高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节第2课时绝对值不等式的解法创新应用课件新人教A版选修4_5
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高中数学课件第一节 绝对值不等式
数学
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
数学
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
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第一节
绝对值不等式
结束
3．如果关于 x 的不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不是空集，求 实数 a 的取值范围．
解：注意到||x－3|－|x－4||≤|(x－3)－(x－4)|＝1，－1≤|x－ 3|－|x－4|≤1.若不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集是空集， 则有 |x－3|－|x－4|≥a 对任意的 x∈R 都成立， 即有(|x－3|－|x－ 4|)min≥a， a≤－1.因此， 由不等式|x－3|－|x－4|<a 的解集不 是空集可得，实数 a 的取值范围是 a>－1.
1 1 2t－1<2x<1，t－ <x< ，∴t＝0. 2 2 2．设不等式|x＋1|－|x－2|>k 的解集为 R，求实数 k 的取值范围．
[试一试]
解：法一：根据绝对值的几何意义，设数 x，－1,2 在 数轴上对应的点分别为 P，A，B，则原不等式等价于 |PA|－|PB|>k 恒成立． ∵|AB|＝3， 即|x＋1|－|x－2|≥－ 3.故当 k<－3 时，原不等式恒成立．
为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个
函数的图象，利用函数图象求解．
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第一节
绝对值不等式
结束
[练一练]
1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.
解：法一：分类讨论去绝对值号解不等式． 1 3 1 1 当 x> 时，原不等式转化为 4x≤6⇒x≤ ；当－ ≤x≤ 时，原 2 2 2 2 1 不等式转化为 2≤6，恒成立；当 x<－ 时，原不等式转化为－ 2
人教数学选修4-5全册精品课件：第一讲二2.绝对值不等式的解法第二课时
【解】 法一：令 x－1＝0，∴x＝1. 令 x－2＝0，∴x＝2. ∴当 x<1 时，原不等式可化为 1 1－x＋2－x>2，∴x< ， 2 1 ∴原不等式解集为 x< . 2 当 1≤x<2 时，原不等式可化为 x－1＋2－x>2 不成立．
5 当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x> . 2 1 5 综上，原不等式解集为{x|x< 或 x> }． 2 2 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3 ＋x，即x<0，∴x<0.
综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}． 【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零 的点，然后分段讨论，再求各段结果的并 集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
【思路点拨】 对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值， 只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋ 2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2| 的最小值，则问题获解． 对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是 求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最 小值．
(3)当 x≥4 时，原式可转化为 x－4＋x －3<a， a＋7 ∴2x－7<a，∴x< . 2 a＋7 又∵x≥4，∴ >4，∴a>1. 2 综上所述，使不等式有解的条件是 a>1.
不等式和绝对值不等式课件
3 025
≥5 000+16×2 ·
= 6 760,
3 025
当且仅当 x= , 即x=55 时,S 取得最小值.
4 840
55
5
此时高
= 88, = = < 1.
55
88
8
故当画面的高为 88 cm,宽为 55 cm 时,才能使所用纸张面积最
小.
专题四 含有绝对值的不等式的证明
证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基
解(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)>1,
⇔|x+3|+|x-7|>10,
≥ 7,
≤ -3,
-3
<
<
7,
⇔
或
或
2-4 > 10
10 > 10
4-2 > 10
⇔x>7或x<-3.
所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>7}.
(2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10,当且仅当(x+3)(x7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10.故lg(|x+3|+|x-7|)≥1.
证明：|(x+y)-(a+b)|
=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.
2
2
∵|x-a|< , | − | < ,
2
2
∴|x-a|+|y-b|< + = . ②
高二上学期数学教学课件ppt--第一节 (新)绝对值不等式
主要方法有： ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化； ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号； ①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）; ⑷利用函数图象来分析.
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
例1； 解不等式1 3x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不等式组 3x 4 1 3x 4 6
即3x643x
1或3x 46
4
1
x
1或x 10 x 3
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故
原不
解：
(Ⅰ) 或
(Ⅱ)
5x-6<6-x
-（5x-6）<6-x
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论，
当6进-x≦一0时步,反显然思无:不解等；式组 当6中-x6>-0x时>0,转是化否为可-(以6-x去)<掉5x-6<(6-x)
解：由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x有>0更一般的结论：X<6
|f(x|)f|(>xg-)(|(6<x-g)x()x<5) x-6f(<x(6)->-gxg()x(x)<) f或(xf)5(-<x(x6g-)-6<(xx<-)g(<)65(-xxx)-)6
0<x<2
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间法 ③构造函数法
例1； 解不等式1 3x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不等式组 3x 4 1 3x 4 6
即3x643x
1或3x 46
4
1
x
1或x 10 x 3
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故
原不
解：
(Ⅰ) 或
(Ⅱ)
5x-6<6-x
-（5x-6）<6-x
解(Ⅰ)得：6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得：0<x<6/5
取它们的并集得：（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析：对6-x 符号讨论，
当6进-x≦一0时步,反显然思无:不解等；式组 当6中-x6>-0x时>0,转是化否为可-(以6-x去)<掉5x-6<(6-x)
解：由绝对值的意义，原不等式转化为：
6-x有>0更一般的结论：X<6
|f(x|)f|(>xg-)(|(6<x-g)x()x<5) x-6f(<x(6)->-gxg()x(x)<) f或(xf)5(-<x(x6g-)-6<(xx<-)g(<)65(-xxx)-)6
0<x<2
2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5ppt版本
第一章 不等关系与基本不等式
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c
单＞0击)型此不处等编式的辑解母法版文本样式
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法三 将原不等式转化为 |x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，即 y＝－2x＋122，，x－＜－7≤7，x≤2，
6，x＞2. 作出函数的图像如图所示， 由图可知当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1}．
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c
单＞0击)型此不处等编式的辑解母法版文本样式
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法三 将原不等式转化为 |x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，即 y＝－2x＋122，，x－＜－7≤7，x≤2，
6，x＞2. 作出函数的图像如图所示， 由图可知当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1}．
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
1．若 A＝{x||x－1|＜2}，B＝x|x－x 2＞0，则 A∩B 等于(
)
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|x＜0，或 x＞2}
C．{x|－1＜x＜0，或 2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜0}
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＞a的解集是全体实数 ，则a的取值范围是________．
解析： 由绝对值的几何意义可知， |x－3|＋|x－4|≥1， 故a＜1. 答案： (－∞，1)
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
4．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特 别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值里的代数式__为__零__，并求出相应的根(又 叫零点)；
(2)把这些根由__小__到__大__排__列__，把不等式的存在域(未知数 的取值范围)分成若干段；
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
(3)在每一段上去掉_绝__对__值__符__号___组成若干个不等式(组)， 解这些不等式(组)，求出交集；
(4)取这些不等式(组)的解集的___并__集_就是原不等式的解集 ．
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简 捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”， 同时还要分清端点是否包括在内．
高中数学必修一含绝对值不等式解法PPT课件
第12页/共14页
四、课堂作业 1、解下列不等式：
(1) 3 x 2 1; 4
(2) 2x 1 1 52
第13页/共14页
感谢观看！
第14页/共14页
例1、因式分解：
(1) 8 x3
(2) (a b)2 16b2
第2页/共14页
三、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
例2、因式分解：
第10页/共14页
二、例题分析 例1、解不等式： | x-500 |≤5 例2、解不等式：| 2x+5 |>7。
第11页/共14页
三、课堂小结 绝对值不等式的解法
不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}； 不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。 1、注意在解决问题过程中不等式的几何意义； 2、其它形式的含有绝对值的不等式解法要知道 其依据。
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
第8页/共14页
一、基础知识讲解 2、绝对值不等式的解法 ⑴含绝对值的方程 |x|=2 的几何意义是什么？|x|=2 的解是什么？ 由绝对值的意义可知，方程的解是 x = 2 或 x = 2 ，在数轴上表示如下：
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ⑵绝对值不等式 |x|<2 与 |x|>2 的几何意义是什么？ 解集呢？
第1页/共14页
一、公式法(完全平方公式、平方差公式立方和、立方差公式)
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 b2 (a b)(a b)
四、课堂作业 1、解下列不等式：
(1) 3 x 2 1; 4
(2) 2x 1 1 52
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感谢观看！
第14页/共14页
例1、因式分解：
(1) 8 x3
(2) (a b)2 16b2
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三、十字相乘法
1． x2 ( p q)x pq 型的因式分解
x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q)
例2、因式分解：
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二、例题分析 例1、解不等式： | x-500 |≤5 例2、解不等式：| 2x+5 |>7。
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三、课堂小结 绝对值不等式的解法
不等式|x|<a(a>0)的解集是{x|-a<x<a}； 不等式|x|>a(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。 1、注意在解决问题过程中不等式的几何意义； 2、其它形式的含有绝对值的不等式解法要知道 其依据。
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
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一、基础知识讲解 2、绝对值不等式的解法 ⑴含绝对值的方程 |x|=2 的几何意义是什么？|x|=2 的解是什么？ 由绝对值的意义可知，方程的解是 x = 2 或 x = 2 ，在数轴上表示如下：
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ⑵绝对值不等式 |x|<2 与 |x|>2 的几何意义是什么？ 解集呢？
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一、公式法(完全平方公式、平方差公式立方和、立方差公式)
a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 b2 (a b)(a b)
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第2节绝对值不等式创新应用教学案新人教A版选修4-5(new)
中间部分 |a±b|
肯定是非负 的
≥左端 ≤右端
用“＋”连接时,ab≥0， 右端取等号，ab≤0,且｜ a ｜ ≥ ｜ b| 时 , 左 端 取 等 号；用“－”连接时，ab ≥ 0 ， 且 ｜ a| ≥ ｜ b| 时 ， 左端取等号，ab≤0，右 端取等号．
右端 |a｜＋｜b｜
是非负的
≥中间部分
中间部分为｜a＋b｜时， ab≥0，等号成立;中间部 分为｜a－b｜时，ab≤0,
－1）｜≤|x－a|＋｜2a－1| ≤｜x－a|＋｜2a|＋1<1＋2|a｜＋1＝2（|a｜＋1）．
a，b∈R，且｜a＋b＋1｜≤1，｜a＋2b＋4|≤4.
已知
求｜a｜＋|b｜的最大值．
［精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出｜a＋b｜,｜a－b|
的最值，再通过|a|＋｜b｜与它们相等时进行讨论求出最大值．
|a＋b｜＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋｜1|≤2，
|a－b｜＝｜3(a＋b＋1)－2（a＋2b＋4)＋5｜
≤3|a＋b＋1|＋2｜a＋2b＋4｜＋5
≤3＋2×4＋5＝16.
①若 ab≥0，则|a｜＋|b｜＝|a＋b｜≤2；
②若 ab＜0，则｜a|＋｜b|＝|a－b|≤16。
而当 即 a＝8,b＝－8 时, ｜a|＋|b｜取得最大值,且｜a｜＋|b｜＝｜a－b|＝16。
左边＝错误! ＝错误!≥错误! ＝错误!。 ∵错误!≤错误!，
1 ｜a－b｜≤错误!， ∴|a＋1b｜＋错误!≤错误!。 ∴左边≥错误!＝右边 ②若｜a｜〈｜b|，左边〉0，右边<0， ∴原不等式显然成立． ③若|a｜＝｜b｜，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．