高中数学必修四北师大版 6余弦函数的图像与性质 课时作业 含答案
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
解析：y＝－cos2x＋acosx－ a－
＝－ 2＋ － － .
∵－1≤cosx≤1，于是
①当 <－1，即a<－2时，当cosx＝－1时，
ymax＝－ a－ .
由－ a－ ＝1，得a＝－ >－2(舍去)；
②当－1≤ ≤1，即－2≤a≤2时，
解析：由题意，知0≤cosx≤1，∴2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z.
答案： (k∈Z)
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos 与cos ；
(2)sin194°与cos160°.
解析：(1)cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ，
∵0< < <π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
其中正确的有()
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：如图所示为y＝cosx的图象．
可知三项描述均正确．
答案：D
2．函数y＝sin 是()
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：y＝sin
＝sin
＝－sin ＝－cos2 010x，
所以为偶函数．
答案：B
3．函数y＝cosx－2在x∈[－π，π]上的图像是()
北师大版数学高一必修4课时作业：6余弦函数的图像_余弦函数的性质_Word版含解析
课时作业6余弦函数的图像余弦函数的性质
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：
(1)向左向右无限延伸；
(2)与x轴有无数多个交点；
高一数学北师大版必修4教师用书第1章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含解析
§余弦函数的图像与性质
余弦函数的图像
余弦函数的性质
．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像．
．会用五点法画出余弦函数在[π]上的图像．(重点)
．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理余弦函数的图像与性质
阅读教材～“思考交流”以上部分，完成下列问题．
．利用图像变换作余弦函数的图像，所以余弦函数＝的图像可以通过将正弦曲线＝向
因为＝＝
平移
左
个单位长度得到．如图--是余弦函数＝ (∈)的图像，叫作余弦曲线．
图--
．利用五点法作余弦函数的图像
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数＝
()
[π])的图像上有五个关键点，为
∈
(
，
，
，可利用此五点画出
(π，)
，
，
(π，－)
余弦函数＝，∈的简图(如图--)．
图--
．余弦函数的性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
()余弦函数＝的图像关于坐标原点对称．( ) ()余弦函数＝的图像可由＝的图像向右平移个单位得到．( ) ()在同一坐标系内，余弦函数＝与＝
的图像形状完全相同，只是位置不同．( ) ()正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区间
．( )【解析】()错；余弦函数＝＝，即可看作是＝向左平移个单位得到的，因
而()错；()正确；正、余弦函数有相同的周期(都是π)，相同的最大值(都是)，相同的最小值(都是－)，也都有单调区间，但单调区间不同，因而()错．
【答案】()×()×()√()×。
2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.6 余弦函数的图像与性质 含解析
§6余弦函数的图像与性质Q错误!错误!现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性,即朔——上弦-—望-—下弦——朔;潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？X错误!错误!1．余弦函数的图像(1）余弦函数y＝cos x的图像可以通过将正弦曲线y＝sin x__向左平移错误!个__单位长度得到．(2）余弦函数y＝cos x(x∈R）的图像叫作__余弦曲线__.图像如下：(3)用五点法作余弦函数的图像,余弦曲线上有五个点起关键作用,这五个点是__(0,1）__、__(错误!，0）__、__（π,－1）__、__（错误!π，0）__、__(2π，1）__.2．余弦函数的性质定义域__R__值域__［－1，1]__最值当x＝__2kπ__(k∈Z)时,y max＝__1__当x＝__（2k＋1)π__(k∈Z）时，y min＝__－1__周性期最小正周期是__2π__单调性递增区间__[2kπ－π，2kπ］__ (k∈Z）递减区间__［2kπ，2kπ＋π］__ (k∈Z)奇偶性__偶__函数，图像关于__y__轴对称对称性对称轴方程：__x＝kπ（k∈Z）__对称中心：__（kπ＋错误!，0)（k∈Z)__Y错误!错误!1．要得到函数f（x)＝sin x的图像，可以将g（x）＝cos x的图像( D )A．向左平移π个单位B．向右平移π个单位C．向左平移错误!个单位D．向右平移错误!个单位［解析] y＝sin x＝cos (错误!－x）＝cos （x－错误!)．故选D．2．函数y＝1－cos x的图像关于（ B ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线x＝错误!对称[解析] 函数y＝1－cos x是偶函数，其图像关于y轴对称．3．函数y＝错误!是( A )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数［解析］定义域为R,f（－x)＝错误!＝错误!＝－f（x），则f(x）是奇函数．4．当x＝__(2k＋1)π(k∈Z)__时，y＝2－错误!cos x取得最大值__错误!__。
北师大版数学高一(北师大)必修4试题 1.6余弦函数的图像与性质
双基达标 (限时20分钟)1．函数y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2的值域是( )．A ．[0,1]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 画出y ＝cos x ，x ∈[－π6，π2]的图像，从而得出y ∈[0,1]，故选A. 答案 A2．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( )． A ．y ＝1sin x B ．y ＝－1cos x C ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x解析 由正弦函数、余弦函数的单调性判断可知选D. 答案 D3．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋52π的一个对称中心是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0 解析 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0符合要求，故选B. 答案 B4．三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是________． 解析 sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110；－cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，又π＞32＞π2－110＞π－74＞0，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 32＜sin 110＜－cos 74.答案 cos 32＜sin 110＜－cos 745．函数y ＝ 2 cos x ＋1的定义域是________．解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋2π3，k ∈Z . 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋2π3，k ∈Z6．求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．解 y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154； 当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14. ∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，154.综合提高 (限时25分钟)7．要得到y ＝sin x 的图像，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图像( )．A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将此函数向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像． 答案 D8．对于函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x ＜cos x ，下列命题中正确的是( )．A ．该函数的值域是[－1,1]B ．当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，函数取得最大值1 C ．该函数是以π为最小正周期的周期函数 D ．当且仅当2k π＋π＜x ＜2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )＜0解析 画图像可知，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，x ＝2k π或x ＝2k π＋π2时取最大值，T ＝2π，故选D. 答案 D9．y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝cos x 的图像，观察其单调性可知－π＜a ≤0. 答案 (－π，0]10．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________． 解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像，如图所示， 由图像可知原方程有两个实 数解． 答案 211．求函数y ＝2cos x －3的单调递增区间．解 由2cos x －3≥0，得cos x ≥32，即2k π－π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )， 又y ＝cos x 的增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，∴函数y ＝2cos x －3的单调递增区间是[2k π－π6，2k π]，k ∈Z .12．(创新拓展)作出函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |的简图，并写出它的定义域、值域、最小正周期、递增区间、递减区间、奇偶性． 解 f (x )＝⎩⎨⎧cos x ，sin x ≥cos x ，sin x ，sin x ＜cos x ，图像如图．函数的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，最小正周期为2π，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π4＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π4＋2k π，其中k ∈Z ，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，－π2＋2k π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋2k π，π＋2k π，其中k ∈Z ， 函数既不是奇函数，也不是偶函数．。
高中数学第一章 余弦函数的图像余弦函数的性质课时分层作业含解析北师大版必修4
课时分层作业(七) 余弦函数的图像与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．对余弦函数y ＝cos x 的图像，有如下描述：①向左向右无限延伸；②与y ＝sin x 的图像形状完全一样，只是位置不同；③与x 轴有无数多个交点；④关于y 轴对称．其中正确的描述有( )A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 D [由余弦函数的图像(图略)知①②③④均正确．] 2．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期是( ) A.2k π(k ∈Z ) B ．3π C ．π D ．2πC [∵函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致， 由函数y ＝|cos x |的图像知其最小正周期为π， ∴y ＝|cos x |－1的最小正周期也是π，故选C.] 3．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π C [函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上y ＝|cos x |是减少的．]4．从函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像来看，对应于cos x ＝12的x 有( )A.1个值 B ．2个值 C ．3个值 D ．4个值B [由于函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝12有且只有两个交点，所以选B.]5．函数y ＝x 2cos x 的部分图像是( )A B C DA [设f (x )＝x 2cos x ，f (－x )＝(－x )2cos (－x )＝x 2cos x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故排除B ，D.当x ＝π4时，y ＝π216cos π4＝2π232＞0，故排除C.]二、填空题6．设P ，Q 分别是函数y ＝13cos x －1的最大值和最小值，则P ＋2Q ＝________．－103[∵－1≤cos x ≤1， ∴y max ＝13×1－1＝－23，y min ＝13×(－1)－1＝－43，∴P ＋2Q ＝－23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－103.]7．比较大小：cos 15π8________sin π18.> [∵cos 15π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π8＝cos π8，sin π18＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π18＝cos 4π9.而0<π8<4π9<π2，∴cos π8>cos 4π9，即cos 15π8>sin π18.]8．函数f (x )的定义域为[0，1]，则函数f (cos x )的定义域为______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z ) [∵f (x )的定义域为[0，1]，∴0≤cosx ≤1，∴－π2＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z .]三、解答题9．画出函数y ＝3＋2cos x 的简图．(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值； (2)讨论此函数的单调性． [解] 按五个关键点列表如下，(1)当cos x ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3＋2＝5，当cos x ＝－1，即x ∈{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z }时，y min ＝3－2＝1.(2)令t ＝cos x ，则y ＝3＋2t ，因为函数y ＝3＋2t ，当t ∈R 时是增加的，所以当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是增加的，y ＝3＋2cos x 也是增加的，当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，函数y ＝cos x 是减少的，y ＝3＋2cos x 也是减少的．10．求下列函数的定义域、值域． (1)y ＝1－2cos x ； (2)y ＝lg (2cos x －3).[解] (1)由题意，得1－2cos x ≥0，所以cos x ≤12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋5π3，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2≤－2cos x ≤2， 所以－1≤1－2cos x ≤3，又y ＝1－2cos x ≥0， 所以原函数的值域为[0，3].(2)由题意，得2cos x －3＞0，所以cos x ＞32，结合y ＝cos x 的图像(如图)可得：－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π(k ∈Z ).所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π6＋2k π＜x ＜π6＋2k π，k ∈Z .因为－1≤cos x ≤1，所以－2－3≤2cos x －3≤2－ 3. 因为y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数．所以y ＝lg (2cos x －3)的值域为(－∞，lg (2－3)).1．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )A B C DD [y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，故选D.]2．已知函数f (x )＝cos (x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( ) A.π4 B ．π3 C ．0 D ．π2D [当φ＝π2时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ，其定义域为R ，且f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，f (x )为奇函数．]3．若cos x ＝2m ＋3，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，则m 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. 由2m ＋3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.]4．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，又0≤φ≤π，解得φ＝π6.]5．已知函数y ＝12cos x －12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)由图像判断函数的奇偶性，周期性；(3)求出该函数的单调递减区间． [解] (1)y ＝12cos x －12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2（k ∈Z ），cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π（k ∈Z ）.函数图像如图所示：(2)由图像可知，函数图像关于y 轴对称，故该函数为偶函数， 函数图像每隔2k π(k ∈Z )重新出现，故为周期函数． (3)该函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z ).。
高中数学北师大版必修四教学案第一章 §6 余弦函数的图像与性质 Word版含答案
[核心必知]
余弦函数的图像与性质
[问题思考]
．如何由＝，∈的图像得到＝，∈的图像？
提示：只需将＝，∈的图像向右平移个单位即可得到＝，∈的图像，并且方法不唯一．
．余弦函数在第一象限内是减函数吗？
提示：不是．余弦函数＝在[，]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如°和°都是
第一象限的角，虽然°>°，但°＝，°＝.却有°< °.所以函数＝在第一象限内不是减函数．
．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？
提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是＝π(∈)；它的对称中心有无数个，其坐标为(π＋，)(∈)．
讲一讲
．画出函数＝－，∈[，π]的图像．
[尝试解答] 按五个关键点列表：
如图所示：
．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标
是(，)，，(π，－)，，(π，)．
．形如＝＋，∈[，π]的函数，也可由五点法画图像．
练一练
．用“五点法”画出＝＋(∈[，π])的图像．
解：()列表。
高中数学 第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第1章 6余弦函数的图像与性质课时作业 北师大版必修4一、选择题1．函数y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[0，12]D ．[－1,0][答案] B[解析] ∵函数y ＝cos x 在[0，π3]上是减少的，∴函数的值域为[cos π3，cos0]，即[12，1]．2．在区间(0，π2)上，下列函数是增函数的是( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝－1cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x [答案] D[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D ． 3．函数y ＝sin(2x ＋52π)的一个对称中心是( )A ．(π8，0)B ．(π4，0)C ．(－π3，0)D ．(3π8，0)[答案] B[解析] 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有(π4，0)符合要求，故选B ．4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )[答案] D[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos xx ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D ．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根[答案] C[解析] 在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根．6．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )可知T ＝2， 再f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )． 二、填空题7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上是增加的，则a 的取值X 围是______________． [答案] (－π，0][解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]． 8．比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π________cos(－449π)． [答案] >[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋310π＝－cos 310π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋π9＝－cosπ9，由y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，所以cos 310π<cos π9，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π. 三、解答题9．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．[解析] (1)当b >0时，若sin x ＝－1，f (x )max ＝32；若sin x ＝1，f (x )min ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.此时b ＝1>0符合题意，所以y ＝1－12cos x .(2)当b ＝0时，f (x )＝a ，这与f (x )有最大值32，最小值－12矛盾，故b ＝0不成立．(3)当b <0时，显然有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，符合题意．所以y ＝1－12cos(－x )＝1－12cos x .综上可知，函数y ＝1－12cos x 的最大值为32，最小值为12，周期为2π.10．求下列函数的单调区间： (1)y ＝cos 12x ；(2)y ＝cos(x 3＋π4)．[解析] (1)由2k π－π≤12x ≤2k π，得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )．又由2k π≤12x ≤2k π＋π，得4k π≤x ≤4k π＋2π(k ∈Z )．∴函数y ＝cos 12x 的递增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )，递减区间为[4k π，4k π＋2π](k ∈Z )．(2)令2k π－π≤x 3＋π4≤2k π，则6k π－15π4≤x ≤6k π－3π4(k ∈Z )，令2k π≤x 3＋π4≤2k π＋π，则6k π－3π4≤x ≤6k π＋9π4(k ∈Z )．∴函数y ＝cos(x 3＋π4)的递增区间是[6k π－15π4，6k π－3π4](k ∈Z )，递减区间是[6k π－3π4，6k π＋9π4](k ∈Z )．一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos0<cos 12<cos1<cos30°<cosπB ．cos0<cosπ<cos 12<cos30°<cos1C ．cos0>cos 12>cos1>cos30°>cosπD ．cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ[答案] D [解析] 在[0，π2]上，0<12<π6<1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>0.又cos π<0，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>cos π.2．函数f (x )＝－x cos x 的部分图像是( )[答案] D[解析] 由f (x )＝－x cos x 是奇函数，可排除A ，C ．令x ＝π4，则f (π4)＝－π4cos π4＝－2π8<0.故答案选D ． 二、填空题3．若cos x ＝2m －13m ＋2，且x ∈R ，则m 的取值X 围是________．[答案] (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞ [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －13m ＋2＝|cos x |≤1， ∴|2m －1|≤|3m ＋2|.∴(2m －1)2≤(3m ＋2)2.∴m ≤－3，或m ≥－15.∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞. 4．函数y ＝log 12 cos x 的递增区间是________． [答案] [2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )[解析] 由题知cos x >0，x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .又令t ＝cos x ，y ＝log 12 t ，则t ＝cos x 的减区间即为y ＝log 12 cos x 的增区间．∴x ∈[2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )．三、解答题5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．[解析] cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．6．求下列函数的定义域． (1)y ＝cossin x ；(2)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)． [解析] (1)要使y ＝cos sin x 有意义，需有cos(sin x )≥0，又∵－1≤sin x ≤1，而y ＝cos x 在[－1,1]上满足cos x >0，∴x ∈R . ∴y ＝cossin x 的定义域为R .(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.由下图可得cos x ≤12的解集为{x |π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z }．sin x >12的解集为{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．它们的交集为{x |π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }，即为函数的定义域．7．函数f (x )＝12－a 4＋a cos x －cos 2x (0≤x ≤π2)的最大值为2，某某数a 的值．[解析] 令t ＝cos x ，由0≤x ≤π2，知0≤cos x ≤1，即t ∈[0,1]．所以原函数可以转化为y ＝－t 2＋at ＋12－a 4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋12－a4，t ∈[0,1]．(1)若a2≤0，即a ≤0时，当t ＝0时，y max ＝12－a4＝2，解得a ＝－6.(2)若0<a 2<1，即0<a <2时，当t ＝a2时，y max ＝a 24＋12－a 4＝2，解得a ＝3或a ＝－2，全舍去．(3)若a2≥1，即a ≥2时，当t ＝1时， y max ＝－1＋a ＋12－a 4＝2，解得a ＝103.综上所述，可知a ＝－6或103.。
北师大版数学 高二必修四作业 1.6余弦函数的图像与性质
一、选择题1.函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0，2π]的大致图像为( )考点 余弦函数的图像 题点 余弦函数的图像 答案 D解析 y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎦⎤3π2，2π，0，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故选D.2.在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上，下列函数是增函数的是( ) A.y ＝1sin xB.y ＝－1cos xC.y ＝－sin xD.y ＝－cos x考点 余弦函数的单调性 题点 余弦函数的单调性 答案 D解析 由正、余弦函数的单调性判断可知选D. 3.函数y ＝－2cos x ＋3的值域为( )A.[1，5]B.[－5，1]C.[－1，5]D.[－3，1] 考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域 答案 A4.下列函数中，最小正周期为2π的是( ) A.y ＝|cos x | B.y ＝cos|x | C.y ＝|sin x | D.y ＝sin|x | 考点 余弦函数的周期性 题点 余弦函数的周期性 答案 B5.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A.y ＝cos|2x | B.y ＝|sin x | C.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 D解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π.6.(2017·广州检测)如果函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A.3B.6C.12D.24考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 B解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，所以T ＝2×π6＝π3，又2πω＝π3，解得ω＝6. 二、填空题 7.函数y ＝2－2cos x 的定义域为 .考点 余弦函数的定义域 题点 余弦函数的定义域答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则2－2cos x ≥0， 即cos x ≤22，余弦函数的图像如图所示：∴π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z ， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤7π4＋2k π，k ∈Z . 8.已知cos x ＝1－m2m ＋3有实根，则m 的取值范围为 .考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域答案 (－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，＋∞ 解析 ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m2m ＋3≤1，且2m ＋3≠0，解得m ≥－23或m ≤－4.9.函数y ＝cos 2x ＋3cos x ＋2的最小值是 . 考点 余弦函数的最值 题点 余弦函数的最值 答案 0解析 令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]，∴y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝⎛⎭⎫t ＋322－14， 当t ＝－1，即cos x ＝－1时，y min ＝0.10.对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图像关于直线x ＝54π＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是 .(请将所有正确命题的序号都填上) 考点 正、余弦函数的图像与性质综合 题点 正、余弦函数的图像与性质综合答案 ③④解析 画出f (x )在[0，2π]上的图像如图所示.由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π， 当x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝32π＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误.由图像知，函数图像关于直线x ＝54π＋2k π(k ∈Z )对称，当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22，故③④正确.三、解答题11.求函数y ＝2－cos x3的最大值和最小值，并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的取值集合.考点 余弦函数的最值 题点 余弦函数的最值解 令z ＝x3，∵－1≤cos z ≤1，∴1≤2－cos z ≤3，∴y ＝2－cos x3的最大值为3，最小值为1.当z ＝2k π，k ∈Z 时，cos z 取得最大值，2－cos z 取得最小值. 又z ＝x3，故x ＝6k π，k ∈Z .∴使函数y ＝2－cos x3取得最小值的x 的取值集合为{x |x ＝6k π，k ∈Z }；同理，使函数y ＝2－cos x3取得最大值的x 的取值集合为{x |x ＝6k π＋3π，k ∈Z }.12.已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图像；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)求出这个函数的递增区间. 考点 余弦函数图像和性质综合题点 余弦函数图像和性质综合解 (1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图像如图所示.(2)由图像知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. (3)由图像知函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ). 13.若不等式0≤－cos 2x ＋4cos x ＋a 2≤12对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围. 考点 余弦函数的最值 题点 余弦函数最值的应用解 设f (x )＝－cos 2x ＋4cos x ＋a 2＝－(cos x －2)2＋a 2＋4， ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝1时，f (x )max ＝3＋a 2≤12，① 当cos x ＝－1时，f (x )min ＝－5＋a 2≥0.②联立①②，得5≤a 2≤9，∴－3≤a ≤－5或5≤a ≤3. 即实数a 的取值范围是[－3，－5]∪[5，3]. 四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 . 考点 正弦函数、余弦函数的周期性 题点 正弦函数、余弦函数的周期性 答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，ω>0，则π2＜ω＜2π.∴正整数ω的最大值为6.15.已知定义在R 上的奇函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，△ABC 的内角A 满足f (cos A )≤0，求角A 的取值范围. 考点 余弦函数的性质综合题点 余弦函数的性质综合 解 ①当0<A <π2时，cos A >0.由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (x )在(0，＋∞)上是增加的， 得0<cos A ≤12，解得π3≤A <π2.②当π2<A <π时，cos A <0.∵f (x )为R 上的奇函数，f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴f (x )在(－∞，0)上是增加的， f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴由f (cos A )≤0＝f ⎝⎛⎭⎫－12，得cos A ≤－12， ∴2π3≤A <π. ③当A ＝π2时，cos A ＝0，∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴f (0)≤0成立.综上所述，角A 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π.。
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6 余弦函数的图像与性质
π)的图像与直线y＝2围成的封闭图形如右图中阴影部利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC
＝S矩形OABC＝2³2π＝4π.
，则f (－x )＝－(－x )²cos(－x )＝x cos 排除，又当x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2时，f (x )＜0，故选D. 分，共5³3＝15分)
110°，cos80°，－cos50°的大小关系为__________cos80°＞cos110°＞－cos50°
－cos50°＝cos(180°－50°)＝cos130°，
π]上为减函数，∴cos80°＞cos110°＞cos130°，即|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为－cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一平面直角坐标系中画出函数＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，如图所示：
⎦
⎥⎤，5π4. cos x )的最小值是－2，则λ的值是________cos x 的最大值为4，当λ>0时，1＋＝±3.
分，11＋12＋12)
＋12
|cos x |的图像，并根据图像讨论其性质＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x cos x ≥0 0 cos x <0 ，利用五点法画出其图像，如图：
由图像可知函数具有以下性质：定义域：R ；值域：[0,1]; 单调性：在区间[2k π，2k π。