＋２＝２＋ｋ２２ １，ｘ１ｘ２＝ｋ ｋ２ １ ２ １ ＝１， ６分
第一次诊断理科数学答案 第 ４页 （共 ６页）
故 Ｐ（１＋ｋ１２ １，ｋ１１），同理可得 Ｑ（１＋ｋ１２ ２，ｋ１２），
则直线
ＰＱ的方程为
ｙ－ｋ１１
１ ＝ｋ１２
ｋ２ ２
－ －ｋ ｋ１ １１ ２ １（ｘ－１－ｋ１２ １），又
ｋ１ ＋ｋ２ ＝２，
直线 ＰＱ的方程可化为 ｙ＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１－ｋ１２ １）＋ｋ１１ ＝ｋ１２ｋ２ｘ－ｋ１２ｋ２－ｋ２２ｋ－１２＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１）＋１２，
兰州市高三第一次诊断考试数学
2014年兰州市高三第一次诊断考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P ( ) A ．)0,2(-B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-2. i 是虚数单位,复数31ii--= ( ) A ． 2i +B ．12i -C ．i 21+D ．2i -3.已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++，S 13=( ) A ．78B ．68C ．56D ．524.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．63π+B ．π343+C ．π3433+D ．633π+5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ）A ．c ﹤b ﹤aB ．a ﹤c ﹤b C. c ﹤a ﹤b ． D ．b ﹤c ﹤a6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7. 对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据（x i ，y i )(i=1，2，…，8)，其回归直线方程是a x y +=31：，且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6，则实数a 的值是（ ）A.161 B. 81C. 41D. 21 8．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=9. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )(A)3 (B)43(C)12 (D)－210．设,x y ∈R ,1,1a b >>，若2x y a b ==，24a b +=，则21x y+的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．411.。
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)(含答案解析)
甘肃省兰州市2021届高考数学诊断试卷(理科)(3月份)(一模)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={1,3,5,7}，B={1,3,5,6,7}，则集合∁U(A∩B)是()A. {2,4,6}B. {1,3,5,7}C. {2,4}D. {2,5,6}2.已知复数z=2−3i2+i(i是虚数单位)，则z的实部和虚部的比值为()A. −18B. 18C. −8D. 83.已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =10，|a⃗+b⃗ |=5√2，且a⃗=(2,1)，则|b⃗ |=()A. 3√2B. 5C. 2D. √24.等轴双曲线x2−y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积()A. 12B. 2C. 1D. 45.2个人分别从3部电影中选择一部电影购买电影票，不同的购买方式共有()A. 6B. 9C. 8D. 276.已知函数y=f(x)的大致图象如图所示，则函数y=f(x)的解析式可能为()A. f(x)=cosx⋅ln x−11+xB. f(x)=cosx⋅ln x+1x−1C. f(x)=sinx⋅ln x−11+xD. f(x)=sinx⋅ln x+1x−17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的表面积为27π，△A1DB与A1DC1的重心分别为E，F，球O与该正方体的各条棱都相切，则球O被EF所在直线截的弦长为()A. √172B. 2√3C. 3√2D. √178.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是()A. N店营业额的平均值是29B. M店营业额的平均值在[34,35]内C. N店营业额总体呈上升趋势D. M店营业额的极差比N店营业额的极差大9.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A. x∈R，f(x)≤f(x0)B. −x0是f(−x)的极小值点C. −x0是−f(x)的极小值点D. −x0是−f(−x)的极小值点10.已知命题p：若θ=150°，则sinθ=12，则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 311.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且△PF1F2的周长为12，那么C的方程为()A. x225+y2=1 B. x216+y24=1 C. x225+y224=1 D. x216+y212=112.方程2x+x=0的根为a，方程log3x+x=0的根为b，那么()A. a>bB. a<bC. a=bD. 不确定二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为______．14. 已知，实数满足约束条件，若的最小值为，则的值为 ．15. 已知正方体的棱长为a ，该正方体的外接球的半径为√3，则a = ______ ．16. 在平行四边形ABCD 中，AB =2，BC =1，∠ABC =120°，P 是AC 上一点，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 7=7，S 15=75，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =S n n ，求证数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n ．18. 如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为AB 的中点．(Ⅰ) 求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；(Ⅱ) 求证：BC 1//平面A 1CD ．19. 某校高三年级组为了缓解学生的学习压力，举办元宵猜灯谜活动。
2009-2010学年兰州一中高三第一次月考文
2009-2010学年度兰州一中高三第一次月考数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目标号涂连云港，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，在试卷上答案无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合=⋃-≤=<-+=)(},3|{},0)1)(3(|{N M C x x N x x x M R 则（ ）A ．}1|{≤x xB ．}1|{≥x xC ．}1|{<x xD ．}1|{>x x 2．命题：“若11,12<<-<x x 则”的逆否命题是（ ）A ．若11,12-≤≥≥x x x 或则 B ．若1,112<<<-x x 则C ．若1,112>-<>x x x 则或D ．若1,112≥-≤≥x x x 则或 3．不等式21≥-xx 的解集为（ ）A ．[)0,1-B ．[)+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．(]()+∞⋃-∞-,01, 4．若条件q p x x q x p 是则条件,65:,4|1:|2-<≤+的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．曲线)1,0(1323P x x y 在+-=处的切线方程是 （ ）A ．1+=x yB ．不存在C ．x=0D ．y=16．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．)1(222<+-=x x x y B ．)1(222≥+-=x x x yC ．)1(22<-=x x x yD ．)1(22≥-=x x x y7．若不等式6|2|<+ax 的解集为（-1，2），则实数a 等于 （ ）A ．8B ．2C ．-4D ．-88．函数12)21()(log )(-==x x g x x f 与在同一直角坐标系中的图象是（ ）9．定义在R 上的函数⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),4(log )(2x x f x f x x x f ，则)3(f 的值为（ ）A ．-1B ．-2C ．1D ．2 10．若,44lg ,33lg ,22lg ===c b a 则（ ）A ．b c a <=B ．b c a >=C ．c b a <<D ．c b a >>11．已知定义在R 上的奇函数)()1()(x f x f x f -=+满足条件，则+++)3()2()1(f f f )6()5()4(f f f ++的值为（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．3 12．函数)1,0(33)(3在b bx x x f +-=内有极小值，则 （ ）A ．0>bB ．10<<bC ．1<bD ．21<b 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：本卷共10小题，用黑色碳素笔将答案答在答题卡上。
2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案
2020年兰州市高三诊断考试（理数） 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}*2,B x x n n N==∈，则AB =（ ）{}.0,2,4A {}.2,4B {}.1,3,5C {}.1,2,3,4,5D2.已知复数522iz i=+−，则z =（ ）.5B .13CD3.已知非零向量,a b ，给定:p R λ∃∈，使得a b λ=，:q a b a b +=+，则p 是q 的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.若21tan 5722sincos 1212tan2αππα−=，则tan α=（ ）.4A .3B .4C − .3D −5.已知双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的一条渐近线过点()2,1−，则它的离心率是（）2ABCD 6.已知集合46911,,,,55555A πππππ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，从A 中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1.10A 2.5B 3.5C 3.10D7.已知函数()ln f x =，且()0.20.2a f =，()3log 4b f =，13log 3c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A a b c >> .B c a b >> .C c b a >> .D b c a >>8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1所示，绘制相应的散点图，如图1所示：表1 根据表1及图1得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r ，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r ，则12r r <；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时草场植被指数。
3 甘肃省兰州市2014届高三第一次诊断考试数学(理)试题
兰州市2014高三第一次诊断考试数学（理科）试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 已知集合}0)3(|{<-=x x x P ，}2|||{<=x x Q ，则=Q P （ ） A ．)0,2(- B ．)2,0(C ．)3,2(D ．)3,2(-答案 B解析 }22|{},30|{<<-=<<=x x Q x x P ，)2,0(=∴Q P . 2. i 是虚数单位,复数31ii--= （ ） A ． 2i + B ．12i -C ．i 21+D ．2i -答案 A 解析i i i i i i i +=-+-+=--2)1)(1()3)(1(13. 3.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈B ．5sin()()212x y x R π=+∈ C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈答案 B解析 将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度的函数)125sin()64sin(πππ+=++=x x y 的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得函数，)R )(12521sin(∈+==x x y π.4.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A ．63π+ B ．π343+C ．π3433+D ．633π+答案 D解析 依题意，原几何体是一个三棱柱上面放一个球题，其体积63)21(3460sin 22213ππ+=⋅+⋅⋅⋅=V . 5.设3212a=log 2b=log 3c=log 5，，,则（ ） A ．a b c << B ． b c a << C. b a c <<D ．a c b <<答案 C解析 12log 03<<，13log 2>，051log 5log 5log 2221<=-=，b a c <<∴. 6. 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案 D解析 ①由平面与平面垂直的判定定理知，是真命题；②当直线m ，n 平行时，α与β不一定平行，是假命题；③直线n 与平面α可能平行，假命题；④真命题. 故正确的命题是①④. 7.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有( )种.A.150B.300C.600D.900 答案 C解析 分两步，第一步，先选4名教师，又分两类：第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有1025=C 种不同的方法，第二类，甲不去，则丙一定去，乙可能去也可能不去，有1546=C 种不同的方法，∴不同的选法有251510=+种.第二步，四名教师去4个边远地区支教，有2444=A 种方法，最后由乘法原理，共有6002425=⨯种不同的方法.8．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=答案 C解析 依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=2222223443cb a a bc ，解得92=a ，162=b ，双曲线方程为221916x y -=.9.下列五个命题中正确命题的个数是( )①对于命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++> ②3=m 是直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 互相垂直的充要条件③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08④若实数[],1,1x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π⑤ 曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是120()S x x dx =-⎰A.2B.3C.4D.5 答案 A解析 对①，因为命题2:,10p x R x x ∃∈++<使得，则:p x R ⌝∀∈，均有012≤++x x ，故①错误；对②，由于直线02)3(=-++my x m 与直线056=+-y mx 垂直的充要条件是3=m 或0，故②错误；对③，设线性回归方程为a x y+=23.1ˆ，由于样本点的坐标)5,4(满足方程，则a +⨯=423.15，解得08.0=a ，∴回归直线方程为08.023.1ˆ+=x y ，故③正确；对④，有几何概型知，所求概率为41221222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故④错误；对⑤，曲线2y x =与y x =所围成图形的面积是dx x x )(12⎰-，正确.故正确的是③⑤，共2个.10. 执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为( )A.3B.43C.12D.－2答案 C解析 由1,3==k S ，第一次循环，34322=-=S ，211=+=k ； 第二次循环，213422=-=S ，312=+=k ； 第三次循环，22122-=-=S ，413=+=k ；第四次循环，3222=--=S ，514=+=k ； ⋅⋅⋅则S 的值以4呈周期性变化，当2010=k 时，34=S ，满足进行循环的条件，第2010次循环后，21=S ，2011=k ，不满足循环条件，故输出的S 值为21.11.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n C ，n D 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上，若点n B 的坐标)N ,2)(0,(*∈≥n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220答案 B解析 点n B 的坐标为)0,(n )N ,2(*∈≥n n ，顶点n C 、n D 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上，)1,(n n n C n +∴，依题意，)1,1(n n n D n +，)N ,2(1||*∈≥-=∴n n nn B A n n ， n nn n n a n 4)1(2)1(2=-++=∴，41=-∴+n n a a ，又41=a ，∴数列}{n a 数首项为4，公差为4的等差数列，21629)408(29)(1021032=⨯+=⨯+=+⋅⋅⋅++∴a a a a a .12. 设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数：①()f x 是D 上单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上值域为[,]a b . 现已知()f x k=为闭函数，则k 的取值范围是（ ） AB ．1k <CD ．1k >- 答案 A解析 函数12+=x y 是定义在),21[+∞-上的增函数，k 为常数， ∴函数k x x f ++=12)(在),21[+∞-上的增函数，因此函数k x x f ++=12)(为闭函数，则存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ，可得函数)(x f y =的图象与直线x y =相交于点),(a a 和),(b b ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++∴bk b a k a 1212，即方程12+-=x x k 在),21[+∞-上有两个不等的实数根a 、b ，令12+=x t ，则212-=t x ，设函数0),(12)(≥=+-=t t g x x x h ，即（2121)(2--=t t t g ，在]1,0[∈t 时，)(t g 为减函数，则21)(1-≤≤-t g ；在),1[+∞∈t 时，)(t g 为增函数，则1)(-≥t g ，∴当211-≤<-k 时，有两个不等的t 值使得k t g =)(成立，相应地有两个不等的实数根a 、b 满足12+-=x x k ，故当k x x f ++=12)(为闭函数时，实数k 的取值范围是211-≤<-k . 第Ⅱ卷 （90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．在531⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为 . 答案 10解析 由32553551)1()(rr r r rr r xC xx C T ---+⋅=⋅⋅=，0325=--∴rr ，解得3=r ，∴所求的展开式的常数项为1035=C .14．已知x ，y 满足约束条件220344,0x x y x y y ≥⎧⎪+≥+⎨⎪≥⎩则的最小值是 .答案 2516解析 不等式组表示的平面区域是图中直线右上方的阴影部分，22y x +的最小值为圆心)0,0(到直线0443=++y x 的距离2||OA ，即2516)434(22=+.15. 如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是.答案 x y 32=解析 如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，分别交准线于D 、E ，设a BF =||，则由已知得a BC 2||=，由抛物线的定义知a BD =||，故30=∠BCD ，在直角三角形ACE 中，a AC AF 33||,3||+==， ||||2AC AE =∴，633=+∴a ，即3=a ，又FG BD //，321=∴p ，即23=p ，故所求抛物线方程为x y 32=.16.数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若10112b b ⋅=，则21a = . 答案 1024 解析 由n n n a a b 1+=，且11=a ，得2121a a ab ==， 232a a b =，即21223b b b a a ==， 343a a b =，即321334b b b b a a ==，⋅⋅⋅1321-⋅⋅⋅=∴n n b b b b a ，2032121b b b b a ⋅⋅⋅=∴，数列}{n b 为等比数列，10242)()()()(10101110111019220121===⋅⋅⋅⋅=∴b b b b b b b b a .三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量)cos ,(cos C B m =，(2,)n a c b =+，且⊥.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3=b ，求c a +的范围.解析 （Ⅰ）∵ )cos ,(cos C B =，(2,)n a c b =+，且⊥.0cos )2(cos =++∴C b c a B ，0cos sin )sin sin 2(cos =++∴C B C A B ， 0cos sin sin cos sin cos 2=++C B C B A B ，即A C B A B sin )sin(sin cos 2-=+-=，21cos -=∴B ，而 1800<≤B ，故120=B . （6分）（Ⅱ）由余弦定理，得ac c a ac c a ac c a b -+=++=-+=222222)(32cos2π 222)(43)2()(c a c a c a +=+-+≥ ， 当且仅当c a =时，取等号. 4)2≤+∴c a （， 2≤+c a ，又3=>+b c a ， ]2,3(∈+∴c a . （12分）18.（本题满分12分)某学校实施“十二五高中课程改革”计划，高三理科班学生的化学与物理水平测试的成绩抽样统计如下表.成绩分A(优秀)、B(良好)、C(及格)三种等级，设x 、y 分别表示化学、物理成绩. 例如：表中化学成绩为B 等级的共有20+18+4=42人.已知x 与y 均为B 等级的概率为0.18.（Ⅰ）求抽取的学生人数；（Ⅱ）若在该样本中，化学成绩的优秀率是0.3，求b a ,的值；（Ⅲ）物理成绩为C 等级的学生中，已知10≥a ,1712≤≤b , 随机变量b a -=ξ，求ξ的分布列和数学期望. 解析 （Ⅰ）依题意，18.018=n，得100=n . （2分） （Ⅱ）由3.010097=++a，得14=a .∵100654182097=++++++++b a ，∴17=b ， （5分） （Ⅲ）由题意，知31=+b a ，且1712,10≤≤≥b a ，∴满足条件的),(b a 有：(14,17),(15,16),(16,15),(17,14),(18,13),(19,12)，共6组. ∵b a -=ξ，∴ξ的取值为1,3,5,7.3162)1(===ξP ，3162)3(===ξP ，61)5(==ξP ，61)7(==ξP . （8分） 故ξ的分布列为∴367653331=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （12分）19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222,AB AD CD E ===是PB 的中点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC（Ⅱ）若二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明： ⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2,2===CD AD AB ，2==∴BC AC ， 222AB BC AC =+∴，则BC AC ⊥，又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC . （4分）（Ⅱ）如图，以C 为原点，取AB 的中点F ，以、、CP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,1,1(A ，)0,1,1(-B ，设，则)2,21,21(aE -， )0,1,1(-=，),0,0(a =，)2,21,21(a-=，取)0,1,1(-=，则0=∙=∙，即为平面PAC 的一个法向量， 设),,(z y x n =为平面EAC 的一个法向量，则0=∙=∙CE m CA m ，则⎩⎨⎧=+-=+00az y x y x ，取a x =，2,-=-=∴z a y ，则2,,(-a a依题意，362|,cos |2=+==><a a ，2=∴a ， （10分） 于是)2,2,2(-=，)2,2,1(-=，设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则32|,cos |sin ==><=θ， 故直线PA 与平面EAC所成角的正弦值3. （12分） 20．（本小题满分l2分）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2a x =交x 轴于点A ，且122AF AF =． （Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示） 试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．解析 （Ⅰ）由题意，212||22,(,0),F F c A a ==∴212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点2,322==∴b a 即：椭圆方程为.12322=+y x （3分）（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==a b DE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN的面积||||42DE MN S ⋅==．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积||||42DE MN S ⋅==． 当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 （6分）所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-k k x x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=，同理22211)1]3(1)||.1323()2k k MN k k -++==+-+ （9分）所以四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=k k k k令u uu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=k k u 当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S ．综上可知，96425S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596． （12分）21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中()g x 的函数图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．（Ⅰ）确定a 与b 的关系；（Ⅱ）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y （12x x <） 证明：2111k x x <<． 解析 （Ⅰ）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++， 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++=. ∴21b a =-- . （3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a =时，1'()x g x x-=-由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >， 即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a=， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<，即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减；若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减；若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，综上所述：当0a =时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增；当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增．（8分） （Ⅲ）依题意得21212121ln ln y y x x k x x x x --==--， 证2111k x x <<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-因210x x ->，即证21221211ln x x x x xx x x --<< 令21x t x =（1t >），即证11ln 1t t t -<<-（1t >）令1()ln 1h t t t=+-（1t >）则22111'()t h t t t t-=-=0>∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-（1t >）. ① 令1ln )(+-=t t t u ， ∵tt t t u -=-='111)(，又∵1>t ，∴)(t u 在),1(+∞单调递减， ∴0)1()(=<u t u ∴1ln -<t t ② 综①②得11ln 1t t t-<<-（1t >），即2111k x x <<． （12分） 四、选做题：22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90ABC ，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连接OD 交圆O 于点M . （Ⅰ）求证：O 、B 、D 、E 四点共圆； （Ⅱ）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22证明：（Ⅰ）连接BE 、OE ，则EC BE ⊥ 又D 是BC 的中点，所以BD DE = 又OB OE =，OD OD = 所以ODB ODE ∆≅∆. 所以︒=∠=∠90OBD OED所以O 、B 、D 、E 四点共圆. （5分） （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点H因为)(2OH DO DM DH DM DE +⋅=⋅=OH DM DO DM ⋅+⋅=.所以)21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=OABDC EM所以AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22 . （5分） 23.（本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标.解析 （Ⅰ）由22)4cos(=-πθρ得4)sin (cos =+θθρ，则直线l 的普通方程为04=-+y x .由⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x 得曲线C 的普通方程为1322=+y x . （5分） （Ⅱ）在:C 1322=+y x 上任取一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离为 232|42|2|4)3sin(2|2|4sin cos 3|=--≤-+=-+=πθθθd ，∴当1)3sin(-=+πθ，即Z ,265∈+-=k k ππθ时，23=Max d ，此时点)21,23(--P . （10分)24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）已知x 、y 都是正实数，求证：2233xy y x y x +≥+；（Ⅱ）对满足1x y z ++=的一切正实数,,x y z 恒成立，求实数a 的取值范围.解析 （Ⅰ）证明：由)()()()(222233x y y y x x xy y x y x -+-=+-+ ))((22y x y x --=)()(2y x y x +-=. 又x 、y 都是正实数，所以0)(2≥-y x 、0>+y x ，即0)()(2233≥+-+xy y x y x所以2233xy y x y x +≥+. （5分） （Ⅱ）根据柯西不等式有(()()222222221111113333618x y z +=⎡⎤≤++++=⋅+++=⨯=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦≤.又1a -≥恒成立，1a ∴-≥，1a ∴-≥或1a -≤-，即1a ≥+或1a ≤-，所以a 的取值范围是(),1132,⎡-∞-++∞⎣. （5分）。
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题(含答案解析)
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．{}5A x x =∈N 是不大于的奇数，{}3,2,3B =-，则集合A B ⋃=（）A ．{}3,1,3,5-B ．{}3,1,2,3-C ．{}3,1,2,3,5-D ．{}32．已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（）A ．1i --B ．1i +C ．1i -+D ．2i-+3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）x 的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克）0.520y x =-+，则市场需求量的方差为（）A ．8B ．4C ．D ．24．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n n γ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（）A ．()4ln 210⨯B ．4ln 2+C ．4ln 2-D ．ln 25．已知点P 在圆22:40C x x y -+=上，其横坐标为1，抛物线()220x py p =->经过点P ，则抛物线的准线方程是（）A ．6y =B ．12x =C ．6x =D ．12y =6．2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教A 版，人教B 版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是（）A ．20B ．18C ．16D ．107．已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a”，则以下命题为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间[]1,5内的任意两个实数x ，y ，则输出的0z <的概率为（）A ．18B ．14C ．12D ．349．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm ）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）A ．28dm B ．244dm C ．248dm +D ．28dm +10．下面关于函数()f x =．．．的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的对称中心为()π,0kC ．()f x 的单调增区间为()2π,2ππk k +D ．()f x 的对称轴为πx k =11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线上存在关于原点O 对称的两点M 和N ，若双曲线的左、右焦点12,F F 与,M N 组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为2，则双曲线的离心率为（）A B CD12．已知函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中sin 6a π=，33sin cos 44b =，3sin cos 4c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x b x c -->B ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x a x b --<，()()220x a x b -->C ．函数()f x 有两个零点1x ，()212x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x a x b --<D ．函数()f x 只有一个零点0x ，且()()000x a x b -->，()()000x b x c --<二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AB CD ，0AD AB ⋅= ，112AD CD AB === ，则BC CD ⋅=______．14．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．16．定义：如果任取一个正常数T ，使得定义在R 上的函数()y f x =对于任意实数x ，存在非零常数m ，使()()f x T m f x +=，则称函数()y f x =是“ξ函数”．以下关于“ξ函数”的判断：①函数x b y ka +=（0a >且1a ≠，k 、b 为非零常数）必是“ξ函数”；②若1m >，则“ξ函数”()f x 为增函数；③若“ξ函数”满足对任意实数x ，都有()0f x >，则所有的三、解答题17．已知数列{}n a ，11a =，对任意的i *∈N 都有n i n a a i +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足：12n n n n b ab a ++=，且11b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．(1)在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =cos 5SBM ∠=；③sin 3SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值．19．2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强113109451512131010551403136108524414108550515138835263合计66444525256245(1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)淘汰赛阶段全场比赛90分钟内进球多的球队获胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负，将进行30分钟的加时赛．加时赛阶段，如果两队仍未分出胜负，则通过点球决出胜负．若每支球队90分钟比赛中胜，负，平的概率均为13，加时赛阶段胜，负，平的概率也均为13，并且各阶段比赛相互独立．设半决赛中进行点球比赛的场次为ξ，求ξ的分布列及期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．已知12,F F 是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．(1)求椭圆E 的方程；(2)若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>的离心率为2，点P 也在1E 上，求证：直线AB与1E 相切．21．已知函数()()ln ln *nf x x x n x n =-∈N ．(1)当1n =时，求函数()y f x =的单调区间；(2)当1n >时，函数()y f x =的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点Q 在右侧．（ⅰ）若函数()y f x =在点Q 处的切线为()y g x =，求证：当1x >时，()()f x g x ≥；（ⅱ）若方程()()01f x t t n =<<-有两根a ，b．求证：ln a b n-<22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos a ρρθ=+，其中1a >-．(1)当0a =时曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；(2)过点()3,1P -的直线l的参数方程为3,212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线2C 交于A 、B 两点，若1PA PB ⋅=，求实数a ．23．已知()212f x x x =++-．(1)解不等式()4f x ≥；(2)若对于任意正实数x ，不等式()10f x ax +->恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】列举法表示集合A ，根据并集定义可得结果.【详解】{}13,5A = ,，{}3,2,3B =-，{}3,1,2,3,5A B ∴=- .故选：C.2．C【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+，所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+.故选：C 3．A【分析】由草莓价格x 的方差结合方差的性质得出市场需求量的方差.【详解】1(1216202428)205x =⨯++++=，则草莓价格x 的方差为222221(1220)(1620)(2020)(2420)(2820)325⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.因为0.520y x =-+，所以市场需求量的方差为2(0.5)328-⨯=.故选：A 4．D【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可.【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000ln ln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5．D【分析】结合圆的方程可求得P 点坐标，代入抛物线方程可确定p 的值，进而确定准线方程.【详解】将1x =代入圆C 方程得：23y =，解得：y =(P ∴或(1,P ，P 在抛物线()220x py p =->上，1∴=-或1=，解得：p =p =，∴抛物线方程为2x y =，∴抛物线的准线方程为：y =.故选：D.6．C【分析】求得6个版本的教材中选3个版本的情况，和人教版的教材同时被选择的情况，利用间接法求解即可．【详解】解：在6个版本的教材中选3个版本，共有36C 20=种选择，人教版的教材同时被选择，有2142C C 4=种选择，故人教社两个版本的教材不同时被选择，有20416-=种选择．故选：C ．7．A【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解.【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，对角线长为2，所以外接球的表面积为223π4π42a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题.故选：A.8．B【分析】根据程序框图执行循环体，即可确定满足条件的z 满足0021z x y =--，结合几何概型的面积之比即可求解.【详解】由程序框图可知：输入0x ，[]01,5y ∈时，当1n =时，满足循环体，执行循环体，00,0.5x y y =+，2n =，当2n =时，满足循环体，执行循环体，此时002,1x x y y ==+，3n =，当3n =时，不满足循环体，退出循环，输出0021z x y =--建立如图所示的直角坐标系，()00,x y 为正方形区域内的任意一点，因为0z <，即00210z x y =--<，所以满足00210x y --<的点在直线210x y --=的左侧，根据几何概型即可求解输出的0z <的概率为12412444⨯⨯=⨯，故选：B9．A【分析】根据三棱柱和棱台表面积公式计算即可.【详解】由题可得正三棱柱的底面积为：2122sin 602⨯⨯⨯︒=，正三棱柱的外露表面积为：222228⨯⨯=+，=，四棱台外露表面积为：()214262⨯⨯+⨯=，该结构表面积为：288dm +.故选：A 10．B【分析】首先求出函数的定义域，再利用二倍角公式将函数解析式化简，最后结合正切函数的性质一一分析即可.【详解】解：对于()f x =π2π,Z x k k ≠+∈，即函数的定义域为{}|π2π,Z x x k k ≠+∈，又22sin 1cos 2()tan sin 22sin cos22x xxf x x x x-====，对于A ：函数的最小正周期π2π12T ==，故A 正确，对于B ，D ：()tan tan ()22x xf x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭ ，()f x ∴为偶函数，()()()2πf x k f x f x ∴+==-，()f x ∴的对称轴为πx k =，Z k ∈，故B 错误，D 正确，对于C ，当()2π,2ππx k k ∈+，Z k ∈，即ππ,π22x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()tan 2xf x =单调递增，故C 正确，故选：B ．11．C【分析】设()(),,0M m n m n >，根据矩形对角线长相等和矩形面积可构造方程组，化简得到关于,a c 的齐次方程，解方程可求得离心率.【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：b y x a=±，不妨设,M N 在by x a =上，设()(),,0M m n m n >，则(),N m n --，b n m a∴=， 四边形12F MF N 为矩形，122MN F F c ∴==，222m n c ∴+=，矩形12F MF N的面积221442MOF S S ==⨯= ，∴由22222b n m a m n c cn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩得：422460c a c a --=，即4260e e --=，解得：23e =，e ∴=故选：C.12．B【分析】由已知可得12a =，12b <，12c >，进而利用零点存在性定理可得结论．【详解】解：因为π1sin62a ==，331311sin cos sin sin 4422222πb ==<=，又3πcos cos 044>>，所以3ππ1sin(cos )sin cos sin 4462c ⎛⎫=>=>= ⎪⎝⎭，即c a b >>，又()()()()()()()()()0f a a a a b a b a c a c a a a b a c =--+--+--=--<，()()()()()()()()()0f b b a b b b b b c b c b a b c b a =--+--+--=-->，()()()()()()()()()0f c c a c b c b c c c c c a c a c b =--+--+--=-->，则()()0f a f b <，()()0f a f c <，又()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--为定义域R 上的连续函数，所以函数()f x 必有两个不相同的零点，∴存在1(,)x b a ∈，使得1()0f x =，且11()()0x a x b --<，存在2(,)x a c ∈，使得2()0f x =，22()()0x a x c --<，22()()0x a x b -->，∴函数()f x 有两个零点1x ，212()x x x <，且11()()0x a x b --<，22()()0x a x b -->．故选：B ．13．1【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得结果.【详解】0AD AB ⋅=，AD AB ∴⊥，则以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，()1,1BC ∴=- ，()1,0CD =-，()()11101BC CD ∴⋅=-⨯-+⨯=.故答案为：1.14【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果.【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=，又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴，SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，2tan 2SO SCO a OC ∴∠===即SC 与BD15．11（答案不唯一）【分析】根据三角形性质确定三边边长，利用余弦定理和正弦定理计算出对应三角形外接圆的直径.【详解】4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5，8，9，设边长为9的边所对的角为θ，由余弦定理可知：2564811cos 25810θ+-==⨯⨯，因为()0,πθ∈，所以sin 10θ=，由正弦定理知，92sin 10R θ==，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是11..16．①【分析】根据所给定义一一判断即可.【详解】解：对于函数(0x by kaa +=>且1a ≠，k ，b 为非零常数），有()()x T bT x bf x T ka a f x ka++++==，由于a ，T 为常数，所以此函数满足“ξ函数”定义，故①正确；令21x x T =+，由于函数为“ξ函数”，不妨设0T >，则21x x >，2111()()1()()f x f x T m f x f x +==>，当1()0f x <，21()()f x f x <，故②错误；由于函数“ξ函数”，且()0f x >，则0m >，虽然{}()lnln[()]ln [(1)]ln [(1)](1()[(1)]f x kT f x kT f x k T mf x k T k x kT x k T T T++-+-+-===+-+-，2，...，)n 为定值，但当x 变化时，对于确定的n 值，(,ln[()])x nT f x nT ++并不在同一直线上，故③错误，故答案为：①．17．(1)n a n =(2)21n nS n =+【分析】（1）取1i =，即可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得n a ；（2）利用累乘法可求得n b ，采用裂项相消法可求得n S .【详解】（1） 对任意的i *∈N ，都有n i n a a i +-=，∴当1i =时，11n n a a +-=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=.（2）由（1）得：12n n b nb n +=+，∴当2n ≥时，()1232112321123212111431n n n n n n n b b b b b n n n b b b b b b b n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-+，又11b =满足()21n b n n =+，()211211nb n n n n ⎛⎫∴==- ++⎝⎭，111111111122121223341111n n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+++⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18．(1)证明见解析(2)25【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件①③，利用正弦定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；选条件②③，利用余弦定理和勾股定理得到SM MA ⊥，进而得到SM ⊥底面ABCD ，利用面面垂直的判定定理即可得证；（2）由（1）可得SM ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．【详解】（1）证明：（1）方案一：选条件①②．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM 中，cos SBM ∠=1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1BM AB ==，AM =由2SA AM SM =可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案二：选条件①③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在SAM △中，2SA SAM SM =∠==，所以由正弦定理得：sin sin SA SM SMA SAM=∠∠sin 1SMA ∠=，即π2SMA ∠=，所以SM MA ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；方案三：选条件②③．因为在四棱锥S ABCD -中SB SC =，点M 是BC 的中点，2SM =，所以SM BC ⊥，又因为在Rt SBM中，cos 5SBM ∠=，所以1BM =，又因为ABCD 是矩形，2BC AB =，所以1,BM AB AM ===，又因为在SAM △中，sin 3SAM ∠=，则cos SAM ∠设SA x =，2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，所以有2360x --=，解得1x =或23x =-（舍)，所以SA =由2SA AM SM =可得222SA AM SM =+，所以SM AM ⊥，则由SM BC ⊥，SM AM ⊥，AM BC M = ，,AM BC ⊂平面ABCD ，所以SM ⊥平面ABCD ，又因为SM ⊂侧面SBC ，所以侧面SBC ⊥底面ABCD ；（2）在（1）条件下知SM ⊥平面ABCD ，且MD AM ⊥，故如图所示：以M 为坐标原点，以MA 所在直线为x 轴，以MD 所在直线为y 轴，以MS 所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,2S，)A，()D，022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,，则()2SD =-，)2SA =- ，设平面SAD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n SD z n SA z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，则)n =，,222SC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线SC 与平面SAD 所成角为θ，则2sin 5n SC n SC θ⋅==⋅ ，直线SC 与平面SAD 所成角的正弦值为25.19．(1)列联表见解析，有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关(2)分布列见解析，()29E ξ=【分析】（1）根据题意完成列联表，利用列联表求出2K ，即可求解；（2）设“参赛双方在90分钟内打平”为事件A ，“参赛双方在加时赛打平”为事件B ，“全场比赛打平”为事件C ，根据题意可知，求出()P C ，即可得到1~2,9B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，再求出各自对应的概率，即可求解．【详解】（1）解：根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区442266其他地区365894合计8080160所以22160(44582236)12.482 3.84180806694K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关；（2）解：设“参赛双方在90分钟内打平”为事件A ，“参赛双方在加时赛打平”为事件B ，“全场比赛打平”为事件C ，根据题意可知，()()19P C P A B =⋅=，则1~2,9B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以02021864(0)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11121816(1)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222181(2)C 9981P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：ξ12P64811681181则12()299E ξ=⨯=．20．(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【详解】（1） 菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1bc =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=.（2）由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+，由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k -=+，21212228221414k t ty y kx t kx t t k k ∴+=+++=-+=++，224,1414kt t Pk k⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1E 的离心率为2，2e ∴=，解得：224=m n ，2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t ⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=，()()()22222222216441444164k t k tn k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+，()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系.21．(1)单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求出函数解析式，即可求出函数的导函数，再求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由于11()ln n n nf x nx x x x--'=+-，所以11()ln n n n f n n n -'=，则1()(ln )ln n n g x n n x n n -=-，令()()()h x f x g x =-，利用单调性即可得证；（ⅱ）由于方程()(01)f x t t n =<<-有两根a ，b ，不妨设a b >，则101,n b a n <<>，设0()g x t =，则110ln n nn n t x n n-=+，由于()y g x =是增函数，即可得证．【详解】（1）当1n =时()()1ln f x x x =-，所以函数的定义域为(0,)+∞，1()ln 1f x x x=+-'，当01x <<时，ln 0x <，11x>，110x -<，故()0f x '<，所以函数为减函数，当1x >时，ln 0x >，101x <<，110x->，故()0f x '>，所以函数为增函数，综上，函数()y f x =的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)；（2）证明：（ⅰ）当1n >时，()10f =，1111ln ln 0n n nn n f n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数存在零点1和1nn ，且1111nnn >=，因此Q 点坐标为1,0n n ⎛⎫⎪⎝⎭；由于11()ln n n n f x nxx xx--'=+-，所以111111()ln ln n n n nnn nnnn f n n n n nnn n---'=⋅+-=，所以11ln n nny nn x n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1()ln ln n n g x n n x n n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()h x f x g x =-，则111()()()ln ln n n n n nh x f x g x nxx xn n x---'='-'=+--，当11nx n <<时，1110ln ln ,0n n nx n x nn--<<<<，∴1111ln ln ,ln ln 0n n n n nnnx x nn nxx nn ----<-<，11nx n<<，∴11n nnn n n x n ->=，∴1n nnnx--<-，∴1110n n n n n nxn n x----<-=，()0h x ∴'<，()h x 为减函数，同理，当1n x n >时，()h x 为增函数，即()h x 在11,nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,n n ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，∴1()()ln ln ln ln 0n h x h n n n n n n n ≥=--+=，所以当1x >时，()()f x g x ≥；（ⅱ）由于方程()(01)f x t t n =<<-有两根a ，b ，不妨设a b >，则101,n b a n <<>，设0()g x t =，则11101ln ln ln ln ln nn nnn n nt n n t n n n t x nn n nnn---++==⋅=+，由（ⅰ）知，()()0()g x f a g a =>，由于()y g x =是增函数，所以0a x <，∴1100ln nn n n t a b x n n --<-=+=【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(2)3a =或5a =【分析】（1）求出曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程，根据几何关系和点到直线距离公式计算即可；（2）将参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程中，根据韦达定理和直线参数t 的几何含义求解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，当0a =时，曲线2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，转换为直角坐标方程为222x y x +=，相交弦所在的直线方程为：0x y -=，圆心()0,1到直线0x y -=2=，曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，线段MN的长度为：2（2）把直线l：3,21x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C ：222x y x a +=+，得到：240t a +-=，所以124t t a =-，1PA PB ⋅=即41a -=，解得3a =或5a =.23．(1)[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (2)5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别在1x ≤-、12x -<<和2x ≥的情况下，去除绝对值符号解不等式即可；（2）将问题转化为()()1f x a g x x->=恒成立问题，通过分类讨论可得()max g x ，进而得到a的取值范围.【详解】（1）当1x ≤-时，()()21234f x x x x =-++-=-≥，解得：43x ≤-；当12x -<<时，()()21244f x x x x =++-=+≥，解得：02x ≤<；当2x ≥时，()()21234f x x x x =++-=≥，解得：2x ≥；()4f x ∴≥的解集为[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .（2）由0x >时，()10f x ax +->得：()1f x a x->，令()()1f x g x x -=，则()31,0213,2x xg x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，答案第15页，共15页当02x <≤时，()g x 单调递增，()()352122g x g ∴≤=--=-；当2x >时，()g x 单调递减，()()152322g x g ∴<=-+=-；()max 52g x ∴=-，52a ∴>-，即实数a 的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。
【附加15套高考模拟试卷】甘肃省兰州市2020年高三第一次诊断考试数学(理)含答案
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．为了在运行下面的程序之后得到输出 y＝25，键盘输入 x 应该是___．
14．正项等比数列{an}中，存在两项 am ， an ，使得
7．设 a R ，函数 f x 在区间 0, + 上是增函数，则（ ）
A． f
a2 a 2
f
7 4
f
C．
a2 a 2
f
7 4
B． f
a2 a 2
f
7 4
f
D．
a2 a 2
f
7 4
8．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
.当
时，求不等式
的解集；当不等式
的解集为 时，求
实数 的取值范围.
18．（12 分）已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1 x) k(x3 3x) （ k R ）当 k 3 时，求曲线 y f (x)
4．设函数 f (x) ex x 2 ， g(x) ln x x2 3 若实数 a, b 满足 f (a) 0 ， g(b) 0 则（ ）
A． g(a) 0 f (b)
B． f (b) 0 g(a)
C． 0 g(a) f (b) D． f (b) g(a) 0
5．已知定义在实数集 R 上的函数 f (x) 的图象经过点 (1, 2) ，且满足 f (x) f (x) ，当 0 a b时不 等式 f (b) f (a) 0 恒成立，则不等式 f (x 1) 2 0的解集为（ ）
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第 1 页 共 17 页 2010年高三诊断考试试卷 数学（理科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 2.本卷满分150分，考试用时120分钟。 3.答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。
参考公式： 如果事件AB、互斥，那么 ()()()PABPAPB
如果事件AB、相互独立，那么 ()()()PABPAPB 球的表面积公式 24SR，其中R表示球的半径 球的体积公式 343VR，其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ()(1)kknknnPkCPP
第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一. 本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
科目/年级：数学 12年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
已知集合111,1,24,2xMNxxZ，则MN（ ） ()1,1A ()0B ()1C 1,0D
答案 C 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 第 2 页 共 17 页 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
当01a时，在同一坐标系中，函数xya与logayx的图象是（ ）
()A ()B ()C ()D 答案 C 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
已知(0,1),(33,)abxrr，向量ar与向量br的夹角是3，则x的值为（ ） ()3A ()3B ()9C ()3D
答案 D 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
已知直线lmn、、，平面、．有以下命题： ①,,lmlnmnl且、则； 第 3 页 共 17 页 ②m∥，n∥，且mn、，则∥； ③,ll，则∥； ④若平面内不共线的三点到平面的距离相等，则∥． 则正确命题有（ ） ()0A个 ()1B个 ()2C个 ()3D个
答案 B 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（ ） ()A充分不必要条件 ()B必要不充分条件
()C充要条件 ()D既不充分又不必要条件
答案 A 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
若称12nnaaa为n个正数12,,,naaa的“均倒数”，数列na的各项均为正，且其前n项的“均倒数”为121n，则数列na的通向公式为（ ） ()21An ()43Bn ()41Cn ()45Dn 第 4 页 共 17 页 答案 B 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
某位高三学生要参加高校自主招生考试，现在6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同，则该学生不同的报名方法种数是（ ）
()12A ()15B ()16C ()20D
答案 C 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b．设事件A为“方程组2251axbyxy只有一组解”，则事件A发生的概率等于（ ） 1()3A 1()9B 1()18C 1()36D
答案 C 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 第 5 页 共 17 页 易错： （用“#”表示）
已知在函数()3sinxfxR图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆222(0)xyRR
上，则()fx的最小正周期为（ ）
()1A ()2B ()3C ()4D
答案 D 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
已知奇函数()yfx在(,0)为减函数，且(2)0f，则不等式(1)(1)0xfx的解集为（ ） ()31Axx ()312Bxxx或
()303Cxxx或 ()1113Dxxx或
答案 D 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
已知点(3,1)P在双曲线22221(0,0)xyabab的左准线上，过点P且方向向量为(2,5)ar的光线，经直线2y反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为第 6 页 共 17 页 （ ） 15()3A 3()3B 5()3C 4()3D
答案 A 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：选择题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
设二元一次不等式组2,1,260xyxy所表示的平面区域为M,若曲线221xmy总经过区域M.则实数m的取值范围为（ ） 3(),4A ()15,B 3(),154C 3(),154D
答案 D
解析：当0m且1m时，曲线为椭圆，则不经过区域M；
当1m时，曲线为以原点为圆心，1为半径的圆，不经过区域M 当0m时，1x，不经过区域M 当0m时，曲线为焦点在x轴上的双曲线，若 总经过区域M，则有
441m解得34m 故离心率2173e
和161m解得15m 故离心率221615e 根据双曲线的性质可得： 22221eee
x=2 y=1 (4,1)
x+2y-6=0 (2,2) 第 7 页 共 17 页 即有16171153m 所以3154m 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：填空题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
(1)nxi（i为虚数单位）的展开式中含2x项的系数等于28，则n_______.
答案 8 解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：填空题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
为了解高三学生的数学学习情况，现抽取某班60名学生的数学成绩进行分析，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）.已知从左到右各长方形高的比为2:3:5:6:3:1，
则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是_______.
答案 33 解析： 第 8 页 共 17 页 科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：填空题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
在半径为R的球面上有不同的三点ABC、、，已知ABC、、三点中任意两点的球面距离均为3R,O为球心，则三棱锥OABC的体积为_______.
答案 3212R
解析：
科目/年级：数学 12 年级 题型/标签：填空题 2010年高三诊断考试 理科 评价/状态： 章节知识点： 易错： （用“#”表示）
如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远
2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向
BC、两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修
建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是_______万元.
答案 5a
解析：依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程
为2213yx，点C的坐标为（3，3）．则修建这条公路的总费用