2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.1单调性课件苏教版选修1_1

命题角度2 求含参数的函数的单调区间 例2 讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性． 解答
引申探究
若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？ 解答
反思与感悟
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围， 而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． (2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题 中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决 了，整个问题就解决了．
跟踪训练2
已知函数 f(x) ＝ 4x3 ＋ 3tx2 － 6t2x ＋ t － 1 ，其中 x∈R ， t∈R. 当
t≠0时，求f(x)的单调区间． 解答
类型二
证明函数的单调性问题
例3
π sin x ， π 证明：函数 f(x)＝ x 在区间 上单调递减． 解答 2
π xcos x－sin x ， π f′(x)＝ ，又 x ∈ 2 ， x 2
则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，
π ∴f(x)在2，π 上是减函数．
反思与感悟
关于利用导数证明函数单调性的问题： (1) 首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域 内这个前提下进行． (2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x) 为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
类型三
已知函数的单调性求参数范围
例4
a 已知函数 f(x)＝x ＋ x(x≠0，常数 a∈R)．若函数 f(x)在 x∈[2，＋∞)
2
上单调递增，求 a 的取值范围． 解答
反思与感悟
已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等 式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不 等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的 取值范围．
增 单调递___ 减 单调递___ 常函数
导数
f′(x) ≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒 为零 f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒 为零 f′(x)＝0
题型探究
类型一
求函数的单调区间
命题角度1 求不含参数的函数的单调区间
例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间． 解答
反思与感悟
求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数； (4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练 1
e 求函数 f(x)＝ 的单调区间． 解答 x－2
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.
1 2 3 4 5
3.函数f(x)＝ln
1 0 ， a x－ax(a>0)的单调增区间为________.
答案
解析
f(x)的定义域为{x|x>0}，
①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；
②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．
梳理 (1)
导数值 切线的斜率 倾斜角 >0 >0 <0 锐角 曲线的变化趋势 函数的单调性 单调 递增 递减
上升
下降
<0
钝角
单调
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
答案 解析
当x∈(0,2π)时，f′(x)＝－1－cos x≤0，
所以f(x)在(0,2π)上是减函数.
1
2
3
4
5
2. 设函数 f(x) 在定义域内可导， y ＝ f(x) 的图象如图所 ④ 示，则导函数f′(x)的图象可能是________.
答案 解析
原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；
x
函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
exx－2－ex exx－3 f′(x)＝ ＝ 2 2. x－2 x－2
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)； 由f′(x)<0，得x<3. 又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
1 3 1 2 跟踪训练 4 已知函数 f(x)＝3x －2ax －(a＋1)x＋2 在区间[1,2]上为减 函数，求实数 a 的取值范围． 解答
当堂训练
② 1.关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是_____.( 填序号) ①在(0,2π)上是增函数； ②在(0,2π)上是减函数； ③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数； ④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数.
第3章 §3.3
导数在研究函数中的应用
3.3.1 单调性
学习目标
1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明 一些简单的不等式. 3.会求函数的单调区间．
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点
函数的单调性与导函数正负的关系
思考1
观察下列各图，完成表格内容 函数及其图象 切线斜率k正负 导数正负 单调性 [1，＋∞)上单 调 递增
正
正
正
正
R上单调 递增
负
负
(0，＋∞)上单调 递减
负
负
(0，＋∞)上单调 递减 (－∞，0)上单调 递减
负
负
思考2
依据上述分析，可得出什么结论？ 答案
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
跟踪训练3 证明：函数f(x)＝ ln x 在区间(0，e)上是增函数． 证明 x
1 x· －ln x 1－ln x x ln x ∵f(x)＝ x ，∴f′(x)＝ x2 ＝ x2 .
又0<x<e，∴ln x<ln e＝1.
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，故 f(x)在区间(0，e)上是增函数．