初三月考试题(二次函数,相似形)
成功学校月考初三数学12月月考试卷 相似 二次函数类题型
成功学校2012-2013学年度第一学期12月素质测试初三数学命题人：施佑新 审核人：范宏业(满分：150，时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、下列图形中即是轴对称图形，又是旋转对称图形的是 （ ）A ．（l ）（2）B ．（l ）（2）（3）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3（4） 2、下列说法正确的是 （ ）A ．三点确定一个圆B ．三角形有且只有一个外接圆C ．四边形都有一个外接圆D ．圆有且只有一个内接三角形3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为 ( ) A ．7sin55° B.7cos35°C ．7cos55°D ．7tan55°4、如果两个相似三角形的面积之比为9∶4，那么这两个三角形对应边上的高之比为（ ）A ．9∶4B ．3∶2C ．2∶3D ．81∶16 5、如图，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转35 o，得到△C B A '''，B A ''交AC 于点D ，若∠DC A ' =90o，则∠A 的度数是 （ ）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，D 、C 是劣弧EB 的三等分点，∠BOC =40°，那么∠AOE =（ ）A ．36 cmB ．34 cmC ．24 cmD ．32 cm7、如图，在□ ABCD 中，AD=10cm ，CD=6cm ，E 为AD 上一点，且BE=BC ，CE=CD ，则DE 的长为 （ ） A ．3.6 cm B ．4 cm C ．2.4 cm D ．3.2 cm8、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120o ，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为（ ）A ．6B ．3310C ．365D ．35题图第6'B题图第59、在⊙O中AB，AB=2CD，那么（）A．AB=2CD B．AB>2CDC．AB<2CD D．AB与CD的大小关系不定。
精品 九年级数学下册 相似与二次函数 综合练习题
相似与二次函数综合练习题1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC=5,AD=2,BC=8,∠MEN=∠B,∠MEN的顶角E在边BC上移动，一条边始终经过点A,另一边与CD交与点F,连接AF.(1)设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围；(2)若△AEF为等腰三角形，求出BE的长。
2.在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),点B(0,3),点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发。
(1)连接AQ,当△ABQ是直角三角形时，求点Q的坐标；(2)当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数；(3)过点A作AC AB,AC交射线PQ于点C,连接BC,D是BC的中点，在点P、Q的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A、C、Q、D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时tan∠ABC的值；若不存在，请说明理由。
3.如图，将一块直角三角纸板的直角顶点C(1,0.5)处，两直角边分别是x 、y 轴平行，纸板的另两个顶点A 、B 恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m x m y 的交点，(1)求m 和k 的值；(2)设双曲线)0(>=m xm y 在A 、B 之间的部分为L,让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于M 、N 两点，请探究是否存在点P 使得MN=AB 21，写出你的探究过程。
4.把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC=∠DEF=900,∠C=∠F=450,AB=DE=4,把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q.(1)如图1，当射线DF 经过点B,即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ,此时AP ·CQ= (2)将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中00900<<α，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由。
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图①，二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是抛物线上一动点．(1)求二次函数的表达式．(2)当点P 不与点A 、B 重合时，作直线AP ，交直线BC 于点Q ，若①ABQ 的面积是①BPQ 面积的4倍，求点P 的横坐标．(3)如图①，当点P 在第一象限时，连接AP ，交线段BC 于点M ，以AM 为斜边向①ABM 外作等腰直角三角形AMN ，连接BN ，①ABN 的面积是否变化？如果不变，请求出①ABN 的面积；如果变化，请说明理由．2．如图，二次函数2314y x bx =++的图像经过点()8,3A ，交x 轴于点B ，C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点D ．(1)填空：b = ______；(2)点P 是第一象限内抛物线上一点，直线PO 交直线CD 于点Q ，过点P 作x 轴的垂线交直线CD 于点T ，若PQ QT =，求点P 的坐标；(3)在x 轴的正半轴上找一点E ，过点E 作AE 的垂线EF 交y 轴于F ，若AEF 与EFO △相似，求OE 的长．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得①CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．4．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线4y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点C ，抛物线21y x kx k =++-的图象经过点A 和点C ，与x 轴的另一个交点是点B ．(1)求出此抛物线的解析式； (2)求出点B 的坐标；(3)若在y 轴的负半轴上存在点D ．能使得以A ，C ，D 为顶点的三角形与①ABC 相似，请求出点D 的坐标．6．如图1，已知抛物线23y ax bx =++经过点()1,5D ，且交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，已知点()1,0A -，(),P m n 是抛物线在第一象限内的一个动点，PQ BC ⊥于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当PQ =m 的值；(3)是否存在点P ，使BPQ 与BOC 相似？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c的对称轴是x＝－32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与①ABC 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的函数关系式；(2)连结DA，求sin A的值；(3)若点H线段BC上，BOC与BFH△相似，请直接写出点H的坐标．9．如图，抛物线y＝1-2x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝720S △ABC 时，求点P 的坐标； (3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与①OBC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点C ，设抛物线的顶点为D ．(1)求该抛物线的表达式与顶点D 的坐标； (2)试判断BCD △的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0）与x 轴交于点A ，B ．与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．已知ABC 的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于P ，Q 两点．过P ，Q 向x 轴作垂线，垂足分别为G ，H ．若四边形PGHQ 为正方形，求正方形的边长；(3)抛物线上是否存在一点N ，使得①BCN ＝①CAB ﹣①CBA ，若存在，请求出满足条件N 点的横坐标，若不存在请说明理由．12．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于点A （－1，0），B （2，0），与y 轴相交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)若点M 在此抛物线上，且在y 轴的右侧．①M 与y 轴相切，过点M 作MD ①y 轴，垂足为点D ．以C ，D ，M 为顶点的三角形与①AOC 相似，求点M 的坐标及①M 的半径长．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()0y ax bx c ac =++≠与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．若线段OA OB OC 、、的长满足2OC OA OB =⋅，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线22(0)y ax bx a =++≠为“黄金”抛物线，其与x 轴交点为A ，B （其中B 在A 的右侧），与y 轴交于点C ．且4OA OB =(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为AC 上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ． ①求PD 的最大值；①连接PC ，当PCD 与ACO △相似时，求点P 的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，其中1,0A ，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，过点B 作x 轴垂线，在该垂线上取点P ，使得①PBC 与①ABC 相似，请求出点P 坐标；(3)如图2，在线段OB 上取一点M ，连接CM ，请求出12CM BM +最小值．15．如图，抛物线y ＝ax 2+k （a ＞0，k ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且PC ＝14OC ．过点P 作DE ①AB ，分别交抛物线于D ，E 两点（点E 在点D 的右侧），连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；（用含a ，k 的式子表示） (2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若①ODC ＝90°，k ＝﹣4，求a 的值．16．如图，抛物线223y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，连接AC ，已知B (﹣1，0)，且抛物线经过点D (2，﹣2)．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 是抛物线上第四象限内的一点，且2ABES=，求点E 的坐标；(3)若点P 是y 轴上一点，以P ，A ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P 点的坐标．17．如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上的动点（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在第一象限时，设①ACP 的面积为S 1，①ABP 的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求点P 的坐标； (3)过点O 作直线l ①BC ，点Q 是直线l 上的动点，当BQ ①PQ ，且①BPQ ＝①CAB 时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋3与两坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c 过点A和点B，并与x轴交于另一点C，顶点为D．点E在对称轴右侧的抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式和顶点D的坐标；(2)若点F在抛物线的对称轴上，且EF①x轴，若以点D，E，F为顶点的三角形与①ABD相似，求出此时点E的坐标；(3)若点P为坐标平面内一动点，满足tan①APB＝3，请直接写出①P AB面积最大时点P的坐标及该三角形面积的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB＝6OA＝6，点P是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC与OP，交于点D，当S△PCD：S△ODC的值最大时，求点P的坐标；(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N．使①CMN＝90°，且①CMN与①BOC 相似，若存在，请求出点M、点N的坐标．20．如图，抛物线y＝x2＋bx＋12（b＜0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），且OB＝3OA．(1)请直接写出b＝，A点的坐标是，B点的坐标是；(2)如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE＝5DE，求D点运动时间；(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P 点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得①P AC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．答案1．(1)y ＝﹣x 2+2x +3．(2)P 352或 (3)①ABN 的面积不变，为4．2．(1)2-(2)5⎛ ⎝⎭或5⎛ ⎝⎭(3)4或493．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）4．(1)抛物线L 1：223y x x =--，抛物线L 2：2y x 2x 3=-++；(2)435(,)39M 或(4,5)M -．5．(1)254y x x =++(2)点B 的坐标为（－1，0）(3)点D 的坐标是（0，－203） 6．(1)215322y x x =-++ (2)1或5(3)存在；P （53，529）7．(1)抛物线表达式为：213222y x x =--+；(2)AP +2PC 的最小值是4；(3)存在M(0,2)或(-3,2)或(2,-3)或(5,-18)，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与ABC 相似．8．(1)y =-x 2+2x +3(3)点H 的坐标为(1，2)或(2，1)9．(1)21382y x x =++ (2)P 1（1，10.5），P 2（7，4.5）(3)存在，（3，8）或(3,5或（3，11）30．(1)y ＝﹣x 2﹣2x +3，（﹣1，4）；(2)直角三角形，理由见解析；(3)存在，（0，0）或（0，﹣13）或（－9，0）11．(1)y ＝﹣13x 2+23x +1(2)﹣6﹣(3)存在，5或11712．(1)22y x x =-++； (2)M 的坐标为（12，94），（32， 54 ），（3，-4），①M 的半径长为12或32或313．(1)213222y x x =--+(2)①PD ①P 坐标为(3,2)-或325()28，-14．(1)243y x x =-+(2)P 点坐标为()3,9或()3,215．(1)点A 、B 、C 的坐标分别为(、、(0，k ) (2)DE ＝12AB(3)a ＝1316．(1)224233y x x =--(2)E ，-1)(3)P 点的坐标(0，2)或(02)或(0，﹣2或(0，54)17．(1)213222y x x =-++ (2)点P 的坐标为（103，139）(3)点P 的坐标为（32，﹣2）或（32，﹣2）或（173，﹣509）18．(1)y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）(2)（5，8）或（73，89-）(3)①P AB ，此时P ）19．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6 (2)点P 的坐标为（32，152） (3)存在，M 、N 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣32）或（94，398）、（0，38）或（1，8）、（0，172）或（74，558）、（0，838）20．(1)﹣8，（2，0），（6，0）(2)3秒或212秒 (3)C 点坐标为（143，﹣329），P 点的坐标为（103，﹣4）或（﹣103，﹣4）或（11027，﹣4）。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形附答案
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与相似三角形附答案1．如图①，已知直线443y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2y ax bx c=++经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线=1x-，D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)过点D向y E，是否存在点D，使CDE与AOC相似？若存在，请求出点D横坐标m的值；若不存在，请说明理由．2．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2-11ax+c(a>0)与x轴交于点A(3,0)和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且ABC的面积为15.（1）试求抛物线的解析式；（2）点D是线段OC上一点，连接BD交AC于点E，若ABE与ABC相似，试求点D的坐标和∠DBC的正切值；（3）若抛物线对称轴上的点P，满足∠APB=∠ACB，请直接写出点P的坐标.3．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是（5，4），⊙M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A ，B 两点．（1）请直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E ，求证：直线EA 与⊙M 相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数的图像过点(0,0)O ,(8,4)A ,与x 轴交于另一点B ,且对称轴是直线3x =.（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作//MN AB 交OA 于N ,当ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ x ⊥轴，与抛物线交于Q ,过A 作AC x ⊥轴于C .当以O 、P 、Q 为顶点的三角形与O 、A 、C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标.5．二次函数24y ax bx =++的图象与轴交于两点A 、B ，与y 轴交于点C ，且()()1040A B -，、，．(2)如图1，抛物线的对称轴m 与x 轴交于点E ，CD m ⊥，垂足为D ，点706F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，动点N 在线段DE 上运动，连接CF 、CN 、FN ，若以点C 、D 、N 为顶点的三角形与FEN 相似，求点N 的坐标；(3)如图2，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标是1，将射线MA 绕点M 逆时针旋转45︒，交抛物线于点P ，求点P 的坐标．6．如图1，抛物线y =ax 2-6ax +6(a ≠0)与x 轴交于点A (8,0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E (m ,0)(0＜m ＜8)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）分别求出直线AB 和抛物线的函数表达式；（2）设△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，若S 1：S 2=36：25，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E A '、E B '．①在x 轴上找一点Q ，使OQE OE A ''△∽△，并求出Q 点的坐标；②求12BE AE ''+的最小值．7．如图，抛物线y=x 2+bx+c 交y 轴于点A （0，﹣8），交x 轴正半轴于点B （4，0）．（1）抛物线的函数关系式为___________________；（2）有一宽度为1的直尺平行于y 轴，在点A 、B 之间移动，直尺两长边所在直线被线段AB 和抛物线截得两线段MN （M 在N 上方）、PQ （P 在Q 上方），设M 点的横坐标为m ，（0＜m ＜3）①若连接MQ ，求以M 、P 、Q 为顶点的三角形和△AOB 相似时，m 的值；②若连接NQ ，请直接写出m 为何值时，四边形MNQP 的面积最大．8．如图，抛物线经过三点A （1，0），B （4，0），C （0，﹣2）．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以B ，P ，M 为顶点的三角形与△OBC 相似（相似比不为1）？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知直线y ＝kx ﹣3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ，动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍．（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOC 相似；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大．若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A 的坐标为()2,4-，且经过坐标原点，与x 轴负半轴交于点B ．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出点B 的坐标；(2)过点A 作AC x ⊥轴于点C ，若点D 是y 轴左侧的抛物线上一个动点（点D 与点A 不重合），过点D 作DE x ⊥轴于点E ，连接AO ，DO ，当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，当点D 在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F ，在第三象限交于点G ，且点A ，点B ，点D ，到直线FG 的距离都相等，请直接．．写出线段FG 的长．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使∠CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．12．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．(2)连接CD ，BD ，求点D 到BC 的距离h ．(3)P 为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q ，使得PDQ 与BOC 相似？若存在，13．如图，已知抛物线26y ax bx =+-与x 轴的交点A （-3，0），B （1，0），与y 轴的交点是点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上一点，当PB ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M ，N ，使得90CMN ∠= 且以点C ，M ，N 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，求出点M 和点N 的坐标；若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，经过点()2,9的抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()0,1A ，直线l 为该抛物线的对称轴，点B 为点A 关于对称轴l 的对称点，连接AB 、OB ．(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)点P 为对称轴l 左侧抛物线上的点，过点P 作PD l ⊥于点D ，作PC x ⊥轴于点C ，连接CD ，问是否存在点P ，使得 PCD 与 AOB 相似？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y ax x =++与x 轴交于,A B 两点（B 在A 右侧），与y 轴交于点C ，点A 坐标为()1,0-，连接AC ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，且横坐标为m ．过点,A P 分别作直线BC 的垂线段,AD PE ，垂足分别为D 和E ，连接,PD AE ．（2）求出四边形AEPD 是平行四边形时的m 值；（3）请直接写出PED V 与ADC △相似时的m 值．16．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于两点A ，B ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知二次函数245y ax ax a =--（a 为常数，且0a >）的顶点为P ，图象与x 轴交点为A ，B ，且点A 在点B 左侧．（1）求A ，B 两点的坐标．（2）当27PAB S =△时，求a 的值．（3）在（2）的情况下，将x 轴下方的图象沿x 轴向上翻折，与y 轴交于点C ，连接BC ，记BC 上方（含点B ，C ）的抛物线为N ．①设点M 为N 上一动点，当BCM S △取最大值时，求点M 的坐标．②在N 上是否存在点Q ，使以点B ，C ，Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请18．已知抛物线y=12x 2－x +k 与x 轴有两个交点．（1）求k 的取值范围；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABD 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线与y 轴交于点C ，点E 在y 轴的正半轴上，且以A 、O 、E 为顶点的三角形和以B 、O 、C 为顶点的三角形相似，求点E 的坐标．19．如图，已知拋物线()()24y k x x =+-（k 为常数，且k ＞0）与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，经过点B 的直线12y x b =-+与抛物线的另一个交点为D ．(1)若点D 的横坐标为4x =-，求这个一次函数与抛物线的解析式；(2)若直线m 平行于该抛物线的对称轴，并且可以在线段AB 间左右移动，它与直线BD 和抛物线分别交于点E 、F ，求当m 移动到什么位置时，EF 的值最大，最大值是多少？(3)问原抛物线在第一象限是否存在点P ，使得APB ABC ∽△△？若存在，请求出这时k 的值；若不存在，请说明理由．20．如图1，矩形ABCD 的边AD 在y 轴上，抛物线243y x x =-+经过点A 、点B ，与x 轴交于点E 、点F ，且其顶点M 在CD 上．（1）请直接写出下列各点的坐标：A ，B ，C ，D ；（2）若点P 是抛物线上一动点（点P 不与点A 、点B 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AB 交于点G ，与直线BD 交于点H ，如图2．①当线段PH =2GH 时，求点P 的坐标；②当点P 在直线BD 下方时，点K 在直线BD 上，且满足△KPH ∽△AEF ，求△KPH 面积的最大值．图1图2备用图参考答案：1．(1)抛物线表达式为248433y x x =--+(2)四边形ABCD 面积最大值为252，点D 的坐标为3,52⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，m 的值是2316-或–1或4116-【分析】（1）先求出A C 、的坐标，根据对称轴为=1x -，列方程组，求解即可；（2）连接OD ，由题意可得：点D 的坐标为(m ，248433m m --+)，根据OAD OCD OBC ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形求得ABCD S 四边形与m 的关系，利用二次函数的性质，求解即可；（3）根据相似三角形的性质，求得D 点坐标，再代入抛物线解析式，求解即可．【解析】（1）解：把0x =代入443y x =+中，得4y =．∴点C 坐标为(0)4，．把0y =代入443y x =+中，得3x =-．∴点A 坐标为(30)-，．∵抛物线对称轴为直线1x =-，∴12b a-=-，即2b a =．由题意列方程组，得93024.a b c b a c -+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，，解得43834.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，∴抛物线表达式为248433y x x =--+．（2）解：连接OD ，∵点B 与点(30)A -，关于直线=1x -对称，∴点B 的坐标为(10)，．由题意，点D 的坐标为(m ，248433m m --+)．∴OAD OCD OBC ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形2148113(4)4()1423322m m m =⨯⨯--++⨯⨯-+⨯⨯=2268m m --+=23252(22m -++∵20-<，∴当32m =-时，四边形ABCD 面积最大值为252．224383()(45323248433m m ⨯--⨯-+=--+=．∴此时点D 的坐标为3(,5)2-．（3）解：存在由题意可得：3OA =，4OC =，DE m =-，∵CDE 与AOC 相似，90AOC CED ∠=∠=︒∴CDE ACO ∽△△或CDE CAO∽∴34CE OA DE OC ==或43CE OC DE OA ==∴34CE m =-或43m -∴点D 的坐标为34)4(,m m -+或34)4,(m m +或44)3(,m m -+或4(,4)3m m +把34)4(,m m -+代入248433y x x =--+，得：248433443m m m -=--++解得2316m =-；把34)4,(m m +代入248433y x x =--+，得：248433443m m m =+--+解得4116m =-；把44)3(,m m -+代入248433y x x =--+，得：248434433m m m -=--++解得1m =-；把4(,4)3m m +代入248433y x x =--+，得：248434433m m m =+--+解得3m =-，舍去；∴m 的值是2316-或–1或4116-．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，勾股定理，相似三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关二次函数和相似三角形的性质．2．(1)2111 6.44y x x =-+(2)点D 的坐标为()0,4.2tan .11DBC ∴∠=(3)点P 的坐标为：1155,22⎛+ ⎝⎭或11555,.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】()1设点(),0,B x ()3,0A ,则11311,a x a-+=-=则8,x =即点B ()8,0.5,AB =根据ABC 的面积即可求出点C 的坐标，用待定系数法即可求出函数解析式.（2）,AEB ABC ∽根据相似三角形的性质，可得,AE AB AB AC=即可求出AE 的长度，过点E 作EH OA ⊥于H,根据平行线分线段成比例，即可求出点E 的坐标，即可求出直线BE 的解析式，即可求出点D 的坐标.根据正切的和差公式即可求出∠DBC 的正切值；（3）根据∠APB =∠ACB ，则,,,A B C P 四点共圆，即可求出点P 的坐标.【解析】()1设点(),0,B x ()3,0A ,则11311,a x a-+=-=则8,x =即点B ()8,0.5,AB =115.2ABC S AB h =⋅= 解得： 6.h =即点()0,6.C 把点,A C 代入解析式，得93306,a a c c -+=⎧⎨=⎩解得：146,a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩即抛物线的解析式为：2111 6.44y x x =-+（2）22223635,6810,5,AC BC AB =+==+==,AEB ABC ∽根据相似三角形的性质，可得,AE AB AB AC =解得：55.3AE =过点E 作EH OA ⊥于H,则：.EH AH AE OC AO AC ==解得：510,.33AH HE ==4.3OH OA AH ∴=-=点410,.33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭又点()8,0.B 直线BD 的解析式为：1 4.2y x =-+当0x =时，4,y =即点D 的坐标为()0,4.3tan ,4OBC ∠=1tan ,2OBD ∠=()tan tan 2tan tan .1tan tan 11OBC OBD DBC OBC OBD OBC OBD ∠-∠∴∠=∠-∠==+∠⋅∠()3点P 的坐标为：11555,22⎛+ ⎝⎭或1155,.22⎛- ⎝⎭【点评】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，综合性比较强，难度较大.3．(1)2115(2)(8)4442y x x x x =--=-+;(2)见解析;(3)存在，点P 的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．理由见解析.【分析】（1）连接AM ，MC ，设ME 交x 轴于点D ，由M 点的坐标可求得MC 、MD 的长，可求得C 点坐标，在Rt △ADM 中可求得AD ，则容易求得A 、B 坐标；（2）由A 点坐标可求得抛物线解析式，则可求得ME 的长，由勾股定理的逆定理可判定△AME 为直角三角形，则可证得结论；（3）可设P 点坐标为（5，t ），则可表示出PB 、CP 、结合BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时，则有PB=BC ，CP=BC ，PC=PB 三种情况，分别求解即可；【解析】解：（1）A ，B ，C 的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；设抛物线解析式为()()28y a x x =--，将（0,4）代入得416a =即14a =∴()()2115284442y x x x x =--=-+.（2）证明：把215442y x x =-+化为y=（x ﹣5）294-，∴E （5，﹣），∴DE=，∴ME=MD+DE=4+=，EA 2=32+（）2=，∵MA 2+EA 2=52+=，ME 2=，∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切；（3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．点评：本题为二次函数的综合应用，涉及切线的性质、垂径定理、待定系数法、勾股定理及其逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中确定出利用切线的性质容易求得C点坐标，利用垂径定理求得AD的长是解题的关键，在（2）中求得E点的坐标，求得ME、AE的长是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出PB、PC的长是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．4．（1）y=14x 2﹣32x ；（2）M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为y=12x ，直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （43t ，23t ），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =12•4•t ﹣12•t•23t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），根据相似三角形的判定方法，当PQ OC =PO AC 时，△PQO ∽△COA ，则|14m 2﹣32m|=2|m|；当PQ AC =PO OC 时，△PQO ∽△CAO ，则|14m 2﹣32m|=12|m|，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x （x ﹣6），即y=14x 2﹣32x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=12x ，设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x+n ，把M （t ，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ，解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则N （43t ，23t ），∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t=﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3，当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），∵∠OPQ=∠ACO ，∴当PQ OC =PO AC 时，△PQO ∽△COA ，即PQ 8=PO 4，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m|=2|m|，解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，28）；解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，4）；∴当PQ AC =PO OC 时，△PQO ∽△CAO ，即PQ 4=PO 8，∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m|=12|m|，解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去），解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=2，此时P 点坐标为（2，﹣1）；综上所述，P 点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、运用相似比表示线段之间的关系等，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．5．(1)234y x x =-++(2)364322252⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或(3)()40，【分析】（1）先求得点C 的坐标，设抛物线的解析式为()()=14y a x x +-，将点C 的坐标代入求得a 的值，从而得到抛物线的解析式；（2）先求得抛物线的对称轴，然后求得CD ，EF 的长，设点N 的坐标为()0a ，则4ND a =-，NE a =，然后依据相似三角形的性质列出关于a 的方程，然后可求得a 的值；（3）过点A 作AD y ∥轴，过点M 作DM x ∥轴，交点为D ，过点A 作AE AM ⊥，取AE AM =，作EF x ⊥轴，垂足为F ，连结EM 交抛物线与点P ．则AME △为等腰直角三角形，然后再求得点M 的坐标，从而可得到2MD =，6AD =，然后证明ADM AFE ≌，于是可得到点E 的坐标，然后求得EM 的解析式为28y x -+＝，最后求得直线EM 与抛物线的交点坐标即可．【解析】（1）解：∵当0x =时，4y =，∴()04C ，．设抛物线的解析式为()()=14y a x x +-，将点C 的坐标代入得：44a -=，解得1a =-，∴抛物线的解析式为234y x x =-++．（2）解：∵对称轴322b x a =-=，706F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴32CD =，83EF =．设点N 的坐标为32a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4ND a =-，NE a =．当CDN FEN △∽△时，EN EF DN CD =，即1649a a =-，解得6425a =，∴点N 的坐标为364225⎛⎫ ⎪⎝⎭，．当CDN NEF ∽时，CD DN EN EF =，即83342a a =-，解得：2a =．∴点N 的坐标为322⎛⎫ ⎪⎝⎭，．综上所述，点N 的坐标为364225⎛⎫ ⎪⎝⎭，或322⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）解：如图所示：过点A 作AD y ∥轴，过点M 作DM x ∥轴，交点为D ，过点A 作AE AM ⊥，取AE AM =，作EF x ⊥轴，垂足为F ，连结EM 交抛物线与点P．∵90AM AE MAE =∠=︒，，∴45AMP ∠=︒．将1x =代入抛物线的解析式得：6y =，∴点M 的坐标为()16，．∴26MD AD ==，．∵9090DAM MAF MAF FAE ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴DAM FAE ∠=∠．在ADM △和AFE △中，90D AFE DAM FAE AM AE∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM AFE ≌．∴26EF DM AF AD ====，．∴()5,2E -．设EM 的解析式为y kx b =+．将点M 和点E 的坐标代入得：652k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得28k b =-=，，∴直线EM 的解析式为28y x =-+．将28y x =-+与234y x x =-++联立，解得：1x =或4x =．将4x =代入28y x =-+得：0y =．∴点P 的坐标为()40，．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质，通过作辅助线构造等腰直角三角形、全等三角形求得点E 的坐标是解题的关键．6．（1）239684y x x =-++；364y x =-+；（2）4；（3）①(2,0)Q ，②10．【分析】（1）把点A （8，0）代入抛物线y =ax ²-6ax +6，可求得a 的值，从而可得到抛物线的解析式，然后由抛物线解析式可求得点B 的坐标，最后利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）由题意可得N （m ，-34m +6），P （m ，23984m m ++6），则可得PE 、EN 、PN 的长，然后由△ANE ∽△ABO ，可求得AN 的长，再由△NMP ∽△NEA ，依据相似三角形的性质可得到65PN AN =，从而可求得PN =12-32m ，然后依据PN =38m ²+3m ，然后列出关于m 的方程求解即可；（3）①在（2）的条件下，m =4，则OE '=OE =4，依据OQE OE A ''△∽△可得到OQ OE OE OA ''=，从而可求得OQ 的值，于是可得到点Q 的坐标；②由①可知，当Q 为（2，0）时，△OQE ′∽△OE ′A ，且相似比为2142OQ QE OE AE '===''，于是得到BE ′+12AE ′=BE ′+QE ′，当点B 、Q 、E ′在一条直线上时，BE ′+QE ′最小，最小值为BQ 的长．【解析】（1）把点()8,0A 代入抛物线266y ax ax =-+中，得064486a a =-+，∴38a =-，∴抛物线解析式为239684y x x =-++，在239684y x x =-++中，令0x =，得6y =，∴()0,6B ．设直线AB 的表达式为y kx b =+，把()8,0A ，()0,6B 两点坐标分别代入y kx b =+中，∴380466k b k b b ⎧+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，∴直线AB 的表达式为364y x =-+．（2）∵过E 作x 轴垂线交AB 于N ，交抛物线于P ，且(),0E m (0＜m ＜8)，∴3,64N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，239,684P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，∴239684PE m m +=-+，364NE m =-+，∴2239336+638448PN PE NE m m m m m ⎛⎫=-=-++--=-+ ⎪⎝⎭，∵//PE OB ，∴ANE ABO ∽，∴AN ABNE OB =，∵OA =8，OB =6，∴由勾股定理得：AB =10，∴535610344ABAN NE m m OB ⎛⎫=⨯=-=- ⎪⎝⎭，∵PM AB ⊥，∴90PMN NEA ∠=∠=︒，又∵PNM ANE ∠=∠，∴NMP NEA ∽，∴212 3625SPN S AN ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴65PN AN =，∴665310125542PN AN m m ⎛⎫==⨯-=- ⎪⎝⎭，∴23312328m m m -=-+，整理得：212320m m -+=，解得：14m =，28m =，∵08m <<，∴4m =．（3）①在（2）的条件下，4m =，∴()4,0E ，设(),0Q d ，由旋转性质得：4OE OE '==，若OQE OE A ''△∽△，则OQ OE OE OA''=，∵090α︒<<︒，∴0d >，∴448d =，∴2d =，∴()2,0Q ．②由①可知，当Q 为()20,时，OQE OE A ''△∽△，且相似比为2142OQ QE OE AE'===''，∴12AE QE '='，∴12BE AE BE QE '''++'=，∴当E '旋转到BQ 所在直线上时，BE QE '+'最小，即为BQ 长度，∵()0,6B ，()2,0Q ，∴36410BQ =+=，∴12BE AE ''+的最小值为210．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，列出关于m 的方程是解答题问题（2）的关键，明确当点B 、Q 、E '在一条直线上时12BE AE ''+′取得最小值是解题的关键和难点．7．（1）y=x2﹣2x﹣8；（2）+1或+1；②．【解析】试题分析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A（0，﹣8），∴c=﹣8．∵将B（4，0）代入y=x2+bx﹣8得：16+4b﹣8=0，解得：b=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．故答案为y=x2﹣2x﹣8；（2）①如图1所示：连接MQ．设AB的解析式为y=kx+b．将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=2，b=﹣8．∴直线AB的解析式为y=2x﹣8．∵PQ∥OA，∴∠MPQ=∠OAB．当△AOB∽△PQM时．则∠AOB=∠PQM=90°．∴MQ∥OB．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m+1，m2﹣9）．∵MQ∥OB，∴2m﹣8=m2﹣9，解得m=+1或m=﹣+1（舍去）．∴当m=+1时，△AOB∽△PQM．当△PMQ∽△AOB时，如图1所示：过点M作MN⊥PQ．∵△PMQ∽△AOB，∴∠PMQ=∠AOB=90°，∠PQM=∠ABO．∴∠MQN=∠ABO．∵MN⊥PQ，∴∠MNQ=90°．∴∠MNQ=∠AOB．∴△MNQ∽△AOB．∴=．∵MN=1，∴NQ=．设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点Q的坐标为（m，m2﹣9）．∴NQ=﹣m2+2m+1．∴﹣m2+2m+1=．解得：m=+1或m=﹣+1（舍去）．综上所述，m的值为+1或+1．②设点M的坐标为（m，2m﹣8），则点N（m，m2﹣2m﹣8）、P（m+1，2m﹣6），Q（m，m2﹣9）．四边形MNQP的面积=×1×（MN+PQ）=（﹣2m2+6m+3）=﹣m2+3m+．当m==时，四边形MNQP的面积有最大值．考点：二次函数综合题．8．（1）此抛物线的解析式为．（2）存在．符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）.【解析】试题分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx ﹣2，再根据过A，B两点，即可得出结果．（2）本题首先判断出存在，首先设出横坐标和纵坐标，从而得出PA的解析式，再分三种情况进行讨论，当=时和时，当P，C重合时，△APM≌△ACO，分别求出点P的坐标即可．解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（1，0），B（4，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为﹣m2+m﹣2，当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=﹣﹣m2+m﹣2，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当=时，∵C在抛物线上，∴OC=2，∵OA=4，∴==2时，∴△APM∽△ACO，即4﹣m=2（﹣m2+m﹣2），解得m1=2，m2=4（舍去），∴P（2，1）．②当时，△APM∽△CAO，即2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）∴当1＜m＜4时，P（2，1），当m＞4时，AM=m﹣4，PM=m2﹣m+2，①，②=时，把P（m，﹣m2+m﹣2），代入得：2（﹣m2+m﹣2）=m﹣4，2（m﹣4）=﹣m2+m ﹣2，解得：第一个方程的解是m=﹣2﹣2＜4（舍去）m=﹣2+2＜4（舍去），第二个方程的解是m=5，m=4（舍去）求出m=5，=﹣m2+m﹣2=﹣2，则P（5，﹣2），当m＜1时，AM=4﹣m，PM=﹣m2+m﹣2，①，②=时，则：2（m2﹣m+2）=4﹣m，2（4﹣m）=m2﹣m+2，解得：第一个方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二个方程的解是m=4（舍去），m=﹣3，m=﹣3时，﹣m2+m﹣2=﹣14，则P（﹣3，﹣14），综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14），考点：二次函数综合题．9．(1)直线的解析式为y=34x-3，抛物线解析式为2315344y x x =-+-；(2)①t=53,②t=136；(3)存在，理由见解析.【解析】试题分析：（1）将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求得k 的值，从而确定该直线的解析式；将A 、C 的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m 、n 的值，从而确定抛物线的解析式．（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B 的坐标，根据P 、Q 的运动速度，可用t 表示出BP 、CQ 的长，进而可得到AQ 、AP 的长，然后分三种情况讨论：①∠APQ=90°，此时PQ ∥OC ，可得到△APQ ∽△AOC ，根据相似三角形所得比例线段即可求得t 的值；②∠AQP=90°，亦可证得△APQ ∽△ACO ，同①的方法可求得此时t 的值；③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．（3）过D 作y 轴的平行线，交直线AC 于F ，设出点D 的横坐标，根据抛物线和直线AC 的解析式可表示出D 、F 的纵坐标，进而可求得DF 的长，以DF 为底，A 点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC 的面积表达式（或由△ADF 、△CDF 的面积和求得），由此可求出关于△ADC 的面积和D 点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC 的面积最大值及对应的D 点坐标．试题解析：∵直线y=kx-3过点A （4，0），∴0=4k-3，解得k=34．∴直线的解析式为y=34x-3．由直线y=34x-3与y 轴交于点C ，可知C(0，-3)．∴2344304m -⨯+-=，解得m=154．∴抛物线解析式为23153.44y x x =-+-（2）对于抛物线，令y=0，则，解得x 1=1，x 2=4．∴B(1，0).∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t ，AQ=5-2t.①若∠Q 1P 1A=90°,则P 1Q 1∥OC （如图1），∴△AP 1Q 1∽△AOC.∴22AP AQ AC AO =,∴35254t t --=．解得t=53；②若∠P 2Q 2A=90°,∵∠P 2AQ 2=∠OAC ，∴△AP 2Q 2∽△AOC.∴,∴．解得t=136；综上所述，当t 的值为53或136时，以P 、Q 、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．（3）答：存在．过点D 作DF ⊥x 轴，垂足为E ，交AC 于点F （如图2）.∴S △ADF =DF·AE ，S △CDF =DF·OE ．∴S △ACD =S △ADF +S △CDF =DF×(AE+OE)=32×4(DE+EF)=2×()=．∴S △ACD =（0<x<4）．又0<2<4且二次项系数，∴当x=2时，S △ACD 的面积最大．而当x=2时，y=．∴满足条件的D 点坐标为D(2,)．考点：二次函数综合题．10．(1)24y x x =--，点B （-4，0）；(2)()6,12--或99,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或77,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．(3)5532【分析】（1）设该抛物线解析式为()()2240y a x a =++≠，把点（0，0）代入，即可求解；（2）根据题意得25,2,4,OA OC AC ===设点()2,4D x x x --，则24DE x x =--，OE x =-，根据∠ACO =∠DEO =90°，可得当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，∠AOC =∠ODE 或∠AOC =∠DOE ，分两种讨论，即可求解；（3）分别过点A 、D 、B 作AM 、DP 、BQ 垂直直线FG ，垂足分别为M 、P 、Q ，连接AB ，AD 分别交FG 于点S 、T ，则∠AMP =∠BQP =∠ADP =90°，可得到点S 为AB 的中点，点T 为AD 的中点，利用中点坐标公式可得点()11233,2,,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而得到直线FG 的解析式为72522y x =+，联立方程组，得到点F 、G 的坐标，即可求解．（1）解：∵抛物线顶点A 的坐标为()2,4-，∴可设该抛物线解析式为()()2240y a x a =++≠，把点（0，0）代入得：()20024a =++，解得：a =-1，∴该抛物线解析式为()22244y x x x =-++=--，令y =0，则240x x --=，解得：124,0x x =-=，∴点B （-4，0）；（2）解：如图，∵AC ⊥x 轴，点A （-2，4），∴点C （-2，0），∴2,4,OA OC AC ===设点()2,4D x x x --，则24DE x x =--，OE x =-，∵∠ACO =∠DEO =90°，∴当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，∠AOC =∠ODE 或∠AOC =∠DOE ，当∠AOC =∠ODE 时，OE DEAC OC=，∴2442x x x ---=，当40x -≤<，即()40x x -+>时，2442x x x ---=，解得：72x =-或0（舍去），∴点77,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当<4x -，即()40x x -+<时，2442x x x-+=，解得：92x =-或0（舍去），∴点99,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当∠AOC =∠DOE 时，AC OCDE OE=，∴2||244x x x---=，当40x -≤<，即()40x x -+>时，2442x x x---=，解得：2x =-（舍去）或0（舍去），当<4x -，即()40x x -+<时，2442x x x+-=，解得：6x =-或0（舍去），∴点()6,12D --；综上所述，当以A ，O ，C 为顶点的三角形与以D ，O ，E 为顶点的三角形相似时，点D 的坐标为()6,12--或99,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或77,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：如图，分别过点A 、D 、B 作AM 、DP 、BQ 垂直直线FG ，垂足分别为M 、P 、Q ，连接AB ，AD 分别交FG 于点S 、T ，则∠AMP =∠BQP =∠ADP =90°，根据题意得：AM =DP =BQ ，且AM ∥DP ∥BQ ，∴∠MAS =∠BSQ ，∴△ASM ≌△BSQ ，∴AS =BS ，即点S 为AB 的中点，同理点T 为AD 的中点，∵点A （-2，4），B （-4，0），77,24D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴点()11233,2,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设直线FG 的解析式为()0y mx n m =+≠，把点()11233,2,48S T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得：32112348m n m n -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：72252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线FG 的解析式为72522y x =+，联立，得：2725224y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1221552,5154x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，∴点515(,24F -，点()5,5G --，∴2FG ==．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．11．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,48【分析】（1）由已知条件可得出A 、B 、C 的坐标，再代入解析式，根据待定系数法求解即可；（2）过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，先证明△PDH ∽△ODC ，求出直线BC 的表达式，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点H （m ，﹣2m +6），根据相似三角形的性质求解即可；（3）过点P作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点H，证明△CGP∽△PHN，再分类讨论，当△CPN∽△BOC时，即∠PNC＝∠OCB，当△CPN∽△CBO时，即∠PNC＝∠OBC，再解直角三角形求解即可．（1）∵OC＝2OB＝6OA＝6，∴点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，6），由题意得：9306a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得246abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，∴∠PHD＝∠OCD，∠DPH＝∠DOC ∴△PDH∽△ODC，∴PD PH OD OC=设BC的表达式为y=kx+b，把（3，0）、（0，6）两点代入得：03 6k b b=+⎧⎨=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的表达式为y＝﹣2x+6，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点H（m，﹣2m+6），则PH＝（﹣2m2+4m+6）﹣（﹣2m+6），＝﹣2m2+6m，∵OC＝6，∴222663 PD m m m m OD-+==-+∵﹣13＜0，故PD ：OD 存在最大值，此时m ＝1312223b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，﹣2m 2+4m +623315246222⎛⎫=-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭故点P 的坐标为（32，152）；（3）存在，点P 的坐标分别为（3，0）或（1，8）或（94，398）或（74，558）．理由：过点P 作y 轴的平行线交过点C 与x 轴的平行线于点G ，交过点N 与x 轴的平行线于点H ，∴∠CGP=∠PHN ＝90°，∴∠PCG+∠CPG ＝90°，∵∠CPN ＝90°，∴∠CPG+∠PNH ＝90°，∴∠PCG ＝∠PNH ，∴△CGP ∽△PHN ，∴GP CP HN PN=，在Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝6，∴tan ∠CBO =2或tan ∠OCB 12=，∵∠CPN=∠BOC ＝90，∴当△CPN ∽△BOC 时，即∠PNC ＝∠OCB ，tan ∠PNC=12CP PN =，即12GP HN =，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点G （m ，6），∴GP =|6-（﹣2m 2+4m +6）|，HN =m ，∴22262461241241222m m m m m m m m m -++-+===（﹣）﹣即或，解之得：m ＝0（舍去）或m =94或m =74，∵∠CPN=∠BOC ＝90°，∴当△CPN ∽△CBO 时，即∠PNC ＝∠OBC ，tan ∠PNC=2CP PN =即2GP HN =，设点P 的坐标为（m ，﹣2m 2+4m +6），则点G （m ，6），∴GP =|6-（﹣2m 2+4m +6）|，HN =m ，∴22262462424222m m m m m m m m m-++-+===（﹣）﹣即或解得：m ＝0（舍去）或m =3或m =1，∴m 的值为3或1或94或74，∴﹣2m 2+4m +6对应的值为0或8或398-或558∴点P 的坐标分别为（3，0）或（1，8）或（94，398）或（74，558）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与几何图形的综合，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．12．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)2h =(3)Q （0，3）或（2，3）【分析】（1）求出直线与x 轴，y 轴的交点代入即可求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点D 作DM y 与对称轴交于点M ，求出DM 的长用分割法求出DCB △的面积，再求出BC 从而求得D 到BC 的距离h ；（3）BOC 为等腰直角三角形，PDQ 为等腰直角三角形求出Q 的坐标.（1）解：直线与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，令0x =，3y =，即点C （0，3）；令0y =，30x -+=，3x =，即点B （3，0）将点C （0，3），B （3，0）代入2y x bx c=-++3930c b c =⎧⎨-++=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =-++；∴222314y x x x =-++=--+（），∴顶点D (1，4)（2）过点D 作DM y 与对称轴交于点M ，当1x =时，32y x =-+=，点M （1，2），∴2DM =，在Rt COB 中，由勾股定理得BC ===11()23322DCB DMC DMB B C S S S DM x x =+=-=⨯⨯=△△△，。
最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，抛物线2y x bx c=-++与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∠x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知，抛物线23y ax bx=++（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x=1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE=12．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是∠ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使12PAC ACDS S∆∆=，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与∠ACD相似，直接写出点M的坐标．3．如图∠，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P 从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，∠APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使∠PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图∠，点N的坐标为（﹣32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．4．在平面直角坐标系中，函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于A (－3，0)，B (1，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方的抛物线上一动点，过点Q 作QE 垂直于x 轴，垂足为E ．是否存在点Q ，使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与△AOC 相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由；(4)点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．如图，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于点A ()1,0-、B ()4,0，与y 轴交于点C ．（1）=a ；b = ；（2）点P 为该函数在第一象限内的图像上的一点，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，连接PC ， ∠求线段PQ 的最大值；∠若以P 、C 、Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求点P 的坐标．6．如图：已知正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点B 坐标为（4，4）．二次函数216y x bx c =-++的图象经过点A 、B ，且与x 轴的交点为E 、F ．点P 在线段EF 上运动，过点O 作OH⊥AP 于点H ，直线OH 交直线BC 于点D ，连接AD ． （1）求b 、c 的值；（2）在点P 运动过程中，当∠AOP 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似时，求点P 的坐标；（3）在点P运动到OC中点时，能否将∠AOP绕平面内某点旋转90°后使得∠AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．7．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∠y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．∠连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∠PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；∠连结PB，过点C作CQ∠PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．8．已知点A（-1，1），B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点F的坐标为(0,m)(m>2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证FH∥AE；(3)如图2，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．9．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得∠POC∠∠MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -，顶点为D ．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标．（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得90APD ∠=︒，求点P 坐标． （3）在（2）的条件下，将APD △沿直线AD 翻折，得到AQD ，求点Q 坐标．11．如图1，二次函数y=ax 2A （3，0），G （﹣1，0）两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）若点M 时抛物线在第一象限图象上的一点，求∠ABM 面积的最大值；（3）抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E （0，x 轴的平行线，交AB 于点F ，是否存在着点Q ，使得∠FEQ∠∠BEP ？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线()222=-+-（其中m＞1）顶点为P，与y轴相交于点A（0，y a x m mm-1）．连接并延长P A、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C，连接BC，将∠PBC绕点P逆时针旋转得PB C''△，使点C′正好落在抛物线上．(1)该抛物线的解析式为__________（用含m的式子表示）；(2)求证：BC∥y轴；(3)若点B′恰好落在线段BC'上，求此时m的值．13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C （0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．∠若M在y轴右侧，且△CHM∠∠AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；∠若∠M M的坐标．14．如图，已知抛物线2y ax bx c=++的对称轴为直线1x=，（0a≠），且经过(1,0)A-、(0,3)C-两点，与x轴交于另一点B，设D是抛物线的对称轴1x=上的一动点，且90DCB∠=︒．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）求点D的坐标．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得P、A、C为顶点的三角形与BCD△相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线24 3y ax x c=++与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点D 在抛物线上，且A（-1,O），D(2，2)．(1)求这条抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点P，使以O，B，P为顶点的三角形与∠AOC相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)小明在探索该图时提出了这样一个猜想：“直线AD平分∠CAB"，你认为小明的猜想正确吗？请说明理由．，16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE∠x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与∠DEH 相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．17．如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于点B、C两点,与x轴交于D、E 两点,且D点坐标为（1,0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得∠PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与∠ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．（1）求C、D两点的坐标；（2）求tan∠BAC；（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与∠ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知：如图1，直线364y x=+与x轴、y轴分别交于点A、C两点，点B的横坐标为2．(1)求A、C两点的坐标和抛物线的函数关系式；(2)点D是直线AC上方抛物线上任意一点，P为线段AC上一点，且S△PCD＝2S△P AD，求点P的坐标；(3)如图2，另有一条直线y＝－x与直线AC交于点M，N为线段OA上一点，∠AMN＝∠AOM．点Q为x轴负半轴上一点，且点Q到直线MN和直线MO的距离相等，求点Q 的坐标．20．已知如图1，抛物线y＝﹣38x2﹣34x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC(1)如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N的横坐标；(2)如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出CP的值．参考答案：1．（1）2y x 2x 3=-++；（2）Q 的坐标为（1，1）或（1，14）；（3）N的坐标为（12）或（12）或（1+2）或（12）或（1，4）．2．（1）2y x 2x 3=-++，顶点D （1，4）；（3）P352，；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣13）． 3．（1）b=13 ，c=4；（2）∠APQ 不可能是直角三角形，（3）（4）Q′（67 ，227）． 4．(1)224233y x x =--+； (2)P (32-，52)； (3)Q 点坐标为(−2，2)或 (−34，218)； (4)1Q (−5，0)，2Q (−1，0)，3Q0)，4Q0)．5．（1）1322a b =-=，； （2）∠PQ∠P 的坐标为()3,2或325,28⎛⎫ ⎪⎝⎭ 6．（1）234b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩(2)P 1（2，0）；P 2（0）；P 3（2﹣0）．（3）（2，2），（1916 ，3116），（﹣116，4116）； 7．（1）2318355y x x =-+；（2）∠ 102940；∠ 存在，（（2，95）或（349，5527-）．8．(1)y =12x 2-12x秒9．（1）y=2x 2﹣3x ；（2）C （1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）． 10．(1) D 的坐标为(1,4)-;(2) (0,1)P -;(3) (4,3)Q -11．（1）抛物线的解析式为y=2（2）∠ABM 面积的最大值是8；（3）存在； Q 的坐标为（﹣2323）． 12．(1)221()22m y x m m m -=-+-(3)2m =13．（1）y=x 2﹣x ﹣2；（2）32；（3）∠M （1，﹣2），M′（73，109）；②（2，0）或（﹣3，10）．14．（1）223y x x =--；（2）(1,4)D -；（3）(0,0)，10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，(9,0) 15．(1)224233y x x =-++ ;(2)()()330,0,0,60,622⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、、 ； (3)小明的猜想不正确，理由见解析.16．（1）y=﹣43x 2﹣83x+4；（2）PG=﹣43m 2﹣83m+4﹣4=﹣43m 2﹣83m （﹣2＜m ＜0）；（3）在（2）的条件下，存在点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与∠DEH 相似，此时m 的值为﹣1或﹣2316． 17．（1）解析式为：213122=-+y x x ； （2）t =1或3；（3）当a 时,∠APQ 与∠ABD 相似 18．（1）D （﹣1，0）（2）13（3）存在P （0，0），（0，﹣13） 19．(1)A （－8，0），C （0，6），239684y x x =--+； (2)（163-，0） (3)（167-，0）或（967-，0）． 20．(1)N 点的横坐标为：-2115；(2)CP 的值为：1034245−4．。
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)
中考数学专题复习《二次函数与相似三角形综合压轴题》测试卷(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx经过点A（2，0）和点B(−1,m)，顶点为点D．(1)求直线AB的表达式；(2)求tan∠ABD的值；(3)设线段BD与x轴交于点P如果点C在x轴上且△ABC与△ABP相似求点C的坐标．2．如图在平面直角坐标系中点A(1,2)B(5,0)抛物线y=ax2−2ax(a>0)交x轴正半轴于点C连结AO AB．(1)求点C的坐标和直线AB的表达式(2)设抛物线y=ax2−2ax(a>0)分别交边BA BA延长线于点D E．①若△CDB与△BOA相似求抛物线表达式②若△OAE是等腰三角形则a的值为______（请直接写出答案即可）．3．如图拋物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,−2)三点．(1)求出抛物线的解析式(2)若在直线AC上方的抛物线上有一点D使得△DCA的面积最大求出点D的坐标(3)若P是抛物线上一动点过P作PM⊥x轴垂足为M使得以A,P,M为顶点的三角形与△OCA相似请直接写出符合条件的点P的坐标．x2+bx+c与x轴交于A B(4,0)两点与y轴交于点C(0,2)连4．如图抛物线y=−12接BC交抛物线的对称轴于点D连接AC．(1)求抛物线的表达式(2)若点E在对称轴上①当AE+CE的值最小时求点E的坐标②以C D E为顶点的三角形与△ABC相似时求点E的坐标．5．如图已知A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)．点P是第一象限内抛物线上的一点连接AC BC．M为OB上的动点过点M作PM⊥x轴交抛物线于点P交BC于点Q．(1)求抛物线的函数表达式(2)过点P作PN⊥BC垂足为点N设点M的坐标为(m,0)请用含m的代数式表示线段PN的长并求出当m为何值时PN有最大值最大值是多少？(3)试探究M在运动过程中是否存在这样的点Q使得以O M Q为顶点的三角形与△AOC相似．若存在请求出此时点Q的坐标若不存在请说明理由．6．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像经过点B(4,0) D(5,3)设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧）且△ABD的面积是3．（1）求该抛物线的表达式和顶点坐标（2）求∠DAB的度数（3）若抛物线与y轴相交于点C直线CD交x轴于点E点P在线段AD上当△APE与△ABD相似时求AP的长．7．如图抛物线y=−12x2+32x+2与x轴交于A B两点（点A在点B的左边）与y轴交于点C连接BC．(1)求点A B C的坐标(2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t过点P作直线PN⊥x轴交抛物线于点N交直线BC于点M．①当点P在线段AB上时设MN的长度为s求s与t的函数关系式②当点P在线段OB上时是否存在点P使得以O P N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在请求出点P的坐标若不存在请说明理由．8．如图在同一直角坐标系中抛物线L1：y=ax2+bx+8与x轴交于A(−8,0)和点C 且经过点B(−2,12)若抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称点A的对应点为A′点B的对应点为B′．（1）求抛物线L2的表达式（2）现将抛物线L2向下平移后得到抛物线L3抛物线L3的顶点为M 抛物线L3的对称轴与x轴交于点N 试问：在x轴的下方是否存在一点M 使△MNA′与△ACB′相似？若存在请求出抛物线的L3表达式若不存在说明理由．9．抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于A(−3,0),B(1,0)两点与y轴交于点C点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标S△ACD求点P的坐标（2）在直线AC上方的抛物线上找一点P使S△ACP=12（3）在坐标轴上找一点M使以点B C M为顶点的三角形与△ACD相似直接写出点M 的坐标．(x+2)(ax+b)的图象过点A(−4，3)，B(4，4)．10．如图已知二次函数y=148(1)求二次函数的解析式(2)请你判断△ACB是什么三角形并说明理由．(3)若点P在第二象限且是抛物线上的一动点过点P作PH垂直x轴于点H试探究是否存在以P H D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在求出P点的坐标．若不存在请说明理由．11．如图直线y=−x+4与x轴交于点A与y轴交于B抛物线y=−x2+bx+c经过A B两点与x轴负半轴交于点C连接BC抛物线对称轴与x轴交于点F P为y轴右侧抛物线上的动点直线BP交对称轴于点D．(1)求抛物线的解析式(2)当BD=3PD时求点P的坐标(3)作PQ⊥AB垂足为Q当△BPQ与△BCO相似时直接写出点Q的坐标．12．在平面直角坐标系中二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（－3 0）B （1 0）两点与y轴交于点C．(1)求这个二次函数的解析式(2)点Q是线段AC上方的抛物线上一动点过点Q作QE垂直于x轴垂足为E．是否存在点Q使以点B Q E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在求出点Q的坐标若不存在说明理由(3)点M为抛物线上一动点在x轴上是否存在点Q使以A C M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点Q的坐标若不存在说明理由．13．如图① 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(−4,0)点B(2,0)和点C(0,−4)它的对称轴为直线l顶点为D．（1）求该抛物线的表达式（2）如图② 点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点连接AP CP AC当△APC的面积取得最大值时求点P的坐标（3）如图③ 点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点过E点作EF⊥直线l于F连接DE当以D E F为顶点的三角形与△BOC相似时求点E的坐标．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3 0）B（1 0）两点与y轴交于点C（0 ﹣3m）（m＞0）顶点为D．(1)如图1 当m＝1时①求该二次函数的解析式②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点连接AC OP相交于点Q求PQ的最大值OQ(2)如图2 当m取何值时以A D C为顶点的三角形与∠BOC相似．15．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c经过A(−2,0)B(8,0)C(0,4)三点．(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式(2)如图2 设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B C重合）过点P作PD⊥BC 垂足为点D点P在运动的过程中以P D C为顶点的三角形与△AOC相似时求点P 的坐标(3)在y轴负半轴上是否存在点N使点A绕点N顺时针旋转后恰好落在第四象限抛物线上的点M处且使∠ANM+∠ACM=180°若存在请求N点坐标若不存在请说明理由．（请在备用图中自己画图）16．抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点（A在B的左边）C是抛物线的顶点．(1)当m=2时直接写出A B两点的坐标：(2)点D是对称轴右侧抛物线上一点∠COB=∠OCD①如图（1）求线段CD长度②如图（2）当m>2T(t,0)(t>0)P为线段OC上一点．若△PCD与△POT相似并且符合条件的点P有2个求t和m之间的数量关系．17．如图1 抛物线y=−x2+bx+c经过A(0,3)和B(72,−94)两点直线AB与x轴相交于点C P是直线AB上方的抛物线上的一个动点PD⊥x轴交AB于点D抛物线与x轴的交点为F G．(1)求该抛物线的表达式．(2)当点P的坐标为(2，3)时求四边形APGO的面积．(3)如图2 若PE∥x轴交AB于点E且点P在直线AB上方求PD+PE的最大值．(4)若以A P D为顶点的三角形与△AOC相似请直接写出所有满足条件的点P的坐标．18．如图1 抛物线y=ax2+23x+c(a≠0)与x轴交于A(−2，0)B两点与y轴交于点C(0，4)．(1)求抛物线的解析式(2)若点D是第一象限内抛物线上的一点AD与BC交于点E且AE=5DE求点D的坐标(3)如图2 已知点M(0，1)抛物线上是否存在点P使锐角∠MBP满足tan∠MBP=1若2存在求出点P的坐标若不存在说明理由．19．如图1 平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)B(2,0)和C(0,2)连接BC点P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M交x 轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线BC的解析式(2)如图2 连接OM当△OCM为等腰三角形时求m的值(3)当P点在运动过程中在y轴上是否存在点Q使得以O P Q为顶点的三角形与以B C N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应）若存在直接写出点P和点Q的坐标若不存在请说明理由．20．如图（1）在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于A B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C点A的坐标为(−1,0)且OC=OB点D和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a b的值和直线AD的解析式(2)直线AD下方的抛物线上有一点P过点P作PH⊥AD于点H作PM平行于y轴交直线AD 于点M交x轴于点E求△PHM的周长的最大值(3)在（2）的条件下 如图2 在直线EP 的右侧 x 轴下方的抛物线上是否存在点N 过点N 作NG ⊥x 轴交x 轴于点G 使得以点E N G 为顶点的三角形与△AOC 相似？如果存在 请直接写出点G 的坐标 如果不存在 请说明理由．参考答案1．（1）解：∠抛物线y =x 2+bx 经过点A （2 0） ∠22+2b =0 解得：b =−2 ∠抛物线解析式为y =x 2−2x 当x =−1 时 y =3 ∠点B 的坐标为B (−1,3)设直线AB 的解析式为y =kx +m (k ≠0) 把A （2 0） B (−1,3) 代入得： {2k +m =0−k +m =3 解得：{k =−1m =2 ∠直线AB 的解析式为y =−x +2 （2）如图 连接BD AD∠y =x 2−2x =(x −1)2−1 ∠点D 的坐标为D (1,−1) ∠A （2 0） B (−1,3)∠AB 2=(−1−2)2+32=18,AD 2=(2−1)2+(−1)2=2,BD 2=(−1−1)2+(−1−3)2=20∠AB 2+AD 2=BD 2 ∠∠ABD 为直角三角形 ∠tan∠ABD =ADAB =√2√18=13（3）设直线BD 的解析式为y =k 1x +b 1(k 1≠0) 把点D (1,−1) B (−1,3)代入得：{k 1+b 1=−1−k 1+b 1=3 解得：{k 1=−2b 1=1∠直线BD 的解析式为y =−2x +1当y =0 时 x =12 ∠点P 的坐标为P (12,0) 当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠ABC =∠APB如图 过点B 作BQ ∠x 轴于点Q 则BQ =3 OQ =1∠∠ABP ∠∠ABC∠∠ABD =∠BCQ由（2）知tan∠ABD =13∠tan∠BCQ =13 ∠BQ CQ =13∠CQ =9∠OC =OQ +CQ =10∠点C 的坐标为C (−10,0)当∠ABP ∠∠ABC 时 ∠APB =∠ACB 此时点C 与点P 重合∠点C 的坐标为C (12,0)综上所述 点C 的坐标为C (−10,0)或(12,0)．2．（1）解：∠x =−b 2a =1∠O C 两点关于直线x =1对称∠C (2,0)设直线AB ：y =kx +b (k ≠0)把A (1,2) B (5,0) 代入得{k +b=25k +b=0解得{k =−12b =52则y =−12x +52 （2）①设D 的坐标为(p,q ) 则BD AB =q 2 若△CDB 与△BOA 相似 则BD AB =BC BO∠q 2=BC BO =35∠q =65 ∠D (p,q )在直线AB 上∠D (135,65) 代入抛物线解析式可得a =1013∠抛物线解析式为y =1013x 2−2013x ．②∠A (1,2) B (5,0) O (0,0)∠OA =√5 OB =5 AB =2√5∠OA 2+AB 2=OB 2∠∠OAB=90°∠∠OAE=90° 设E 的坐标为(m,n )∠△OAE 是等腰三角形∠AE =AO =√5∠BE =3√5∠S △BEO =12BE ⋅OA =12BO ⋅n ∠12×3√5×√5=12×5n∠n =3∠E (m,n )在直线AB 上∠3=−12m +52 ∠m =−1又∠E (−1,3)在抛物线上∠3=a +2a故答案为：1．3．解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x −4)(x −1)∵点C (0,−2)在抛物线上∴−4×(−1)a =−2∴a =−12∴抛物线的解析式为y =−12(x −4)(x −1)=−12x 2+52x −2（2）如图当点D 在抛物线上 且使△DCA 的面积最大 必有平行于直线AC 的直线DE且和抛物线只有一个交点设直线AC 解析式为y =kx +m∵A (4,0) C (0,−2)∠{4k +m =0m =−2解得{k =12m =−2∴直线AC 解析式为y =12x −2设直线DE 解析式为y =12x +b ①∵抛物线的解析式为y =−12x 2+52x −2②联立①②化简得 x 2−4x +4+2b =0∴ Δ=16−4(4+2b )=0∴b =0∴x 2−4x +4=0∴x =2∴D (2,1)过点P 作PM ⊥OAA (4,0) C (0,−2)∴OA =4 OC =2∴ OA OC =2设点P (p,ℎ)∴AM =|4−p|．PM =|ℎ| ℎ=−12p 2+52p −2③∵∠APM =∠AOB =90°∵以A P M 为顶点的三角形与△OAC 相似∴ PM AM=OA OC =2 ① ∴ |ℎ||4−p|=2④联立③④解得{p =4ℎ=0 （舍)或{p =5ℎ=−2或{p =−3ℎ=−14 ∴P (−3,−14)或(5,−2)②PM AM=OC OA =12 ∴ |ℎ||4−p|=12⑤联立③⑤解得 {p =2ℎ=1 或{p =4ℎ=0 （舍)或{p =0ℎ=−2∴P (2,1)或(0,−2)综上 得到点P (−3,−14)或(5,−2)或(2,1)或(0,−2)．4．（1）解：将点B C 的坐标代入抛物线表达式得：{c =2−12×16+4b +c =0解得：{b =32c =2故抛物线的表达式为：y =−12x 2+32x +2（2）解：①∵B 是点A 关于抛物线对称轴的对称点 连接BC 交抛物线对称轴于点E 则点E 为所求点则点D E 重合设BC 的解析式为y =kx +b将B(4,0) C(0,2)代入解析式可得{0=4k +b b =2解得{k =−12b =2∴直线CB 的表达式为：y =−12x +2 由y =−12x 2+32x +2知 点D 的横坐标为−b 2a =32把x =32代入y =−12x +2 可得y =54∴E (32,54)②令y =−12x 2+32x +2=0 解得：x =−1或4 则点A(−1,0)由点A B C 的坐标得 AB =5 AC =√5 BC =√20∵AB 2=AC 2+BC 2∴△ABC 为直角三角形 且∠ACD =90°∵以C D E 为顶点的三角形与△ABC 相似则△CDE 为直角三角形当∠CE ′D 为直角时 如图则点E ′的坐标为E ′(32,2)当∠ECD 为直角时 如图∵∠ACB 为直角∴A,C,E 三点共线设AC 的解析式为y =k 1x +b 1把A (−1,0),C (0,2)代入可得{2=b 0=−x +b 解得{k =2b =2∴直线AC 的表达式为：y =2x +2当x =32时 y =2x +2=5即点E(32,5)综上点E的坐标为：(32,2)或(32,5)．5．（1）解：∵A(−2,0)B(4,0)抛物线y=ax2+bx+c经过A B两点交y轴于点C(0,4)∴c=4{4a−2b+4=016a+4b+4=0解得{a=−12 b=1∴抛物线解析式为y=−12x2+x+4（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1∵点C的坐标为(0,4)B点坐标为(4,0)∴{4k1+b=0b=4∴{k1=−1b=4∴直线BC的解析式为y=−x+4∴点P的坐标为(m,−12m2+m+4)点Q的坐标为(m,−m+4)∴PQ=−12m2+m+4−(−m+4)=−12m2+2m=−12(m−2)2+2∵OC=OB=4∴∠B=45°∠BQM=∠PQN=45°∴PN=√22PQ=−√22m2+√2m=−√22(m−2)2+√2∴当m=2时PN有最大值√2（3）解：存在Q(43,83)或Q(83,43)理由：如图所示OC=4OA=2Q的坐标为(m,−m+4)∠COA=∠OMQ=90°当△OAC∽△MOQ时MQOM =OCOA=2即−m+4m=2解得m=43此时Q的坐标为(43,83)当△OAC∽△MQO时MQOM =OAOC=12即−m+4m=12解得m=83此时Q的坐标为(83,43)综上Q点坐标为(43,83)或(83,43)．6．解：（1）设A(m,0)∵B(4,0),D(5,3)∴AB=4−m AB边上的高为3则由ΔABD的面积是3可得：12(4−m)×3=3解得m=2∴A(2,0)设抛物线解析式为y=a(x−2)(x−4)将D(5,3)代入得：3a=3解得a=1∴y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1∴顶点坐标为(3,−1)故该抛物线的表达式为y=x2−6x+8顶点坐标为(3,−1)（2）如图过点D作DF⊥x轴于点F∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴DF =3,AF =5−2=3,AB =4−2=2∴DF =AF∴∠DAB =∠DAF =45°（3）如图∵抛物线的表达式为y =x 2−6x +8令x =0 则y =8∴ C(0,8)设直线CD 解析式为y =kx +b将C(0,8),D(5,3)代入得{b =85k +b =3解得{k =−1b =8直线CD 解析式为：y =-x +8当y =0时 −x +8=0 解得x =8∴E(8,0)∵A(2,0),B(4,0),D(5,3)∴AB =4−2=2 AD =√(5−2)2+32=3√2,BD =√(5−4)2+32=√10 ①若ΔADB ∽ΔAPE 则AP AE =AD AB∴AP =AE⋅AD AB =3√2×62=9√2>AD∵点P 在线段AD 上∴此种情形不存在 不合题意②若ΔADB ∽ΔAEP 则AP AB =AE AD∴AP =AE ⋅AB AD =3√2=2√2 综上所述 AP 的长为2√2．7．（1）解：当x =0时 y =2当y =0时 即−12x 2+32x +2=0 解得：x 1=−1 x 2=4∠A(−1，0) B(4，0) C(0，2)（2）解：①设直线BC 的解析式为y =kx +b (k ≠0)把B(4，0) C(0，2)代入 得{4k +b =0b =2解得：{k =−12b =2∠直线BC 的解析式为y =−12x +2 ∠点P 的横坐标为t∠M (t,−12t +2) N (t,−12t 2+32t +2) 当点P 在y 轴的左侧 即−1≤t <0时由题意得：s =−12t +2−(−12t 2+32t +2)=−12t +2+12t 2−32t −2=12t 2−2t 当点P 在y 轴的右侧（包含原点） 即0≤t ≤4时 由题意得：s =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+32t +2+12t −2=−12t 2+2t 综上 s ={12t 2−2t (−1≤t <0)−12t 2+2t (0≤t ≤4)②如图 当△OP 1N 1∽△COB 时可得OP 1CO =N 1P 1BO 即t 2=−12t 2+32t+24∠−t 2+3t +4=4t整理得：t 2+t −4=0 解得：t 1=−1+√172 t 2=−1−√172（不合题意 舍去）当△OP2N2∽△BOC时可得OP2BO =N2P2CO即t4=−12t2+32t+22∠−2t2+6t+8=2t整理得：t2−2t−4=0解得：t3=1+√5t4=1−√5（不合题意舍去）综上点P的坐标为(−1+√172,0)和(1+√5,0)．8．解：（1）将A(−8,0)B(−2,12)分别代入y=ax2+bx+8中得{a×(−8)2−8b+8=0a×(−2)2−2b+8=12解得{a=−12 b=−3∴抛物线L1的解析式为y=−12x2−3x+8=−12(x+3)2+252则：顶点为(−3,252)∵抛物线L1与抛物线L2关于y轴对称顶点也关于y轴对称开口方向及大小均相同即二次项系数相同∴抛物线L2的顶点为(3,252)∴抛物线L2的解析式为y=−12(x−3)2+252=−12x2+3x+8．故抛物线L2的解析式为y=−12x2+3x+8．（2）如图存在点M 使△MNA′与△ACB′相似．由题意得：A′(8,0) B′(2,12) C (2,0) N (3,0) ∴ AC =10 B′C =12 A′N =5 ∵ ∠A′NM =∠ACB′=90°∴ △A′MN 与△AB′C 相似 可以分两种情况： ①当△AB′C ∽△A′MN 时 则MNNA′=B′C AC=1210=65∴ MN =6 即点M (3,−6)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−6=−12x 2+3x −212．②当△AB′C ∽△MA′N 时 同理可得：点M (3,−256)此时 抛物线L 3的表达式为y =−12(x −3)2−256=−12x 2+3x −263故：函数L 3的解析式为：y =−12x 2+3x −212或y =−12x 2+3x −263．9．解：（1）将A(−3,0),B(1,0)代入抛物线解析式中得：{9a −3b +3=0a +b +3=0解得：{b =−2c =3∠抛物线解析式为y =−x 2−2x +3=−(x 2+2x)+3 =−(x 2+2x +1−1)+3=−(x +1)2+4 当x =−1时 y =4 ∠顶点D(−1,4)（2）当x =0时 ∠点C 的坐标为(0,3)∠AC =√32+32=3√2,CD =√12+12=√2,AD =√22+42=2√5 ∠AC 2+CD 2=AD 2∠△ACD 为直角三角形 ∠ACD =90°． 设直线AC 的解析式为y =kx +b 根据题意得：{−3k +b =0b =3解得：{k =1b =3∠直线AC 的解析式为y =x +3 ∠A(−3,0) D(−1,4)∠线段AD 的中点N 的坐标为(−2,2) 过点N 作NP//AC 交抛物线于点P 设直线NP 的解析式为y =x +c 则−2+c =2 解得：c =4 ∠直线NP 的解析式为y =x +4由y =x +4,y =−x 2−2x +3联立得：−x 2−2x +3=x +4 解得：x 1=−3−√52,x 2=−3+√52∠P (−3−√52,5−√52)或(−3+√52,5+√52)（3）分三种情况： ①△CMB ∽△ACD∴CM CB =ACAD ∴CM √10=3√22√5∴CM =3此时M 恰好为原点 M(0,0) ②△MCB ∽△ACD∴MC AC =CBCD∴3√2=√10√2 ∴CM =3√10设M(x,0)∵OM 2+OC 2=CM 2 ∴x 2+32=(3√10)2∴x 2=81∴x =−9或x =9（舍去） 此时M(−9,0) ③△CBM ∽△ACD∴CB AC =CM AD∴√103√2=CM2√5 ∴CM =103设M(x,0)∴|CM −OC |=103−3=13∴x =−13或x =13（舍去）此时M 在y 轴负半轴上 M (0,−13)综上所述 点M 的坐标为(0,0)或(−9,0)或(0,−13)．10．（1）解：由题意得 函数图象经过点A （﹣4 3） B （4 4） 故可得：{3=148（−4+2）（−4a +b ）4=148（4+2）（4a +b ）解得：{a =13b =−20故二次函数关系式为： y =148(x +2)(13x −20)=1348x 2+18x −56．故答案为：y =1348x 2+18x −56．（2）解：△ACB 是直角三角形 理由如下： 由（1）所求函数关系式y =1348x 2+18x −56当y =0时 0=1348x 2+18x −56解得x 1=−2 x 2=2013∠点C 坐标为（﹣2 0） 点D 坐标为（2013 0） 又∠点A （﹣4 3） B （4 4） ∠AB =√(4+4)2+（4−3）2=√65 AC =√(−2+4)2+（0−3）2=√13BC =√(4+2)2+（4−0）2=2√13∠满足AB 2=AC 2+BC 2 ∠△ACB 是直角三角形． （3）解：存在 点P 的坐标为（−50133513）或（−1221328413）．设点P 坐标为（x 148（x +2）（13x ﹣20）） 则PH ＝148（x +2）（13x ﹣20） HD ＝﹣x +2013 若∠DHP ∠∠BCA 则PH AC＝DH BC即148(x+2)(13x−20)√13＝−x+20132√13解得：x =−5013或x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去） 代入可得PH =3513即P 1坐标为（−50133513）若∠PHD ∠∠BCA 则PH BC＝HD AC即148(x+2)(13x−20)2√13＝−x+2013√13解得：x =−12213或 x =2013（因为点P 在第二象限 故舍去）． 代入可得PH =28413即P 2坐标为：（−1221328413）．综上所述 满足条件的点P 有两个 即P 1（−50133513）或P 2（−1221328413）．11．（1）解：∠直线y =−x +4与x 轴交于点A 与y 轴交于B ∴当x =0时 y =4 当y =0时 ∴A (4,0) B (0,4)又抛物线y =−x 2+bx +c 经过A B 两点 把A (4,0) B (0,4)代入得：{−16+4b +c =0c =4解得：{b =3c =4∠抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 （2）解：作PE ⊥AC 垂足为E 如图所示∠∠DFA =∠PEA =∠BOA =90° ∠DF ∥PE ∥BO由（1）得：抛物线的解析式是y =−x 2+3x +4 抛物线对称轴是x =−b2a =−32×(−1)=32 ∠BD =3PD①当P 在对称轴右侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶4 点P 的横坐标是2 y =−4+6+4=6 ∠点P 的坐标是(2,6)②当P 在对称轴左侧时 OF ∶OE =BD ∶BP =3∶2 点P 的横坐标是1 y =−1+3+4=6 ∠点P 的坐标是(1,6)∠点P 的坐标是(2,6)或(1,6)（3）解：∠抛物线对称轴与x轴交于点F对称轴是x=−b2a =−32×(−1)=32∠F(32,0)∠点A C关于对称轴对称∠CF=AF=4−32=52∠C(−1,0)∠A(4,0)B(0,4)∠OC=1OA=OB=4∠△ABO是等腰直角三角形∠∠BAO=∠ABO=45°设P(t,−t2+3t+4)过点P作PM∥y轴交直线AB于点M过点M作MN⊥y轴于点N 当点P在AB上方点Q在点B的右侧时如图所示则M(t,−t+4)MN=t∠PM=−t2+3t+4−(−t+4)=−t2+4t∠△BMN是等腰直角三角形∠BM=√2MN=√2t∠∠PMQ=∠ABO=45°∠PQM=90°∠△PMQ是等腰直角三角形∠PQ=MQ=√22PM=√22(−t2+4t)∠BQ=BM−MQ=√2t−√22(−t2+4t)=√22t2−√2t若△BPQ∼△BCO则PQOB =BQOC∠√22(−t 2+4t )4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=125当t 2=125时 −t 2+3t+4=−(125)2+3×125+4=13625∠P (125,13625) M (125,85) ∠PM =13625−85=9625过点Q 作QK ⊥PM 轴于点K 则QK =12PM =12×9625=4825∠点Q 的横坐标为125−4825=1225 纵坐标为−1225+4=8825 ∠Q (1225,8825)若△BPQ ∼△CBO 则PQ OC =BQOB ∠√22(−t 2+4t )1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=185当t 2=185时 −t 2+3t+4=−(185)2+3×185+4=4625∠P (185,4625) M (185,25) ∠PM =4625−25=3625 同理可得：Q (7225,2825)当点P 在AB 上方 点Q 在点B 的左侧时 如图所示则M (t,−t+4) MN =t∠PM =−t 2+3t+4−(−t+4)=−t 2+4t同理可得：PQ =MQ =√22PM =√22(−t 2+4t ) BM =√2MN =√2t∠BQ =BM −MQ =−√22t 2+√2t 若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22(−t 2+4t )4=−√22t 2+√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43当t 2=43时 −t 2+3t+4=−(45)2+3×43+4=569∠P (43,569)同理可得：Q (−49,329) 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22(−t 2+4t )1=−√22t 2+√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍去）当点P 在AB 下方 对称轴左侧的抛物线上时 则t <0 如图所示∠PM =−t+4−(−t 2+3t+4)=t 2−4t ME =−t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =−√2t∠BQ =MQ −BM =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB =BQOC ∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQOC =BQOB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当点P 在AB 下方 对称轴右侧的抛物线上时 则t>4 如图所示∠PM =t 2−4t ME =t ∠PQ =MQ =√22PM =√22t 2−2√2t BM =√2ME =√2t∠BQ =BM+MQ =√22t 2−2√2t+√2t =√22t 2−√2t若△BPQ ∼△CBO 则PQOB=BQ OC∠√22t 2−2√2t 4=√22t 2−√2t 1解得：t 1=0（舍） t 2=43（舍） 若△BPQ ∼△BCO 则PQ OC=BQ OB∠√22t 2−2√2t 1=√22t 2−√2t 4解得：t 1=0（舍） t 2=143（舍）当t 2=143时 −t 2+3t+4=−(143)2+3×143+4=−349∠P (143,−349)同理可得：Q (569,−209)综上所述：点Q 的坐标为Q 1(7225,2825),Q 2(1225,8825),Q 3(569,−209),Q 4(−49,409) 12．解：（1）∠抛物线y =ax 2+bx +2过点A （－3 0） B （1 0）∠{9a −3b +2=0a +b +2=0 解得：{a =−23b =−43∠二次函数的关系解析式为y =−23x 2−43x +2．（2）存在点Q （-2 2）或(−34,218)使以点B Q E 为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：如图①设点E 的横坐标为c 则点Q 的坐标为（c −23c 2−43c +2）∠BE =1-c QE =−23c 2−43c +2①OA 和BE 是对应边时 ∠∠BEQ ∠∠AOC ∠OA BE=OC QE即31−c =2−23c 2−43c+2整理得 c 2+c -2=0 解得c 1=-2 c 2=1（舍去）此时 −23×(−2)2−43×(−2)+2=2点Q （-2 2）②OA 和QE 是对应边时 ∠∠QEB ∠∠AOC ∠OA QE=OC BE 即3−23c 2−43c+2=21−c整理得 4c 2-c -3=0解得c 1=−34 c 2=1（舍去）此时−23×(−34)2−43×(−34)+2=218点Q(−34,21 8)综上所述存在点Q（-2 2）或(−34,218)使以点B Q E为顶点的三角形与∠AOC相似．（3）①如图2当MC//AQ且MC=AQ时M与C关于对称轴x=-1对称∠AQ=MC=2∠Q1（-1 0）Q2（-5 0）②如图3当AC//MQ且AC=MQ时因为平行四边形是中心对称图形并且中心对称点在x轴上所以点M到x轴的距离为2．设M（m23m2−43m+3）∠2 3m2−43m+3=-2∠m2+2m-6=0∠m=-1±√7∠QG=3∠Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．综上所述 满足条件的点Q 的坐标为：Q 1（-5 0） Q 2（-1 0） Q 3（2+√7 0） Q 4（2−√7 0）．13．解：（1）将点A (−4,0) 点B (2,0) 点C (0,−4)代入y =ax 2+bx +c得{c =−416a −4b +c =04a +2b +c =0∠{a =12b =1c =−4∠y =12x 2+x −4（2）如图 过P 点作x 轴垂线交AC 于点Q设直线AC 的解析式为y =kx +b∠{−4k +b =0b =−4∠{k =−1b =−4∠y =−x −4设P (t,12t 2+t −4) 则Q (t,−t −4) ∠PQ =−t −4−12t 2−t +4=−12t 2−2t∠S △ACP =12×4×(−12t 2−2t)=−t 2−4t =−(t +2)2+4∠当t =−2时 S △ACP 有最大值∠P (−2,−4)（3）抛物线的对称轴为x =−1 顶点D (−1,−92)设E (m,12m 2+m −4) 则F (−1,12m 2+m −4)∠EF =−1−m DF =12m 2+m −4+92=12m 2+m +12∠点E 是直线AD 下方该抛物线上的一个动点∠−4<m <−1∠B (2,0) C (0,−4)∠OB =2 OC =4∠tan∠OCB =12当∠EDF =∠OCB 时 △EDF ∼△BCO∠EF FD =12∠2(−1−m)=12m 2+m +12解得m =−1（舍）或m =−5（舍）当∠FED =∠OCB 时 △EDF ∼△DBO∠EF FD =2∠2(12m 2+m +12)=−1−m解得m =−1（舍）或m =−2∠E (−2,−4)综上所述：当以D E F 为顶点的三角形与△BOC 相似时 E 点坐标(−2,−4)．14．（1）解：①由m ＝1可知点C （0 ﹣3）∵抛物线与x 轴交点为A(−3,0) B(1,0)∴抛物线解析式为：y =a(x +3)(x −1)将点C(0,−3)代入上式 得a ×3×(−1)=−3∴a =1∴抛物线的解析式为：y =(x +3)(x −1)=x 2+2x −3②由①可知抛物线解析式为y =x 2+2x −3 则设P(x,x 2+2x −3) 设直线AC 的解析式为y =kx +b由题意可得{−3k +b =0b =−3解得{k =−1b =−3∴直线AC 的解析式为y =−x −3如图1 过点P 作PN ⊥x 轴 交AC 于N 则PN//OC∴点N(x,−x −3)∴PN =(−x −3)−(x 2+2x −3)=−x 2−3x∵PN//OC∴△PQN ∽△OQC∴ PQ OQ =PN OC∴ PQ OQ =−x 2−3x 3=−(x+32)2+943 ∴当x =−32时 PQ OQ 的最大值为34 （2）解：∵y =mx 2+2mx −3m =m(x +1)2−4m∴顶点D 坐标为(−1,−4m)如图2 过点D 作DE ⊥x 轴于点E 则DE =4m OE =1 AE =OA −OE =2 过点D 作DF ⊥y 轴于点F 则DF =1 CF =OF −OC =4m −3m =m由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=9m2+9CD2=CF2+DF2=m2+1AD2=DE2+AE2=16m2+4∵ΔACD与ΔBOC相似且ΔBOC为直角三角形∴ΔACD必为直角三角形i)若点A为直角顶点则AC2+AD2=CD2即：(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1整理得：m2=−12∴此种情形不存在ii)若点D为直角顶点则AD2+CD2=AC2即：(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9整理得：m2=12∵m>0∴m=√2 2此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√3CD=√62AC=3√62ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3√22BC=√222两个三角形对应边不成比例不可能相似∴此种情形不存在iii)若点C为直角顶点则AC2+CD2=AD2即：(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4整理得：m2=1∵m>0∴m=1此时可求得ΔACD的三边长为：AD=2√5CD=√2AC=3√2ΔBOC的三边长为：OB=1OC=3BC=√10∵ADBC =ACOC=CDOB=√2∴满足两个三角形相似的条件∴m=1．综上所述当m=1时以A D C为顶点的三角形与ΔBOC相似．15．（1）解：将A(−2,0),B(8,0),C(0,4)三点坐标代入y=ax2+bx+c中得{4a−2b+c=0c=464a+8b+c=0解得{a=−14b=32c=4所以抛物线表达式为：y=−14x2+32x+4．（2）解：根据题意得：∵A(−2,0),B(8,0),C(0,4)∠OA=2,OB=8,OC=4∴AOOC=COBO=12又∠AOC=∠COB=90°∴△AOC∽△COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°当△AOC∽△PDC时∴∠ACO=∠PCD∵∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCD+∠OCB=90°∴PC⊥OC∴点P的纵坐标为4当y=4时有−14x2+32x+4=4解得x=6或x=0（舍）∴点P的坐标为(6,4)当△AOC∽△CDP时∠P′CD′=∠CAO作P′G⊥y轴于点G过点P′作P′H∥y轴交BC于点H如图∴∠P′HC=∠BCO∵AOOC=COBO=12,∠AOC=∠BOC=90°∴△AOC∽△COB∴∠OCB=∠OAC∴∠P′CH=∠P′HC∴P′C=P′H设直线BC的解析式为y=k′x+b′把点B(8,0),C(0,4)代入得：{8k ′+b′=0b′=4解得：{k′=−12b′=4∠直线BC的解析式为y=−12x+4设P′(m,−14m2+32m+4)则H(m,−12m+4)∴P′C=P′H=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m在Rt△P′GC中由勾股定理得P′C2=P′G2+GC2即(−14m2+2m)2=m2+(−14m2+32m)2解得m=3∴P′(3,254)综上点P的坐标为：(6,4)或(3,254)．（3）解：过N作NF⊥MC交MC于点F过N点作NG⊥AC交CA的延长线于点G则∠G=∠CFN=90°∴∠ACM+∠GNF=180°设CM与x轴交于K由旋转得：AN=MN∵∠ANM+∠ACM=180°∴∠ANM=∠GNF∴∠ANG=∠MNF∵∠G=∠MFN=90°∴△NGA≌△NFM∴NG=NF∴NC平分∠ACM∵CO⊥AB ∴OK=OA=2∴K(2,0)∴CK的解析式为：y=−2x+4∴−2x+4=−14x2+32x+4解得：x1=0,x2=14∴M(14，−24)设N(0,n)∵AN=MN∴(−2)2+n2=142+(−24−n)2解得：n=−16所以点N坐标为(0,−16)．16．解：（1）∠抛物线y=−x2+2mx−m2+2m(m>0)交x轴于A B两点∠当m=2∠y=−x2+4x∠x1=0x2=4∠A(0,0)B(4,0)．（2）①∠y=−x2+2mx−m2+2m∠对称轴x=−b2a=m∠顶点坐标C(m,2m)延长CD交x轴于点E设点E(a,0)a>m∠∠COB=∠OCD∠|OE|=|CE|∠a2=(a−m)2+(2m)2解得：a=52m∠点E的坐标为：(52m,0)设直线CE的解析式为：y=k1x+b1(k≠0)∠{2m=km+b 0=52mk+b解得：{k=−43b=103m∠y=−43x+103m∠−43x+103m=−x2+2mx−m2+2m解得：x1=m（舍）x2=m+43∠点D(m+43,2m−169)∠CD=209．②设直线OC的解析式为：y=k1x(k≠0)∠y=2x∠设点P(b,2b)∠OP=√b+24b2=√5b CP=√(m−b)2+(2m−2b)2=√5(m−b)当△OPT∼△CDP∠OP CD =OTCP∠√5b×920=√5(m−b)整理得：9b2−9mb+4t=0∠Δ>0∠81m2−4×9×4t>0∠9m2−16t>0当△OTP∼△CDP∠OT CD =OPCP∠t×920=√5b√5(m−b)整理得：b =9tm 20+9t∠仅存在一个点P∠不符合题意∠综上 t 和m 之间的数量关系为：9m 2−16t >0．17．（1）解：∵抛物线y =−x 2+bx +c 经过A (0,3)和B (72,−94)两点∴将A (0,3)和B (72,−94)代入y =−x 2+bx +c 得{c =3−(72)2+72b +c =−94 解得{b =2c =3 ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3（2）解：在 y =−x 2+2x +3中 当y =0时 −x 2+2x +3=0 解得x =3或x =−1 ∠G(3，0)∠OG =3∠A(0，3)，P(2，3)∠OA =3，AP =2，AP ∥x 轴∠S 四边形APGO =AP+OG 2⋅OA =2+32×3=7.5（3）解：设直线AB 的解析式为y =kx +n 把A (0,3)和B (72,−94)代入得{n =372k +n =−94解得{k =−32n =3∴直线AB 的解析式为y =−32x +3 在y =−32x +3 当y =0时 −32x +3=0 解得x =2 ∴C (2,0)联立{y =−x 2+2x +3y =−32x +3 解得x 1=0 x 2=72 ∵PD ⊥x 轴 PE ∥x 轴∴∠ACO =∠DEP∴Rt △DPE ∽Rt △AOC∴ PD PE =OA OC =32 即PE =23PD∴PD +PE =53PD设点P (a,−a 2+2a +3) 0<a <72 则D (a,−32a +3)∴PD =(−a 2+2a +3)−(−32a +3)=−(a −74)2+4916 ∴PD +PE =−53(a −74)2+24548∵−53<0 抛物线开口向下 PD +PE 有最大值 0<a <72 ∴当a =74时 PD +PE 有最大值为24548（4）解：∵PD ⊥x 轴∴PD ∥y 轴 即∠OAC =∠PDA根据题意 分两种情况：①当△AOC ∽△DPA 时∴∠DPA =∠AOC =90°∵PD ⊥x 轴 ∠DPA =90° A (0,3)∴点P 纵坐标是3 横坐标x >0 即−x 2+2x +3=3 解得x =2∴点D 的坐标为(2,0)∵PD ⊥x 轴∴点P 的横坐标为2∴点P (2,3)②当△AOC ∽△DAP 时∴ ∠APD =∠ACO过点A 作AG ⊥PD 于点G 如图所示：∴△APG ∽△ACO∴ PG AG =OC AO设点P (n,−n 2+2n +3) 则D (n,−32n +3) 则−n 2+2n+3−3n =23 解得n =43 ∠P (43,359)综上所述 P (2,3)或P (43,359)．18．（1）解：把点A(−2，0) C(0，4)代入y =ax 2+23x +c (a ≠0)得：{4a −43+c =0c =4 解得：{a =−23c =4 ∠抛物线的解析式为y =−23x 2+23x +4 （2）解：过点D 作DF∥AB 交BC 于点F当y =0时 有−23x 2+23x +4=0 解得x 1=−2,x 2=3∠B (3,0)设直线BC 的解析式为：y =kx +b代入B (3,0) C(0，4)得：{3k +b =0b =4解得{k =−43b =4∠直线BC 的解析式为：y =−43x +4 设点D 的横坐标为t 则D (t ，−23t 2+23t +4) ∠F (12t 2−12t,−23t 2+23t +4) ∠DF =t −(12t 2−12t)=−12t 2+32t∠A(−2，0) B(3，0)∠AB =5∠DF∥AB∠△DEF∽△AEB∠DF AB =DE AE∠−12t 2+32t 5=DE 5DE =15 ∠−12t 2+32t =1解得：t 1=1 t 2=2∠点D 的坐标为(1，4)或(2,83)（3）解：存在点P 使tan∠MBP =12 ①当PB 在MB 上方时 过点M 作IM ⊥PB 交PB 于I 过I 作IJ ⊥y 轴于J则tan∠MBI =MI MB =12∠∠JMI +∠JIM =90° ∠JMI +∠OMB =90°∠∠JIM =∠OMB又∠∠IJM =∠MOB =90°∠△MIJ∽△BMO∠IJ MO=JM OB =IM MB ∠IJ 1=JM 3=12 ∠IJ =12 JM =32∠OJ =JM +OM =52∠I (12,52)设直线BI 的解析式为：y =mx +n代入B(3，0) I (12,52)得：{3m +n =012m +n =52 解得：{m =−1n =3∠直线BI 的解析式为：y =−x +3联立{y =−23x 2+23x +4y =−x +3解得：{x =−12y =72或{x =3y =0 （不合题意 舍去）∠此时点P 的坐标为(−12,72)②当PB 在MB 下方时 过点M 作KM ⊥P ′B 交P ′B 于K 过K 作KL ⊥y 轴于L 同理可得 点P 的坐标为(−3114,−7398)综上所述 点P 的坐标为(−12,72)或(−3114,−7398)．19．（1）解：∠抛物线y =ax 2+bx +c 过点A (−1,0) B (2,0)∠抛物线的表达式为y =a (x +1)(x −2)将点C (0,2)代入y =a (x +1)(x −2) 得：2=−2a解得：a =−1∠抛物线的表达式为y =−(x +1)(x −2) 即y =−x 2+x +2设直线BC 的表达式为y =kx +t 过点B (2,0) C (0,2)∠{2k +t =0t =2解得：{k =−1t =2∠直线BC 的表达式为y =−x +2（2）∠点M 在直线BC 上且P (m,n )(m >0) PN ⊥x 轴 C (0,2)∠M (m,−m +2) OC =2∠CM 2=(m −0)2+(−m +2−2)2=2m 2 OM 2=m 2+(−m +2)2=2m 2−4m +4 当△OCM 为等腰三角形时①若CM =OM 则CM 2=OM 2即2m 2=2m 2−4m +4解得：m =1②若CM =OC 则CM 2=OC 2即2m2=4解得：m=√2或m=−√2（舍去）③若OM=OC则OM2=OC2即2m2−4m+4=4解得：m=2或m=0（舍去）综上所述m=1或m=√2或m=2（3）∠B(2,0)C(0,2)∠COB=90°∠OC=OB=2∠∠OCB=∠OBC=45°CB=√OC2+OB2=√22+22=2√2∠点P与点C相对应P(m,n)(m>0)∠△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB①若点P在点B的左侧则∠CBN=45°BN=2−m CB=2√2∠CNB=∠CON+∠OCN=90°+∠OCN>90°如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=45°时∠P(m,m)此时直线OP的表达式为y=x∠直线OP：y=x与抛物线y=−x2+x+2交于点P(m,m)(m>0)∠−m2+m+2=m解得：m=√2或m=−√2（负值舍去）∠OP=√(√2)2+(√2)2=2∠OP BC =OQBN即2√2=2−√2解得：OQ=√2−1∠P(√2,√2)Q(0,√2−1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=45°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−m2+m+2∠PQ=KPsin∠PQO =msin45°=√2m OQ=KQ−KO=m−(−m2+m+2)=m2−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−22−m解得：m=1+√133或m=1−√133（负值舍去）∠P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)②若点P在点B的右侧则∠CBN=135°BN=m−2如图当△POQ∽△CBN即∠POQ=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠P(m,−m)此时直线OP的表达式为y=−x PK=KQ=m KO=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠m2−m−2=m解得：m=1+√3或m=1−√3（负值舍去）∠OP=PKsin∠POK =msin45°=√2m=√2(1+√3)=√2+√6∠OP BC =OQBN即√2+√62√2=1+√3−2解得：OQ=1∠P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)如图当△POQ∽△CNB即∠PQO=135°时过点P作PK⊥y轴于K点∠PK=KQ=m KO=PN=−(−m2+m+2)=m2−m−2∠PQ=KPsin∠PQK =msin45°=√2m OQ=KO−KQ=m2−m−2−m=m2−2m−2∠PQ CB =OQNB即√2m2√2=m2−2m−2m−2解得：m=1+√5或m=1−√5（负值舍去）∠P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)综上所述P(√2,√2)Q(0，√2−1)或P(1+√133,7+√139)Q(0,4−2√139)或P(1+√3,−1−√3)Q(0,1)或P(1+√5,−3−√5)Q(0,−2)．20．解：（1）∵点A的坐标为(−1,0)∴OA=1．令x=0则y=−4∴C(0,−4)OC=4∵OC=OB∴OB=4∴B(4,0)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−4)∵将x=0y=−4代入得：−4a=−4解得a=1∴抛物线的解析式为y=x2−3x−4∴a=1b=−3∵抛物线的对称轴为x=−−32×1=32C(0,−4)∵点D和点C关于抛物线的对称轴对称∴D(3,−4)设直线AD的解析式为y=kx+b．∵将A(−1,0)D(3,−4)代入得：{−k+b=03k+b=−4解得k=−1b=−1∴直线AD的解析式y=−x−1（2）∵直线AD的解析式y=−x−1∴直线AD的一次项系数k=−1∴∠BAD=45°．∵PM平行于y轴∴∠AEP=90°∴∠PMH=∠AME=45°．∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+√22MP+√22PM=(1+√2)PM．设P(a,a2−3a−4)则M(a,−a−1)则PM=−a−1−(a2−3a−4)=−a2+2a+3=−(a−1)2+4．∴当a=1时PM有最大值最大值为4．∴△MPH的周长的最大值=4×(1+√2)=4+4√2（3）在直线EP的右侧x轴下方的抛物线上存在点N过点N作NG⊥x轴交x轴于点G使得以点E N G为顶点的三角形与△AOC相似理由如下：设点G的坐标为(a,0)则N(a,a2−3a−4)①如图2.1若OAOC =EGGN时△AOC∠△EGN．则a−1−a2+3a+4=14整理得：a2+a−8=0．得：a=−1+√332(负值舍去)∴点G为(−1+√332,0)②如图2.2若OAOC =GNEN时△AOC∠△NGE则a−1−a2+3a+4=4整理得：4a2−11a−17=0得：a=11+√3938(负值舍去)∴点G为(11+√3938,0)综上所述点G的坐标为(−1+√332,0)或(11+√3938,0)．。
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《二次函数中的相似三角形问题》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如题 在平面直角坐标系xOy 中 抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 点()4,0B 与y 轴交于点C 连接AC BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点 当ACD 周长最小时 求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点 射线AE 交抛物线于点F P 是抛物线上一动点 过点P 作y 轴的平行线 交射线AF 与点G 是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由．2．如图 二次函数()220y ax bx a =+-≠的图象经过点()()2010A B -，，， 与y 轴交于点C 点P 为第四象限内抛物线上一点 连接BP AC 、 交于点Q ．(1)求二次函数的表达式(2)连接BC 线段BC 的垂直平分线交x 轴于点M 求点M 的坐标 (3)探究：PQQB是否有最大值 如有请求出最大值 如没有请说明理由．3．如图 已知抛物线2y ax c =+过点(2,2)A -- 其顶点为D 过点A 作x 轴的平行线l 点12(,)(,)P p y Q q y 、是抛物线上位于点A 右侧和l 两侧的动点 直线l 始终平分∠P AQ ．(1)若点(0,2)D 求抛物线的函数表达式 (2)在（1）的条件下 若1P = 求q 的值(3)在点P Q 、的运动过程中 试判断p q +的值是否变化 并说明理由．4．已知抛物线212y x bx c =++．经过()2,0A - ()0,4B - 与x 轴交于另一个点C 连接BC ．(1)求抛物线的函数表达式(2)若点Q在抛物线上的对称轴上那么在抛物线上是否存在一点N使得A B Q N为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出N点的坐标∥交BC于点E过点D作(3)点D为直线BC下方抛物线上一动点过点D作DE AB∥轴交BC于点F求EF的最大值DF y(4)在抛物线上是否存在点P直线BP交x轴于点M使ABM与以A B C M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在请直接写出点P的坐标若不存在请说明理由．5．如图抛物线223=-++交x轴于A B两点交y轴于点C连接AC BC．y x x(1)求ABC 的面积(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标 若不存在 请说明理由(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．如图所示 已知抛物线21y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A - ()1,0B 两点 与y 轴交于点C ．(1)求此二次函数得解析式(2)过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P 求四边形ACBP 的面积(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M 过M 作MG x ⊥轴于点G 使以A M G 三点为顶点的三角形与PCA 相似？若存在 请求出M 点的坐标 否则 请说明理由．7．如图1 平面直角坐标系xOy 中 抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A - ()2,0B 和()0,2C 连接BC 点()(),02P m n m <<为抛物线上一动点 过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M 交x 轴于点N ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式(2)如图2 连接OM 当OCM 为等腰三角形时 求m 的值(3)当P 点在运动过程中 在y 轴上是否存在点Q 使得以O P Q 、、为顶点的三角形与以B C N 、、为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应） 若存在 直接写出点P 的坐标若不存在 请说明理由．8．抛物线2y x bx c =++与x 轴交于 ()1，0B (30)C ，-两点 与y 轴交于A 点．(1)求抛物线的表达式(2)如图1 连接AC 在y 轴的负半轴是否存在点Q 使得12OQC OAC ∠∠=？若存在 求Q 点的坐标 若不存在 请说明理由．(3)如图2 点P 是抛物线上的一个动点 且点P 在第三象限内． ∠连接PO 与直线AC 交于点D 求PDOD的最大值 ∠过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点M 若ABO PAM △△ 求此时点P 的横坐标．9．如图 抛物线223(0)y ax ax a a =-->与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 的左侧） 与y 轴交于点C 且OB OC =．(1)求抛物线的解析式(2)若P 是线段BC 上一动点（不与点B C 重合） 过点P 作垂直于x 轴的垂线交抛物线于点M 连接CM 当PCM △与ABC 相似时 求此时点P 的坐标．10．如图 已知直线24y x =-+分别交x 轴 y 轴于点A B 抛物线过A B 两点 点P 是线段AB 上一动点 过点P 作PC x ⊥轴于点C 交抛物线于点D ．(1)若抛物线的解析式为2224y x x =-++ 设其顶点为M 其对称轴交AB 于点N ． ∠求点M 和点N 的坐标∠在抛物线的对称轴上找一点Q 使AQ BQ -的值最大 请直接写出点Q 的坐标 ∠是否存在点P 使四边形MNPD 为菱形？并说明理由(2) 当点P 的横坐标为1时 是否存在这样的抛物线 使得以B P D 为顶点的三角形与AOB 相似？若存在 求出满足条件的抛物线的解析式 若不存在 请说明理由．11．如图 直线22y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ．把AOB 沿y 轴翻折 点A 落到点C 过点B 的抛物线2y x bx c =-++与直线BC 交于点(34)D -，．(1)求直线BD 和抛物线的解析式(2)在第一象限内的抛物线上 是否存在一点M 作MN 垂直于x 轴 垂足为点N 使得以M O N 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点M 的坐标． 若不存在 请说明理由．12．抛物线223y x x =--+与x 轴交于A B 两点 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B C 三点的坐标(2)如图1 连接BC 点P 在抛物线上 且PAB BCO ∠=∠ 求P 点坐标．(3)如图2 点D 为抛物线顶点．点H 为AD 中点 过点H 作直线MN （异于直线AD ）交抛物线于M N 两点 直线AM 与直线DN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是 求该直线的解析式 若不是 请说明理由．13．如图 在平面直角坐标系中 已知抛物线2y x bx c =＋＋与x 轴交于点A B 两点 其中()0A 1， 与y 轴交于点()03C ，．(1)求抛物线解析式(2)如图 连接AC BC 、 过点B 作x 轴垂线 在该垂线上取点P 使得PBC 与ABC 相似（包括全等） 请求出点P 坐标．14．如图 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 抛物线26y ax ax a =--交x 轴负半轴于点A 交x 轴正半轴于点B 交y 轴正半轴于点C 且OB OC =．(1)如图1 求抛物线的解析式(2)如图2 点P 为第四象限的抛物线上一点 其横坐标为t 设OD d = 求d 于t 之间的函数关系(3)如图3 在（2）的条件下 过D 作DE AP ⊥ 过点A 作AF AB ⊥交ED 于F 延长PB 交DE 于点E 连接BF 并延长 连接PG 使EF PG = 若EFB PGB =∠∠ 求：点F 的坐标．15．如图 抛物线()222y x nx n =-+>与x 轴正半轴交于点A 点P 为线段OA 上一点 过P作PB x ⊥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点B 过B 作BC x ∥轴交抛物线()222y x nx n =-+>于点C 连接AC 交PB 于点D(1)如图1 若点A 的横坐标为92∠求抛物线的解析式：∠当45BCA ∠=︒时 求点P 的坐标：(2)若1AP = 点Q 为线段CD 上一点 点N 为x 轴上一点 且90PQN ∠=︒ 将AQP △沿直线PQ 翻折得到,A QP A Q ''所在的直线交x 轴于点M 且17PM MN = 求点Q 的纵坐标 参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在 点P 的坐标为()1,32．(1)二次函数的表达式2y x x 2=--(2)M 的坐标302⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)PQQB 有最大值 最大值为133．(1)22y x =-+(2)3q =(3)p q +的值不变化 是定值44．(1)2142y x x =--(2)存在 53,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)存在 ()8,205．(1)6(2)存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为(2,3) 57(,)246．(1)21y x =-(2)4(3)存在 ()2,3- 47,39⎛⎫⎪⎝⎭ ()4,157．(1)2y x =-+(2)1m =(3)P8．(1)223y x x =+-(2)(0,3--(3)∠912∠73- 9．(1)2=23y x x --(2)P 的坐标为5433⎛⎫- ⎪⎝⎭,10．(1)∠19,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1,32N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∠1,62Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∠不存在 (2)存在 2224y x x =-++或25342y x x =-++．11．(1)直线BD 的解析式为：22y x =-+ 抛物线解析式为：22y x x =-++．(2)存在 1(12)M ， 2133133(M ++，．12．(1)()()()3,0,1,0,0,3A B C - (2)211,39⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 在一条定直线上 该直线的解析式为28y x =+13．(1)243y x x =-+(2)()39，14．(1)211322y x x =-++ (2)3d t =-(3)(29),F --15．(1)∠292y x x =-+ ∠7,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)22+。
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)
中考数学总复习《二次函数与相似三角形问题综合》专项检测卷(带答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -和()1,0B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直线43y x h =-+经过点B ，交抛物线于另一点C ．P 是线段BC 上一点，过点P 作直线PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，且PB PQ =，求点P 的坐标；(3)M ，N 是抛物线上的动点（不与点B 重合），直线BM ，BN 分别交y 轴于点E ，F ，若EBF EOB ∽△△，求证：直线MN 经过一个定点．2．如题，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A -，点()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点D 为抛物线的对称轴上一动点，当ACD 周长最小时，求点D 的坐标．(3)点E 是OC 的中点，射线AE 交抛物线于点F ，P 是抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线AF 与点G ，是否存在点P 使得PFG △与AOE △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()2,0A -和()4,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线l x ⊥轴于点(),0M m ，交BC 于点N ，连接CM PB PC ，，．PCB 的面积记为1S ，BCM 的面积记为2S ，当12S S 时，求m 的值；(3)在（2）的条件下，点Q 在抛物线上，直线MQ 与直线BC 交于点H ，当HMN △与BCM 相似时，请直接写出点Q 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线214y x bx c =-++与x 轴分别相交于()2,0A -，()8,0B 两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE BF +的最大值；①若G 是AC 的中点，以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 求点D 的坐标． 5．如图 抛物线223y x x =-++交x 轴于A B 两点 交y 轴于点C 连接AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)点M 为y 轴上一点 是否存在点M 使得MBC 与ABC 相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由；(3)点P 为抛物线上一点（点P 与点B 不重合） 且使得PAC △中有一个角是45︒ 请直接写出点P 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中 把与x 轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图 抛物线1L ：245y x x =-++的顶点为D 交x 轴于点A B （点A 在点B 左侧） 交y 轴于点C ．抛物线2L 与1L 是“共根抛物线” 其顶点为P ．(1)若抛物线2L 经过点()38-，求抛物线L 1对应的函数关系式； (2)连接BC ．设点Q 是抛物线1L 上且位于其对称轴右侧的一个动点 若DPQ 与BOC 相似 求其“共根抛物线”2L 的顶点Р的坐标．7．如图 直线23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 抛物线243y x bx c =-++经过点A B ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)(),0M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N ．①点M 在线段OA 上运动 若以B P N 为顶点的三角形与APM ∆相似 求点M 的坐标； ①点M 在x 轴上自由运动 若三个点M P N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外） 则称M P N 三点为“共谐点”．请直接写出使得M P N 三点成为“共谐点”的m 的值．8．如图 二次函数2y ax bx c =++（0a <）的图象与x 轴交于()1,0A - B 两点 与y 轴交于点C 已知3OB OA = OC OB =．(1)求该二次函数的表达式；(2)点M 为抛物线对称轴上一动点 是否存在点M 使得BM CM -有最大值 若存在 请直接写出其最大值及此时点M 坐标 若不存在 请说明理由．(3)连接AC P 为第一象限内抛物线上一点 过点P 作PD x ⊥轴 垂足为D 连接PA 若PDA 与COA 相似 请求出满足条件的P 点坐标：若没有满足条件的P 点 请说明理由．9．如图 在平面直角坐标系中 二次函数的图象交坐标轴于()20A -，()40B ， ()08C ，三点 点P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)动点P 运动到什么位置时 PBC 的面积最大 求此时P 点坐标及PBC 面积的最大值；(3)在y 轴上是否存在点Q 使以O B Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在 请直接写出点Q 的坐标；若不存在 请说明理由．10．如图 已知抛物线经过()40A ，()10B ， ()02C -，三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若P 是直线4x =右侧的抛物线上一动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以A P M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在 请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在 请说明理由11．综合与探究：如图 在平面直角坐标系中 抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A - ()3,0B 与y 轴交于点C 连接BC ．若在第四象限的抛物线上取一点M 过点M 作MD x ⊥轴于点D 交直线BC 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)试探究抛物线上是否存在点M 使ME 有最大值？若存在 求出点M 的坐标和ME 的最大值；若不存在 请说明理由；(3)连接 CM 试探究是否存在点M 使得以M C E 为顶点的三角形和BDE △相似？若存在 请求出点M 的坐标；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图 抛物线213222y x x =-++的图象与x 轴交于A B 两点 点A 在点B 的左侧 与y 轴交于点C 连接BC ．(1)求点B C 的坐标．(2)C '是点C 关于抛物线对称轴的对称点 D 是BC 线段上一点 已知25BD BC = 求直线C D '的解析式．(3)若C 关于x 轴的对称点为M 连接BM N 是线段AB 上的动点 过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P 交直线BM 于点Q 当以B P Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 请直接写出点P 的坐标．13．如图 抛物线26y ax bx =+-与y 轴交于点A 与x 轴交于点()3,0B - ()1,0C P 是线段AB 下方抛物线上的一个动点 过点Р作x 轴的垂线 交x 轴于点H 交AB 于点D ．设点P 的横坐标为()30t t -<<．(1)求抛物线的解析式．(2)用含t 的式子表示线段PD 的长 并求线段PD 长度的最大值．(3)连接AP 当DPA 与DHB △相似时 求点P 的坐标．14．如图 抛物线经过点()2,0A - ()3,3B -和坐标原点O 顶点为C ．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：BOC 是直角三角形；(3)若点P 是抛物线上第一象限内的一个动点 过点P 作PM x ⊥轴 垂足为M 是否存在点P 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在 求出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．15．在平面直角坐标系中 抛物线()26160y ax ax a a =--≠与x 轴的两个交点分别为A B 、与y 轴相交于点C 连接BC 已知点()04C ，．(1)求A B 、两点坐标和抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线上在第一象限内的动点（不与C B 、重合） 过点P 作PD BC ⊥ 垂足为点D ．①点P 在运动过程中 线段PD 的长度是否存在最大值？若存在 求出最大值以及此时点D 的坐标；若不存在 请说明理由：①当以P D C 、、为顶点的三角形与COA 相似时 求点P 的坐标．参考答案：1．（1）解：将()2,0A - ()1,0B 代入2y x bx c =++得：()2202201b c b c⎧=--+⎪⎨=++⎪⎩ 解得：12=⎧⎨=-⎩b c ∴抛物线的函数表达式为：22y x x =+-；（2）解：将()1,0B 代入43y x h =-+ 得：4013h =-⨯+ 解得：43h = ∴直线BC 的解析式为：4433y x =-+ 联立直线BC 与抛物线得：244332y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩ 解得：103529x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 1052,39C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭设44,33P m m⎛⎫-+⎪⎝⎭则()2,2Q m m m+-PB PQ=()()2224444123333m m m m m⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22257101933m m m-=--+即()257101333m m m--=--+或()257101333m m m-=--+解得：1m=或53m=-或5m=-P是线段BC上一点()1,0B1052,39C⎛⎫-⎪⎝⎭53m∴=-532,39P⎛⎫∴-⎪⎝⎭；（3）解：设()()()2211122212,2,,21,1 M x x x N x x x x x+-+-≠≠直线MN的解析式为y kx n=+即2111222222x x kx nx x kx n⎧+-=+⎨+-=+⎩解得：()121212k x xn x x=++⎧⎨=-+⎩∴直线MN的解析式为：()()121212y x x x x x=++-+直线BM的解析式为y k x n''=+即21112x x k x nk n⎧+-=+'=+'''⎨⎩解得：()1122k xn x=+⎧⎨=-+''⎩∴直线BM的解析式为：()()1122y x x x=+-+当0x=时()12y x=-+()10,2E x∴--直线BN的解析式为y k x n''''=+即222220x x k x n k n '''⎧+-=+⎨=+'''''⎩解得：()2222k x n x =+⎧⎨=-+''''⎩∴直线BN 的解析式为：()()2222y x x x =+-+当0x =时 ()22y x =-+()20,2F x ∴--12EF x x ∴=-EBF EOB ∽△△EF BE BE OE∴= 112BE OE x ==+()21121122x x x x ∴++=-⋅+即()221111212542x x x x x x x ++=+-- ∴()121252x x x x =--+∴()()()()()()121212121212125223y x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=++-+=++---+=++++⎣⎦ ∴当2x =-时 1y =∴直线MN 经过一个定点()2,1-．2．（1）解：把点()1,0A - ()4,0B 分别代入22y ax bx =++得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①抛物线的解析式为213222y x x =-++． （2）①()1,0A - ()4,0B①对称轴为直线14322x -+== 点A 关于对称轴的对称点为点B 连接BC 交对称轴于点D 连接AD 此时AD CD +最小当0x =时 2y =①点()0,2C ．设直线BC 的解析式为2y kx =+ 代入()4,0B 得420k += ①12k =- ①直线BC 的解析式为122y x =-+ 当32x =时 54y = ①点35,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （3）存在．①()0,2C E 是OC 的中点∴()0,1E ．又()1,0A -①直线AE 的解析式为1y x =+ 1OE OA ==． 联立2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=+⎩得2132122x x x -++=+． 解得12x = 21x =-（舍）．当2x =时 3y =．①()2,3F ． 设213,222P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则(),1G n n +． ①2213112112222PG n n n n n =-++--=-++． 分以下两种情况：①如图2 若FPG AOE ∽△△ 则90FPG PF PG =．①PF x ∥轴．①2PF n =-． ①2112122n n n -=-++．解得1n =或2n =（舍）．①()1,3P ．①如图3 若PFG AOE ∽△△ 则90PFG ∠=︒ PF FG =．过点F 作FH PG ⊥于点H 则2PG FH = 即()21112222n n n ⎛⎫--++=- ⎪⎝⎭．解得3n =或2n =（舍）．①()3,2P ．综上 点P 的坐标为()1,3或()3,2．3．（1）解：抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()20A -，()40B ，两点 ∴()221220214402b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得：14b c =⎧⎨=⎩①抛物线的函数表达式为2142y x x =-++； （2）解：抛物线2142y x x =-++与y 轴交于点C ∴()0,4C∴4OC =设直线BC 的解析式为y kx d =+ 把()4,0B ()0,4C 代入 得： 404k d d +=⎧⎨=⎩解得14k d =-⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的解析式为4y x =-+直线l x ⊥轴 (),0M m21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭(),4N m m -+ ()221144222PN m m m m m ∴=-++--+=-+ 221111244222B C S PN x x m m m m ⎛⎫∴=⋅-=⨯-+⨯=-+ ⎪⎝⎭()4,0B ()0,4C (),0M m()211448222C S BM y m m ∴=⋅=⨯-⨯=- 12S S2482m m m ∴-+=-解得2m =或4m =（P 与B 重合 舍去）m ∴的值为2；（3）解：()4,0B ()0,4COB OC ∴= BOC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒BMN ∴是等腰直角三角形45BNM MBN ∴∠=∠=︒HMN 与BCM 相似 且45MNH CBM ∠=∠=︒H ∴在MN 的右侧 且NH MN BC BM=或NH MN BM BC = 设(),4H t t -+ 由（2）知()2,0M ()2,2N ()4,0B ()4,0CBC ∴= 2BM = 2MN =2NH - 当NHMNBC BM =时 如图：∴222242t -=解得6t =或2t =-（此时H 在MN 左侧 舍去）()6,2H ∴-由()2,0M ()6,2H - 同（2）得直线MH 解析式为112y x =-+2112142y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①点Q 的坐标为⎝⎭或⎝⎭；当NH MNBM BC =时 如图：∴222242t -=解得32t =（舍去）或52t =5322H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 由()2,0M 5322H ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同（2）得直线MH 解析式为36y x =- 236142y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩解得261266x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩2261266x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩①点Q 的坐标为(226,1266-+-+或(226,1266----．综上所述 点Q 的坐标为333133+-⎝⎭或333133-+⎝⎭或(226,1266-+-+或(226,1266----． 4．（1）将()2,0A - ()8,0B 代入抛物线214y x bx c =-++ 得()221220418804b c b c ⎧-⨯--+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴该抛物线的解析式为213442y x x =-++． （2）①由抛物线的解析式为213442y x x =-++ 得()0,4C ．设直线BC 的解析式为y kx t =+ 将()8,0B ()0,4C 代入得80,4,k t t +=⎧⎨=⎩解得1,24,k t ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为142y x =-+． 设第一象限内的点D 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 则1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2213114424224DE m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8BF m =- ()()2211282944DE BF m m m m ⎛⎫∴+=-++-=--+ ⎪⎝⎭． 104-< ∴当2m =时 DE BF +有最大值 为9．①()2,0A - ()8,0B ()0,4C2OA ∴= 8OB = 4OC = 10AB =22220AC OA OC ∴=+= 22280BC OB OC =+= 2210100AB == 222AC BC AB ∴+=90ACB ∴∠=︒90CAB CBA ∴∠+∠=︒．DF x ⊥轴于点F90FEB CBA ∴∠+∠=︒CAB FEB DEC ∴∠=∠=∠．以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似 只需OA AG DE CE =或OA AG CE DE =． G 是AC 的中点 ()2,0A - ()0,4C()1,2G ∴- 2OA =12AG AC == 由①知2124DE m m =-+ 1,42E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭CE ∴=． 当OA AG DE CE =时22124m m =-+解得4m =或0m =（舍去） ()4,6D ∴． 当OAAGCE DE =时 251524m m m -+解得3m =或0m =（舍去） 253,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭．综上所述 以点C D E 为顶点的三角形与AOG 相似点D 的坐标为()4,6或253,4⎛⎫ ⎪⎝⎭． 5．（1）解：对于抛物线223y x x =-++ 当0x =时 可有3y = 即(0,3)C 当0y =时 可有2230x x -++= 解得11x =- 23x =即(1,0)A - (3,0)B①3OC = 3(1)4AB =--= ①1143622ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=；（2）解：存在 点M 的坐标为30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 或()01M -，理由如下：①(1,0)A - (3,0)B (0,3)C ①221310AC =+= 4AB = 223332BC =+如下图 当BCA CMB ∽时则有BCABCM BC = 3232①92CM = ①93322OM CM OC =-=-= ①30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当BAC CMB ∽时 如图：则有BC ABCM BC = 4CM =①4CM =①1OM CM OC =-=则()01M -， 综上：30,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()01M -，（3）解：根据题意 点P 与点B 不重合；且45APC ∠=︒ 如图结合二次函数的对称性 且=45ABC ∠︒ ①45BAP ∠=︒①CP AB ∥则3P C y y ==①223y x x =-++①对称轴()2121x =-=⨯- 则()112C P x x += 则2P x =①P 的坐标为()23，当45PAC ∠=︒时 如下图设AP 交y 轴于点H 过点H 作HN AC ⊥于点N ①45PAC ∠=︒①9045NHA PAC PAC ∠=︒-∠=︒=∠ ①HN NA =①(1,0)A - (0,3)C①1OA = 3OC = ①1tan 3NH OA ACO CN OC ∠=== 设HN NA t == 则3CN t = 2AH t = ①310AC t t =+解得10t =①52AH t = ①2212OH AH OA =-=①10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭设直线AH 的解析式为111(0)y k x b k =+≠ 将点(1,0)A - 10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得111012k b b =-+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得111212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①直线AH 的解析式为1122y x =+ 联立直线AH 的解析式1122y x =+与抛物线解析式223y x x =-++ 可得2112223y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得=1x -（舍去）或52x =①点57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当45ACP ∠=︒时 如下图 设CP 交x 轴于点T 过点T 作TK BC ⊥于点K ①(3,0)B (0,3)C ①3OB OC == ①190452OCB CBT ∠=∠=⨯︒=︒ ①45ACP OCB ∠=∠=︒ 即ACO OCP OCP PCB ∠+∠=∠+∠①ACO PCB ∠=∠ ①1tan tan 3TK BCP ACO CK ∠==∠= ①45KBT ∠=︒①9045KTB KBT KBT ∠=︒-∠=︒=∠①KB KT =设KT KB t == 则3CK t = 2BT t ①332BC t t =+=解得32t = ①322BT t ==①3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 设直线CT 的解析式为222(0)y k x b k =+≠ 将点(0,3)C 3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入 可得2223302b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩解得2223k b =-⎧⎨=⎩ ①直线CT 的解析式为23y x =-+联立直线CT 的解析式23y x =-+与抛物线解析式223y x x =-++可得22323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得0x =（舍去）或4x =①点(4,5)P -．综上所述 点P 坐标为(2,3) 57,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或(4,5)-． 6．（1）解：在抛物线1L ：245y x x =-++中令0y = 则2450x x -++=解得11x =- 25x = 即()10A -， ()50B ， 根据题意 设抛物线L 2的函数关系式为()()15y a x x =+-将点()38-，代入得()()83135a =-+-- 解得12a = ①抛物线2L 的函数关系式为()()2115152222y x x x x =+-=--；（2）解：由题意得 5OB OC ==①BOC 为等腰直角三角形①抛物线1L ：()224529y x x x =-++=--+①顶点()29D ，由题意可知PDQ ∠不可能为直角①当90DPQ ∠=︒时 如图 DPQ BOC ∽或DPQ COB ∽ 则DP QP =设Q 2()45m m m -++，①2QP m =- ()2945DP m m =--++①()22945m m m -=--++ 解得12m =（舍去） 23m = ①当3m =时 2458m m -++=①()28P ，①当90DQP ∠=︒时 如图 DPQ BCO ∽或DPQ CBO ∽ 过点Q 作QM DP ⊥垂足为点M 则DM QM MP ==由①可知()28M ，①1MP DM ==①()27P ，综上所述：点P 的坐标为()28P ，或()27P ，．7．（1）解：23y x c =-+与x 轴交于点()3,0A 与y 轴交于点B 02c 解得2c =(0,2)B ∴抛物线243y x bx c =-++经过点A B ∴12302b c c -++=⎧⎨=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2410233y x x =-++； （2）解：①由（1）可知直线解析式为223y x =-+ (,0)M m 为x 轴上一动点 过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P N2,23P m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ 223PM m 3AM m 22410242243333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭BPN △和APM △相似 且BPN APM ∠=∠90BNP AMP 或90NBP AMP ∠=∠=︒当90BNP ∠=︒时 则有BN MN ⊥N ∴点的纵坐标为224102233m m ∴-++= 解得0m =（舍去）或52m = 502M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 当90NBP ∠=︒时 过点N 作NC y ⊥轴于点C则90NBC BNC ∠+∠=︒ NC m = 22410410223333BC m m m m =-++-=-+ 90NBP ∠=︒90NBC ABO ∴∠+∠=︒ABO BNCRt Rt NCB BOA ∴∽△△ ∴NC CB OB OA= ∴24103323m m m -+= 解得0m =（舍去）或118m = 1108M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，； 综上可知当以B P N 为顶点的三角形与APM △相似时 点M 的坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1108⎛⎫ ⎪⎝⎭，； ①由①可知(,0)M m 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭M P N 三点为“共谐点”∴有P 为线段MN 的中点、M 为线段PN 的中点或N 为线段PM 的中点当P 为线段MN 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或0.5m =；当M 为线段PN 的中点时 则有22410220333m m m ⎛⎫-++-++= ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或1m =-；当N 为线段PM 的中点时 则有22410222333m m m ⎛⎫-+=-++ ⎪⎝⎭解得3m =（舍去）或14m =-； 综上可知当M P N 三点成为“共谐点”时m 的值为0.5或1-或14-． 8．（1）解：(1,0)A -1OA ∴=3OB OA = OC OB =3OB OC ∴==．(3,0)∴B (0,3)C二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象经过点A B C∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴该二次函数的表达式为223y x x =-++；（2）解：①()222314y x x x =-++=--+①抛物线对称轴为直线1x =延长AC 交对称轴于点M 此时BM CM AM CM AC -=-=有最大值①()1,0A - (0,3)C ①221310AC =+=设直线AC 的解析式为3y mx =+ 代入()1,0A -得03m =-+ 解得3m =①直线AC 的解析式为33y x =+①当1x =时 336y =+=①点M 坐标为()16，；答：BM CM - 点M 坐标为()16，； （3）解：设2(,23)P m m m -++PD x ⊥轴 P 为第一象限内抛物线上一点 0m ∴> OD m = 223PD m m =-++ 1AD OA OD m ∴=+=+ PDA 与COA 相似 ∴OA AD OC PD =或OA PD OC AD= ∴211323m m m +=-++或212331m m m -++=+． 解得：10m = 21m =-或31m =- 483m =．0m >83m ∴=． PDA ∴与COA 相似 满足条件的P 点坐标为81139⎛⎫⎪⎝⎭，． 9．（1）解：①(0,8)C 则设抛物线解析式为28y ax bx =++把A 、B 两点坐标代入可得428016480a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩①抛物线解析式为228y x x =-++；（2）解：①点P 在抛物线上①可设()228P t t t -++，过P 作PE x ⊥轴于点E 交直线BC 于点F 如图①(40)B ，(08)C ， 设直线BC 解析式为8y kx =+则048k =+解得2k =-①直线BC 解析式为28y x =-+①(28)F t t -+，①()2228(28)4PF t t t t t =-++--+=-+ ①1111()2222PBC S PF OE PF BE PF OE BE PF OB =⋅+⋅=⋅+=⋅△ ()221442(2)82t t t =-+⨯=--+ ①当2t =时 PBC S 最大值为8 此时2288t t -++=①当P 点坐标为(2,8)时 PBC 的最大面积为8； （3）解：设(0)Q m ，①=90AOC ︒∠①分AOC QOB ∽△△和AOC BOQ ∽△△两种情况 当AOC QOB ∽△△时①OA OC OQ OB= 即284m = 解得1m =±①点Q 的坐标为()01，或()01-，； 当AOC BOQ ∽△△时 ①OA OC OB OQ= 即284m = 解得16m =±①点Q 的坐标为()016，或()016-，； 综上 点Q 的坐标为()016，或()016-，或()01，或()01-，． 10．（1）解：①该抛物线过点()02C -，①可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将()40A ，()10B ，代入 得1642020a b a b +-=⎧⎨+-=⎩解得1252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①此抛物线的解析式为215222y x x =-+-； （2）解：存在；设P 点的横坐标为m 则P 点的纵坐标为215222m m -+- 由题意 4m > 如图 4AM m =- 215222PM m m =-+①90COA PMA ∠=∠=︒ ①12PM OC AM OA ==或①2PM OA AM OC ==当12PM OC AM OA ==时 则21522422m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ 解得：1224m m ==， （都不符合题意 舍去）； 当2PM OA AM OC==时 则()21522422m m m -+=- 解得：1254m m ==，（4m =不符合题意舍去）此时 2152222m m -+-=- 则()52P -， 综上所述 符合条件的点P 为()52-，． 11．（1）解：把点()1,0A - ()3,0B 代入24y ax bx =+-中得：409340a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：4383a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则抛物线的表达式为则抛物线的表达式为：248433y x x -=-； （2）存在 理由如下：由抛物线解析式可知：点()0,4C - 设BC 的表达式为：4y kx =-将点B 的坐标代入上式得：034k =- 解得：43k = 则直线BC 的表达式为：443y x =- 设点4,43E x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 则点248,433M x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭则224484(4)(4)43333ME x x x x x =----=-+ ①403-< 故ME 有最大值 当32x =时 ME 的最大值为3 此时 点3,52M ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （3）存在 理由如下：DEB CEM M C E ∠=∠，，，为顶点的三角形和BDE △相似 ①当CME ∠为直角时则点C 、M 关于抛物线对称轴对称 而抛物线的对称轴为32x =则点()3,4M -；①当90ECM ∠=︒时 如图：由（1）得()0,4C - 设直线BC 的解析式为： 14y k x =- 把()3,0B 代入得1340k -=143k ∴= 设直线CM 的解析式为：24y k x =- 易知：121k k234k ∴=- 故直线CM 的表达式为：344y x =-- 联立抛物线表达式和上式得：248344334x x x --=-- 解得：0x =（舍去）或2316x =即点23325(,)1664M -； 综上 点M 的坐标为：23325,1664⎛⎫-⎪⎝⎭或()3,4-12．（1）解：令2132022x x -++= 解得11x =- 24x =①点A 在点B 的左侧①()10A -，()40B ， 将0x =代入213222y x x =-++ 可得：2y =①()02C ，； （2）证明：如图 过点D 作DD x '⊥轴于点D根据题意 可得：DD OC '∥①BDD BCO '∽ ①25BD DD BD BO CO BC ''=== ①()40B ，()02C ， ①4BO = 2CO =①2425BD DD ''== 解得85BD '= 45DD '= ①125OD BO BD ''=-=①12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线213222y x x =-++ 可知对称轴为直线32x = ①点C 、C '关于抛物线对称轴对称①()32C '，设直线C D '的解析式为()0y kx b k =+≠把()32C '，、12455D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式 可得：3212455k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：24k b =⎧⎨=-⎩ ①直线C D '的解析式为24y x =-；（3）解：①()02C ，①点C 关于x 轴的对称点M 的坐标为()02-，设直线BM 的解析式为()0y ax n a =+≠把()40B ，()02M -，代入解析式 可得：402a n n +=⎧⎨=-⎩ 解得：122a n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ①直线BM 的解析式为122y x =- 设点N 的坐标为()0m ， 则213222P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，、()12142Q m m m ⎛⎫--≤≤ ⎪⎝⎭， ①PQ x ⊥轴①OM PQ ∥①BMO BQP ∠=∠①90BOM ∠=︒ 而90BQP ∠<︒①可分以下两种情况：①如图2 连接BP 当90QBP MOB ∠=∠=︒时 PBQ BOM ∽①BPQ QBN ∠=∠①90BNP QNB ∠=∠=︒①BNP QNB ∽ ①PN NBBN NQ = ①21324221422m m mm m++-=-- ①()21324221442m m mm m ++-=-- ①21322224m m m ++=-解得：4m =或3m =检验：当4m =时 40m -= 等式不成立 且点B 、P 、Q 重合 BPQ 不存在此情况舍去；将3m =代入213222y x x =-++ 可得2y =①()32P ，； ①如图3 当90BPQ MOB ∠=∠=︒时 此时点P 与点A 、点N 重合 BOM BPQ ∽此时1m =- 点P 的坐标为()10-，； 综上所述 以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与BOM 相似时 点P 的坐标为()32，或()10-，．13．（1）解：①抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()3,0B -()1,0C ①936060a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得：24a b =⎧⎨=⎩①抛物线为：2246y x x =+-；（2）解：①2246y x x =+-当0x =时 y =-6①()0,6A -设直线AB 为y kx n =+①630n k n =-⎧⎨-+=⎩ 解得：26k n =-⎧⎨=-⎩①直线AB 为26y x =--设点P 的横坐标为()30t t -<<．①()2,246P t t t +- (),26D t t --①222624626PD t t t t t =----+=--当()63222t -=-=-⨯-时 PD 的最大值为：233926222⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）解：如图 连接AP①BDH ADP ∠=∠ 而DPA 与DHB △相似①分两种情况讨论：当DPA DHB ∽时 ①DP AP DH BH= 90APD BHD ∠=∠=︒ ①AP x ∥轴 OH AP =①A P 关于抛物线的对称轴对称①()3,0B - ()1,0C①抛物线的对称轴为直线3112x -+==- 而()0,6A - ①()2,6P --；如图 当DHB DAP ∽时 过A 作AQ PH ⊥于Q①AQ OH = 6AO QH ==设AQ OH n ==①DHB DAP ∽①90DHB DAP ∠=∠=︒①90ADP APD APQ QAP ∠+∠=∠+∠=︒①PAQ ADP ∠=∠由PH y ∥轴 可得ADP BAO ∠=∠①PAQ BAO ∠=∠ ①31tan tan 62PAQ BAO ∠=∠== ①12PQ AQ 即12PQ n = ①1,62P n n ⎛⎫--- ⎪⎝⎭ ①()()2124662n n n -+⨯--=-- 解得：74n =（0n =舍去） ①755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上：()2,6P --或755,48P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 14．（1）解：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将点(2,0)A - (3,3)B - (0,0)O 代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以函数解析式为：22y x x =+；（2）证明：①()22211y x x x =+=+-①抛物线的顶点C 的坐标为()1,1--①()0,0O ()3,3B -①()()22303018OB =--+-= ()()2210102OC =--+--=()()22313120BC =---+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ①222OB OC BC +=①BOC 是直角三角形；（3）解：假设存在点P 使以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似 如图设(,)P x y 由题意知0x > 0y > 且22y x x =+由（2）知 BOC 为直角三角形 90COB ∠=︒ 且:1:3OC OB = ①若PMA COB ∽ 则AM PM BO CO= 即223(2)x x x +=+ 得 113x = 22x =-（舍去） 当13x =时 79y = 即1(3P 7)9； ①若PMA BOC ∽AM PM OC BO= 即：223(2)x x x +=+ 得：13x = 22x =-（舍去）当3x =时 15y = 即(3,15)P ．①存在 当点P 坐标为17,39⎛⎫ ⎪⎝⎭或(3,15) 使得以P M A 为顶点的三角形与BOC 相似． 15．（1）解：①2616y ax ax a =--经过()04C ，①164a -= 解得14a =- ①213442y x x =-++； 令0y = 即2134=042x x -++ 解得：122,8x x =-=①()()2,0,8,0A B -（2）设直线BC 的关系式为y kx b =+ ()8,0B ()04C ，①408b k b =⎧⎨=+⎩解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ①直线BC 的方程为142y x =-+． 如图 过点P 作PG x ⊥轴于点G PG ，交CB 于点E①PG CO ∥①PED OCB ∠=∠又90PDE COB ∠=∠=︒①PDE BOC ∽△△ ①PD PE BO BC= ①8,4BO CO ==①BC =①BO PD PE PE BC =⨯ ①当线段PE 最长时 PD 的长度最大． 设213(4)42P t t t -++， 则1(,4)2E t t -+． 即213442PG t t =-++ 142EG t =-+． ①22112(4)444PE PG EC t t t =-=-+=--+()08t <<． 当4t =时 PE 有最大值是4 此时P 点坐标为()46，．①25854PD == 设1,42D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ①()2221854462m m ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得12125m m == ①111214442255m -+=-⨯+= 即点D 的坐标为121455⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ①①284OA OB OC ===，，①2222420AC =+= ()2228100AB =+= 2224880BC =+=． 可得222AC BC AB =＋．①90ACB ∠=︒．①COA BOC ∽．故当PDC △与COA 相似时 则PDC △与BOC 相似． ①PCD CBO ∠∠＝或PCD BCO ∠∠＝．（i ）如图 当PCD CBO ∠=∠时即PDC COB ∽①PCD CBO ∠=∠①CP AB ∥①()04C ，①4P y =． ①2134442t t -++= 解得1260x x ==，（舍）即PDC COB ∽时 (64)P ，； （ii ）当PCD BCO ∠=∠时 即PDC BOC ∽如图 过点P 作PG x ⊥轴于G 与直线BC 交于F①PF OC ∥①PFC BCO ∠=∠①PCD PFC ∠=∠①PF PC =. 设213(4)42P n n n -++， 则2124PF n n =-+ 过点P 作y 轴的垂线 垂足为N在Rt PNC △中 22222243213131344421644PC PN NC n n n n n n ⎡⎤=+=+-++-=-+⎢⎥⎣⎦（） ①22PF PC = 即2243211313(2)41644n n n n n -+=-+ 解得120=3=n n ， (舍)．即PDC BOC ∽时 25(3)4P ，． ①当PDC △与COA 相似时 点P 的坐标为(64)P ，或2534P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．。
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初三月考试题（二次函数，相似形）
一：选择（本大题共10个小题，满分20分。
）
1.抛物线y=x2向上平移两个单位后，抛物线的解析式变化为（）
A y=x2-2
B y=(x-2) 2
C y=x2+2
D y=(x+2) 2
2.已知点（1，2）在抛物线y=ax 2+b上，则下列各点也在此抛物线上的点是( )
A(2,1) B (-1,2) C (1,-2) D (-2,1)
3.把y=
2
1
x2-2x+１写成y=a(x-h)2+k的形式是（）
Ａy=
2
1
(x-2)2-1Ｂy=
2
1
(x-1)2+2Ｃy=
2
1
(x-1)2+
2
1
Ｄy=
2
1
(x-2)2-3
4.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-2，且它与x 轴的一个交点是（-3，0）则它与x
轴的另一个交点是（）
Ａ（-4，0）Ｂ（-1，0）Ｃ（1，0）Ｄ（0，0）
5.抛物线y=ax2+c与直线y=ax+c中同一坐标系中的图象是（）
A B C D
6.有长24cm的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的
宽为xcm面积是s, 则s与x的关系式是（）
A s= -3x2+24x
B s= -2x2+24x
C s=-3x2-24x
D s= -2x2+24x
7.如图，ＡＢ是斜靠在墙壁是的长梯，梯脚Ｂ距墙1.6m,梯上点Ｄ距墙1.4m
0.55m,则梯子的长是（）m.。
Ａ 3.85Ｂ 4.00Ｃ 4.40 Ｄ 4.50
8.如图，ＤＥ∥ＢＣ，Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ四边形ＢＣＤＥ，则ＡＤ∶ＢＤ的值是（）
Ａ 1 Ｂ
2
2
Ｃ2+1 Ｄ2-1
9.如图，在正方形网格上有6个斜三角形，
○1△ＡＢＣ○2△ＢＣＤ○3△ＢＤＥ○4△ＢＦＧ○5△ＦＧＨ
○6△ＥＦＨ，其中，○2-○6中与○1△ＡＢＣ相似的是
（）
Ａ○2○3○4Ｂ○3○4○5Ｃ○4○5○5Ｄ○2○3○6
10.△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＢＣ>ＡＣ，Ｄ是ＡＣ的中点，过点Ｄ做直线l,使截得的
三角形与原三角形相似，这样的直线L有（）条。
Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4 。
二：填空（本大题共8个小题，满分24分）
11.抛物线y=2x2+4x-6与x轴的交点坐标是，
与y 轴的交点坐标是。
12.抛物线y=x2-2bx+4的顶点在x上，则b的值是。
13. 某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的
一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为
米。
14.某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，每月可售出500
个。
根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果售价提高x元，
那么每月可获利元（用含有x的式子表示）
15.两个位似图形的对应边的比是2∶3，则位似中心到这两个位似图形一组对应
边的距离的比是。
16.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，点Ｄ在ＡＣ上，（Ｄ不与ＡＣ重合），若再增加
一个条件就能使△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ，则这个条件可以是。
17. 已知抛物线y=-2(x-3)2，抛物线的位置不动，将x轴向上平移２个单位，将
y轴向左平移３个单位，在新坐标系中，原抛物线的解析式
为。
18.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝24，ＡＣ＝18，Ｄ是ＡＣ上一点，ＡＤ＝１２，在ＡＢ
上取一点Ｅ，使Ａ、Ｄ、Ｅ三点组成的三角形与△ＡＢＣ相似，那么ＡＥ的长
是。
学
校
班
级
考
场
考
号
密
封
线
内
不
得
答
题
三．本大题共76分。
19．小王用下面的方法来测量某发射塔的高度，如图，在地面上放一面镜子，她刚好从镜子里面看到塔的顶端，她的眼睛离地面的距离ＡＢ是1.25米，他与镜子的距离是1.50米，与塔底部的距离是181.5米，求塔高。
20.小杰和小华分别叙述了某抛物线的特征。
（1）小杰：抛物线与x轴只有一个交点。
（2）小华：抛物线过点（2，3）和（3，12）
你能求出该抛物线的解析式吗？21.一块等腰直角三角形的废料如图，ＡＣ＝ＢＣ＝８cm, ∠C=90º,用这块废料剪出一个矩形ＣＤＥＦ，其中点ＤＥＦ分别在ＡＣ、ＡＢ、ＢＣ、上，要使剪出的矩形的面积最大，点Ｅ应在何处？
22.观察下面由火柴搭成的几何图案和对应的火柴根数。
每边上的火柴根数图形每个图形的火柴棒总数
1
4
2 12
3
24
440
（1）当每边上的火柴数为5根时，火柴总数是。
（2）用n表示各个图形中边上的火柴数，s表示每个图形的火柴总数，s与n的关系式是什么？
23.在一次篮球比赛中，队员大风正在投篮，已知球出时离地面高
9
20米，与篮
圈的中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时达到最大高度为4米，设篮球的运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米。
（1）建立如图的平面直角坐标系，问此球能否投中？
（2）若此时对方队员正好在大风前面的1米处跳起封盖，已知该队员的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？
24.如图，平等四边行ＡＢＣＤ中，E 是ＡＤ上一点，连接ＣＥ交ＢＤ与Ｆ。
（1）当Ｅ是ＡＤ中点时，求出BCD
DEF S S 的值。
（2）当DE=
3
1ＡＤ时，
BCD
DEF S S = .
当DE=
4
1ＡＤ时，
BCD
DEF S S = .
（3）当DE=n
1ＡＤ时，求出
BCD
DEF S S 的值。
学校 班级 考场 考号
密 封 线 内 不 得 答 题
25.有一种葡萄，从树上摘下来以后不保鲜最多只能存放一周，如果放在冷藏室，可以延长保鲜时间，但每天仍有一定数量的葡萄变质。
设保鲜期内的个体重量基本保持不变，现有经营者，按市场价收购了这种葡萄２00千克，如果市场价此时是每千克2元，据估计，此后每天每千克葡萄价格会上涨0.2元，但存放一天需要各种费用20元，平均每天还有一千克变质丢弃。
（1）设x天后每千克葡萄的价格为p元，写出p与x之间的函数关系式。
（2）若存放x天后将葡萄一次性售出，设销售总金额为y元，写出y与x之间的函数关系式。
（3）该经营者将这批葡萄存放多少天后售出，可以获得最大利润，最大利润是多少？
26.矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２厘米，ＢＣ＝６厘米，点Ｐ沿ＡＢ边从点Ａ开始向Ｂ以2厘米/秒的移动，点Ｑ沿ＤＡ边从点Ｄ开始向Ａ以2厘米/秒的移动，如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t表示运动时间（0≤t≤6秒）
（1）当t为何值时，△ＰＡＱ是等腰直角三角形。
（2）求四边形ＱＡＰＣ的面积。
（3）当t为何值时，以ＱＡＰ三点为顶点的三角形和△ＡＢＣ相似。