3运筹学第二章电子教案

Z= ω=问C题X=分Y析b Z/ b=(Yb) '=Y
问题：
原问题：
min z= 15y1 + 24y2 + 5y3
估价——6影y子2 +价y格3 ≥ 2
st . （即得5增y到1加+的单2贡位y献2资+）源y所3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
问题 的解
？ Y*=(0, ¼, ½ , 0, 0 )
5*3/2 = 15/2＜ 1 6*7/2+2*3/2 = 24 = 52
7/2+3/2 = 5 = 45
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第三节 影子价格
一、原问题是利润最大化的生产计划问题
总利润（元）
单位产品的利润（元/件）
max z c1x1
s.t.
a11x1
a21x1
c2x2 a12x2 a22x2
c2x2 a1nxn a2nxn
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影子价格是一种机会成本
在纯市场经济下，当市场价格>y* 时，卖出该资源，否则当市场价格 增加单位资源可以增加的利润
<y*时，买进该资源。 max z c1x1 c2x2
cjxj
cnxn
s.t.
a11x1 a12x2
a1jxj
a1nxn bw11
a21x1 a22x2
a2jxj
a2nxn bw22
总利润（元）
资源限量（吨）
min y b1y1 b2y2
s.t.
a11y1 a21y2
a12y1 a22y2
bmym
资源价格（元/吨）
am1ym ym1
c1
am2ym
ym2
c2
a1ny1 a2ny2
amnym
ymn cn
y1
y2
ym ym1 ym2
ymn 0
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
设： y1 — 设备A值的价值 y2 — 设备B值的价值 y3 — 调试工序值的价值
分 析
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总价值 min z= 15 y1 + 24y2 + 5y3
6y2 + y3 ≥ 2
st .
5y1 + 2y2 + y3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
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第二节 对偶问题的基本性质
对称性：对偶问题的对偶问题是原问题 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标
函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目 标函数值。P56推论 无界性：原问题有可行解且z无界，对偶问题 无可行解。 对偶定理：若原问题与T其对偶问题均具有可行 解，则两者均具有最优解且最优解对应的目 标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对 偶问题最优解Y*=CBB-1 互补松弛性： 需要说明的是：这些性质同样适用于非对称形问题
变化，主要有以下几种情况：
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运 筹 帷 幄 之 中
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运筹学课件
第二章
决
对偶理论
胜
与
千
灵敏度分析
里
之
外 Linear progranming
第一节 线性规划的对偶问题
一、对偶问题的提出
例一美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备
A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、 各售出一件时的获利情况如下表所示。问该公司应制造Ⅰ、Ⅱ两种家电备多少 件,使获取的利润为最大。
min y b1w1 b2w2
s.t.
a11y1 a21y2
a12y1 a22y2
差额成本
利润
bmwm
am1ym ym1
am2ym
ym2
c1 c2
a1ny1 a2ny2
amnym
ymn cn
y1
y2
ym ym1 ym2
ymn 0
y m j ( y 1 a 1 j y 2 a 2 j y m a m j ) c j Y T a j c j j
Z*= 17/2
利润 max z= 2 x1 + x2
5x2 ≤ 15 y1
约束 条件 st .
6x1 + 2x2 ≤ 24 y2 x1 + x2 ≤ 5 y3 x1，x2 ≥ 0
问题 的解
X*=(7/2,3/2,15/2,0,0) Z*= 17/2
•两个问题的最优解的值一致
•最大值问题的最优解是最小值问题的可行
z z b 1 y 1 b 2 y 2 ( b i b i ) y i b m y m zbiyi
y * i z b * i 第 最 i 大 种 利 资 润 源 的 的 增 增 量 量 第 i种 资 源 的 边 际 利 润
■影子价格越大，说明增加这种资源越带来的z增加越多， 该资源是相对紧缺的。 ■影子价格越小，说明增加这种资源越带来的z增加越少， 该资源是相对不紧缺的。 ■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这种资源的影子 价格一定等于0
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三、资源影子价格的性质
影子价格代表在资源最优利用条件下对单位第i种资源的估价。 市场价格是已知数，相对稳定。影子价格依赖于资源的利用 情况，是未知数。因企业生产任务、产品结构等的变化而变 化。
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资源影子价格是一种边际价格
z b 1 y 1 b 2 y 2 b i y i b m y m
a11x1 - a12x2' + a13x3'- a13x3" ≤ b1
st.
a21x1 - a22x2' + a23x3'- a23x3" ≤ b2 -a21x1 + a22x2' _ a23x3'+ a23x3" ≤-b2
-a31x1 + a32x2' - a33x3'+ a33x3" ≤-b3
am1x1 am2x2
amjxj
x1
x2
xj
减少一件产品可以节省的资源
amnxn bwmm xn 0
机会成本
a 1 j y 1 a 2 j y 2 a i j y i a m j y m
表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润
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产品的差额成本（Reduced Cost）
隐含成本
x1 , x2', x3'，x3" ≥0

min w = b1y1 + b2y2'- b2y2" - b3y3' a11y1 + a21y2'– a21y2" - a31y3'≥ c1 -a12y1 - a22y2'+ a22y2" - a32y3'≥-c2
st. a13y1 + a23y2'– a23y2"- a33y3'≥ c3 -a13y1 - a23y2'+ a23y2"+ a33y3'≥-c3
5y1 + 2y2 + y3 ≥ 1
y1 , y2 , y3 ≥ 0
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min w =YTb ATY ≥ CT
st. Y≥ 0
a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n
┇┇ …┇ am1 am2 … anm
利润 max z= 2 x1 + x2
5x2 ≤ 15
约束 条件
st
.
6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1，x2 ≥ 0
三、非对称形式的原对偶问题关系
非对称形式？
max z = c1x1 + c2x2
+ca3x113x1+a12x2+a13x3 ≤ b1
st. a21x1+a22x2+a23x3 = b2 a31x1+a32x2+a33x3 ≥ b3
x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3无约束
min w = b1y1 + b2y2 + b3y3
a11y1 + a21y2 + a31y3 ≥ c1
st.
a12y1 + a22y2 + a32y3 ≤ c2 a13y1 + a23y2 + a33y3 = c3
y1≥0, y2无约束，y3 ≤0
max z = c1x1 - c2x2' + c3x3' - c3x3"
设： x1—— A产品的生产量 x2—— B产品的生产量
利润
max z= 2 x1 + x2
约束 条件 st .
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5x2 ≤ 15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1，x2 ≥ 0
一个问题？
市场上设备A、设备B和调试工序每小时值多少钱？在什么价位时，可以出 租或去租借适当数量的资源来扩大生产规模？
对称形式的定义