数学知识点苏教版必修5高中数学1.2《余弦定理》word教学设计1-总结

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1.2余弦定理(3)教案高中数学必修五苏教版(word版)

听课随笔第6课时余弦定理（3）【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状平面几何中的某些问题余弦定理学习要求1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3．进一步运用余弦定理解斜三角形．【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B ac c a b cos 2222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=.(2) 变形：bc2a c b A cos 222-+=，ac2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.【精典范例】【例1】在∆ABC 中，求证：（1）;sin sin sin 222222CBA c b a +=+ （2）)cos cos cos (2222C abB ca A cb c b a ++=++ 分析：【解】（1）根据正弦定理，可设 Aa sin = Bb sin = Cc sin = k显然 k ≠0，所以左边=C k Bk A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =CBA 222sin sin sin +=右边（2）根据余弦定理的推论，右边=2(bc bc a c b 2222-++ca cab ac 2222-++ababc b a 2222-+) =(b 2+c 2-a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2) =a 2+b 2+c 2=左边【例2】在ABC ∆中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状. 分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。

【解】方法1o（余弦定理）得a ⨯bc a cb 2222-+=b ⨯cab ac 2222-+∴c 44222)(b a b a -=-=))((2222b a b a -+∴22222b a c b a +==或∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.方法2o（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B,或2A+2B=180︒ ∴A=B 或A+B=90︒∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形.点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。

数学知识点苏教版高中数学(必修5)1.2《余弦定理》word学案2篇-总结

余弦定理（一）一自主学习阅读教材第13到15页练习前的内容。

1理解用向量的数量积证明余弦定理的方法。

，2.掌握并熟记余弦定理。

3.能运用余弦定理及其推论解三角形。

学习重点：余弦定理的理解及应用难点：由数量积证明余弦定理二、学法指导1.余弦定理揭示了任意三角形的边角关系，其证明的方法有向量法，解析法和几何法。

2.余弦定理适用的题型：（1）已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理必有一解3.余弦定理适用于判断三角形的形状。

三、课前预习1余弦定理：222____________________________________________________________________________________a b c ===2余弦定理的推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C ===3用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求已知和它们的，求第三边和其他两个角。

4 （1）已知060,1,3===A c b ，求a ；（2）已知6,5,4===c b a ，求cosA.四深入学习例1（教材14P 例2应用题）例２用余弦定理证明：在ABC 中，当C ∠为锐角时，222a b c +>；当C ∠为钝角时，222a b c +<五当堂检测1. 在ABC ∆中，（1）已知60A =,4,7b c ==，求a ；（2）已知7,5,3a b c ===，求A2．在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小.３若三条线段的长分别为５，６，７，则用这三条线段可以组成＿＿＿三角形．六基础达标1．在ABC ∆中，)())((c b b c a c a +=-+，则=A ______2. 在ABC ∆中，已知1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦值是______３a 7b c ==已知，_________.４用余弦定理证明：在a bcos ccos .ABC C B =+中，课后研究题：已知三角形的两边和其中一边的对角，能不利用余弦定理求出其余的边和角？给出一个令你自己满意的结论。

高中数学 1.2《余弦定理(2)》教案苏教版必修5

第 4 课时： §1.2 余弦定理（2）【三维目标】：一、知识与技能1.学会利用余弦定理解决有关平几问题及判断三角形的形状，掌握转化与化归的数学思想；2.能熟练地运用余弦定理解斜三角形；二、过程与方法通过对余弦定理的运用，培养学生解三角形的能力及运算的灵活性三、情感、态度与价值观培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形；难点：利用余弦定理判断三角形的形状以及进行三角恒等变形【学法与教学用具】：1. 学法：2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.余弦定理的内容？2.如何利用余弦定理判断锐角、直角、钝角？2.利用余弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材16P 例6）在ABC ∆中，AM 是BC 边上的中线，求证：222)(221BC AC AB AM -+= 例2 （教材15P 例5）在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，试判断三角形的形状例3 在ABC ∆中，证明：C B A cb a sin )sin(222-=- 例4 已知三角形一个内角为060，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。

例5三角形有一个角是060，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是π12，求这个三角形的面积。

四、巩固深化，反馈矫正1．在ABC ∆中，设=−→−CB a r ,=−→−AC b r ，且|a r |2=,|b r |3=,a r •b r 3-=，则_____=AB 2. 在ABC ∆中，已知060=∠C ，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，则a c b c b a +++的值等于________3.已知a b a ,6,13=+=边上的中线，2338-=a m ,则_____=c 4.已知圆内接四边形ABCD 中，4,6,2====CD AD BC AB ,求四边形ABCD 的面积五、归纳整理，整体认识让学生总结本节课所学的内容及方法（1）知识总结：（2）方法总结：六、承上启下，留下悬念1．书面作业七、板书设计（略）八、课后记：。

苏教版高中数学必修五余弦定理教案(2)

听课随笔第2课时余弦定理【学习导航】知识网络⎩⎨⎧判断三角形的形状航运问题中的应用余弦定理学习要求1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；3．初步利用定理判断三角形的形状。

【课堂互动】自学评价1．余弦定理：(1)_______________________，_______________________，_______________________. (2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）_______________________________；（２）______________________________．【精典范例】【例1】在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN u u u r为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？【解】【例2】在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．【解】【例3】如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．【证明】追踪训练一1. 在△ＡＢＣ中，如果C B A sin :sin :sin ＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（）．Ａ．32Ｂ．32- Ｃ．31- Ｄ．41- 2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上听课随笔６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．【选修延伸】【例4】在△ABC中，设3332a b cca b c+-=+-，且3sin sin4A B=，请判断三角形的形状。

苏教版高中数学必修5同步讲义 1.2余弦定理

§1.2 余弦定理情景引入我们在社会生活中经常会遇到一些工人在开山、凿路、铺桥等，由于某些实际情况不好去直接测量，如开隧道，想知道隧道的长度；如铺桥，河很宽又要知道桥的长度，等等．就象隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A ，量出A 到山脚B 、C 两点间的距离，再利用经纬仪测出A 对山脚BC （即线段BC ）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC ．知识技能详解知识点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 余弦定理的推论：222os 2b c a c A bc +-=，222cos 2c a b B ac+-=，222cos 2a b c C ab +-= 利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．温馨提示：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．知识点2 余弦定理的证明教材中给出了用向量证明余弦定理的方法，体现了向量在解决三角形度量问题中的作用，另外，还可以用解析法、三角法等证明余弦定理．证明1：如图1-2-1，以A 点为原点，以△ABC 的边AB 所在直线为x 轴，以过A 与AB 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，(cos ,sin )C b A b A ，(,0)B c ，由两点间的距离公式得222(cos )(sin 0)BC b A c b A =-+-，222222cos 2cos sin a b A bc A c b A =-++即2222cos a b c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- 证明2：如图1-2-2，当△ABC 为锐角三角形时，过C 作CD AB ⊥于D ，则sin CD b A =，cos BD AB AD c b A =-=- 在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+即2222sin (cos )a b A c b A =+-整理得2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b ac ac B =+-，2222cos c a b ab C =+- A BD C b a c 1-2-1当△ABC 为钝角三角形时，如图1-2-3,sin CD b A =，cos BD b A c =-在Rt △BCD 中，由勾股定理得222BC CD BD =+ 2222(cos )a b sin A b A c =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-证明3：由正弦定理，得2sin 2sin()a R A R B C ==+，∴2224sin ()a R B C =+224(sin R B =2cos C 22cos sin 2sin sin cos cos )B C B C B C ++24R =2222sin (1sin )(1sin )sin 2sin sin cos cos B C B C B C B C ⎡⎤-+-+⎣⎦2224sin sin 2sin sin cos()R B C B C B C ⎡⎤=+++⎣⎦ 22224sin 4sin R B R C =+2(2sin )(2sin )cos R B R C A -222cos b c bc A =+-，同理可证：2222cos ,b a c ac B =+-2222cos c b a ba C =+-方法点拨：对于余弦定理的证明方法可以由正弦定理的证明来类比，由正弦定理的证明思路（通过向量）来推导出余弦定理的证明，其中关键是如何将向量等式BC BA AC =+ 转化为数量关系，实际上除了向量方法以外，我们还有好多种方法，如以上的几种方法，所以在解决问题的时候要多注意方法和思路的总结．知识点3 利用余弦定理解三角形利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角．例如：在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c a c b a +++=，求ABC ∆的最大内角．解：设4b c k +=，5a c k +=，6b a k +=(0)k >，则7.5a b c k ++=，解的 3.5a k =，2.5b k =， 1.5c k =所以a 是最大的边，即角A 是ABC ∆的最大角．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==- ，000180A << ，0120A ∴=即最大角为0120．温馨提示：(1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．(2)运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．知识点4 利用余弦定理判断三角形的形状．利用余弦定理可以确定三角形每个内角的范围，因此很快就能判断三角形是锐角三角形或是直角三角形或是钝角三角形．在判断的过程中我们一般先找到最大角，（即最大边所对应的角），再判断这个最大角AB DC b ac 1-2-3是锐角，直角还是钝角．例如：在ABC ∆中，已知7a =，10b =，6c =，判断ABC ∆的形状．解：因为ABC ∆中最大边为b ，所以我们先确定角B 的范围，由余弦定理2225cos 228a cb B ac +-==-可知：在ABC ∆中，000180B <<；0090180B <<，所以ABC ∆为钝角三角形．规律总结：（1）由余弦定理还可以推得：若222a b c +>，C 为锐角，若222a b c +<，C 为锐角．这是判断三角形形状的方法之一．（2）在2222cos c a b ab C =+-中，若090C =，则222c a b =+，所以勾股定理可以看成是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广．知识点5 三角形中最值的求法解决三角形中的有关最值问题的关键在于：利用正弦定理或余弦定理，三角恒等变换思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，或某一边的函数，进而求出其最值．例如：已知圆O 的半径为R ，它的内接△ABC 满足222(sin sin )R A C -)sin b B =-，求△ABC 面积的最大值．分析：先可将已知等式转化为边的关系式，再由边的关系式的结构特征联想到正余弦定理可求角C ，最后利用三角函数的有界性确定面积的最大值．解：利用正弦定理可将已知等式变为22)a c b b -=-即222a b c +-=∴222cos 2a b c C ab +-== ∴4C π=∴1sin 2S ab C = 12sin 2sin 2R A R B =⋅⋅2sin sin A B =2[cos()]22R A B =----∴当A ＝B 时，S 有最大值212R +．警示区：在运用正、余弦定理求解最值问题时，有时要注意三角函数的有界性，否则会导致范围的变化；有时还要用到函数的单调性、不等式的基本性质等．知识点6 余弦定理的综合应用把余弦定理与正弦定理、三角形的面积相结合可解决三角形、四边形中的证明和计算问题．技能应用导引题型一：余弦定理的简单应用1．解三角形例1 在△ABC 中，已知2,22,15a b C ===︒，求角A 、B 和边c 的值．【分析】：由条件角C 为边a ，b 的夹角，故应由余弦定理来求c 的值．【解】62cos15cos(4530)4+︒=︒-︒=由余弦定理知，2222cos c a b ab C =+-4822(62)=+-⨯+843=-∴2843(62)62c =-=-=- 由正弦定理得sin sin a c A C= sin sin a C A c =sin15a c ︒=62214262-⨯==- ∵b a > ∴A 为锐角 ∴30A =︒ ∴180135B A C =︒--=︒【评注】利用余弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：⑴已知三边，求三个角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．变式练习1. 在△ABC 中，已知20,10,45a b C ===︒，解三角形（边长精确到1，角度精确到1︒）．变式练习2．在ABC ∆中，已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．例2、在四边形ABCD 中，,2BC a DC a ==，四个角A 、B 、C 、D 的度数的比为3:7:4:10，求AB 的长．【分析】如图1-2-4，要求AB 的长，需把AB 放到三角形中处理，为此连结BD ，由题设可求出角A 、B 、C 、D 的值，在△BCD 中，由余弦定理可求出BD ，进而解△BCD ，求AB ．【解】设四个角A 、B 、C 、D 的度数分别为3,7,4,10(0)x x x x x >，则由四边形的内角和定理，有37410360x x x x +++=︒，解得15x =︒．∴45A =︒，105ABC ∠=︒，60C =︒，150ADC ∠=︒ 连结BD ，在△BCD 中，由余弦定理，得 2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅⋅222142232a a a a a =+-⋅⋅= ∴3BD a = 此时，222BC BD CD +=，∴△CBD 为直角三角形，90CBD ∠=︒，30BDC ∠=︒在△ABD 中，45A =︒，120ADB ∠=︒由正弦定理知sin sin AB BD ADB A =∠，sin 32sin 2BD ADB AB a A ∠== ∴AB 322a ABCD 1-2-4【反思】本题要求在四边形ABCD 中求边AB 的长，需构建三角形，通过解三角形解决，本题中求ADB ∠的度数是关键，要善于挖掘隐含条件222BC BD CD +=，如果不能发现这一条件，也可通过余弦定理求出BDC ∠的度数．变式练习3．在四边形ABDC 中，3CD =，75ACB ∠=︒，45BCD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，求AB 的长．变式练习4．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，求a.例3．在△ABC 中，A 最大，C 最小，且2A C =，2a c b +=，求此三角形三边之比．【分析】要求三边之比，已知角A 与角C 的关系，可由正弦定理求cos 2a C c=，再由余弦定理得出a 、b 、c 的关系，结合2a c b +=的条件，使问题解决．【解】在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a c A C =，sin 2cos sin a A C c C ==，即cos 2a C c= 由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-= ∵2b a c =+ ∴2221()4222a c a c a a c c a -++=+⋅ 整理得，222530a ac c -+=，解得a c =或32a c = ∵A C > ∴a c >，∴a c =不合题意．当32a c =时，15()24b ac c =+= ∴35::::6:5:424a b c c c c == 故此三角形的三边之比为6:5:4 【评注】在应用正、余弦定理解三角形时，常用到三角函数的有关公式，体现了它们之间的联系，本题中通过解方程求a 、c 的关系，体现了余弦定理与方程的联系．变式练习５．已知三角形的三边长为三个连续自然数，且最大角为钝角，求三边的长．变式练习６．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．2．判断三角形的形状例4 在△ABC 中，已知7,10,6a b c ===，判断ABC 的形状．【分析】△ABC 的最大边由b 和角B 的范围决定，故问题转化为求角B 的范围．【解】由余弦定理知222cos 2c a b B ac+-=2227610276+-=⨯⨯528=-在△ABC 中，0180B ︒<<︒∴90180B ︒<<︒ ∴△ABC 为钝角三角形．【评注】对于判断三角形的形状，一般从两个方面：一是角化边，通过余弦定理来判断；二是边化角，结合三角形的内角和定理，判断其中的最大角。

苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思

#苏教版高三数学必修五《余弦定理》教案及教学反思##引言高中数学教育是学生数学思维和能力的重要基础。

而教学过程的品质对学生的学习结果影响重大。

本教学反思主要讨论苏教版高三数学必修五《余弦定理》的教学案例以及反思。

##教学目标1.知道余弦定理的基本形式。

2.掌握余弦定理的应用。

3.掌握斜三角形的三角函数计算。

##教学资源1.课程教材：苏教版高三数学必修五。

2.教学媒体：教师机、投影仪等。

3.学习工具：学生课本、笔记本等。

##教学过程###引入在讲解余弦定理之前，首先让学生自己找规律，相信大家都会欣赏这种探索的方式。

引导学生发现的过程就是下面这个问题：假设在一个直角三角形中，斜边的长度为10，斜边上一点到直角边的距离是6。

现在让你求出斜边上另一个点到直角边的距离。

这个问题一出来，很多同学可能不知道怎么做，或者说觉得这个问题根本没有办法解决。

这时教师可以引导学生分析，将问题分解成多个子问题，经过不断的思维，最终得出答案。

###主体余弦定理的公式是很简单的：$c^2=a^2+b^2-2ab\\cos C$。

然而，在讲解公式时，我们经常可以发现学生的 confusion和疑惑。

这时就可以采用借助图形的方式来帮助学生理解。

例如，让同学绘制出图1-1：图1-1A/|\\b / | \\/ | \\B------- Ca c然后，提出假设题目为：“在一个斜边长度为c=10、夹角为 $C=120^\\circ$ 的三角形中，若分别以a,b表示另外两个边长，则 $\\cos C=$ ？”，然后按照如下步骤引导学生思考：•如何求a和b；•带入公式求 $\\cos C$。

这种联系结合了以图形帮助学生理解公式的方法、以问题引导学生思维的方法，最终能够让学生更详细地理解余弦定理的应用。

###总结在教学过程中，我们通过组织学生自己探索规律的方式引出问题，在图形化的帮助下让学生更加深入地理解了余弦定理。

此外，在教材中补充其他的实例，不断强化和巩固学生对余弦定理公式的记忆和应用。

苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理的应用要点解读文字素材

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理要点解读一、正弦定理1．正弦定理及其证明在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C==．课本利用三角形中的正弦函数的定义和向量的数量积两种方法证明了正弦定理，同学们可以思考一下有没有别的方法呢？答案是肯定的．证明如下：当ABC △为锐角三角形时（如图所示），过点A 作单位向量i 垂直于AB ，因为AC AB BC =+u u u r u u u r u u u r ，所以()AC AB BC AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ····i i i i ，cos(90)0cos(90)b A a B -=+-°°，即sin sin b A a B =，得sin sin a b A B=．当ABC △为钝角或直角三角形时也可类似证明．2．正弦定理常见变形公式（1）sin sin sin sin b A c A a B C ==，sin sin sin sin c B a B b C A ==，sin sin sin sin a C b C c A B==；（2）::sin :sin :sin a b c A B C =；（3）2sin 2sin a R A b R B ==，，2sin c R C =（R 为ABC △外接圆的半径）；（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（5）sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++．注：这些常见的变形公式应熟练掌握，在具体解题时，可根据不同的题设条件选择不同的变形公式．3．正弦定理的运用利用正弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．二、余弦定理1．余弦定理及表达式三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-．注：余弦定理反映了a b c A B C ，，，，，元素间的动态结构，揭示了任意三角形的边、角关系．2．余弦定理的另一种表达形式222cos 2b c a A bc+-=； 222cos 2c a b B ac+-=；222cos 2a b c C ab+-=；注：若已知三边求角时，应用余弦定理的此表达形式简单易行．3．余弦定理的运用利用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．注：这两类问题在有解时都只有一个解．4．勾股定理和余弦定理的区别与联系勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．由余弦定理及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．三角形形状的判定根据条件判断三角形的形状，是一类常见的解斜三角形问题．本文介绍几种常用解法，以供参考．一、利用向量的模，或利用向量的夹角来判定例1 在ABC △中，设BC CA AB ===u u u r u u u r u u u r ，，a b c ，若==ab bc ca ，判断ABC △的形状．解：∵++=0a b c ，∴ +=-a b c ，22()()+=-a b c ，即2222++=a b a b c ·，同理有：2222++=b c b c a ·，两式相减有：22222()-+-=-a c ab bc c a ··， ∵=a b b c ··，∴22=a c ．即=a c ，同理：=a b ，即==a b c ，故ABC △为等边三角形．注：我们还可以利用向量的夹角来判断．提示：以BA BC ，为平行四边形的两邻边，作ABCD Y ，由=a b b c ··知()0-=ba c ·，即0CA BD =u u u r u u u r ·，即CA BD ⊥，所以ABCD Y 为菱形，故BA BC =，同理可得AB AC =．二、利用正、余弦定理来判断边或角的关系一般地，对于给出的边、角关系混合在一起的问题，利用正、余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么统一为角的关系，再利用三角形的有关知识及三角恒等变形等来解决．例2 在ABC △中，若2cos sin sin C A B =，则ABC △的形状一定是（）（A ）等腰直角三角形（B ）直角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形解析：∵2cos sin sin C A B =，∴ cos 2b C a =．又由余弦定理，知222cos 2a b c C ab +-=．∴a c =，故选（C ）．三、利用三角变换例3 在ABC △中，若sin sin cos cos A B A B <，则此三角形是（）（A ）直角三角形（B ）锐角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形解析：由条件知cos cos sin sin 0A B A B ->，即cos()0A B +>，所以π02A B <+<，所以ππ2C <<，故选（C ）．那么可不可以利用三角变换来解决例2呢？提示：∵π()B A C =-+，∴sin sin()B A C =+． ∴2cos sin sin cos cos sin C A A C A C =+．故sin()0A C -=，即A C =．例4 在ABC △中，若sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，则ABC △是（）．（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）直角三角形解析：由已知，得cos()sin()2A B A B -++=，又cos()1A B -≤，sin()1A B +≤，故cos()1A B -=且sin()1A B +=，即A B =且90A B +=°，故选（C ）．评注：本题是利用了正、余弦函数的有界性来解决．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 1.2.1 余弦定理》5

“余弦定理〞教学设计方案镇江市实验高级中学杨勇一、课题：余弦定理〔苏教版必修5第一章第2节〕二、教学内容分析余弦定理是“纵横〞知识网络上的一个重要结点，纵向开展的知识：勾股定理——余弦定理——秦九韶公式——海伦公式；横向联结的知识：和角公式、正弦定理及三角形面积公式．余弦定理承前的根底知识有勾股定理、向量根底知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理及三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储藏，后续的知识有正余弦定理的应用及其拓展内容秦九韶公式与海伦公式．同时，余弦定理可推导证明和角公式、正弦定理等，使三角内容紧密联结成一个完整的知识体系．余弦定理是三角函数模块和平面向量模块在三角形中的具体运用，是解决生产、生活实际问题及可转化为三角形计算问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值．本节课是“解斜三角形〞教学的第二课时，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课〞．三、教学目标1知识与技能〔1〕通过两颗星之间的距离，感受余弦定理来自于现实世界、从实际生活中提炼出数学的过程，以此培养学生的数学应用意识；〔2〕通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解可以从向量、解析几何和三角方法等多种途径证明余弦定理；2过程与方法〔1〕理解余弦定理的两种表示形式，初步了解余弦定理的两种形式之间的关系；〔2〕通过学生动手操作、提出问题、解决问题的过程，提高学生运用余弦定理解决问题的能力；3情感态度价值观体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，让学生获得发现的成就感，在质疑、交流、合作中形成良好的数学思维品质．三、教学重点与难点对于三角形边角关系的探索过程，是学生在问题引导下，尝试问题解决，提升自信的心理历程，本节课的终结点是余弦定理纳入学生的知识结构之中，培养学生的数学应用意识，因此课堂教学的重点确立为：余弦定理的发现与证明．要获取余弦定理的关键是引入向量或建立适当的直角坐标系，这从学生的认知能力来讲，是一个较难的问题，因而，本堂课的难点确立为：余弦定理的建立．在突破难点上，采用探究式提问策略，通过解直角三角形、向量及建立直角坐标系的根底知识〔注：建立直角坐标系的方法根据学生的接受能力而定〕，使难点在学生递进式的解答过程中，层层突破，并领悟数学知识的内在联系．四、教学过程：〔一〕创设情境1 牵牛星A和织女星B分别距离地球C约17光年和26光年，从地球上观测这两颗星的张角为340，求牵牛星和织女星之间的距离〔精确到光年,其中COS340=〕设计意图：通过问题情境的创设，激发学生的兴趣，在学生发现AB无法具体测量后，转而想到正弦定理，进而发现该问题不符合正弦定理能解决的两种类型，一时激起强烈的认知冲突。

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1.2 余弦定理（1）
教学目标：
1. 掌握余弦定理及其证明方法；
2. 初步掌握余弦定理的应用；
3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力．
教学重点：
余弦定理及其应用；
教学难点：
用解析法证明余弦定理．
教学方法：发现教学法．
教学过程：
一、问题情境在上节中，我们通过等式+=的两边与（AD 为ABC ∆中BC 边上的高）
作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理．
C c B b A a sin sin sin ==．探索1 还有其他途径将向量等式+=数量化吗？二、学生活动
向量的平方是向量数量化的一种手段．
因为+=（如图1），所以）
（（+⋅+=⋅ 222+⋅+=
222
cos 2)180cos(b A cb c A +-=+-︒+=
即 A bc c b a cos 2222-+=， A
B C 图1
同理可得 B ac c a b cos 22
22-+=， C ab B a c cos 2222-+=．
上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理．
三、建构数学
对任意三角形，有余弦定理： A bc c b a cos 2222-+=，
B ac c a b cos 2222-+=，
C ab b a c cos 2222-+=．
探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．
师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法．
方法一：如图2建立直角坐标系，则)0,(),sin ,cos (),0,0(b C A c A c B A ．
所以()()
22222222sin cos sin cos bc A c A c A c b A c a -+=+-=A bc c b cos 222-+=．
同理可证：B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=．方法二：若A 是锐角，如图3，由B 作AC BD ⊥，垂足为D ，则AD =
所以，
图2
22222222(AC AD)AC AD 2AC AD BD a DC BD BD =+=-+=+-⋅+
A bc c b AD AC BD AD AC cos 22-)(22222-+=⋅++=，
即A bc c b a cos 22
22-+=，
类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显然成立．
同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．
方法三：由正弦定理，得)sin(2sin 2C B R A R a +==．所以 )cos cos sin sin 2sin cos cos (sin 4)(sin 422222222C B C B C B C B R C B R a ++=+=
]cos cos sin sin 2sin )sin 1()sin 1([sin 422222C B C B C B C B R +-+-=
)]cos(sin sin 2sin [sin 4222C B C B C B R +++=
A C R
B R
C R B R cos )sin 2)(sin 2(2sin 4sin 42222-+=
A bc c b cos 222-+=．
同理可证 B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 22
22-+=．余弦定理也可以写成如下形式： bc
a c
b A 2cos 2
22-+=， ca
b a
c B 2cos 2
22-+=， ab
c b a C 2cos 2
22-+=．探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
四、数学运用
1．例题．
例1 在ABC ∆中，
（1）已知︒===60,1,3A c b ，求a ；
（2）已知,6,10,7===c b a 求最大角的余弦值．
解（1）由余弦定理，
得 760cos 13213cos 222222=︒⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ，
所以 7=a ．
（2）因为b a c <<，所以B 为最大角，由余弦定理，得28
576210762cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ca b a c B ．例2 用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，2
22c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．
证明：当C ∠为锐角时，0cos >C ，由余弦定理得
22222cos 2b a C ab b a c +<-+=
即 222c b a >+；
同理可证，当C ∠为钝角时，222c b a <+．
2．练习．
（1）在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，求A ．
（2）若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段（）
A. 能组成直角三角形
B. 能组成锐角三角形
C. 能组成钝角三角形
D. 不能组成三角形
（3）在ABC ∆中，已知222c ab b a =++，试求C 的大小．
练习答案：
（1）32π=A （2）B （3）3
2π=C 五、要点归纳与方法小结
本节课我们得出了任一三角形的三边及其一角之间的关系，即余弦定理．余弦定理可以解决斜
三角形中这样的两类问题：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．。