理论力学第三章 平面任意力系

" B
'
F F
"
应用
F' M
F
F
M
F
F'=F,M=Fd
F F M
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§3-1-2 平面一般力系向任一点O
简化
FR'

n
F xi

2
1.主矢
F yi
2
' F cos( FR' , i ) Rx FR'
n
' F cos( FR' , j ) Rx FR'
第三章 平面任意力系
§3-1一般力系向一点简化
§3-1-1 力的平移定理
内容
作用在刚体上某点的力可以等效地平移到 刚体上任一点（称平移点），但必须在该力 与该平移点所决定的平面内附加一力偶，此 力偶之矩等于原力对平移点之矩
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证明
F' F F
F' M
F"
F M M (F , F ) F d M (F )
解
列写适当平衡方程，由已知求未知。 明确对象，取分离体，画受力图。
M
A
(F i ) 0

NB a P b Q c 0
NB ( Pb Qc) / a
Rx 0 N Ax Nb
Ry 0 N Ay P Q
例4 如图所示的水平横梁AB,A端为固定铰链支座,B端为一滚 动支座,梁的长为4a,梁重P,作用在梁的中点C,在梁的AC段上受 均布载荷q作用,在梁的BC段上受力偶作用,力偶矩M=Pa试求A 和B处的支座约束力.
二.平面特殊力系的平衡方程
1.平面平行力系 (1)定义 设各力作用线∥y轴 (2)平衡方程 Ⅰ.基本式 ΣFY=0 Σmo=0 Ⅱ.二力矩式 ΣmA=0 ΣmB=0 附加条件： AB ∥各力作用线
Fi B A o Fn F1 x F2
y
2.平面汇交力系 (1)基本式 ΣFX=0 ΣFY=0 (2)一力矩式 ΣFX=0 ΣmA=0 附加条件： OA ⊥X轴 (3)二力矩式 ΣmA=0 ΣmB=0 附加条件： A、B、O三点不共直线
例 12
如图所示结构中，已知a、P，求支座A、 B处的约束力。
例 12
如图所示，已知l,P,R，求固定端处的约束 力。
例 13
如图所示结构中，已知a，M=Fa,F1=F2=F 求A、D处的约束力。
例 14
编号为1，2，3，4的四根杆件组成平面 结构，其中A，C，E为光滑铰链，B，D为光 滑接触面，E为中点，如图所示，各杆自重 不计，在水平杆2上作用力F，尺寸a,b已知， 求C,D处的约束力及杆AC受力大小。
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例2 重力坝受力情况如图所示,已知 P1=450KN,P2=200KN,F1=300KN,F2=70KN,求力系向O点简化的结 果,合力与基线OA的交点到点O的距离x,以及合力作用线方程.
§3-2 平面一般力系的平衡
一.平面一般力系的平衡方程 1.基本式 ΣFX=0 ΣFY=0 Σmo=0 2.其他形式 (1)二力矩式 ΣFX=0 ΣmA=0 ΣmB=0 附加条件：AB⊥X轴
2 2
F
' Rx
1
450
3
3
y
F
2
( 4, 3)
y
F
3
3 ( 1, 2)
F
1
FR
FR M
o
4
o'
d
x
o
θ A
θ o
解：(一)将力系向原点O简化
1. 主矢
4 4 ' F 5 3 7 (kN ) x F Rx F25 F3 5
x
x
(二)力系的合成结果——合力
FR FR' 7 2
d oo '
or
450
3 3 ' F 4 5 7 (kN ) y F Ry F1 F 2 5 5
'2 '2 FR' FRx FRy 7 2 7 2 7 2 (kN )
14 Mo 2 (m) FR' 7 2
o
x M
FRy

14 2 (m) 7
3.平面力偶系 Σmi=0或Σmo(Fi)=0
平面力系汇交点为O
y A Fi F2 o Fn F1 B x
y
mi
m2
mn o
m1 x
图示三铰拱,在构件CB上分别作用一力偶M和力F,当 求铰链A,B,C的约束力时,能否将力偶M或力F分别移 到构件AC上?为什么?
例3
已知起重机重P，可绕铅直轴AB转动，起 吊重量为Q的物体。起重机尺寸如图示。 求止推轴承A和轴承B处约束反力。
由(1)、(2)式 得：
G1e G 2L G3 ab
3
(2)空载时 不翻倒条件：FNB≥0 (4) 由 mA 0 得：
G 3a FNBb G1(b e) 0 FNB G (b e) G 3a 1 b
G3 e a
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5
G1
由(4)、(5)式 得：
G1 L L
G2 G2
A
A FN A b b
B
B
G 3(a b) FNAb G1e G 2L 0 G 3(a b) G1e G 2L FNA 2 b
FN B
已知: G1, G2, a,b,e,L 求：起重机满载和空载均 不致翻倒时，平衡重的重 量G3所应满足的条件。
例5 自重为P=100KN的T字形刚架ABD,置于铅垂面内,载荷如图 所示,其中M=20KN.m,F=40KN,q=40KN/m.l=1m,试求固定端的约 束力.
例6.塔式起重机
解：以起重机为研究对象
(1)满载时 不翻倒条件：FNA≥0 (1) 由 m 0 得：
B
G3 G3 a a
e
e G1
m
A
m
Ay
A FA
FA Y A FA Z m
Az
FA X m
Ax
若非自由体受到平 面主动力系作用则
m
A
FA Y A F AX
§3-1-3 一般力系简化结果分析
1.若FR’=0, Mo≠0， 则力系可合成为一个力偶 2.若FR’≠0, Mo=0， 则力系可合成为一个作用线过简化中心O的力 3.若FR’≠0, Mo≠0，
单个物体 空间一般力系 空间平行力系 空间汇交力系 空间力偶系 平面一般力系 平面平行力系 平面汇交力系 6 3 3 3 3 2 2
物体系统的平衡
n个物体组成的物 体系统 6n 3n 3n 3n 3n 2n 2n
平面力偶系
1
n
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二.静定与超静定问题
1.静定问题 未知量的个数≤独立平衡方程数
例8 如图所示的组合梁(不计自重)由AC和CD铰接而成,已知 F=20KN,均布载荷q=10KN/m,M=20KN.m,l=1m,试求插入端A及滚 动支座B的约束力.
例9 齿轮传动机构如图所示,齿轮Ⅰ的半径为r,自重为P1,齿 轮Ⅱ的半径为R=2r,其上固结一半径为r的塔轮Ⅲ,轮Ⅱ与轮Ⅲ 共重P2=2P1,齿轮压力角为=20°,物体C重为P=2P1,求:(1)保持 物体C匀速上升时,作用于轮Ⅰ上力偶的矩M,(2)光滑轴承A,B的 约束力.
G1(b e) G3 a
6
A FN A b
B FN B
由式(3)和(6)可得，起重机满载和空载均不 致 翻倒时，平衡重的重量G3所应满足的条件为：
G 2L G1e G1(b e) G3 ab a
§3-4 静定与超静定问题
一.物体系统 1.定义 2.内力和外力的概念 3.独立平衡方程数
FR ' FR ' FR o o d FR " d o' o' FR
M
o
o
则力系可合成为一个作用线过另一点O’的力 d oo ' 4.若FR’=0, Mo=0， 则力系平衡
Mo FR '
例1：
o o
tg
' FRy
已知：平面一般力系 ，F1=4kN, 2. 主矩 3 4 F2=5kN, F3=3kN, 分别作用在图中 M m F F 5 1 F 5 2 F 各点，长度单位为米。求此力系 3 4 5 1 5 2 3 3 14 (kN m) 5 5 合成结果并画在图上。
R B A o x
y F2 Fi
o x F1 Fn B A o x
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(2)三力矩式
ΣmA=0 ΣmB=0 ΣmC=0
B A C
附加条件：A、B、C三点 不共直线 对一个平面任意力系， 若其处于平衡状态，能 列出无数个方程，是否 能求解无数个未知数？
B A C
在刚体上A,B,C三点分别作用三个力F1,F2,F3,各 力的方向如图所示，问该力系是否平衡？为什么？
2.超静定问题（或静不定问题） 未知量的个数＞独立平衡方程数 超静定次数=未知量的个数-独立平衡方程数
例7 如图所示为曲轴冲床简图,由轮Ⅰ,连杆AB和冲头B组 成,OA=R,AB=l,忽略磨擦和自重,当OA在水平位置,冲压力为F 时,系统处于平衡状态.求(1)作用在轮Ⅰ上的力偶矩M的大小,(2) 轴承O处的约束力,(3)连杆AB受的力,(4)冲头给导轨的侧压力.
2.主矩
M m m ( F
o i 1 i i 1 o
i
)
固定支座
（一）固定支座(或称固定端) 1.定义：与非自由体固结成一个整体的约束体 称为固定支座，或称为固定端。 2.实例
3.简图
A A
A
4.特点
在固定支座截面处非自由体不能作任何微小移动和转动
5.约束反力
若非自由体受到空 间主动力系作用则
例10 如图所示为钢结构拱架,拱架由两个相同的钢架AC和BC铰 接,吊车梁支承在钢架的D,E上,设两钢架各重为P=60KN,其作用 线通过点C,载荷为P2=10KN,风力F=10KN,尺寸如图所示,D,E两 点在力P的作用线上,求固定铰支座A和B的约束力.
例 11
如图所示，已知重力P，DC=CE=AC=CB=2l, 定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且 R=2r=l,45°试求A、E支座的约束力及BD杆 所受的力。