空间解析几何椭球面
空间解析几何6
解析几何 第二章 空间解析几何
即
2 2 x y 1 h2 h2 2 1 2 b 2 1 2 a c c z h
它与用平行于xOz的平面来截割所得结果完全类 似。 如果a=b,则成为单叶旋转双曲面。
方程
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 2 2 1与 2 2 2 1 2 a b c a b c
所表示的曲面也是单叶双曲面。
解析几何 第二章 空间解析几何
z
（二）双叶双曲面
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b c
a 2 2 顶点 b h , h, 0 在腰圆( 1) b
解析几何 第二章 空间解析几何
z
x
y
z
（11）
（12）
（13）
x
y
解析几何 第二章 空间解析几何
用平行于xOz平面y=h来截单叶双曲面，截口
的方程为
x2 z2 h2 2 2 1 2 (5 ) b a c y h c 2 2 实轴 // z轴，实轴长 h b b a 2 虚轴 // x轴， 虚轴长 h b2 b
来截割曲面，得到截线方程
x 2 y 2 h2 x 2 y 2 h2 2 2 2 1 2 2 2 1 (8) 与 a b c b c a z h z h 当h=c时，截得的图形为一点
当h>c时，截线为椭圆，两半轴是
h h a 2 1 与b 2 1 c c
若点P(x,y,z)是椭球面上的点，则点P的 关于yOz坐标平面的对称点P′(-x,y,z)也在 椭球面上，
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
椭球面参数方程的推导详解
椭球面参数方程的推导详解椭球面是一种三维空间中的曲面，可以由参数方程来描述。
参数方程的推导可以分为以下几个步骤：1.定义椭球体椭球体是一个由椭圆沿着其中的一个轴旋转一周所形成的曲面，可以用一个半长轴a和半短轴b来描述。
椭球的中心位于原点，且假设半长轴a大于半短轴b。
2.极坐标系的引入为了方便描述椭球面，我们引入极坐标系。
设椭球体的中心在原点O，选择椭球体的一个焦点F作为极坐标系的极点。
在极坐标系中，我们可以用极径r和极角θ来表示椭球面上的一点。
3.构造参数方程我们可以通过极径r和极角θ来构造椭球面上的点的坐标。
根据极坐标系的定义，椭球面上的一点坐标可以表示为：(x, y, z) = (f(rd)cosθ, f(rd)sinθ, g(rd)) (1)其中，f(rd)和 g(rd) 是关于极径r的函数，需要确定它们的表达式。
4. 求f(rd)和 g(rd) 的表达式我们知道，椭球面上的一点到焦点F和到椭球中心的距离之和等于椭球的半长轴a（即焦半径）。
根据勾股定理，可以得到：(rf(rd)cosθ)^2 + (rf(rd)sinθ)^2 + (g(rd))^2 = a^2 (2)另外，根据极坐标系和椭球的定义，有：rf(rd) = b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2) (3)将式(3)代入式(2)可以得到：[r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cos^2θ + r^2(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sin^2θ + (g(rd))^2] = a^2对上述等式进行化简，可以得到：(b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2) + (g(rd))^2 = a^2/r^2 (4)整理式(4)，可以得到：(g(rd))^2 = a^2/r^2 - (b^2/a^2)(1-(b^2/a^2)(rd)^2)将式(3)和上式代入式(1)，可以得到参数方程：(x, y, z) = (b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)cosθ, b/sqrt(1-(b^2/a^2)(rd)^2)sinθ, a√(1-(b^2/a^2)(rd)^2)) (5)5.参数方程的意义式(5)即是椭球面的参数方程，它表示了椭球面上的一点坐标与极径r和极角θ之间的关系。
椭球面ppt课件
解析几何
三、椭球面的参数方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x a cos cos
y
b
sin
sin
z c sin
2
2
,0
2
解析几何
点的轨迹为椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
解析几何
二、椭球面的性质
1 对称性 2 范围
3 形状
椭球面的几种特殊情况：
球面
长形旋转椭球面
(1)
a
b
c,
x a
2 2
y2 b2
z2 c2
1
x2
y2
z2
r2
(2)
a
b
x2 c, a2
z2 c2
1
x 0
o
x
y
椭球面的主截线（主椭圆）
解析几何
平行截割法：
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
by
x
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面
可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.
abc
2 轨迹定义法
一直线分别交坐标面 yOz, zOx, xOy 于A, B,C 三点，当直线变动时，直线上的
三定点 A, B,C 也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四个点 P ，它与
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面
空间解析几何中的空间曲线与曲面在数学中，空间解析几何是研究空间中的点、直线、曲线和曲面等几何元素的学科。
其中，空间曲线和曲面是解析几何中的重要概念，对于研究空间中的形状和运动非常关键。
本文将介绍空间解析几何中的空间曲线与曲面，并对其相关性质进行探讨。
一、空间曲线空间曲线是指在三维空间中的一条曲线。
常见的空间曲线包括直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
下面以直线为例进行讨论。
1. 直线在空间解析几何中，直线可通过点和方向确定。
假设直线上有两个点A(x₁, y₁, z₁)和B(x₂, y₂, z₂)，则直线的方向向量为AB(x₂-x₁,y₂-y₁, z₂-z₁)。
方向向量是指从点A指向点B的向量。
除了通过两个点来确定直线外，我们还可以使用点与方向向量的形式表示直线。
设直线上一点为P(x, y, z)，则直线的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中t为参数，同时a、b、c为方向向量AB的分量。
2. 抛物线、椭圆和双曲线在空间解析几何中，抛物线、椭圆和双曲线都是曲线的一种。
它们的方程可以通过二次方程来表示。
以抛物线为例，其方程一般形式为：Ax² + By² + Cz = 0其中A、B、C为实数，并且A和B不同时为零。
抛物线在空间中呈现出的形状取决于A、B和C的取值。
二、空间曲面空间曲面是指在三维空间中的一个曲面。
常见的空间曲面包括平面、球面、圆锥曲面和椭球面等。
1. 平面在空间解析几何中，平面是由三个相互垂直的坐标轴确定的。
平面可以用一个点和一个法向量来表示。
假设平面上有一点P(x₁, y₁, z₁)，该平面的法向量为N(a, b, c)，则平面的方程可以表示为：a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0其中(x, y, z)为平面上任意一点的坐标。
2. 球面在空间解析几何中，球面是由一个固定点O和到该点距离相等的所有点构成的曲面。
椭球面知识点总结
椭球面知识点总结一、基本概念1.椭球面的定义椭球面是指以一个椭圆绕着其长轴旋转一周所形成的曲面。
它可以用一个方程来表示，在三维笛卡尔坐标系中，椭球面的方程可以写为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1其中，a、b、c分别代表在x、y、z轴上的半轴长度。
2.椭球面的参数方程椭球面也可以通过参数方程来表示，参数方程的形式为：x = a*cos(u)*sin(v)y = b*sin(u)*sin(v)z = c*cos(v)其中，u和v分别是参数，0≤u≤2π，0≤v≤π。
3.椭球面的性质椭球面是一个闭曲面，它在每一点处的曲率是不同的，除了在两个半轴的端点处，椭球面的主曲率在其他点处都不相等。
二、性质1.椭球面的焦点椭球面有两个焦点，这两个焦点的距离等于长轴的长度。
当我们在空间中绘制一个椭球面时，可以通过这两个焦点来确定椭球面的位置和形状。
2.椭球面的直径椭球面的直径是椭球面上两点之间的最大距离，它是长轴的长度。
3.椭球面的离心率椭球面的离心率是一个衡量椭球形状的参数，它定义为焦点距离的一半除以长轴的长度。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭球退化为一个点，当离心率为1时，椭球变成一个长方体。
4.椭球面的体积椭球面的体积可以通过积分的方法来求解，其体积的表达式为:V = 4/3 * π * a * b * c5.椭球面的曲率在任意一点处，椭球面的曲率可以通过一组数来表示。
根据椭球面的参数方程，可以求出其曲率在不同点处的值，从而得到整个椭球面上曲率的分布情况。
6.椭球面的法向量椭球面上任意点处的法向量可以通过梯度的方法来求解。
可以求得椭球面上每一点处的法向量分量，从而得到整个椭球面的法向量分布情况。
三、应用1.几何学中的应用椭球面在几何学中有着广泛的应用，它可以用来描述三维空间中的曲面。
在绘图和建模中，椭球面的形状和性质对于设计和制造具有曲面的产品是非常重要的。
2.物理学中的应用椭球面在物理学中也有着重要的应用，例如地球的形状就接近一个椭球面，而行星的轨道也可以用椭球面来描述。
五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面 以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的 球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样 的曲面.
解 配方得 此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),