2019届高三第一次教学质量检测数学(理)试题含答案

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合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题(理)(含答案解析)

合肥市2018年高三第一次教学质量检测,数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）注窻事项：1.答趙前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号疾备佘的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、萆稿纸上答题无效第I卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项t,只有一项是符合题目要求的），则=A.{4，5}B. {1,4,5}C.{3,4,5}D.{1，3，4,5}3. 已知命题p:若(x-1)(x-2) ≠0则x ≠1且x ≠2命题q:存在实数x。

,使2x<0下列选项中为真命题的是（)A p⌝∨ D.q⌝ B. q p⌝∧ C. p q4. 一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（)长,此双曲线的离心率等于（）数的图象与函数y=f(x)的图象关于-轴对称，则ω的值不可能是（）A.2B. 4C. 6D. 107-将包含甲、乙两队的8支队伍平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同小组的分组方案有（）A.20 种B.35 种C.40 种D.60 种8以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是（）A.2a 3>3a 4B. 5a 5>a 1+6a 6C.a 5+a 4-a 3<0D. a 3+a 6+a 12<2a 79执行右边的程序框图,输出的结果是（）A.63B. 64C. 65D.6610函数f(x)=e x +x 2+x+1图象L 关于直线 2x-y-3 =0对称的图象为M,P 、Q 分别是两图象上的动点,则||PQ 的最小值为（）第II 卷（满分100分）二、填空题（本大題共5小题,每小题5分，共25分.把答案填在答題卡的相应位里）14. 在梯形ABCD 中，Ab//CD ，AB=2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=_____15 已知函数f(x)=xlnx ，且x 2>x 1>0，则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号).①1212().(()()0x x f x f x --< ②1212()()1f x f x x x -<-； ③1222()()()f x f x x f x +<； ④2112.().()x f x x f x <；⑤当lnx 1=-1时，112221.()()2()x f x x f x x f x +>.三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟）16(本小题满分12分）(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(II)在ΔABC 中,角A ,B,C 所对的边是a ，b ,c.若.f(A)=1,b=2,sinA=2sinC ，求边c 的长17 (本题满分12分）某地统计部门对城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，共收到1万份答卷.其统计结果如下表(表中人数保留1位小数）：(I)根据表1画出频率分布直方图；(II)对幸福指数评分值在[50，60]分的人群月平均收人的统计结果如表2，根据表2按月均收入分层抽样,从幸福指数评分值在[50，60 ]分的人群中随机抽取10人，再从这10 人中随机抽取6人参加“幸福愿景”座谈会.记6人中月均收人在[1000，3000)元的人数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与期望.18(本题满分13分）已知数列{a n }的前》项和为S n ,且2S n +3=3a n (*n N ∈)(I)求数列{a n }的通项公式；19(本題满分13分）已知函数2()2ln(1)()f x x x ax a R =+++∈.(I)若函数f(x)的图象上任意一点P 处的切线的倾斜角均为锐角,求实数a 的取值范围；(I I )求函数f(x)的单调区间.20(本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是边长为2的正方形，PA =PB ，O 是AB 的中点， PO 丄 AD,PO=2.(I)求二面角O-PC-B 的余弦值； (II)设M为PA的中点，N为四棱银P-ABCD内部或表面上的一动点,且MN//平面PDC,请你判断满足条件的所有的N 点组成的几何图形(或几何体)是怎样的几何图形(或几何体），并说明你的理由.21•(本題满分13分）:的焦点，点(I)试求椭圆C1的方程；(II)若直线l与椭圆C1相交于A,B两点（A，B不是上下顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C1的上顶点.求证：直线l过定点.。

河北石家庄2019高三第一次教学质量检测-数学(理)扫描版

河北石家庄2019高三第一次教学质量检测-数学（理）扫描版数学〔理科答案〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1-5 CCBDD 6-10 CABBB 11-12 AA二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13、、 0.254 15、 18 16、3π【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤、17、(本小题总分值10分) 解：〔Ⅰ〕依题意1146,65618.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩……………………2分解得12,2.a d =-⎧⎨=⎩42-=n a n .………………5分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知423-=n n b ，+19n nb b =，因此数列{}n b 是首项为91，公比为9的等比数列，……………7分 1(19)19(91)1972n n -=-- 数列{}n b 的前n 项的和1(91)72n -.………………10分 18. (本小题总分值12分)解：〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⋅⋅ ①在ABD ∆中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-⋅=+-⋅ ②………2分由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-⋅=+-⋅⋅整理可得 1cos 2C =，……………4分又C ∠为三角形的内角，因此60C =,又C D ∠=∠,AD BD =,因此ABD ∆是等边三角形，故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分〔Ⅱ〕小李的设计符合要求.理由如下：1sin 2ABD S AD BD D∆=⋅ 1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅ 因为AD BD ⋅>AC BC ⋅…………10分因此ABD ABC S S ∆∆>由建筑费用与用地面积成正比，应选择ABC ∆建筑环境标志费用较低。

安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学理试题含详解

C. 2
D.
【分析】本道题结合复数的运算，化简
z，计算虚部，即可。
【详解】
, 故虚部即为 i 的系数，为 -2 ，故选 D。
【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简
z，属于较容易的题。
2. 集合
，
，则
=( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【分析】
先化简集合 A,B ，结合并集计算方法，求解，即可。
，所以结合
，可得
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住
难度中等。
5. 已知偶函数在
上单调递增，则对实数
( ).
-2-
，代入，即可。
，而因为该数列为正项数列，可得
，故选 D。
，即可，
，“
”是“
”的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件【答案】 A
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
【答案】 D
【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。【详解】 A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确； B 选项，技术所占比例为 39.65%, 故正确；
可 , 属于较容易的题 .
6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
( ).
注：90 后指 1990 年及以后出生， 80 后指 1980-1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生 .

2019年合肥市高三教学质量检测理科数学试卷(含答案)

高三数学试题（理科）答案第1 页（共4页）合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭三、解答题：17.(本小题满分12分)(I)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin(2, 632πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ cos 263πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(I)取CD 的中点M ，连结EM ，BM .由已知得BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.∵2,AD AB BD ===，∴30,ADB ABD ∠=∠=︒∴90,ADC ∠=︒∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD .∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M = ，∴平面BEM ∥平面PAD ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C C D A D D D C C B A高三数学试题（理科）答案第2 页（共4页）∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO . 由对称性知，O 为BD 中点，且AC BD ⊥，BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ，，，则n ⊥2,n ⊥2，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n . ∵)0,3,3(=，)1,3,0(=，∴⎩⎨⎧=+=+03033z y y x . 令3=y ，得3,1-=-=z x ，∴)3,3,1(2--=n∴1313131-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ，则cos 13θ=. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(II)由题意知，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分20.(本小题满分12分)(I)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知，b c a ==，，则椭圆方程为222212x y b b+=.易求得)0A，则点在椭圆上，所以222212b b +=，解得2263a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =1）知，M N ，，0OM ON OM ON ==⋅= ，，，∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，高三数学试题（理科）答案第3 页（共4页）()()1122M x y N x y ，，，，=，即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴ ()222124260k x kmx m +++-=，得122212204212621km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩. ∵()()1122 OM x y ON x y == ，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++， ∴ OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似，可得22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(I)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+，∴ 函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==.可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减；当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.……………………5分(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(I)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增，当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+.高三数学试题（理科）答案第4 页（共4页）max 2S =2312πθ=令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴ ()()max 01x ϕϕ==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(I)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，则2=2cos ρρθ，∴ 222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (II)设()B ρθ，，则=2cos ρθ,∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 当时， ………………………10分23.(本小题满分10分)(I)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10101>221>22x x x x x x+≥+<⎧⎧⎨⎨+----⎩⎩或13x ⇔>∴ 实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………………………5分 (II)∵ 1a >，∴ 11a -<-，()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，-，，，，，易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增，则()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ∴ 1112a -=，解得2a =. …………………………10分。

2019届高三数学上学期第一次检测考试试题理(含解析)新人教版新版

2019学年高三第一次检测考试数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1.已知集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出与中不等式的解集确定出，求出的补集，找出补集与的公共部分，能求出结果．【详解】则故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.已知命题：“，都有成立”，则命题为（）A. ，有成立B. ，有成立C. ，有成立D. ，有成立【答案】D【解析】试题分析：全称量词的否定为存在量词，命题的否定只否定结论，的否定为．考点：逻辑连接词．3.已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件判断函数的周期性和对称性，利用函数对称性，周期性和单调性之间的关系将函数值进行转化比较即可得到结论．【详解】：∵对任意的，都有；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数的图象关于轴对称∴函数函数）的关于对称，∵且，都．∴此时函数在上为增函数，则函数在上为减函数，则，，，则，即，故选C．【点睛】本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，根据条件判断函数的周期性和对称性，和单调性之间的关系是解决本题的关键．4.对于集合M、N,定义M-N={x|x∈M且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=3x,x∈R},B={y|y=-(x-1)2+2,x∈R},则A⊕B等于( )A. [0,2)B. (0,2]C. (-∞,0]∪(2,+∞)D. (-∞,0)∪[2,+∞)【答案】C【解析】由题可知,集合A={y|y>0},B={y|y≤2},所以A-B={y|y>2},B-A={y|y≤0},所以A⊕B=(-∞,0]∪(2,+∞).故选C.5.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是奇函数，利用，即可得出结论．【详解】由题意，，函数是奇函数，故选：B．【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础．6.设集合，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝（）A. {2,3}B. {－1,2,5}C. {2,3,5}D. {－1,2,3,5}【答案】D【解析】【分析】根据A∩B＝{2，－1}，得或，求得代入集合B中检验，即可求得结果.【详解】A∩B＝{2，－1}，，或，解得或（1）当时，满足题意，（2）当时，不满足集合元素的特征，舍去综上故选D.【点睛】本题考查集合中元素的特征，根据题意由其中一个集合条件解出未知数，代入另一个集合检验是常用的解题思路，考查了分类讨论思想，属于基础题.7.若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质，得时最小值为,或时，再结合函数图象关于对称，可以求出的取值范围.【详解】函数函数的对称轴，最小值为，在单调递减，在单调递增.时值域为，必在定义域内，即；又有或时综上，故选A.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，考查二次函数的值域问题，其中要特别注意二次函数的对称性及单调性的应用，考查计算能力和数形结合思想，属于基础题.8.若是R上的单调递增函数,则实数的取值范围为（）A. (1,+∞)B. [4,8)C. (4,8)D. (1,8)【答案】B【解析】由题意，逐段考查函数的单调性，结合函数处的性质，即可求得结果.【详解】是R上的单调递增函数，结合指数函数和一次函数的单调性，得解得故选B.【点睛】本题考查函数的单调性及其应用，重点考查对基础概念的理解和计算能力.9.已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据反函数的定义，求出函数，又根据函数关于轴对称得，即可求出答案.【详解】函数与互为反函数，函数，函数的图象与的图象关于轴对称，函数，即故选D.【点睛】本题考查反函数的求法，考查函数对称关系以及函数求值，是基础计算题.10.已知函数且的最大值为,则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】对进行分类讨论，当时，和当时，．由最大值为1得到的取值范围．【详解】∵当时，，∵函数且的最大值为∴当时，．，解得故选：A．【点睛】本题考查分段函数的应用，注意分类讨论思想的合力应用．11.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题可知，，时，，根据函数的图象和性质，求出和，构造关于的不等式，可得的取值范围.【详解】函数为对勾函数，当x时，函数单调递减时，又单调递增时，，，使得，，时，即，解得故选A.【点睛】本题考查指数函数以及对勾函数的图象与性质，考查恒成立和存在解问题，解题的关键是将题干不等式转化为关于的不等式.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简的表达式，得到的图象关于点对称，由的周期性，画出，的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和．【详解】由题意知即的图象关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为-，所以方程在区间上的所有实数根之和为．故选C.【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，20分。

精品2019届高三数学一模检测试题理(含解析)新人教版

.
首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；
其次，在平移时，还要注意自变量 x 的系数是否为 1，如果 x 有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左
加右减” .
15. 已知直线
过点
，若可行域
的外接圆直径为 20，则 _____．
【答案】
【解析】
由题意知可行域为图中△ OAB及其内部，
A.
B.
【答案】 A 【解析】复数
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，........................ .
，
，
C.
D.
, 是虚数单位，若
，
，
.
是实数，则
若
是实数，则
故选 A.
，解得
.
3. 若双曲线
与直线
无交点，则离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】双曲线
的渐近线为
.
※精品试卷※
若双曲线
与直线
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】由题意知，
是定义在 R上的周期为 2 的偶函数，
令
, 作其与 y=f ( x) 的图象如下，
※精品试卷※
，若在区
函数
有 4 个不相等实根，等价于
与 y=f ( x) 有 4 个交点，
所以
，解得
.
故选 C.
点睛：已知函数零点 ( 方程根 ) 的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
. 问积几何？答曰：二千一百
一十二尺 . 术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” . 这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高

2019届高三数学第一次统考试题理(含解析)新版人教版

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，所以，故，故选C................2. 若（是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D. -1【答案】A【解析】，因，故，所以，选A. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对，都有；（2）对，且，都有．①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】若，则为上的奇函数，但在上不单调，故不是优美函数；若，则为上的奇函数，且在上为减函数，所以，它是优美函数；若，因，故它不是上的奇函数，故它不是优美函数；若，考虑函数在上的单调性，因在为增函数，在为增函数，所以在上为增函数且恒正，故在上为增函数，所以当时，总有，所以也不是优美函数，综上，选B.4. 已知向量，，若，则实数的值是（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】D【解析】因为，故，展开得到，故，，选D.5. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和B. 求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6. 设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（）A. 7B. 8C. 13D. 14【答案】D【解析】可行域如图所示，当动直线过时，；当动直线过时，，故的最大值与最小值的和为14，选D.7. 已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，将其图像上的点的横坐标缩短到原来的后所得函数的解析式为，图像在轴左侧的第一条对称轴，故至少向右平移个单位就可以得到关于轴对称的图像，选C.点睛：若三角函数的图像平移后得到的图像为奇函数或偶函数的图像，那么最小的平移往往和轴附近的对称轴或对称中心有关.8. 一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】几何体如图所示，它为正方体中挖去两个对顶的圆锥，其体积为.9. 若，则二项式的展开式中的常数项为（）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D【解析】，而展开式的通项公式为令，所以，常数项的系数为，选D.10. 在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故，而，因，故.根据正弦定理有，，故，选B.11. 已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（）A. 16B. 4C.D.【答案】A【解析】由可以得到，解得，所以，，故，，选A.点睛：对于抛物线，若且为焦点弦或焦半径，那么，，其中为焦点.12. 已知函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】由可得总成立，所以是偶函数，由可以得到是周期为的函数.在同一坐标系中，我们画出及的图像，故方程共有11个根，，其中在内有6个解，其和为零，在内有5个解，得和为11.选D.点睛：对于不可解方程的解的个数，通常转化为两个熟悉函数的图像的交点去考虑.题设中关于的关系式蕴含为偶函数且为周期函数，而且图像的对称轴为，又的对称轴为，故根据两个函数的图像得到11个解，它们的和为8+3=11.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知，则__________．【答案】【解析】由题设有，所以，所以．14. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．15. 在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为__________．【答案】【解析】设球心为，则，所以在平面上射影是的外心，同理在平面上射影也是的外心．因且，故在平面的异侧，如图所示，等边三角形中，，故，又为平面截所球得圆的半径，故圆的面积为．点睛：题设中，结合球的半径为，故我们可以确定出在平面的两侧，从而求出的外接圆的半径．16. 已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】连接并延长交右支于点，设，则，因为双曲线是中心对称，且，所以四边形是平行四边形．因是等腰三角形，，所以，故，且，根据双曲线的定义，有，所以，解得，所以，所以，．点睛：圆锥曲线的离心率的计算，常常需要寻找一个关于的关系式．如果题设条件与焦点或准线有关，那么我们需要从几何性质的角度去构建的关系式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：由，可以得到的大小和的递推关系为，因此为等比数列，从而求得，再根据求出的通项，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法求它的前项和.（1）当时，，∵，∴.∵，∴当时，，两式相减得，因，，故，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.（2）∵，∴，∴，，两式相减得：.所以.18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：（1）为古典概型，利用组合数公式计算基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数即可.（2）为计算离散型随机变量的分布列和数学期望，利用公式计算即可．（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：所以②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘. 19. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：（1）要证平面因平面，只要证平面，也就是证明和，后者可以由为等边三角形得到，前者由平面得到（因为平面平面）.（2）要求锐二面角，因几何体比较规则，可以建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.（1）由题，为的中点，可得，∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面.又∵平面，∴.，∴平面.∴平面平面.（2）取的中点，的中点，连接，∵，∴.∵平面平面平面，∴平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量..所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.20. 已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．【答案】（1）.（2）或.【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程．（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值．（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设当直线的斜率为0时，显示不符合题意.当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.因为，所以.又点在椭圆上，∴.又∵，∴②，将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.21. 已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．【答案】（1），最大值．（2）【解析】试题分析：（1）题设给出了在处的切线，也是，从中解出即可．（2）中要求的最小值，因此要考虑的单调性，也就是考虑的符号的变化，但的零点不易求得，所以利用（1）的结论先确定在给定的范围上有唯一的零点，通过零点满足的关系式化简在零点处的函数值表达式（也是的最小值），最终求出最小值得范围．（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以也即是，解得，所以，故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）∵，∴，令，由（1）知道在是增函数，故在上为增函数，又，，因此存在唯一的，使得，也就是即．当时，，所以，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值为．令，因为，所以在单调递减，从而，即的取值范围是．点睛：在导数问题的讨论中，如果函数的极值点不易求得，那么我们可以利用这个关系式去化简，从而讨论与相关的问题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．【答案】（1），（2）或．【解析】试题分析：（1）消去参数得到的普通方程为．利用可以把的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把的直角方程转化为参数方程，利用点到直线的距离公式算出距离为，利用得到．因为直线与椭圆是相离的，所以或，分类讨论就可以得到相应的值．（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，∴曲线的直角坐标方程为．（2）设曲线上任意一点为，，则点到曲线的距离为．∵，∴，，当时，，即；当时，，即．∴或．点睛：一般地，如果圆锥曲线上的动点到直线的距离有最小值，那么这条直线和圆锥曲线的位置关系式相离的．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用化简得到在区间上是恒成立的，也就是是不等式的子集，据此得到关于的不等式组，求出它的解即可．（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。

2019届高三数学第一次(期末考试)教学质量检测试题理(含解析)

2019年第一次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，且，，故选A.2. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】，，，故选C.4. 设，，则的值是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，故选A.5. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值是( )A. 0B. 2C. 或1D. 0或2【答案】D【解析】的准线方程为的圆心到的距离为圆相切，或，故选D................6. 执行下面的程序框图，若输出结果为273，则判断框处应补充的条件可以为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：经过第一次循环得到；经过第二次循环得到；经过第三次循环得到；此时，需要输出结果，此时的满足判断框中的条件，故选B．考点：程序框图．7. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是( )(参考数据：，)A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】B【解析】若年是第一年，则第年科研费为，由，可得，得，即年后，到年科研经费超过万元，故选B.8. 已知函数的部分图象如图所示，则将的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图知，，得，由最大值为，得，将代入可得，向左平移，可得，故选C.9. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的外接球的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则底面周长等于半圆周，圆锥轴截面为边长为的正三角形，圆锥外接球球心是正三角形中心，外接球半径是正三角形外接圆半径，球表面积为，故选C.10. 函数的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，可排除；由,可排除，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.11. 如图，网格纸上的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该多面体是底面为棱长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直的四棱锥，四条底棱为，四条侧棱分别为，故最长棱长为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 若一个四面体的四个侧面是全等的三角形，则称这样的四面体为“完美四面体”，现给出四个不同的四面体，记的三个内角分别为，，，其中一定不是“完美四面体”的为( ) A. B.C. D.【答案】B【解析】若，由正弦定理可得，，设，因为“完美四面体”的四个侧面是全等的三角形，，把该四面体顶点当成长方体的四个顶点，四条棱当作长方体的四条面对角线，则长方体面上对角线长为，设长方体棱长为，则，以上方程组无解，即这样的四面体不存在，四个侧面不全等，故一定不是完美的四面体，故选B.【方法点睛】本题考查四面体的性质以及长方体的性质、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题通过定义“完美四面体”达到考查四面体的性质以及长方体的性质的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知样本容量为200，在样本的频率分布直方图中，共有个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余个小矩形面积和的，则该组的频数为________.【答案】50【解析】设个小矩形面积和为，则中间小矩形面积的,根据直方图的性质可得,中间一个小矩形的面积等于，即该组的频数为，故答案为.14. 若二项式展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.【答案】15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64，令，得的通项为，令，常数项为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】直线上存在点满足约束条件，等价于直线与可行域有交点，画出约束条件表示的可行域，如图，由，得；由，得，直线过定点，，由图知，要使直线可行域有交点，则，实数的取值范围是，故答案为.16. 已知双曲线的焦点为，，为双曲线上的一点且的内切圆半径为1，则的面积为________.【答案】【解析】如图，设的内切圆与轴相切于实点，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合，解得,所以的内切圆与轴相切于实轴端点，因为，故，可得，轴，从而双曲线方程中令得，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的首项为，且，.(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：(1)由可得，从而可得数列是以为首项，以为公差的等差数列；(2) 由(1)可知，，，利用裂项相消法可求得数列的前项和.试题解析：(1)，数列是以为首项，以1为公差的等差数列；(2)由(1)可知，，，，.【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18. 某种产品的质量以其“无故障使用时间 (单位：小时)”衡量，无故障使用时间越大表明产品质量越好，且无故障使用时间大于3小时的产品为优质品，从某企业生产的这种产品中抽取100件，并记录了每件产品的无故障使用时间，得到下面试验结果：以试验结果中无故障使用时间落入各组的频率作为一件产品的无故障使用时间落入相应组的概率.(1)从该企业任取两件这种产品，求至少有一件是优质品的概率；(2)若该企业生产的这种产品每件销售利润(单位：元)与其无故障使用时间的关系式为从该企业任取两件这种产品，其利润记为(单位：元)，求的分布列与数学期望.【答案】(1)0.64(2) (元)【解析】试题分析：(1) 由古典概型概率公式可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，根据对立事件及独立事件的概率公式即可得到从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率；(2) 由题意知，的可能取值为，根据独立事件率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：(1)由题意可知，从该企业任取一件这种产品是优质品的概率的是，所以从该企业任取两件这种产品，至少有一件是优质产品的概率为；(2)由题意知，的分布列为所以的数学期望(元).19. 如图，正三棱柱中，，，为棱上靠近的三等分点，点在棱上且面.(1)求的长；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 作与交于点，根据线面平行的性质定理可得，，于是在平行四边形中，；(2) 取的中点，由(1)知，∴，从而面，于是二面角的平面角为，在直角三角形中，可得二面角的余弦值为.试题解析：(1)如图，作与交于点，∵，∴，面面，∵面，∴，于是在平行四边形中，.(2)取的中点，∵是正三棱柱，∴，面，连结，由(1)知，∴，又面，∴，从而面，于是二面角的平面角为，由题，，，，故二面角的余弦值为.20. 已知椭圆经过点，离心率为，过原点作两条直线，直线交椭圆于，直线交椭圆于，且.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率分别为，求证：为定值.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1)根据椭圆经过点，离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、即可得椭圆的方程；(2) 由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由可得，从而得.试题解析：(1)由题意知，且，解得，，椭圆的方程为；(2)由对称性可知，四边形是平行四边形，设，，则，，由，得，，所以，，故为定值2.【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围；(2)求证：，其中为自然对数的底数.【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：(1) 由得，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可求得实数的取值范围；(2) ∵，∴，故只需证明：，等价于，不妨设，并令，，利用导数可证明，从而可得结果.试题解析：(1)由得，记，则，当时，，当时，，∴在上递增，在上递减，又，时，，时，，由题，有两个极值点，即方程有两解，即的图象与直线有两个公共点，故.(2)∵，∴，故只需证明：，由，作差得：，因此，，不妨设，并令，，则，∴在上单调递减，，即，即成立，于是原命题得证.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，其中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，为曲线与的交点.(1)当时，求点的极径；(2)点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 先求得曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，从而可得点的极径；(2) 点，，由题意可得，，进而可得，两边同乘以，利用即可得点的轨迹的直角坐标方程.试题解析：(1)由题意可知，曲线的极坐标方程是，当时，联立方程组，解得，故点的极径为.(2)在极坐标系中，设点，，由题意可得，，进而可得，从而点的轨迹的直角坐标方程为.23. 已知函数，其中.(1)当时，求不等式的解集；(2)设函数，当时，，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1) 当时，解不等式，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；(2) 当时，等价于恒成立；当时，等价于恒成立；当时，等价于，三种情况求解，再求并集即可得的取值范围.试题解析：(1)当时，，解不等式，时；时，；不等式总成立，所以得，所以，的解集为.(2)当时，，所以①当时，等价于恒成立，所以；②当时，等价于恒成立，所以；③当时，等价于，此时恒成立，所以；综上可得，.。

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D A
B
19.( 本小题满分 12 分 ) 每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠保持身体健康的重要基础 . 为了做好今年的世日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次中抽取了 100 人，通过问询的方式得到他们在的睡眠时间 ( 单位：小时 ) ，并绘制出如右的频直方图： ( Ⅰ ) 求这 100 人睡眠时间的平均数 x ( 同一用该组区间的中点值代替，结果精确到个位 ) ； ( Ⅱ ) 由直方图可以认为，人的睡眠时间 t 近正态分布 N ， 2 ，其中近似地等于样本平
1， 2， 3， 4，5 的五个小
球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，
则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球
. 若与第一次取出的两个小球
号码相同，则为中奖 . 按照这样的规则摸奖，中奖的概率为 ( ).
A. 4
A.11 B.12 C.20 D.22 5. 已知偶函数 f x 在 0，上单调递增，则对实数
a，b ，
“a b ”
是“ f a f b ”的 ( ).
A. 充分不必要条件
B.
C. 充要条件
D.
必要不充分条件既不充分也不必要条件
6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
3 C.
5 D.
6
12. 已知函数 f x ax 2 2 x ln x 有两个不同的极值点
数的取值范围是 ( ).
x1，x2 ，若不等式
f x1 f x2 恒成立，则实
A. 3，
B. 3，
C.
e，
D. e，
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分 . 第 13 题 —第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 把答案填在答题卡上的相应位置 .
事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
( ).
90 后从
注： 90 后指 1990 年及以后出生， 80 后指 1980-1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生 .
A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
20%
B.
2i C.2 D.
2
2. 集合 A x x 2 x 2 0 ， B x x 1 0 ，则 A B =
(
).
A. x x 1
B.
x1 x 1
C. x x 2
D.
x2 x 1
3. 执行右图所示的程序框图，则输出 n 的值为 ( ).
A.63 B.47
C.23 D.7
4. 已知正项等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ( n N ) ， a5 a7 a62 0，则 S11 的值为 ( ).
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
7. 平面外有两条直线 a ， b ，它们在平面内的射影分别是
n ，则下列命题正确的是 ( ).
A. 若 a b ，则 m n B. 若 m n ，则 a b
C. 若 m // n ，则 a // b D. 若 m 和 n 相交，则 a 和 b 相交
6
8. 若 ax 1 展开式的常数项为 60，则 a 的值为 ( ). x
A.4 B.
4 C.2 D.
2
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，
直线 m ，或异面则该几何体的体积为 ( ).
A. 2 5 4 2 10 B. 4 C. 3
8 D. 16
3
3
10. 某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为
合肥市 2019 届高三第一次教学质量检测
数学试题 ( 理科 )
( 考试时间： 120 分钟满分： 150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
1. 已知 i 为虚数单位， z 4 ，则复数 z 的虚部为 (
).
1i
A. 2i
xOy 中，点 An ( 2n ，n
n
1 n )( n N * ) ，记 2
A2 n A 1 2n A2n 1的面积为
n
Si
.
i1
Sn ，则
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.( 本小题满分 12 分 )
已知函数 f x cos2x sin 2x
.
6
( Ⅰ) 求函数 f x 的最小正周期；
x0
y0
13. 设 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 2 x y 的取值范围为
.
x y30
. 第 22 题、第
ab
14. 若非零向量 a，b 满足 a a 2b ，则
.
b
15. 在锐角 ABC 中， BC 2 ， sin B sinC 2sin A ，则中线 AD长的取值范围是
.
16. 在平面直角坐标系
( Ⅱ) 若
0， 2
，f
1 ，求 cos2 . 3
P
18.( 本小题满分 12 分 )
E
在四棱锥 P ABCD 中， BC BD DC 2 3 ，
AD AB PD PB 2 .
( Ⅰ ) 若点 E 为 PC 的中点，求证： BE ∥平面 PAD ；
C
( Ⅱ ) 当平面 PBD 平面 ABCD 时，求二面角 C PD B 的余弦值 .
状况是界睡眠的人员一周内率分布
组数据
似服从均数 x ，
2 近似地等于样本方差 s2 ， s2 33.6 . 假设该辖区内这一年龄层次共有时间位于区间 (39.2 ， 50.8) 的人数 .
附： 3 3. 6 5.. 8若随机变量 Z 服从正态分布 N ， 2
10000 人，试估计该人群中一周睡眠
，则 P
Z
0 . 6 8 2，6
P 2Z
2 0.9544 .
20.( 本小题满分 12 分 )
B.
5
11. 设双曲线
x2 C : a2
19
100
y2 b2
1( a
0，b 0 ) 的左、右焦点分别为
F1，F2 ，过 F1 的直线分别交双曲线左右两
支于点 M ，N ，连结 MF2，NF2 ，若 MF2 NF2 0 ， MF2 NF2 ，则双曲线 C 的离心率为 ( ).
A. 2 B.