2014年广东省汕头市高考数学二模试卷(文科)

2014年广东省汕头市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{2}B.{4，6}C.{1，3，5}D.{4，6，7，8}【答案】B【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选B．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，根据集合的运算求解即可．本题考查集合的基本运算和韦恩图，属基本题．2.已知i是虚数单位，则复数z=1+2i+3i2所对应的点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】解：复数z=1+2i+3i2=-2+2i，复平面内的对应的点为（-2，2），故选B．根据复数z=1+2i+3i2=-2+2i，复平面内的对应的点为（-2，2），得出结论．本题考查两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，是一道基础题．3.命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是（）A.∃x∈R，x2+x≤0B.∃x∈R，x2+x＜0C.∀x∈R，x2+x≤0D.∀x∈R，x2+x＜0【答案】B【解析】解：∵命题∀x∈R，x2+x≥0是全称命题，∴命题∀x∈R，x2+x≥0的否定是：∃x∈R，x2+x＜0，故选：B．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若8a1-a4=0，则下列式子中数值不能确定的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵8a1-a4=0，∴q=2，∴=4，==；=q；=，n是变数，故不能确定．故选：D．由8a1-a4=0，可得q=2，再对选项，进行判定即可．本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，确定q=2是关键．5.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos2B=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，解得sin B=．解：∵在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，由正弦定理可得°再由二倍角公式可得cos2B=1-2sin2B=1-2×=，故选C．利用正弦定理求得sin B=，再由二倍角公式可得cos2B=1-2sin2B 的值．本题主要考查正弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环S K循环前/00第一圈是11第二圈是32第三圈是113第四圈是20594第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，∴，故选C．利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得．本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键．8.已知O是坐标原点，点A（-1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，•则最大值为（）A.2B.0C.1D.-1【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，∵A（-1，1），M（x，y），∴z==-x+y，即y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当y=x+z，经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大为z=-0+2=2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，设z=，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．9.一个长方体被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A.1440B.1200C.960D.720【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是长方体削去一个三棱锥，长方体的长、宽、高分别为20、8、9；削去的三棱锥的高为8，上底面为直角三角形，直角三角形的两直角边长分别为20、8．∴几何体的体积V=20×8×9-××20×8×9=1440-240=1200．故选：B．几何体是长方体削去一个三棱锥，根据三视图判断长方体的长、宽、高及削去的三棱锥的相关几何量的数据，代入长方体与棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．10.规定函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f（x）的“中心距离”，给出以下四个命题：①函数y=的“中心距离”大于1；②函数y=的“中心距离”大于1；③若函数y=f（x）（x∈R）与y=g（x）（x∈R）的“中心距离”相等，则函数h（x）=f （x）-g（x）至少有一个零点．以上命题是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①【答案】D【解析】解：①函数y=图象上的点到原点距离d=≥＞1，即函数y=的“中心距离”大于1，正确；②函数y=图象上的点到原点距离d==≥1，错误；③取函数y=f（x）=x2+1，y=g（x）=-x2-1，函数h（x）=f（x）-g（x）=2x2+2，没有零点，错误．故选：D．①②利用新定义，计算函数y=f（x）图象上的点到坐标原点距离的最小值，即可判定，③取特例．本题考查新定义，考查距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则|PF2|= ______ ．【答案】5【解析】解：∵椭圆+=1，∴2a=8，∵|PF1|+|PF2|=2a=8，由|PF1|=3，∴|PF2|=5，故答案为：5先据方程求出2a=8，再根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=8，求出|PF2|的值．本题考查椭圆的方程、椭圆的定义，属于一道基础题．12.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a= ______ ．【答案】0.030【解析】解：由图知，图中各个小矩形的面积即为频率，根据频率和为1，可得（0.035+a+0.020+0.010+0.005）×10=1，解得a=0.030，故答案为：0.030；由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出a值；本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；13.直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则a= ______ ．【答案】2【解析】解：∵直线l1：ax+3y+1=0与直线l2：2x+（a+1）y+1=0平行，∴a≠-1，且=，解得a=2或a=-3，当a=2时，两直线平行，故舍去，则a=-3；故答案为：-3．由两直线平行斜率相等解出等式，解方程求的a的值．本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，斜率一定相等．14.在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：由题意得点A（2，0），直线l为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，即x+y+2=0，∴点A到直线l的距离为=2，故答案为2．先求出点A的坐标，直线l的普通方程，由点到直线的而距离公式求出点A到直线l的距离．本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的转化，点到直线的距离公式的应用．15.如图，AB是圆O的直径，PB，PE分别切圆O于B，C，若∠ACE=40°，则∠P= ______ ．【答案】80°【解析】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，又∠ACE=40°，且PB=PC∴∠PCB=∠PBC=50°，∴∠P=180°-50°-50°=80°故答案为：80°要求∠P的大小，我们要首先分析∠P与已知的角∠ACE=40°的关系，结合AB为圆的直径，联想直径所对的圆周角为90°，再结合弦切角定理，我们易在已知角与未知角之间找到联系，从而求解．要求一个角的大小，先要分析未知角与已知角的关系，然后再选择合适的性质来进行计算．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.某中学在高三年级开设了A、B、C三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A、B、C三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）：（1）求、的值；（2）若从A、B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自同一兴趣小组的概率．【答案】解：（1）由题意可得，==，解得x=2，y=4．（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，则从兴趣小组A，B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10种．设选中的2人都来自同一兴趣小组的事件为E，则E包含的基本事件有：（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共4种．所以P（E）==；故选中的2人都来自同一兴趣小组的概率为．【解析】（1）根据题意，由分层抽样的特点，可得==，解可得答案；（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为E，用列举法可得从5人中选2人作发言的基本事件的数目，同时可得E包含的基本事件的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．17.设平面向量=（cosx，sinx），=（，），函数f（x）=•+1（1）求f（）的值；（2）当f（α）=，且＜α＜时，求sin（2α+）的值．【答案】解：（1）根据题意得，函数f（x）=•+1=（cosx，sinx）•=（，）=，=+1，∴=．（2）由．∴，∵＜α＜，∴＜＜，∴，∴sin（2α+）==-．【解析】（1）根据向量数量积求出f（x）的表达式，然后代入求值即可；（2）知道正弦值，求出余弦值，利用三角函数公式．本题考查了向量的数量积的计算，以及三角函数公式的应用，需要注意角的范围．18.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=．（1）求证：DE⊥面ACD平面；（2）设AC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V（x）的解析式及最大值．【答案】（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，∴CD∥BE，BC∥DE．∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC．∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．∴BC⊥平面ADC．∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．在R t△ABE中，AB=2，EB=．在R t△ABC中，∵AC=x，BC=（0＜x＜2）．∴S△ABC=AC•BC=x•，∴V（x）=V E-ABC=x•，（0＜x＜2）．∵x2（4-x2）≤=4，当且仅当x2=4-x2，即x=时，取等号，∴x=时，体积有最大值为．【解析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，线面垂直的性质即可证明BC⊥平面ACD，再利用平行四边形的性质BC∥ED，得到ED⊥平面ACD；（2）利用三棱锥的体积计算公式即可得出表达式，再利用基本不等式的性质即可得出体积的最大值．熟练掌握直径所对的圆周角为直角的性质、线面、面面垂直的判定和性质定理、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．19.数列{a n}中，a1=1，S n是{a n}前n项和，且-1=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+2n-1，求数列{b n}的前n项和T n，求T n；（3）对任意n∈N*不等式T n≥m2-2m-1恒成立，求m的取值范围．【答案】解：（1）由已知a1=1，=1，n≥2，∴数列{S n}是以==1为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n-1）•1=n，∴，①n≥2时，S n-1=（n-1）2，②①-②得，，，∵a1=1适合上式，∴a n=2n-1．（2）=（2n-1）+2n-1，∴T n=（1+20）+（3+2）+（5+22）+…+（（2n-1）+2n-1）=（1+3+5+…+（2n-1））+（20+2+22+…+2n-1）=+=n2+2n-1．（3）=（n2-1）+（2n-2），n∈N*）=（n+1）（n-1）+2（2n+1-1），∵n≥1，∴（n+1）（n-1）≥0，2n+1≥1，∴T n-2≥0，∴T n≥2．∵对任意n∈N*不等式T n≥m2-2m-1恒成立，∴m2-2m-1≤2，解得-1≤m≤3．∴m的取值范围[-1，3]．【解析】（1）由已知条件=n，从而得到，由此能求出a n=2n-1．（2）由已知条件推导出=（2n-1）+2n-1，由此利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．（3）由，推导出T n≥2．由此能求出m的取值范围．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．20.抛物线C1的顶点在原点焦点在y轴上，且经过点P（2，2），圆C2过定点A（0，1），且圆心C2在抛物线C1上，记圆C2与x轴的两个交点为M、N．（1）求抛物线C1的方程；（2）当圆心C2在抛物线上运动时，试问|MN|是否为一定值？请证明你的结论；（3）当圆心C2在抛物线上运动时，记|AM|=m，|AN|=n，求+的最大值．【答案】解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，则代入P（2，2），可得p=1，∴抛物线C1的方程为x2=2y；（2）设圆的圆心C2（a，b），则圆的半径为，∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2=2=2，∵a2=2b，∴|MN|=2；（3）由（2）知，不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），则m==，n==，∴==2．a=0时，=2；a≠0时，=2≤2，当且仅当a=±时，取得最大值2．【解析】（1）设出抛物线方程，代入P，即可求出抛物线的方程；（2）表示出圆被x轴截得的弦长，利用圆心在抛物线上，即可得出结论；（3）表示出，分类讨论，利用基本不等式，即可求出最大值．待定系数法是求圆锥曲线的常用方法，利用基本不等式可以解决最值问题．21.已知函数f（x）=（2-a）lnx++2ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=-=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2-ln2∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=-+2a=当a＜-2时，-＜，令f′（x）＜0得0＜x＜-或x＞，令f′（x）＞0得-＜x＜；当-2＜a＜0时，得-＞，令f′（x）＜0得0＜x＜或x＞-，令f′（x）＞0得＜x＜-；当a=-2时，f′（x）=-≤0，综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-）和（，+∞），递增区间为（-，）；当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（-，+∞），递增区间为（，-）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（-3，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）-f（x2）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3++6a]=-4a+（a-2）ln3，∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x1）-f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a-2ln3＞-4a+（a-2）ln3整理得ma＞-4a，∵a＜0，∴m＜-4恒成立，∵-3＜a＜-2，∴-＜-4＜-，∴m≤-高中数学试卷第11页，共12页【解析】（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2lnx+，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意a∈（-3，-2）及x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．高中数学试卷第12页，共12页。