《一元二次不等式的应用》课件1(北师大版必修5)

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北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt

x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2) x1=x2
ax2+bx的+c解>集0（a>0﹛）x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
例：解不等式：3x2 5x 2 0
例：解不等式： 9x2 6x 1 0
例：解不等式： x2 4x 5 0
例：解不等式： 2x2 x 1 0
例：解不等式： x2 4x 4 0
典例精讲：
例2：已知不等式 ax2 bx的解1 集0
是
，x求3 实x数 4 的值. a, b
例：设A，B分别是不等式3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x的 5解集0 ，试求
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：
(1).当x取 _____x_=__-1__或3时，y=0？当x取 ______-1_<_x_<_3 时，y<0？当x取 ___x_<_-_1__或__ x时>3，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出不等式x2-2x-3 <0 的解集
为
﹛x|-1<x<3﹜
例：已知ax2 (1 a)恒x 成1 立0，
求a的取值范围。
解：不等式恒成立，即解集为R
y
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0

高中数学第一部分第三章 §2 2.2 一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

①(－∞，0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2，＋∞)．
提示：①f(x)＜0；②f(x)＞0；③f(x)＜0；④f(x)＞0.
高次不等式的解法
对于形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0(＜0)的不等式，可
以把函数f(x)的图像与x轴的交点形象地看成“ 针眼 ”，函数f(x)的图像看成“ 线 ”，穿线后观察图像得到不等式解集的方法称为穿针引线法．
于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，
解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车
的车速超过40 km/h，超过规定限速．综上所述，甲车无超速现象，而乙车有超速现象．
8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成
本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为 1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
母的正负进行讨论．
2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解
不等式时，要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意变量的实际意义．
答案：(－4,2)
x＋1 3．解不等式 ≤2. x－2
x＋1 解：法一：移项得－2≤0， x－2 左边通分并化简得－x＋5 x－5 ≤0，即 ≥0， x－2 x－2
x－2x－5≥0，可转化为 x－2≠0
∴x＜2 或 x≥5， ∴原不等式的解集为{x|x＜2，或 x≥5}．
[一点通]
一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法
求解，其步骤是
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；

《2.2 一元二次不等式的应用》课件1-优质公开课-北师大必修5精品

2- x
C ).
2 已知集合 A={x|3x-2-x <0},B={x|x-a<0}且 B⊆A,则 a 的取值 2 范围是( A ). A.a≤1 B.1<a≤2 C.a>2 D.a≤2
【解析】由题意得 A={x|x<1 或 x>2},B={x|x<a}, ∵B ⊆ A,∴a≤1.
3 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,
��
2 2
x 2 -8x+20
简单的高次不等式解法解不等式:(x-1)(3-x)(x+ )<0.
2 1
��
【解析】将原不等式化为(x-1)(x-3)(x+ )>0, 令 y=(x-1)(x-3)(x+ ),则 y=0 的根为 1,3,- ,将其分别标在数轴
《2.2 一元二次不等式的应用》
课件1
1.熟悉简单的一元高次不等式和分式不等式的解法. 2.理解一元二次方程根的分布问题.
3.会用一元二次不等式解决实际问题.
上一课时我们共同学习了一元二次不等式的解法,并能解简单的一元二次不等式,一元二次不等式及其解法是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究一元二次不
一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又
过);
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出
不等式
的解集
.
由上归纳出重要步骤:①化标(化成标准形式);②找根;③标根 ;④串根(奇透偶不透).
问题2
f(x)·g(x) ≥ 0, (3)g (x )≥0⇔ g(x) ≠ 0. f(x)·g(x) ≤ 0, f (x ) (4) ≤0⇔ g (x ) g(x) ≠ 0.

高中数学第三章不等式2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

2 S乙＝0.05x乙＋0.005 x乙 >10.
解答
2 甲 >12，
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40. 由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h. 经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
类型二例2 解下列不等式： x－3 (1) <0；解答 x＋2
分式不等式和高次不等式的解法
x－3 <0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， x＋2 ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}.
x＋1 (2) ≤1；解答 2x－3
x＋1 x＋1 －x＋4 x－4 ∵ ≤1，∴ －1≤0，∴ ≤0，即 3≥0. 2x－3 2x－3 2x－3 x－2
3 此不等式等价于(x－4)x－2 ≥0
1 1 ∴x<－3或 x≥2，
1 1 ∴原不等式的解集为xx<－3或x≥2 .
2 －x ≥0. 3x＋1
解答
类型三
不等式的恒成立问题
例3 设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；解答要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，显然－1<0，满足题意；
知识点二
穿针引线法解高次不等式
思考
分别画出y＝x－1，y＝(x－1)(x－2)，y＝(x－1)(x－2)(x－3)的图像，并观察它们与相应的 x － 1>0 ， (x － 1)(x － 2)>0 ， (x － 1)(x－2)(x－3)>0的关系.
答案
梳理
一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图像是一条连续不断的曲线，且

3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修五)

必修5
思想方法技巧当堂双基达标
课时作业
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BS ·数学
教学教法分析教学方案设计课前自主导学
必修5
思想方法技巧当堂双基达标
1. 会求解方程根的存在性问题和不课标解读等式恒成立问题(重点、难点). 2. 会解简单的分式不等式和简单的高次不等式(重点).
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菜
单
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●教学建议解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种： f （x ） f （x ） (1) >0⇔ f (x )g(x )>0；(2) <0⇔ f (x )g(x )<0； g（x ） g（x ） f （x ） f （x ） (3) ≥ 0⇔ f (x )g(x ) ≥ 0 且 g(x ) ≠ 0 ； (4) ≤ g（x ） g（x ） 0⇔ f (x )g(x )≤0 且 g(x )≠0.
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高中数学必修五北师大版一元二次不等式的应用课件(60张)

不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．
规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”，如上图.
解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0. 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次或二次因
【尝试解答】设f(x)＝x2＋(a＋1)x＋2a. (1)若方程的两根均大于1，如图1所示，则有 Δ≥0 f1>0 a＋1 － 2 >1 a＋12－8a≥0 ⇒2＋3a>0 a<－3
a≥3＋2 2或a≤3－2 2 2 ⇒a>－3 a<－3 解得a∈∅，即不存在．
高次不等式的解法
【例2】
解下列不等式．
(1)x3－2x2＋3<0； (2)(x＋1)(1－x)(x－2)>0； (3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
【思路探究】
通过因式分解，把高次不等式化为一
元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．
【尝试解答】
(1)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋
第三章
不等式
§2
一元二次不等式
2.2 预习篇
一元二次不等式的应用
巩固篇
课堂篇
课时作业提高篇
学习目标
1.掌握一元二次方程根的分布问题. 2.会解简单的分式不等式与一元高次不等式. 3.能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题.
重点难点
重点：让学生体会问题的转化过程. 难点：体现在形式的转化与方法的转化.

3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)

• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
1 {2} 1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
解析：
原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
1 1 ∴x＜－3或 x＞2.
答案： A
x－1 2．不等式 log2 x ≥1 的解集为( A．(－∞，－1] C．[－1,0)
)
B．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
x－1 x＋1 解析：由已知得 x ≥2，即 x ≤0，由此解得－1≤x＜0.
其解集如图的阴影部分．
• ∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或
x>2}．
x2－4x＋1 x2－4x＋1－3x2＋7x－2 (2) 2 <1⇔ <0 3x －7x＋2 3x2－7x＋2 －2x2＋3x－1 2x－1x－1 ⇔ 2 <0⇔ >0 3x －7x＋2 3x－1x－2 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
1.解不等式： (1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0； x2－4x＋1 (2) 2 ＜1； 3x －7x＋2 x2－2x＋1 (3) 2 ≥0. x ＋9x－10

一元二次不等式的应用(一)课件(北师大版必修五)

返回
即f(x)>0，其中f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an，将f(x)分解为若干个一次因式的积
a0(x-x1)(x-x2)…（x-xk）>0，其中a0>0，x1<x2<…<xk-1<xk(1≤k≤n)，如图所示.
这个k值将数轴分为k+1个区间（xk，+∞）,(xk1,xk),(xk-2,xk-1),…这k+1个区间从右到左依次编号为第 1，2，3，…，k+1号，那么f(x)>0的解集为第1，3， 5，…奇数号区间的并集.
【分析】对于高次不等式f(x)<0(或f(x)>0)的题目，若f(x)
可分解为几个含x的一次因式，则可利用列表法或穿针引线法.
返回
【解析】 (1)解法一：∵(x-6)2≥0, ∴x2-4≤0, 解x2-4≤0，得-2≤x≤2,但x=6符合题意，
{x|-2≤x≤2}, 又∵6
∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤2或x=6}.
x+2 x-1 x-5 x-6
(x - 1)(x - 5) (x 2)(x - 6)
+
-
+
-
+
由上表可知，原不等式解集是{x|x<-2或1<x<5或x>6}.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
返回
【分析2】这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组：

x2-6x+5<0 12+4x-x2>0
3.不等式的应用问题包括实际应用问题、根的分布问
题、恒成立问题等.

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分析：
令y=x 2 -2x-3，得到一元二次函数。
求得x2-2x-3＝0的两根为x1=-1，x2=3 所以二次函数y=x2-2x-3的图象如图:
y y=x2-2x-3
-1
o
x 3
问题探究：
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下： (1).当x取当x取当x取
x= -1 或3 __________ -1<x<3 __________ x<-1 或 x>3 __________
（2）确定不等式的解集：
ax2 bx c 0 的解集就是确定函数 y ax2 bx c
图像在X轴下方时，其x的取值范围
2 的解集就是确定函数 y ax bx c ax bx c 0
2
图像在X轴上方时，其x的取值范围
一元二次不等式解集表（a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象方程 x2+bx+c=0 的根 ⊿>0
例：求x 2 x 3 0的根
2
方法一：
(2) (2) 4 (3) x 1 2 x1 1, x2 3 2
2
方法二： 2
x 2x 3 ( x 1) 4 0,( x 1) 4
2 2
x 1 2,即x 1 2, x1 1, x2 3
2
例：解不等式：9 x 6 x 1 0
2
例：解不等式： x 4 x 5 0
2
例：解不等式：
2x x 1 0
2
例：解不等式：
x 4x 4 0
2
典例精讲：
例2：已知不等式 ax bx 1 0 的解集是 x 3 x 4 ，求实数 a, b 的值.
又a 0
a的取值范围为 3 2 2 a 3 2 2
练一练
• P78－练习1第3题 • P80－练习2第3题
小结
（1）不等式的解集的运算：注意利用数轴进行集合的交集和并集的运算（2）含参变量的不等式问题：注意区分自变量和参变量注意比较两根的大小，利用分类讨论的数学思想求参变量的取值问题，借助二次函数的图像，利用数形结合的数学思想
当a<0时图像 y 0
x
y
0
y 0
O
x1
x2
O
b 2a
x
O
x
一元二次不等式定义：
定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数
是二次的不等式叫做一元二次不等式. 形如: ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(a≠0)
问题：如何解一元二次不等式呢？
例：解一元二次不等式x2-2x-3<0
2.2-1 一元二次不等式
复习一元二次方程复习一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)
0方程有两个不等的根 0方程有一个根
0方程没有根
求根的方法：（1）公式法 X=
b 2 4ac b 2 0 （2）配方法，化为顶点式 a( x 2a ) 4a
（3）十字相乘法
x1 m, x2 m 1
m m 1
原不等式的解集为x m x m 1
例：解关于x的不等式：
x (1 a) x a 0
2
解：
方程x (1 a) x a 0的解为：
2
x1 1, x2 a (1)当a 1时，原不式的解集为（ ,1); a (2)当a 1时，原不式的解集为
( (3)当a 1时，原不式的解集为1, a)
例：已知 ax (1 a) x 1 0 恒成立，求a的取值范围。
2
解：不等式恒成立，即解集为R
a 0, 0
O
y
y ax2 (1 a) x 1 的大致图像如图：
x
由 (1 a) 2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
时，y=0？时，y<0？时，y>0?
y y=x2-2x-3 y>0
(2).由图象写出不等式x2-2x-3 <0 的解集为 ———————— 不等式x2-2x-3<0 的解集
﹛x|-1<x<3﹜
o
-1 y<0 3
x
为
﹛x|x<-1或x>3﹜
————————
归纳:
（1）先画出对应函数的图像
如何利用二次函数解二次不等式 ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 呢？
方法三： 2
x 2x 3 ( x 1)(x 3) 0, x1 1, x2 3
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)
当a>0时图像 y
y y
O
x1
x2
x
O
b 2a
x
O
x
0
0
0
复习一元二次函数
复习一元二次函数:y=ax2+bx+c(a≠0)

2
例：设A，B分别是不等式 3x 6 19x 与不等式 2 x 2 3x 5 0 的解集，试求 A B, A B.
2
解：由3x 2 6 19x，得3x 2 19x 6 0
1 解得：A＝ x x 6 3 2 由－2 x 3x 5 0解得 B x 1 x
y
⊿=0
y
⊿<0
y
x1
x2
x
x1(x2) x 无实根
x
有两个不等实有两个相根等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜ ﹛x|x≠x1﹜ 的解集
R ΦΒιβλιοθήκη ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
例：解不等式：3x 5x 2 0
5 2
1 5 A B x x A B x 1 x 6 2 3

例：解关于x的不等式： 2 2 x (2m 1) x m m 0
解：
含参变量的不等式
方程x 2 (2m 1) x m 2 m 0的解为：