空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案第七章空间解析几何一、教学目的与要求1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程6、掌握平面方程和直线方程及其求法。

7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

8、会求点到直线以及点到平面的距离。

二、教学内容及学时分配：第一节向量及其线性运算2学时第二节数量积向量积和混合积2学时第三节曲面及其方程2学时第四节空间曲线及其方程2学时第五节平面及其方程2学时第六节空间直线及其方程2学时三、教学内容的重点及难点：重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题四、教学内容的深化和拓宽：1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。

2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。

3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形，五、教学方法与手段启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

第一节 向量及其线性运算一、内容要点1、向量：有大小、方向的量。

向量相等：大小、方向。

单位向量、零向量2、向量的坐标表达式及其运算1) 向量的加法、减法满足：交换律、结合律。

平行四边形、三角形法。

2) 向量的数乘，满足：结合律、分配律 3) 两向量平行的充要条件：a b λ= 4) 空间直角坐标系(右手坐标系) 5) 利用坐标作向量的线性运算1) 向量的坐标向量表示 2) 对应坐标运算。

6) 向量的模、方向角、投影 向量的模与两点间的距离公式。

222R O Q O P O M O++==γAB =r x oM x ==αcos ry =βc o s r z =γc o s 1cos cos cos 222=++γβα二、教学要求和注意点教学要求：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的线性运算第二节 数量积 向量积和混合积一、内容要点x y z x y z a a i a j a k {a ,a ,a }=++=x y z x y z b b i b j b k {b ,b ,b }=++=1）数量积 (点积) a b a b cos(a,b)∧⋅= ()()ba ab b a ==2z2y 2x a a a a ++=性质：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅应用：（i ） b a ba arccosb a ⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∧（ii ） 2a a a a =⋅= 2)向量积 cb a=⨯()∧=⨯=b,a sin b a b a c c a,c b a b a,a b b,⊥⊥⨯⊥⨯⊥即右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯注意 a b b a⨯-=⨯zyxz y xb b b a a a k j ib a=⨯ 应用（i）S ABCΔ=（ii ）0b a b //a =⨯↔（iii ）如()b a //c 则,c b ,c a⨯⊥⊥即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。

（iv ）0b a b a =⋅↔⊥3) 混合积 (1) []xy zxy z xyza a a abcb b bc c c =(2) 混合积的几何意义(3) 三向量共面的充分必要条件为混合积等于零. 二、教学要求和注意点教学要求： 掌握数量积、向量积、混合积了解两个向量垂直、平行的条件。

注意点： 本单元内容十分重要,应精讲多练。

例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）2 填空题（3）（4）（5）例2、解： ()()b 3a 2b 3a 2b 3a 22-⋅-=-76b 9b a 2a 422=+⋅-=∴ 192b 3a 2=-(2)向量积 c b a=⨯()∧=⨯=b,a sin b a b a c ,b b a ,a b a b c ,a c⊥⨯⊥⨯⊥⊥即πa 5,b 2,a b ,2a 3b 3∧⎛⎫==⋅=-= ⎪⎝⎭右手定则即()()0b b a 0,a b a =⋅⨯=⋅⨯注意 a b b a⨯-=⨯例3、习题4，5，2(4)例1、 设知量b ,a满足{}1,11,b a 3,b a -=⨯=⋅， 则6πb ,a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧ 解：33b a b a b ,a tan =⋅⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧∴ ()6πb ,a =∧第三节 曲面及其方程一、内容要点常用二次曲面的方程及其图形 1、球面：设()0000z ,y ,x P 是球心，R 是半径，()z y,x,P 是球面上任一点，R =，即()()()2202020R z z y y x x =-+-+-2222R z y x =++2、椭球面1cz b y a x 222222=++ 3、旋转曲面设L 是x0z 平面上一条曲线，L 绕z 旋转一周所得旋转曲面()0z ,y x f 22=+±()02220220z z ,y x z z y x x =+=-++=()0z x,f z z y x x 0220==+±=代入方程得()0z ,y x f22=+±()2222y x a z ,y x z +=+= 称为旋转抛物面旋转双曲面：1cz a y x 22222=-+，(单) 22222cz a y x z ++-= 4、椭圆抛物面 0ab byax z 22>+=5、单叶双曲面 1cz b y a x 222222=-+6、双叶双曲面 1cz b y a x 222222=+--()⎩⎨⎧==0y 0z x,f7、二次锥面 0cz b y a x 222222=-+圆锥面222222by ax z y x z +=+=8、柱面 抛物柱面 ()0a ax y 2>=椭圆柱面1by a x 2222=+ 圆柱面222R y x =+二、教学要求和注意点教学要求：理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

注意点：本单元教师应在黑板做好图形,或者用多媒体课件. 应用旋转曲面讲好多数二次曲面.第四节 空间曲线及其方程一、内容要点空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程 一般式参数式: ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在三坐标面上投影方程在x0y 面上投影曲线方程：在()()⎩⎨⎧==0z y,x,F 0z y,x,F 21 中消去z ，再与z=0联立。

其他坐标平面上的投影曲线方程求法类似。

二、教学要求和注意点教学要求：理解空间曲线的参数方程和一般方程。

解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

例1、求两球面1222=++z y x ，1)1()1(222=-+-+z y x 的交线在xoy 面上的投影。

解：交线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=++1)1()1(1222222z y x z y x 消去z 得2121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x ——椭圆柱面故投影方程为⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+02121222z y x ——椭圆例2、求由球面224y x z --=和锥面()223y x z +=所围成的立体在xoy 面上的投影。

()()⎩⎨⎧==0z y,x,F 0z y,x,F 21解：交线c 的方程为()⎪⎩⎪⎨⎧+=--=222234yx z yx z消去z 得122=+y x ——圆柱面故交线c 在xoy 面上的投影（曲线）方程为⎩⎨⎧==+0122z y x ——圆从而该立体在xoy 面上的投影为⎩⎨⎧=≤+0122z y x ——圆域第五节 平面及其方程一、内容要点已知平面π过点M 0（x 0、y 0、z 0），n (,,)A B C =为π的法矢量。

1> 点法式：A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0 2> 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A 、B 、C 不全为零。

3> 截距式：1z cb y a x =++，a ，b ，C 分别为平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距。

1π⊥2π ↔ 1n ⊥2n1π∥2π ↔ 1n ∥2n点M 0(x 0、y 0、z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为222000CB A DCz By Ax d +++++=二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点,应多做习题 注意点：本单元习题 习题7-5 全作例1、 求通过点P （2,-1,-1），Q （1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。

解： k 9j 3i 27532431kj i n 1+-=---=⨯ {}43,1,QP --=， 已知平面的法矢量{}5,3,2n 1-=取{}3,1,9n --=所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0 例2、解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0 将点M 1(2,-1,0)，M 2(3,0,5)分别代入得∴平面方程为：x –y –3=0 解法二：k n⊥，21M M n ⊥j i 511100kj i M M k 21+-==⨯取{}1,1n -=-(x –2)+(y+1)=0得平面方程：x –y –3=0 (2)设平面方程为y+Cz+D=01CD z D y =-+-即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2CD5D ∴ 得5D 25C -==∴ 010-5z 2y 05z 25y =+=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=→=+-=→=+-3D 0D 31B 0D B 2第六节 空间直线及其方程一、内容要点<1> 空间直线的一般方程L ：⎩⎨⎧=+++=+++0D z C y B x A 0D z C y B x A 22221111<2> 点向式（对称式）直线过点M 0(x 0、y 0、z 0)，{}p n,m,s =为L 方向向量则 L ：pz z n y y m x x 000-=-=- <3>参数式L ： ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptx z nt y y mtx x 000t 为参数L 1∥L 2 1s↔∥2s L 1⊥L 21s↔⊥2s直线与平面关系 <1> L ∥π s ↔⊥n 即0n s =⋅<2> L ⊥π s ↔∥npCn B m A == <3> 点P 到直线L 的距离，L 的方向向量{}p n,m,s =，M 0为L 上一点d <4>平面束方程直线L ：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A则0)D z C y B x A (D z C y B x A 22221111=+++++++λ为过直线L 的除平面0D z C y B x A 2222=+++外的平面束方程 二、教学要求和注意点教学要求：本单元为重点, 与难点,有全章的综合题注意点： 习题7-6 1. 3. 4. 5. 7. 8. 10. 11. 13. 14.15. .16例 一平面过直线L ：⎩⎨⎧=++-=+-+07205243z y x z y x ，且在z 轴有截距3-，求它的方程解：过直线L 的平面束方程为:0)7z y 2x (5z 2y 4x 3=++-++-+λ即057z )2(y )24(x )3(=++-+-++λλλλ据题意4113257-==-+λλλ 411-=λ代入平面束方程，得：057z 19y 38x =--+习题4 , 2 ,(9)例 已知两直线方程130211:1--=-=-z y x L 11122:2zy x L =-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是02z y 3x =++-解：⎩⎨⎧=-=-+0204:1y z x L {}1,0,1-=s过1L 的平面束方程：0)2y (4z x=-+-+λ即{}1,,1024λλλ==--++n z y x由平行2L ∴ 0n s =⋅得3-=λ所求方程为：02z y 3x =++-例 已知平面02z 2y :=-+π 直线⎩⎨⎧=+-=--0223022:z y y x L（1）直线L 和平面π是否平行？（2）如直线L 与平面π平行，则求直线L 与平面π的距离，如不平行，则求L 与π的交点。