2012-2015年上海高考数学试卷
2012上海市高考数学试卷及参考答案
1. 计算：设i 为虚数单位，则31ii-=+ . 2.（理）若集合{}|210A x x =+>，{}|1|2B x x =-<，则A B = . 3.（理）函数2()1cosx f x sinx=-的值域是 .4.（理）若(2n =-，1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 .5.（理）在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 .6.（理）有一列正方体，其棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为1V ，2V ，⋅⋅⋅，n V ，⋅⋅⋅，则12()n n lim V V V →∞++⋅⋅⋅+= .7.（理）已知函数||()x a f x e -=，a 为常数. 若()f x 在区间[1，)+∞上是增函数，则a 的取值范 围是 . 8.（理）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9.（理）已知2()y f x x =+是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1f =，则(1)g -=.10.（理）如图所示，在极坐标系中，过点(2M ，0)的直线l 与极轴的 夹角6πα=， 若将直线l 的极坐标方程写成()f ρθ=的形式，则()f θ= .11. 三位同学参加跳远、跳高、铅球项目的比赛. 若每人只选择一个项目，则有且仅有两人选择的项目相同的概率是 . 12.（理）在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅ 的取值范围是 . 13.（理）已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0A ，0)、1(2B ，5)、(1C ，0)，那么函数()(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积为 . 14.（理）如图所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =. 若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=， 其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 .15. 若12i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-α lxOMDCBAC ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =16. 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mxny +=的曲线是椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17. （理）设412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =. 随机变量1ξ取值1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的 概率均为0.2，随机变量2ξ取值122x x +，232x x +，342x x +，452x x +，512x x +的 概率均为0.2. 若记1D ξ、2D ξ分别是随机变量1ξ、2ξ的方差，则（ ）A ．12D D ξξ>B ．12D D ξξ= C ．12D D ξξ<D ．1D ξ与2D ξ的大小关系和1x ，2x ，3x ，4x 取值有关 18.（理）设125n n a sin n π=，12n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 则在1S ，2S ，⋅⋅⋅，100S 中，正数的个数（ ）A ．25B ．50C ．75D ．10019.（理）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC的中点. 已知2AB =，22AD =，2PA =.①求PCD 的面积；②求异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20. 已知函数()(1)f x lg x =+.①若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围；②如果()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =(12)x ≤≤的反函数.21. 海事救援船对一艘失事船只进行定位：以失事船只的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，且以1海里为单位长度. 则救援船只恰好在失事船只正南方向12海里A 处，如图所示. 现假设：失事船只的移动路径可视为抛物线21249y x =，定位后救援船只立即沿直线匀速前往救援，且救援船只出发t 小时后，失事船只所在位置的横坐标为7t .①当0.5t =时，写出失事船只所在位置P 的纵坐标. 若此时两船PyxOABCPDE恰好会合，求救援船只速度的大小和方向；②问救援船只的时速至少是多少海里才能追上失事船只？ 22.（理）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C xy -=.①过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；②设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；③设椭圆222:41C xy +=，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离为定值.23.（理）对于数集{1X=-，1x ，2x ，⋅⋅⋅，}n x ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向 量集{|(Y a a s == ，)t ，s X ∈，}t X ∈，若对任意的1a Y ∈ ，存在2a Y ∈，使得 120a a ⋅=，则称X 具有性质P . 例如，{1-，1，}2具有性质P .①若2x >，且{1-，1，2，}x 具有性质P ，求x 的值；②若X 具有性质P ，求证：1X ∈，且当1n x >时，11x =；③若X 具有性质P ，且11x =，2x q =，q 为常数，求有穷数列1x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的通 项公式.——————————————————参考答案（理） 1.12i -2. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭3.53,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 4. 2arctan 5. 160-6. 877.(],1-∞8.33π 9.1-10.16sin πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 2312. []2,513. 54 14. 22213c a c -- 15.B16. C 17. A 18.D19. ①23 ②4π 20. ①21,33⎛⎫-⎪⎝⎭②310(02)x y x lg =-≤≤21. ①速度为949海里/小时，方向为北偏东 730arctan 弧度 ②2522. ①28②略③定值为3323. ①4②略 ③1(1,2,,)k k x q k n -==⋅⋅⋅。
2012年上海高考理科数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： （ 为虚数单位）．．（ 上海）若集合 ＞ ， ﹣ ＜ ，则 ．．（ 上海）函数 （ ） 的值域是 ．．（ 上海）若 （﹣ ， ）是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．．（ 上海）在的二项展开式中，常数项等于．．（ 上海）有一列正方体，棱长组成以 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 ， ， ， ， ，则（ ）．．（ 上海）已知函数 （ ） ﹣ （ 为常数）．若 （ ）在区间 ， ）上是增函数，则 的取值范围是 ．．（ 上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 ．．（ 上海）已知 （ ） 是奇函数，且 （ ） ，若 （ ） （ ） ，则 （﹣ ） ．．（ 上海）如图，在极坐标系中，过点 （ ， ）的直线 与极轴的夹角 ，若将 的极坐标方程写成 （ ）的形式，则 （ ）．．（ 上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．．（ 上海）在平行四边形 中， ，边 、 的长分别为 、 ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则的取值范围是 ．．（ 上海）已知函数 （ ）的图象是折线段 ，其中 （ ， ）、 （， ）、 （ ， ），函数 （ ）（ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 ．．（ 上海）如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，，若 ，且 ，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最大值是 ．二、选择题（ 分）：．（ 上海）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（）． ， ． ﹣ ， ． ﹣ ， ﹣ ． ， ﹣．（ 上海）在 中，若 ＜ ，则的形状是（）．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不能确定．（ 上海）设 ＜ ＜ ＜ ， ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值、、、、的概率也均为 ，若记 、 分别为 、的方差，则（）． ＞．． ＜． 与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关．（ 上海）设 ， ，在 ，， 中，正数的个数是（）． ． ． ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 上海）如图，在四棱锥 ﹣ 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：（ ）三角形 的面积；（ ）异面直线 与 所成的角的大小．．（ 上海）已知 （ ） （ ）（ ）若 ＜ （ ﹣ ）﹣ （ ）＜ ，求 的取值范围；（ ）若 （ ）是以 为周期的偶函数，且当 时， （ ） （ ），求函数 （ ）（ ， ）的反函数．．（ 上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系（以 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 海里 处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为（ ）当 时，写出失事船所在位置 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（ ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？．（ 上海）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ﹣．（ ）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；（ ）设斜率为 的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；（ ）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值．．（ 上海）对于数集 ﹣ ， ， ， ， ，其中 ＜ ＜ ＜ ＜ ， ，定义向量集 （ ， ）， ， ，若对任意，存在，使得，则称 具有性质 ．例如 ﹣ ， ， 具有性质 ．（ ）若 ＞ ，且 ﹣ ， ， ， 具有性质 ，求 的值；（ ）若 具有性质 ，求证： ，且当 ＞ 时， ；（ ）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 ， ， ， 的通项公式．年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： ﹣ （ 为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年上海高考理科数学试卷及解析汇报
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= _________ （i为虚数单位）．2．（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B= _________ ．3．（2012•上海）函数f（x）=的值域是_________ ．4．（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________ （结果用反三角函数值表示）．5．（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于_________ ．6．（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________ ．7．（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________ ．8．（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________ ．9．（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）= _________ ．10．（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）= _________ ．11．（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________ （结果用最简分数表示）．12．（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________ ．13．（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C （1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________ ．14．（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________ ．二、选择题（20分）：15．（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定17．（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18．（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100三、解答题（共5小题，满分74分）19．（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．20．（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．21．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN 的距离是定值．23．（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（2012•上海）计算：= 1﹣2i （i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1．（4分）（2012•上海）计算：=1﹣2i（i为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i，再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分）（2012•上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=（﹣，3）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意A={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，B={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，所以A∩B=（﹣，3）故答案为（﹣，3）点评：本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3．（4分）（2012•上海）函数f（x）=的值域是．考点：二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域．解答：解：f（x）==﹣2﹣sinxcosx=﹣2﹣sin2x∵﹣1≤sin2x≤1∴﹣≤﹣sin2x≤则﹣≤﹣2﹣sin2x≤﹣∴函数f（x）=的值域是故答案为：点评：本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．4．（4分）（2012•上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）．考点：平面向量坐标表示的应用．专题：计算题．分析：根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据k=tanα可求出倾斜角．解答：解：∵=（﹣2，1）是直线l的一个法向量∴可知直线l的一个方向向量为（1，2），直线l的倾斜角为α得，tanα=2∴α=arctan2故答案为：arctan2点评：本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题．5．（4分）（2012•上海）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．6．（4分）（2012•上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═．考点：数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+…+v n）==故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7．（4分）（2012•上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．考点：指数函数单调性的应用．专题：综合题．分析：由题意，复合函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数可得出内层函数t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数，又绝对值函数t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数，可得出[1，+∞）⊆[a，+∞），比较区间端点即可得出a的取值范围解答：解：因为函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t=|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]点评：本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型．8．（4分）（2012•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（4分）（2012•上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（﹣1）=﹣1．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题．分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（﹣1）=﹣3，再将其代入g（﹣1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型．10．（4分）（2012•上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ，在三角形POM中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求．解答：解：取直线l上任意一点P（ρ，θ），连接OP，则OP=ρ，∠POM=θ在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得ρ=f（θ）=故答案为：点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及正弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题．11．（4分）（2012•上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是[2，5]．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．解答：解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设==λ，λ∈[0，1]，M（2+），N（），所以=（2+）•（）=﹣λ2﹣2λ+5，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故答案为：[2，5]．点评：本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力．13．（4分）（2012•上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点：函数的图象．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：根据题意求得f（x）=，从而y=xf（x）=，利用定积分可求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．解答：解：由题意可得，f（x）=，∴y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（﹣10x2+10x）dx=10×+（﹣10）×+10×=﹣+5﹣==．故答案为：．点评：本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题．14．（4分）（2012•上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE 都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．解答：解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD 是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：×=．故答案为：．点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题（20分）：15．（5分）（2012•上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；转化思想．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16．（5分）（2012•上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17．（5分）（2012•上海）设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量ξ1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值、、、、的概率也均为0.2，若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则（）A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1=Dξ2C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：根据随机变量ξ1、ξ2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，即可求得结论．解答：解：由随机变量ξ1、ξ2的取值情况，它们的平均数分别为：=（x1+x2+x3+x4+x5），=（++++）=且随机变量ξ1、ξ2的取值的概率都为0.2，所以有Dξ1＞Dξ2，故选择A．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式．记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题．18．（5分）（2012•上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期T=50由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0且sin，sin…但是f（n）=单调递减a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，故选D点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．三、解答题（共5小题，满分74分）19．（12分）（2012•上海）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．考点：直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．专题：证明题；综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2，最后得到三角形PCD的面积S；（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而=（1，，1），=（0，2，0），利用空间向量数量积的公式，得到与夹角θ满足：cosθ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为；[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴CD⊥PA．∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．∴CD⊥平面PDA，∵PD⊂平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．∵Rt△PAD中，AD=2，PA=2，∴PD==2．∴三角形PCD的面积S=×PD×DC=2．（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2，0），E（1，，1）．∴=（1，，1），=（0，2，0），设与夹角为θ，则cosθ===，∴θ=，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF、AC，∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．∵Rt△PAC中，PC==4．∴AE=PC=2，∵在△AEF中，EF=BC=，AF=PB=∴AF2+EF2=AE2，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEF=，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为．点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．20．（14分）（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈[0，lg2]，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分）（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中，可得P的纵坐标，利用|AP|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2），从而可得vt=，整理得，利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），推出直线OM的方程为y=，利用，求出，，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=．推出O到直线MN的距离是定值．解答：解：（1）双曲线C1：左顶点A（﹣），渐近线方程为：y=±x．过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求三角形的面积为S=．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=2，由，得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（x1+b）（x2+b）．所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2=b2﹣2=0．故PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），则直线OM的方程为y=，由得，所以．同理，设O到直线MN的距离为d，因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以==3，即d=．综上，O到直线MN的距离是定值．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．（18分）（2012•上海）对于数集X={﹣1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y={=（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，x n的通项公式．考点：数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题．专题：计算题；证明题；综合题；压轴题．分析：（1）在Y中取=（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取=（x1，x1），=（s，t）根据，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n．记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n；[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于，得到一正一负的特征，再记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得==…=，最终得到数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．解答：解：（1）选取=（x，2），则Y中与垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．（2）取=（x1，x1）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，假设x k=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n．再取=（x1，x n）∈Y，设=（s，t）∈Y，满足，可得sx1+tx n=0，所以s、t异号，其中一个为﹣1①若s=﹣1，则x1=tx n＞t≥x1，矛盾；②若t=﹣1，则x n=sx1＜s≤x n，矛盾；说明假设不成立，由此可得当x n＞1时，x1=1．（3）[解法一]猜想：x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n记A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}，k=2，3，…，n先证明若A k+1具有性质P，则A k也具有性质P．任取=（s，t），s、t∈A k，当s、t中出现﹣1时，显然有满足当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．因为A k+1具有性质P，所以有=（s1，t1），s1、t1∈A k+1，使得，从而s1、t1其中有一个为﹣1不妨设s1=﹣1，假设t1∈A k+1，且t1∉A k，则t1=x k+1．由（s，t）（﹣1，x k+1）=0，得s=tx k+1≥x k+1，与s∈A k矛盾．所以t1∈A k，从而A k也具有性质P．再用数学归纳法，证明x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n当n=2时，结论显然成立；假设当n=k时，A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，则x i=q i﹣1，i=1，2，…，k 当n=k+1时，若A k+1═{﹣1，x1，x2，…，x k+1}具有性质P，则A k═{﹣1，x1，x2，…，x k}具有性质P，所以A k+1═{﹣1，q，q2，…，q k﹣1，x k+1}．取=（x k+1，q），并设=（s，t）∈Y，满足，由此可得s=﹣1或t=﹣1若t=﹣1，则x k+1=，不可能所以s=﹣1，x k+1=qt=q j≤q k且x k+1＞q k﹣1，因此x k+1=q k综上所述，x i=q i﹣1，i=1，2，3，…，n[解法二]设=（s1，t1），=（s2，t2），则等价于记B={|s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣x n}，共有n﹣1个数．所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．由于＜＜＜…＜，已经有n﹣1个数对以下三角形数阵：＜＜＜…＜，＜＜＜…＜…注意到＞＞＞…＞，所以==…=从而数列的通项公式是x k=x1•（）k﹣1=q k﹣1，k=1，2，3，…，n．点评：本题以向量的数量积的坐标运算为载体，着重考查了数列的通项公式的探索、集合元素的性质和数列与向量的综合等知识点，属于难题．本题是一道综合题，请同学们注意解题过程中的转化化归思想、分类讨论的方法和反证法的运用．。
2012上海高考数学
2012上海高考数学前言高考是每个学生都会面临的一次重要考试，其中数学科目一直是考生们普遍认为难度较大的科目之一。
本文将会对2012年上海高考数学试卷进行解析和总结，帮助考生更好地了解考试内容和解题技巧。
第一部分选择题在2012年上海高考数学试卷中，选择题占据了一大部分，这部分包括单选题和多选题，题目涵盖了数学的各个领域知识。
以下是部分选择题的解析和考点分析。
单选题1.题目：已知等差数列a1, a2, a3，a1+a3=10, a4-a1=12，则a2的值是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a1+a2=10，a2+a3=a1+2d，其中d为等差数列的公差。
通过解方程我们可以得到a2的值。
考点：等差数列的性质和解方程的能力。
2.题目：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B的元素个数是多少？解析：集合的并集即为两个集合合并在一起的元素，去除重复的元素。
通过统计集合A和集合B的元素个数，并去除重复的元素，即可得到A∪B的元素个数。
考点：集合的基本概念和操作。
多选题1.题目：已知函数f(x)=ax²+bx+c，若f(1)=0，f(-1)=-2，f(2)=4，则下列说法正确的是（） A. a = 1, b = -1, c = 0 B. a = 1, b = 0, c = -1 C. a = -1, b = 1, c = 0 D. a = -1, b = 0, c = 1 解析：根据已知条件，我们可以列出方程组来求解a、b、c的值。
通过代入f(1)=0，f(-1)=-2，f(2)=4，我们可以筛选出正确的选项。
考点：函数的性质和求解方程的能力。
2.题目：已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则下列说法正确的是（）A. A∩B={1} B. A∩B={2, 3} C. A∩B={2} D. A∩B={2, 3, 4} 解析：集合的交集即为两个集合共有的元素。
2015年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(上海卷)试题及点评
【解读报告作者】姓 名：邵红能工作单位：上海市城市科技学校2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=， 且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b .B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c b .D ．1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形.B ．直角三角形.C ．钝角三角形.D ．不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >.B ．21ξξD D =.C ．21ξξD D <. D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关.18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25. B ．50. C ．75. D ．100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）. 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-. 故答案为)3,21(-. 3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 .【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--. 故答案为]23,25[--.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan . 故答案为2arctan .5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【解析】二项展开式的通项为k kk k k kk x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T .故答案为160-.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78. 故答案为78.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）．若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .【解析】令a x t -=，则a x t -=在区间),[+∞a 上单调递增，而te y =为增函数，所以要是函数ax e x f -=)(在),1[+∞单调递增，则有1≤a ，所以a 的取值范围是]1,(-∞.故答案为]1,(-∞.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .【解析】因为半圆面的面积为ππ2212=l ，所以42=l ，即2=l ，即圆锥的母线为2=l ，底面圆的周长πππ22==l r ，所以圆锥的底面半径1=r ，所以圆锥的高322=-=r l h ，所以圆锥的体积为πππ33331313=⨯=h r . 故答案为π33. 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【解析】因为2)(x x f y +=为奇函数，所以22)()(x x f x x f --=+-，所以22)()(x x f x f --=-，32)1()1(=+=f g ，所以1)1(22)1(2)1()1(-=-=+--=+-=-f f f g . 故答案为1-.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=， 若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .【解析】设直线上的任一点为P ),(θρ,因为6π=∠PAB ,所以θπ-=∠6OPA , 根据正弦定理得OPAOAOAP OP ∠=∠sin sin , 即)6sin(2)6sin(θπππρ-=-，即)6sin(1)6sin(6sin2θπθππρ-=-=．故答案为)6sin(1θπρ-=.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .【解析】设CDCN BCBM==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,)1(λ-==)1(λ-，则AN AM ⋅=))((DN AD BM AB ++=])1()[(λλ-++ =⋅+2)1(λ-+2λ+⋅-)1(λ, 又∵⋅=2×1×3cosπ=1，2=4，2=1，∴AM ⋅=6)1(5222++-=+--λλλ，∵0≤λ≤1，∴2≤AM ⋅≤5，即⋅的取值范围是[2,5]. 故答案为[2,5].13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ， 函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【解析】当210≤≤x ，线段AB 的方程为x y 10=，当121≤<x 时． 线段BC 方程为121150--=--x y ， 整理得1010+-=x y ，即函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(x x x x x f y ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤==121,1010210,10)(22x x x x x x xf y ，函数与x 轴围成的图形面积为dx x x dx x )1010(102121212+-=+⎰⎰12123213)5310(310x x x +-+=45=. 故答案为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最 大值是 ．【解析】过点A 做AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，由AD ⊥BC 可知，BC ⊥平面ADE ， 所以BC S V V V ADE ADE C ADE B ⋅=+=--31=ADE S 32， 当AB=BD=AC=DC=a 时，四面体ABCD 的体积最大.过E 做EF ⊥DA ，垂足为点F ，已知EA=ED ，所以△ADE 为等腰三角形，所以点E 为AD 的中点，又12222-=-=a BE AB AE ，∴EF=12222--=-c a AF AE ，∴ADE S =EF AD ⋅21=122--c a c ， ∴四面体ABCD 体积的最大值=max V ADE S 32=13222--c a c .故答案为13222--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c b B ．3,2=-=c b C ．1,2-=-=c b D ．1,2-==c b 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ．故答案选B ．16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形．故答案选C ．17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（ ）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D =C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关 【解析】由题意可知21ξξE E =，又由题意可知，1ξ的波动性较大，从而有21ξξD D >. 注意：本题也可利用特殊值法． 故答案选A ． 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100【解析】当1≤n ≤24时，n a ＞0，当26≤n ≤49时，n a ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，n a ＞0，当76≤n ≤99时，n a ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，∴当1≤n ≤100时，均有n S ＞0． 故答案选D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.【解析】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ， 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ， 又∵32)22(222=+=PD ，CD=2，∴△PCD 的面积为3232221=⨯⨯． （2）解法一：取PB 的中点F ，连接EF,AF, 则EF ∥BC ，∴∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角．在△ADF 中，EF=2、AF=2,AE=2， ∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴∠AEF=4π， ∴异面直线BC 与AE 所成的角大小为4π． 解法二：如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2,0,0),C(2，22,0),E(1，2,1)，∴AE =(1，2,1)，BC =(0,22,0), 设AE 与BC 的夹角为θ，则ACAE AC AE =θcos =222224=⨯,, 又∵0＜θ≤2π，∴θ=4π．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数)1lg()(+=x x f ．（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =（]2,1[∈x ）的反函数．【解析】（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7． （1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求 救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v . 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ：1222=-y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OQ OP ⊥；（3）设椭圆2C ：1422=+y x ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且ON OM ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．【解析】（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y . 解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S .（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切， 故12||=b ，即22=b .由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x .（lb ylfx ） 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ .（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分8分.对于数集}1{21n x x x X ，，，， -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==，若对任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P ．例如}2,1,1{-具有性质P ．（1）若2>x ，且},2,1,1{x -具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：X ∈1，且当1>n x 时，11=x ；（3）若X 具有性质P ，且11=x 、q x =2（q 为常数），求有穷数列n x x x ，，， 21的通项公式.【解析】（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -，所以x =2b ，从而x =4. （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X .假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1.若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1．（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1. 假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P.现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，kk k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. 注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到,12111x x x x x x n n >>>- 所以,12211x x x x x x n n n n ===--- 从而数列的通项公式为n k q xx x x k k k ,,2,1,11121 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有23道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为6、方程14230xx +--=的解是7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -=10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，23AC =，2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k （k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-.2012年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（文史类）答案要点及解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位） 【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-. 故答案为i 21-.2、若集合{}210A x x =->，{}1B x x =<，则A B ⋂＝【解析】集合}21{}012{>=>-=x x x x A ，}11{}1{<<-=<=x x x x B ，所以}121{<<=x xB A ，即)1,21(. 故答案为)1,21(. 3、函数sin 2()1cos x f x x=-的最小正周期是【解析】函数x x x x f 2sin 212)2(cos sin )(+=--=，周期ππ==22T ，即函数)(x f 的周期为π. 故答案为π.4、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【解析】因为直线的方向向量为),1(2)21,1(2)1,2(k ==，即直线的斜率21=k ，即21tan =α，所以直线的倾斜角21arctan =α. 故答案为21arctan .5、一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为【解析】底面圆的周长ππ22=r ，所以圆柱的底面半径1=r ，所以圆柱的侧面积为π4 两个底面积为ππ222=r ．，所以圆柱的表面积为π6. 故答案为π6. 6、方程14230xx +--=的解是【解析】原方程可化为0322)2(2=-⋅-xx ，解得32=x，或12-=x （舍去），∴3log 2=x . 故答案为3log 2.7、有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78.故答案为78.8、在61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项等于【解析】r rrr xx C T )1(661-=-+=r r r x C 266)1(--，令r 26-=0，得r =3．故常数项为336)1(-C =－20.故答案为－20.9、已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= 【解析】由12)1()1(=+=f g ，得1)1(-=f ，所以32)1(2)1()1(=+-=+-=-f f g . 故答案为3.10、满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当2=x ，0=y 时，目标函数取最小值，为－2.故答案为－2.11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有27232323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有18122323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为322718=. 故答案为32. 12、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是【解析】==λ（0≤λ≤1），则BM λ==λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，则AM ⋅=))((++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ⋅+2)1(AB λ-+2AD λ+AB AD ⋅-)1(λ, 又∵⋅=0， ∴AM ⋅=λ34-，∵0≤λ≤1，∴1≤AM ⋅≤4，即⋅的取值范围是[1,4]. 故答案为[1,4].13、已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,222x x x y ,121,210≤<≤≤x x∴围成的面积⎰⎰+-+=12122102)22(2dx x x dx x S =213310x +12123)5310(x x +-=41. 故答案为41. 14、已知1()1f x x =+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=， 若20102012a a =，则2011a a +的值是【解析】由题意得，213=a ，325=a ，…，13811=a ， ∵20122010a a =，且.n a ＞0，∴2512010+-=a ，易得2010a =2008a =…=24a =22a =24a =.20a ， ∴.20a +11a =251+-+138=265133+.故答案为265133+. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若1+i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-= 【解析】因为i 21+是实系数方程的一个复数根，所以i 21-也是方程的根，则b i i -==-++22121，c i i ==-+3)21)(21(，所以解得2-=b ，3=c ，选D.故答案选D.16、对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 【解析】∵mn ＞0，∴⎩⎨⎧>>,0,0n m 或⎩⎨⎧<<,0,0n m ．方程22ny mx +=1表示的曲线是椭圆，则一定有⎩⎨⎧>>,0,0n m 故“mn ＞0”是“方程22ny mx +=1表示的是椭圆”的必要不充分条件． 故答案选B ．17、在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、不能确定【解析】根据正弦定理可知由C B A 222sin sin sin <+,可知222c b a <+，在三角形中02cos 222<-+=abc b a C ，所以C 为钝角，三角形为钝角三角形，选A.故答案选A ． 18、若2sin sin (i)777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100【解析】由题意可知，1413S S ==2827S S ==4241S S ==…=9897S S ==0，共14个，其余均为正数，故共有100-14=86个正数． 故答案选C ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知∠BAC ＝2π，2AB =，AC =2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）3232221=⨯⨯=∆ABC S ， 三棱锥P -ABC 的体积为3343131232=⨯⨯=⨯=∆PA S V ABC ．（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线 BC 与AD 所成的角．在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2， 4322222222cos ==∠⨯⨯-+ADE ，所以∠ADE =43arccos ． 因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos ． 12分20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知()lg(1)f x x =+（1）若0(12)()1f x f x <--<，求x 的取值范围（2）若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，求函数()y g x =（[]1,2x ∈）的反函数 【解析】 （1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x .因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .PA BCDE由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==.由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x ．21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y =中，得P 的纵坐标y P =3． ……2分 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时．由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度．（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t ． 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=（1）设F 是C 的左焦点，M 是C右支上一点，若MF =M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（k <）的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP ⊥OQ . 【解析】（1）双曲线1:2212=-y C x ，左焦点)0,(26-F .设),(y x M ，则22222262)3()(||+=++=x y x MF ， 由M 是右支上一点，知22≥x ，所以223||22=+=x MF ，得26=x .所以)2,(26±M .（2）左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为：)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x .所求平行四边形的面积为42||||==y OA S .（3）设直线PQ 的方程是b kx y +=.因直线与已知圆相切，故11||2=+k b ，即122+=k b (*).由⎩⎨⎧=-+=1222y x b kx y ，得012)2(222=----b kbx x k . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧==+----22221212221k b k kbx x x x . ))((2121b kx b kx y y ++=，所以2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OQ OP ++++=+=⋅22222222221222)1)(1(k k b k b k k b k --+-----+=+.由(*)知0=⋅，所以OP ⊥OQ .23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记{}12max ,,...,k k b a a a =（1,2,...,k m =），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{}n a （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C -++=（C 为常数，1,2,...,k m =），求证：k k b a =（1,2,...,k m =）（3）设100m =，常数1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若(1)22(1)n n n a an n +=--，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122()()b a b a -+-+100100...()b a +-。
2012年上海市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分)1．(4分）(2012•上海）计算：=1﹣2i(i为虚数单位)．考点: 复数代数形式的乘除运算．专题: 计算题．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1﹣i,再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1﹣2i点评:本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2．（4分)（2012•上海）若集合A={x｜2x﹣1＞0}，B={x｜|x|＜1},则A∩B=（,1）．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意,可先化简两个集合A,B，再求两个集合的交集得到答案解答:解：由题意A={x｜2x﹣1＞0｝=｛x｜x＞｝，B={x|﹣1＜x＜1}，∴A∩B=（，1）故答案为（，1)点评：本题考查交的运算，是集合中的基本题型，解题的关键是熟练掌握交集的定义3．（4分）（2012•上海）函数的最小正周期是π．考点: 二阶矩阵;三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简,最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可．解答：解：=sinxcosx+2=sin2x+2∴T==π∴函数的最小正周期是π故答案为:π点评:本题主要考查了二阶行列式,以及三角函数的化简和周期的求解，同时考查了运算求解能力,属于基础题．4．（4分)（2012•上海）若是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）考点: 平面向量坐标表示的应用．专题: 计算题．分析：根据直线的方向向量的坐标一般为(1，k)可得直线的斜率，根据tanα=k，最后利用反三角可求出倾斜角．解答:解：∵是直线l的一个方向向量∴直线l的斜率为即tanα=则l的倾斜角的大小为arctan故答案为:arctan点评:本题主要考查了直线的方向向量，解题的关键是直线的方向向量的坐标一般为（1，k），同时考了反三角的应用，属于基础题．5．(4分）（2012•上海)一个高为2的圆柱,底面周长为2π，该圆柱的表面积为6π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可．解答：解：因为一个高为2的圆柱，底面周长为2π，所以它的底面半径为:1，所以圆柱的表面积为S=2S底+S侧=2×12×π+2π×2=6π．故答案为：6π．点评:本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力．6．（4分）（2012•上海）方程4x﹣2x+1﹣3=0的解是x=log23．考点: 有理数指数幂的运算性质．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质可将方程4x﹣2x+1﹣3=0变形为（2x)2﹣2×2x﹣3=0然后将2x 看做整体解关于2x的一元二次方程即可．解答:解：∵4x﹣2x+1﹣3=0∴（2x)2﹣2×2x﹣3=0∴（2x﹣3）（2x+1)=0∵2x＞0∴2x﹣3=0∴x=log23故答案为x=log23点评：本题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程．解题的关键是要将方程4x﹣2x+1﹣3=0等价变形为（2x）2﹣2×2x﹣3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程．7．(4分）(2012•上海)有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…,则（V1+V2+…+V n)═．考点: 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析:由题意可得，正方体的体积=是以1为首项，以为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求解答：解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为a n则∴=是以1为首项，以为公比的等比数列则(V1+V2+…+v n）==故答案为:点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题8．（4分）(2012•上海）在的二项式展开式中,常数项等于﹣20．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r,从而可求出常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣1）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3 常数项为（﹣1)3=﹣20故答案为：﹣20点评:本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．(4分)（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x)+2且g（1)=1，则g(﹣1）=3．考点: 函数奇偶性的性质;函数的值．专题：计算题．分析：由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2得到g（x）+g(﹣x）=f（x）+2+f(﹣x)+2=4，再令x=1即可得到1+g（﹣1）=4,从而解出答案解答:解:由题意y=f（x）是奇函数，g（x)=f（x）+2∴g（x）+g(﹣x）=f(x)+2+f（﹣x）+2=4又g（1）=1∴1+g（﹣1)=4，解得g（﹣1）=3故答案为：3点评:本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是利用性质得到恒成立的等式，再利用所得的恒等式通过赋值求函数值10．(4分）（2012•上海）满足约束条件|x|+2|y｜≤2的目标函数z=y﹣x的最小值是﹣2．考点: 简单线性规划．分析：作出约束条件对应的平面区域，由z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，解决越小，z越小，结合图形可求解答：解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y﹣x可得y=x+z，则z为直线在y轴上的截距，截距越小,z越小结合图形可知，当直线y=x+z过C时z最小，由可得C（2,0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣2点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．（4分）（2012•上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目,则有且仅有两人选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）考点: 古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先求出三个同学选择的所求种数,然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可．解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远;跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有××=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目,表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2种选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评:本题主要考查了古典概型及其概率计算公式,解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题．12．（4分）（2012•上海）在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是[1，4]．考点：平面向量数量积的运算．专题: 计算题．分析：先以所在的直线为x轴,以所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系,表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围,做出函数的范围，即要求得数量积的范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为x轴，建立坐标系如图，∵AB=2，AD=1，∴A（0,0)，B（2，0),C（2，1），D（0，1)，设M（2，b），N（x,1），∵，∴b=∴，=(2，)，∴=，∴1，即1≤≤4故答案为：[1，4]点评：本题主要考查平面向量的基本运算，概念，平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是表示出两个向量的坐标形式，利用函数的最值求出数量积的范围，本题是一个中档题目．13．（4分）（2012•上海)已知函数y=f(x）的图象是折线段ABC，其中A（0,0）、、C(1，0）,函数y=xf（x）(0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为．考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；压轴题．分析：先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf(x）（0≤x≤1)的函数解析式,最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可解答:解：依题意,当0≤x≤时，f（x）=2x,当＜x≤1时，f（x）=﹣2x+2∴f(x）=∴y=xf（x）=y=xf（x）(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为S=+=x3+（﹣+x2）=+=故答案为：点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题14．（4分）（2012•上海）已知，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n)，若a2010=a2012,则a20+a11的值是．考点: 数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：根据，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1，a n+2=f(a n），可确定a1=1，，，a7=，，，利用a2010=a2012，可得a2010=（负值舍去），依次往前推得到a20=，由此可得结论．解答：解：∵，各项均为正数的数列｛a n｝满足a1=1,a n+2=f（a n）,∴a1=1,，，a7=,，∵a2010=a2012，∴∴a2010=（负值舍去），由a2010=得a2008=…依次往前推得到a20=∴a20+a11=故答案为：点评：本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念．理解条件a n+2=f（a n），是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．（5分）（2012•上海)若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则() A．b=2,c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a,b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解答：解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0,即∴,解得b=﹣2，c=3故选D点评：本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程,本题考查了转化的思想,属于基本计算题16．(5分）（2012•上海）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义,可以得出mn ＞0,即可得到结论．解答：解：当mn＞0时,方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0,且两个量不相等，得到mn ＞0;由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B．点评：本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等,本题是一个基础题．17．（5分）(2012•上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定考点: 三角形的形状判断．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用正弦定理将sin2A+sin2B＜sin2C，转化为a2+b2＜c2,再结合余弦定理作出判断即可．解答：解：∵在△ABC中，sin2A+sin2B＜sin2C,由正弦定理===2R得，a2+b2＜c2,又由余弦定理得:cosC=＜0，0＜C＜π,∴＜C＜π．故△ABC为钝角三角形．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．18．（5分）(2012•上海）若（n∈N＊），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16 B．72 C．86 D．100考点：数列与三角函数的综合．专题: 计算题；综合题；压轴题．分析：由于sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0，可得到S1＞0,…S13＞0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．解答：解：∵sin＞0,sin＞0，…sin＞0，sin=0，sin＜0，…sin＜0，sin=0,∴S1=sin＞0，S2=sin+sin＞0，…，S8=sin+sin+…sin+sin+sin=sin+…+sin+sin＞0，…，S12＞0，而S13=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin+…+sin=0，S14=S13+sin=0+0=0，又S15=S14+sin=0+sin=S1＞0,S16=S2＞0，…S27=S13=0，S28=S14=0，∴S14n﹣1=0,S14n=0(n∈N*)，在1，2，…100中，能被14整除的共7项，∴在S1，S2,…，S100中，为0的项共有14项，其余项都为正数．故在S1，S2,…，S100中，正数的个数是86．故选C．点评:本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin的符号，找出S1，S2,…，S100中,S14n=0,S14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度,属于难题．﹣1三、解答题（本大题共有5题,满分74分）19．(12分)（2012•上海）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点,已知∠BAC=，AB=2，，PA=2，求：(1）三棱锥P﹣ABC的体积;（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示)考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：常规题型；综合题．分析：(1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S△ABC=，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式,得到三棱锥P﹣ABC的体积;（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC,所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=，所以∠ADE=arccos是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．解答：解：（1）∵∠BAC=，AB=2，，∴S△ABC=×2×=又∵PA⊥底面ABC,PA=2∴三棱锥P﹣ABC的体积为:V=×S△ABC×PA=；（2）取BP中点E，连接AE、DE，∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点∴DE∥BC，所以∠ADE(或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．∵在△ADE中，DE=2，AE=，AD=2∴cos∠ADE==，可得∠ADE=arccos（锐角）因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos．点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体,考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点,属于基础题．20．（14分）（2012•上海)已知f（x）=lg（x+1）（1)若0＜f(1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f(x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．考点：函数的周期性;反函数；对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：（1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可;（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．解答：解：（1)f（1﹣2x）﹣f（x）=lg(1﹣2x+1）﹣lg(x+1）=lg(2﹣2x)﹣lg(x+1），要使函数有意义，则由解得：﹣1＜x＜1．由0＜lg（2﹣2x）﹣lg(x+1）=lg＜1得：1＜＜10，∵x+1＞0，∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，∴．由，得：．(2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈［0，1］，∴y=g（x)=g（x﹣2)=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），由单调性可知y∈［0,lg2］，又∵x=3﹣10y，∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2］．点评：本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．21．（14分)（2012•上海)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度）,则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点：圆锥曲线的综合．专题：应用题．分析:（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程中,可得P的纵坐标，利用｜AP｜=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为(7t，12t2），从而可得vt=，整理得,利用基本不等式，即可得到结论．解答：解：（1）t=0.5时,P的横坐标x P=7t=,代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3．…2分由|AP｜=，得救援船速度的大小为海里/时．…4分由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度．…6分（2）设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．…10分因为,当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．…14分点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键,属于中档题．22．（16分）（2012•上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．(1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积; （3)设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．考点: 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：（1)求出双曲线的左焦点F的坐标,设M（x,y），利用｜MF｜2=(x+）2+y2，求出x 的范围,推出M的坐标．（2)求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面积．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切,得到b2=k2+1，通过求解=0．证明PO⊥OQ．解答:解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣)，设M（x,y）,则｜MF|2=(x+)2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF｜==2，得x=,所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+）,即y=，所以,解得．所以所求平行四边形的面积为S=．(3)设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由,得（2﹣k2)x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0,设P（x1，y1)，Q（x2,y2）,则，又y1y2=（kx1+b）(kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用,设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．23．(18分)（2012•上海）对于项数为m的有穷数列｛a n}，记b k=max｛a1，a2，…，a k｝（k=1，2，…，m)，即b k为a1，a2，…，a k中的最大值，并称数列｛b n｝是｛a n}的控制数列，如1，3，2，5,5的控制数列是1,3,3，5,5．(1）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的｛a n｝．(2）设｛b n｝是｛a n}的控制数列，满足a k+b m﹣k+1=C（C为常数，k=1，2，…,m),求证:b k=a k （k=1，2，…,m）．（3）设m=100，常数a∈（，1），a n=a n2﹣n，{b n}是｛a n}的控制数列,求（b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）．考点: 数列的应用．专题：综合题；压轴题;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)根据题意，可得数列｛a n｝为：2,3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2,3，4，5，4，；2,3，4，5，5;（2）依题意可得b k+1≥b k，又a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，从而可得a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，整理即证得结论；(3）根据，可发现，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+（4k﹣3），a4k=a(4k﹣2）2+（4k﹣2）,a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k,通过比较﹣2大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，a4k＞a4k﹣2，而a4k+1＞a4k，a4k﹣1﹣a4k﹣2=（a﹣1)（8k﹣3），从而可求得(b1﹣a1）+（b2﹣a2)+…+（b100﹣a100）=(a2﹣a3）+(a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1)=2525（1﹣a）．解答:解：（1)数列{a n｝为:2,3，4，5,1；2,3，4，5，2;2，3，4，5，3;2,3，4,5，4，；2,3，4，5，5;…4分（2)∵b k=max{a1，a2，…，a k}，b k+1=max{a1,a2，…，a k+1｝，∴b k+1≥b k…6分∵a k+b m﹣k+1=C，a k+1+b m﹣k=C，∴a k+1﹣a k=b m﹣k+1﹣b m﹣k≥0，即a k+1≥a k,…8分∴b k=a k…10分(3）对k=1，2，…25，a4k﹣3=a(4k﹣3）2+(4k﹣3)，a4k﹣2=a（4k﹣2）2+（4k﹣2),a4k﹣1=a（4k﹣1）2﹣（4k﹣1），a4k=a（4k)2﹣4k，…12分比较大小，可得a4k﹣2＞a4k﹣1，∵＜a＜1，∴a4k﹣1﹣a4k﹣2=(a﹣1)(8k﹣3）＜0，即a4k﹣2＞a4k﹣1；a4k﹣a4k﹣2=2（2a﹣1)（4k﹣1）＞0，即a4k＞a4k﹣2，又a4k+1＞a4k,从而b4k﹣3=a4k﹣3，b4k﹣2=a4k﹣2,b4k﹣1=a4k﹣2，b4k=a4k，…15分∴（b1﹣a1)+（b2﹣a2）+…+（b100﹣a100)=（a2﹣a3)+（a6﹣a7）+…+（a98﹣a99）=（a4k﹣2﹣a4k﹣1）=(1﹣a）（8k﹣3）=2525（1﹣a)…18分点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3)观察，分析寻找规律是难点，是难题．。
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2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类） 本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）
1、函数212cos(2)yx的最小正周期是 ．
2、若复数12zi，其中i是虚数单位，则1zzz ． 3、设常数aR，函数2()1fxxxa．若(2)1f，则(1)f ． 4、若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 5、某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ． 6、若实数,xy满足1xy，则222xy的最小值为 ． 7、若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小 为 （结果用反三角函数值表示）． 8、在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图， 则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
9、设,0,()1,0.xaxfxxxx 若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围为 ． 10、设无穷等比数列na的公比为q，若134limnnaaaa，则q 11、若2132()fxxx，则满足()0fx的x的取值范围是 ． 12、方程sin3cos1xx在区间[0,2]上的所有的解的和等于 ． 13、为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
14、已知曲线2:4Cxy，直线:6lx．若对于点(,0)Am，存在C上的点P和l上的Q 使得0APAQ，则m的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15、设,abR，则“4ab”是“2a且2b”的（ ） (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 16、已知互异的复数,ab满足0ab，集合22,,abab，则ab（ ） (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 1 17、如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB是 大正方形的一条边，(1,2,,7)iPi是小正方形的其余顶点， 则(1, 2, , 7)iABAPi的不同值的个数为（ ）
(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 1
18、已知111(,)Pab与222(,)Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，
则关于x和y的方程组112211axbyaxby的解的情况是（ ） (A) 无论12,,kPP如何，总是无解 (B) 无论12,,kPP如何，总有唯一解 (C) 存在12,,kPP，使之恰有两解 (D) 存在12,,kPP，使之有无穷多解 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC， 其表面展开图是三角形123PPP，如图， 求123PPP的各边长及此三棱锥的体积V．
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设常数0a，函数aaxfxx22)(． （1）若4a，求函数)(xfy的反函数)(1xfy； （2）根据a的不同取值，讨论函数)(xfy的奇偶性，并说明理由．
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米， CB长80米．设点AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45,， 求CD的长（结果精确到0.01米）． 22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题6分，第3小题满分7分． 在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0laxbyc和点111222(,),(,)PxyPxy，记
1122()()axbycaxbyc．若0，则称点12,PP被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公共点，
且曲线C上存在点12,PP被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证；点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分隔； （2）若直线ykx是曲线2241xy的分隔线，求实数k的取值范围； （3）动点M到点(0,2)Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E．求E的方程， 并证明y轴为曲线E的分隔线．
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题3分，第2小题6分，第3小题满分9分． 已知数列{}na满足1133nnnaaa，*nN，11a．
（1）若1342,,9aaxa，求x的取值范围； （2）设{}na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{}na的公比； （3）若12100,,,aaa成等差数列，求数列12100,,,aaa的公差的取值范围．
2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）参考答案 一、填空题（第1题至第14题） 1．2 2．6 3．3 4．2x 5．70 6．22 7．1arcsin3
8．24 9．,2 10．512 11．(0,1) 12．73 13．115 14．[2,3] 二、选择题（第15题至第18题）15．B 16．D 17．C 18．B 三、解答题（第19题至第23题）
19、[解]：在123PPP中，13PAPA，23PCPC，所以AC是中位线，故1224PPAC．
同理，234PP，314PP．所以123PPP是等边三角形，各边长均为4． 设Q是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以233AQ，22263PQAPAQ． 从而，12233ABCVSPQ． 20、[解]：（1）因为2424xxy，所以4121xyy，得1y或1y，且241log1yxy． 因此，所求反函数为1241()log1xfxx，,11,x． （2）当0a时，()1fx，定义域为R，故函数()yfx是偶函数； 当1a时，21()21xxfx，定义域为,00,， 2121()()2121xxxxfxfx
，故函数()yfx为奇函数；
当0a且1a时，定义域为22,loglog,aa关于原点不对称， 故函数()yfx既不是奇函数，也不是偶函数．
21、[解]：（1）记CDh．根据已知得tantan20，tan35h，tan80h， 所以2280035180hhh，解得20228.28h．因此，CD的长至多约为28.28米． （2）在ABD中，由已知，56.57，115AB， 由正弦定理得sinsinBDAB ，解得85.064BD． 在BCD中，有余弦定理得2222cosCDBCBDBCBD， 解得26.93CD． 所以，CD的长约为26.93米． 22、[证]：（1）因为40，所以点,AB被直线10xy分隔．
[解]：（2）直线ykx与曲线2241xy有公共点的充要条件是方程组2241xyykx有解， 即12k．因为直线ykx是曲线2241xy的分隔线，故它们没有公共点，即12k． 当12k时，对于直线ykx，曲线2241xy上的点1,0和1,0满足20k， 即点1,0和1,0被ykx分隔．故实数k的取值范围是11(,][,)22． [证]：（3）设M的坐标为(,)xy，则曲线E的方程为22(2)1xyx， 即22[(2)]1xyx． 对任意的0y，00,y不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． 又曲线E上的点1,2和1,2对于y轴满足0，即点1,2和1,2被y轴分隔． 所以y轴为曲线E的分隔线． 23、[解]：（1）由条件得263x且933xx，解得36x．所以x的取值范围是[3,6]x． （2）设{}na的公比为q．由133nnaa，且110nnaaq，得0na． 因为1133nnnaaa，所以133q．从而111111()10003mmmaqq，131000m，解得8m．
8m时，711[,3]10003q．所以，m的最小值为8，8m时，{}na的公比为741010．
（3）设数列12100,,aaa的公差为d．由133nnnaada，223nnada，1,2,,99n． ① 当0d时，999821aaaa，所以102da，即02d． ② 当0d时，999821aaaa，符合条件． ③ 当0d时，999821aaaa，所以9999223ada，2(198)2(198)3ddd， 又0d，所以20199d． 综上，12100,,aaa的公差的取值范围为2[,2]199．
2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷(理工农医类) 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设全集UR. 若集合1,2,3,4A，23Bxx，则A∁UB________.
2. 若复数z满足31izz，其中i为虚数单位，则z________.
3. 若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为3,5,xy 则12cc________.
4. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a________.