北京市密云区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
5 A. 4
1 B. 2
【答案】D
7 C. 4
【解析】
【分析】
由方程求得 a, b ，即可由离心率计算公式求得结果.
【详解】因为双曲线的方程是
x2 4
y2 3
1，故可得 a
2, b
3，
e
故离心率
1
b a
2
7 2.
故选：D.
7 D. 2
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属基础题.
A. 20 【答案】B
B. 40
C. 60
D. 80
【解析】
【分析】
先求出甲乙丙顺序确定时的所有方法，再考虑甲乙内部的排列即可.
A55 【详解】根据题意，若甲乙丙顺序确定，则所有排法有 A33 种，
再考虑甲和乙的顺序，则所有排法有
A55 A33
A22
40
种.
故选：B.
【点睛】本题考查部分元素定序问题的排列，属基础题.
x 2k , k Z
sin x 1
5.“
6
”是“
2 ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解正弦方程，结合题意即可容易判断
sinx 1
x 2k x 2k 5 , k Z
【详解】因为
2 ，故可得
6或
12.抛物线 x2 4 y 的焦点坐标是______________，准线方程是_____________．
【答案】
0，1
(1).
(2). y 1
【解析】
【分析】
根据抛物线
x2
2 py
的焦点坐标为
0,
p 2
，准线方程为
y
p 2
，可得本题答案.
【详解】因为抛物线的标准方程为 x2 4 y ，得 p 2 ，所以其焦点左边为 (0, 1) ，准线方
sin 4 cos 3 tan 4
3 3 4
9
【答案】（Ⅰ）（i）
5，
5．
3 .（ii） 10 （Ⅱ） 8
【解析】
【分析】
（Ⅰ）（i）根据三角函数的定义，以及同角三角函数关系，即可容易求得；
（ii）由角度终边的对称性，求得 sin , cos ，再用正弦的和角公式即可求得； （Ⅱ）利用余弦的倍角公式，将函数转化为关于 cos 的二次函数，求其值域即可.
下：
优惠券 1：若标价超过 50 元，则付款时减免标价的 10%；
优惠券 2：若标价超过 100 元，则付款时减免 20 元；
优惠券 3：若标价超过 100 元，则超过 100 元的部分减免 18%．
如果顾客需要先用掉优惠券 1，并且使用优惠券 1 比使用优惠券 2、优惠券 3 减免的都多，
那么你建议他购买的商品的标价可以是__________元．
sinA asinB 1
根据正弦定理可得
b 2，
又因为 b
a
则
B
A
，故可得
A
6
.
故答案为： 5 3 ； 6 .
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属基础题.
15.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为________．
【答案】2 【解析】 【分析】 根据三视图还原几何体，再利用棱锥的体积公式即可求得. 【详解】根据三视图还原几何体如下所示：
C
正确；
对 y 2x 2x ，其是奇函数，故 D 错误.
故选：C. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及指数函数，对数函数，幂函数的性质， 属综合基础题.
7.如图所示，四个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形， AB 是其中一个小正方形的一条边，
Pi (i 1, 2,3, 4,5, 6, 7) 是小正方形其余的顶点，则集合{x | x AB APi ,i 1, 2,3, 4,5, 6, 7} 中
AB
方向的投影相同，
故集合{x | x AB APi ,i 1, 2,3, 4,5, 6, 7} 中有 3 个元素.
故选：A.
【点睛】本题考查数量积的定义，属基础题.
8.阶段测试后，甲、乙、丙、丁、戊五位同学排成一排按序走上领奖台领奖，其中甲和乙都
在丙的前面走，则不同的排序方法种数共有（ ）
f
(
x)
x
2
,
x
0,
9.已知函数
ax 1, x 0.若存在实数 x0 ，使得 f (x0 ) f (x0 ) 成立，则实数 a 的取
值范围是 （ ）
A. (, 2]
B. (, 1]
C. [2, 0)
D. [1, 0)
【答案】A
【解析】 【分析】 将问题转化为方程有根的问题，进而根据二次方程根的分布即可求解.
北京京市密云区 2019-2020 第一学期期末试题
高三数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.若集合 A {x |1 x 3} ， B {x | 2 x 2} ，则 A B （ ）
A. {x |1 x 2}
【详解】因为
f
x
相邻两个极小值点之间的距离为
T
，故可得
2
，则
2；
又因为最大值与最小值之差为 2，故可得 2 A 2 ，则 A 1 ；
又因为
f
x
是奇函数，故可得
k , k
N
；
故
f
2
sin
2
2
k
sin k
1
0
.
故选：C.
【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求解析式，属综合基础题.
【解析】
【分析】
根据等比数列的基本量求得公比和前 n 项和即可.
【详解】因为{an}是等比数列，且各项均为正数，故 q 0 ；
又 a4 a1q3 a13q3, a3 a1q2 4 ，故可得 a1 1, q 2 .
Sn
a1
1 qn 1 q
2n 1
.
故答案为： 2 ； 2n 1. 【点睛】本题考查等比数列的基本量求解，涉及前 n 项和的求解，属基础题.
B. {x |1 x 2}
C. {x | 2 x 3}
D.
{x | 2 x 3}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的并运算，即可容易求得.
【详解】因为 A {x |1 x 3} ， B {x | 2 x 2} ，
故可得 A B {x | 2 x 3} .
故选：C.
【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题. x2 y2 1
根据函数经过的点，以及 f (x 1) f (x) 2 ，即可容易递推得到结果.
【详解】因为
f
x 1,1 过点 ，且
f
(x 1)
f
(x) 2 ，
f 2 f 1 2 3 f 3 f 2 2 5, f 4 f 3 2 7
故可得
，
，
故 f x过点 4, 7.
故选：B
【点睛】本题考查函数值的求解，属基础题.
【答案】
(1). 四
1 (2). 2
【解析】
【分析】
根据复数的运算法则化简复数 z ，再求对应点的坐标，以及实部即可.
z
【详解】因为
1 1 i
1i
1 i1 i
1 2
1i 2
，
故其对应的点为
1 2
,
1 2
位于第四象限，其实部为
1 2
.
1 故答案为：四； 2 .
【点睛】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.
【解析】
【分析】
根据新运算的定义，对选项进行逐一分析即可求得.
【详解】 a *b
0，
a
b
sin
0 ，解得
0
或
180
，故 a
// b
，则①正确；
由
a
*b
的定义可知，其结果表示以
a,
b
为一组邻边的平行四边形的面积，
故 2SABC
a
*
b
，则②正确；
不妨取
c
1,
0,
b
0,1,
a
1,1 ，故可得
4.若函数 f (x)=Asin( x ) （ A 0, 0 ）的相邻两个极小值点之间的距离为 ，最大
值与最小值之差为 2，且
f (x) 为奇函数，则函数
y
f
(π) 2 的值是（
）
A. 2 【答案】C
B. 1
C. 0
D.
【解析】
【分析】
根据题意，结合正弦型函数的性质，即可容易求得函数解析式，再求函数值即可.
17.已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 P ，角 的终边与角 的终边关于直线
y x 对称．
4 （Ⅰ）若 为第三象限角，点 P 的纵坐标为 5 ， （i）求 sin , cos 和 tan 的值；
sin( π )
（ii）求
6 的值．
（Ⅱ）求函数 f ( ) cos 2 cos 的最小值.
【答案】201
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数，由函数的值域即可容易求得.
【详解】设标价为 x ，
y x 则当 x 50 时，优惠金额 10 ；
当
x
100
时，优惠券
2
的优惠金额
y
20
，优惠券
3
北京市2020届高三数学上学期期末考试试题理
高三数学上学期期末考试试题 理第一部分 （选择题 共40分）一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{|22}B x x =-≤≤，那么A B = （A ）{1,0,1}- （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,1,2,3}- （D ）{|22}x x -≤≤答案：B考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的公共部分即可，所以，A B ={1,0,1,2}- 2．若复数(2i)(i)a -+的实部与虚部互为相反数，则实数a = （A ）3 （B ）13（C ）13-（D ）3-答案：D考点：复数的概念及其运算。
解析：(2i)(i)a -+＝21(2)a a i ++-，实部与虚部互为相反数， 所以，21(2)a a ++-=0，解得：3a =-3．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（A ）34（B ）45（C ）56（D ）67答案：B考点：程序框图。
解析：第1步：S ＝12，k ＝1＜4，k ＝k+1＝2第2步：S ＝23，k ＝2＜4，k ＝k+1＝3第3步：S ＝34，k ＝3＜4，k ＝k+1＝4 第4步：S ＝45，k ＝4＜4，否，退出循环，所以，S ＝45。
4．已知等差数列{}n a 中，13a =，26a =.若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 （A ）30 （B ）45（C ）90（D ）186答案：C考点：等差数列的通项公式，前n 项和。
解析：公差d ＝6－3＝3，3(1)33n a n n =+-⨯=，26n n b a n ==，数列{}n b 是以6为首项，6为公差的等差数列，前5项和为：S ＝545662´??＝90 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为 （A ）2（B（C）（D）俯视图侧（左）视图正（主）视图答案：D 考点：三视图。
北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高三数学第Ⅰ卷（共40分）本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A. ()3, -+∞ B. (]0,1C. [)1,+∞D. [)1,5【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集运算，由题意知{}3,0A B =-I ，由此可得，01a <≤．【详解】因为集合A B I 有且仅有2个元素，所以{}3,0A B =-I ，即有01a <≤． 故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ）A. 4B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和求出角C ，再根据正弦定理即可求出边c ． 【详解】因为180756045C =--=o o o o ，所以根据正弦定理知，sin sin a cA C=，即6sin 60sin 45c=o o，解得c = 故选：D ．【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题． 4.设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）A.11x y> B. ln ln x y >C. 22x y --<D. 22x y >【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，若0x y >>，则11x y<，错误； 对B ，当x y >时，取x 1,y 2==-，根据对数函数的单调性可知，ln ln x y <，错误； 对C ，因为x y >，所以x y -<-，根据指数函数的单调性可知，22x y --<，正确；对D ，当x y >时，取x 1,y 2==-，22x y <，错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题． 5.已知直线20x y ++=与圆22220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为（ ） A. (],0-∞B. [)0,+∞C. [)0,2D.(),2-∞【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．22220x y x y a ++-+=即为()()22112x y a ++-=-．≤0a ≤．故选：A ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．6.设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断．【详解】因为三个向量,,a b c r r r 互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设,a AB b BC ==r u u u r r u u u r，而,,a b c r r r互不共线，所以,,A B C 三点不共线．当0a b c ++=r r r r 时，c CA =r u u u r，因为,,A B C 三点不共线， ,,a AB b BC c CA ===r u u u r r u u u r r u u u r ，所以以,,a b c r r r为边长的三角形存在；若以,,a b c r r r 为边长的三角形存在，但是,a AB b BC ==r u u u r r u u u r ，c AC =r u u u r ，0a b c ++≠r r r r ． 故“0a b c ++=r r r r”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）A. 1003cmB. 3200cmC. 3003cmD. 4003cm【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．【详解】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =． 故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题． 8.已知函数()1f x x k =+,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间[],a b 上的值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. ()1,-+∞B. (]1,0-C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，是方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即可知20x x k --=的两个不同非负实根，所以121400k x x k ∆=+>⎧⎨=-≥⎩，解得104k -<≤． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在()51x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】()51x -展开式通项为()15rrr T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为()225110C -=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．10.已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r,其中x ∈R ,那么b =r _____________【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求出x ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．【详解】因为//a b r r，所以4260x --⨯=，解得3x =-．因此b ==r【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11.在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________【答案】3 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，用d 表示出2412,,a a a ，再根据2412,,a a a 成等比数列，列式即可求解． 【详解】因为1(1)1(1)n a a n d n d=+-=-+-，所以24121,13,111a d a d a d =-+=-+=-+，而2412,,a a a 成等比数列，所以13111113d dd d-+-+=-+-+，解得3d =或0d =(舍去)．故答案为：3．【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题． 12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个【答案】3 【解析】 【分析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA 垂直于底面的四棱锥．由三视图可知，2,1PA AD AB BC ====，,AD AB BC AB ⊥⊥． 因为PA ⊥面ABCD ，所以,PAB PAD V V 都是直角三角形．在PBC V 中，222222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以222PB BC PC +=，PBC V 也是直角三角形．在PDC △中，2222448,125PD CD =+==+=，而29PC =，所以PDC △不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13.对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一【解析】 【分析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．【详解】若选择①③，所以2,28ce a a===，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：2211648x y -=，答案不唯一．【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1104r t =+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =- ①第4天的销售利润为__________元;②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________．【答案】 (1). 1232 (2). 5【解析】 【分析】①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润； ②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】①因为()14410114r =⨯+=，()412024112y =-⨯=，所以该天的销售利润为111121232⨯=；②设捐赠后的利润为W 元，则()()11202104W y r m t t m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭， 化简可得，()2121012001202W t m t m =-+++-．令()W f t =，因为二次函数的开口向下，对称轴为210t m =+，为满足题意所以，()*2102010m f n N +≥⎧⎪>⎨⎪∈⎩，解得5m ≥． 故答案为：①1232；②5．【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值32-. 【解析】 【分析】（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.（2）由 ,02x π⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出函数()f x 的最大最小值． 【详解】（1）因为1()2cos cos )2f x x x x =⋅-2cos cos x x x =-112cos222x x =-- π1sin(2)62x =--所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）因为π02x -≤≤，所以7πππ2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,62ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，而7sin sin 66ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当ππ262t x =-=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32-， 当π7π266t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．16.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.【答案】（1）2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析【解析】【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k k k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：0 12 1625 825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++ 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++ 因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.（1）求证1://A B 平面1AC D ;（2）求二面角1C AC D --的余弦值;（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明.【答案】（1）证明见解析（2）15（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析 【解析】【分析】 （1）根据线面平行的判定定理,在面1AC D 内找一条直线平行于1A B 即可．所以连接1A C 交AC 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得1//DE A B ，即可得证；（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；（3）根据平面1AC D 的法向量与直线11A B 的方向向量的关系，即可判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系．【详解】（1）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．连接1A C ． 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点．连接DE ， 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B ．又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，所以1//A B 平面1AC D ．（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．因为V ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥．由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ，即有DF AD ⊥，DF BC ⊥． 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，(0,0,3)DA =u u u r，(1,0,3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ，设平面1AC D 的法向量1111(,,)n x y z =u r， 由10DA n ⋅=u u u r u u r ，110DC n ⋅=u u u u r u u r ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令11y =，得1(2,1,0)=-n ．设平面1AC C 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ， 由20CA n ⋅=u u u r u u r ，120CC n ⋅=u u u u r u u r ，得22230,20,x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2(3,0,1)n =u u r．设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r ． 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，所以二面角1C AC D --的余弦值为155．（3）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交．证明：因为(1,0,3)AB =--u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，所以11(1,0,3)A B =-u u u u r ．又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)n =-u u r ，且11120A B n ⋅=≠u u u u r u u r ，所以11A B u u u u r 与1n u r 不垂直，因为11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，故直线11A B 与平面1AC D 相交．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18.已知椭圆22: 14x W y +=右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,CD .若ODC △与CMF V 的面积相等,求直线l 的斜率k【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；（2）根据线段AB的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF V 的面积，由V ODC 与V CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．【详解】（1）由题意，得F ，直线(l y k x =：（0k ≠）设11(,)A x y，22(,)B x y ， 联立22(1,4y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)(124)0k x x k +-+-=， 显然>0∆，12x x + 则点M 的横坐标122M x x x +==， 因为22041M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧．（2）由（1）得点M 的纵坐标(M M y k x =-即M ．所以线段AB 的垂直平分线方程为：2221()4141y x k k k +=--++．令0x =，得D ；令0y =，得C ．所以V ODC 的面积222222127||||||=241412(41)ODC k k S k k k ∆⋅=⋅⋅+++，V CMF 的面积22213(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为V ODC 与V CMF 的面积相等，所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4k =±所以当V ODC 与V CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4k =±． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19.已知函数()21,2x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.（3）11e+ 【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．【详解】（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+， 所以(0)1f =，(0)1f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．（2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，由()e 10x f x x '=-+<得，0x <所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立． 设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-．由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--． 因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减． 所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+． 所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e +． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．20.设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?··205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈（1）请写出一个满足条件的集合A ;（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个【解析】【分析】（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =L ；（2）由反证法即可证明；（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A I L 中至多5个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =L ；（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈，令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，由题意，得100s a a A +∈，由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉．（3）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，由（2）知，100100m a b -=≤．假设100b m >-，则1000b m -+>．因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，因为100100100100200m b m a a --+++=≤， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，所以100100m a m --≤， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，所以(1100)i a i i m =-≤≤．任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．故集合0A 符合题意，所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，故满足条件的集合A 有4216=个．【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
北京市密云区2020届高三二模数学试题及答案
局二试题密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6、选择题：本大题共 符合题目要求的一项. 10小题,每小题 共40分.在每小题列出的四个选项中 ，选出1.已知集合M {x A. {0,1}R|x> 0} , N 一- 2 _ B. {x|x 2 1} 则在下列集合中符合条件的集合N 可能是■2…C. {x|x 2 0}D.2.在下列函数中, 定义域为实数集的偶函数为 A. y sin x B . y cosx C. y x|x| D.y ln|x|3.已知x 则下列各不等式中一定成立的是C. D.3x 3 y 24.已知函数 f (x)满足 f(x 1)2f(x)，且 f(5)3f⑶ 4,则B.C. 4D.5.已知双曲线 1(a 0)的一条渐近线方程为x 2y 0,则其离心率为A 技f\. 2B.476.已知平面向量a 和b,则" |b| |a b|” 是“ (bA.充分而不必要条件 C.充分必要条件 2a 母B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件0”的2 7.已知圆C ：x 2 - (y 1) 2, 若点P 在圆C 上, 并且点p 到直线y x的距离为华则满足条件的点 P 的个数为 C.1 -sin( x 且f (x)的最小正周期大于2 ,则 8 .设函数f(x) ), ..5 1 •若叩；，官°，82824 B. 12 C.24D.129.某-棱锥的-视图如图所示，则该-棱锥中最长的棱长为A .厄B . 2C.2也D.2^3第9题图10.已知函数f (x)的定义域为R,且满足下列三个条件：①对任意的为总乏丘［4.8］，且工］芋厘，都有; --------- 了―;—A；②;③F=/(X-4)是偶函数；若” 5 = , c f (2020)，贝U气奴r的大小关系正确的是A . a b C B. h < a <c C. D . c <a 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11 .抛物线y2mx(m为常数)过点(1,1),则抛物线的焦点坐标为1.6 _ . ........... ...........................................12.在(X -)的展开式中，常数项为 .(用数字作答).13.已知&是数列{a n}的前n项和，且& n2 11n(n N*)，则a〔=, &的最小值为.14.在VAB C中，三边长分别为 a 4 , b 5 , c 6,则VAB C的最大内角的余弦值为, VABC的面积为.15.已知集合A {a|a x2 y2,x Z,y Z}.给出如下四个结论：① 2 A,且3 A;②如果B {b|b 2m 1,m N*}，那么B A；③如果C {c|c 2n 2,n N*}，那么对于c C,则有c A；那么a1a2A.④如果a1 A, a2A,其中，正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. (本小题满分14分)1…如图，直二梭柱 ABC A 1B 1C 1 中，AC BC — AA), D 是棱AR 的中点，DC i BD .(I)证明：DC 1 BC ;(口)求二面角 A 1 BD 。
2020年密云区高一模数学试卷
2020年密云区高一模数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|0}M x x =>，{}11N x x =-≤≤，则M N I =A.[1,)-+∞B. (0,1)C. (]1,0D. [0,1]2．已知复数2i1iz =+，则||z = A.1i + B. 1i - C. 2 D. 23. 设数列{}n a 是等差数列，13576, 6.a a a a ++==则这个数列的前7项和等于 A.12 B.21 C.24 D.364. 已知平面向量(4,2)=a ，(,3)x =b ，a //b ，则实数x 的值等于 A ．6 B ．1 C ．32 D ．32-5. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1xy<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)M a b 与圆C 的位置关系是 A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为A ．51[π,π]44k k -+-+，k ∈Z B ．51[2π,2π]44k k -+-+，k ∈ZC ．51[,]44k k -+-+，k ∈ZD ．51[2,2]44k k -+-+，k ∈ZOxy第7题图18. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 A ．8 B ．83C ．822+D ．842+9. 已知斜率为k 的直线l 与抛物线x y C 4:2=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >，则斜率k 的取值范围是A.)(,1-∞B. (,1]-∞C.()1+∞， D. [1,)+∞10. 在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是 A ．点F 的轨迹是一条线段 B ．A 1F 与BE 是异面直线 C ．A 1F 与D 1E 不可能平行D ．三棱锥F -ABD 1的体积为定值二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知52()x x-的展开式中，含3x 项的系数为_______.（用数字作答）．12．双曲线221y x -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是_______．13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第_______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14. 函数2()=cos f x x 的最小正周期是_________，单调递增区间是_______．15. 已知函数21,0,()(2),0.x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩≤若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是________．第8题图第10题图三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=． （Ⅰ）已知 ，计算ABC ∆的面积；请从①7a =，②2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． （Ⅱ）求cos cos B C +的最大值．17.（本小题满分14分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到下表：卫生习惯 状况类 垃圾处理 状况类体育锻炼 状况类心理健康 状况类 膳食合理 状况类 作息规律 状况类有效答卷份数 380 550 330 410 400 430 习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立． （Ⅰ）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备2类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“=1k ξ”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“=0k ξ”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=o ，PAD ∆ 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点. （Ⅰ）求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AP B --的余弦值； （Ⅲ）试判断直线MN 与平面 P AB 的位置关系，并给出证明．NABCDM第18题图19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数．20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率为32，且过点A (0,1)．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ，线段PQ的中点为M ．直线AM 与直线1y =-交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系．21.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，*N a ∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b ∈*N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表*M ：记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j c ，其中,=+i j i j c a b (,1,2,3,)i j =L ． 记数表*M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j d ，其中,1+=-i j i j d a b(1,,)∈∈**N N i b i j ≤≤．如：1,212=+c a b ，1,213=-d a b ． （Ⅰ）设5=a ，9=b ，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（Ⅱ）设6a =，7b =，试求,i j c ，,i j d 的表达式（用,i j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表*M ；（Ⅲ）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案及评分标准一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CCBADBDDCC二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．10- 12．02±（，）；y x =± 13．16；2114．π；π[+π,π],2k k k -∈Z 15.(,3)-∞． 备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 在ABC ∆中，0πA <<，所以π3A =． 若选择①和②方法一 将7a =，2b =代入222b c a bc +-=化简得2230c c --=．所以1c =-（舍），或3c =． 因此11333sin 232222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 方法二 由正弦定理得sin sin a bA B=， 所以72sin 32B =，因此3sin 7B =． 在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >． 因此B 为锐角，所以2cos 7B =．所以33sin sin()sin cos cos sin 27C A B A B A B =+=+=． 因此133sin 22ABC S ab C ∆==． 若选择①和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．将7a =，2c b =代入222b c a bc +-=解得73b =． 所以273c =． 所以11727373sin 222633ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 若选择②和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．因为2b =，所以4c =．所以113sin 2423222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）解：因为π3A =，所以2π3B C +=．所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+-2π2πcos coscos sin sin 33B B B =++ 31πsin cos sin()226B B B =+=+． 因为2π03B <<，所以π5π66B <<． 所以当π3B =时，cos cos B C +有最大值1.17. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份），受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人， 所以，()P A =260=0.1042500． （Ⅱ）解：记事件A 为“该区卫生习惯良好者”，事件B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者”， 事件C 为“该区膳食合理习惯良好者”，由题意，估计可知()=0.6()=0.8()=0.65P A P B P C ，，，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，()()()()E ABC ABC ABC ABC =U U U所以事件E 的概率所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯的概率为0.766． （Ⅲ）解：615432>D D D D D D ξξξξξξ=>>>．18．（本小题满分15分）（Ⅰ）解：取AD 中点为O ，连接OP ，OC 和AC ．因为PAD ∆为等边三角形， 所以PO OD ⊥．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥． 在菱形ABCD 中，AD CD =，60ADC ∠=o， 所以ADC ∆为正三角形，因此OC AD ⊥．以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ，(100)A ，，，(230)B ，，，(030)C ，，，(1,0,0)D -， (0,0,3)P ，13(,0,)22M -，(1,3,0)N ． ()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++=0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=0.168+0.078+0.208+0.312=0.766NABC DMxyzO所以13(,3,)22CM =--u u u u r ，(1,3,0)AB =u u u r ，(1,0,3)AP =-u u u r ． 设平面PAB 的法向量()x y z =，，m ，由00.AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r ，m m 得3030.x y x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则(3,1,1)=-m ．设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，则有||315sin |cos ,|.10||||25CM CM CM θ⋅=<>===⋅⨯u u u u ru u u u r u u u ur m m m 所以直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值为1510． （Ⅱ）解：因为,OC AD OC PO ⊥⊥，所以OC ⊥平面P AD ．所以(0,3,0)OC =u u u r是平面P AD 的法向量，则有35cos ,5||||53OC OC OC ⋅-<>===-⋅⋅u u u r u u u ru u u r m m m ，因为二面角B AP D --的平面角为钝角， 所以二面角B AP D --的余弦值为55-． （Ⅲ）解：结论MN //平面PAB ．因为33(,3,)22MN =-u u u u r ， 所以3333(1)()1022MN =⨯+⨯-+-⨯=u u u u r g m ． 因此MN ⊥u u u u rm ．又因为直线MN ⊄平面PAB ， 所以MN //平面PAB ．19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1xf x ax =+，x ∈R ，所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当0a >时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x 1()a -∞，-1- 11a -- 1(1,)a--+∞'f x （） — 0 + f x （）↘↗所以()f x 的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：x1()a-∞，-1-11a --1(1,)a--+∞'f x （） + 0 — f x （）↗↘所以()f x 的单调增区间是1()a-∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=.（1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时 因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点． （3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<， 并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减，所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2221,3,2.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）解：方法一 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则00x ≠，01y ≠± ，并且220014x y +=， 0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 所以00000000(,1)(,1)2(1)22(1)x x x y MD y y y y =---=----u u u u r ． 因为00(,)2x MO y =--u u u u r ， 所以000000()(1)2(1)2x y x MD MO y y y =⨯-++-u u u u r u u u u r g 200000(1)4(1)x y y y y =-⨯++-． 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以200000(1)(1)01y MD MO y y y y =--⨯++=-u u u u r u u u u r g ． 因此MD MO ⊥u u u u r u u u u r ．所以点M 在以OD 为直径的圆上． 方法二 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则220014x y +=，并且0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 设E 为线段OD 的中点，则001(,)4(1)2x E y --． 所以2ME =2200001()()4(1)22x x y y -++-=22200020(21)1()16(1)2x y y y -++-． 设以OD 为直径的圆的半径为r ，则222020116(1)4x r OE y ==+- ． 所以22222200002200(21)11()16(1)16(1)42x x y r ME y y y --=-+-+-- 222000020()11()4(1)42x y y y y -=⨯+-+- 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以22222000020()11(1)()0(1)42y y r ME y y y --=-⨯+-+=-． 因此||r ME =． 所以点M 在以OD 为直径的圆上．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为55=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为99=-n b n ．得，,(55)(99)5914=-+-=+-i j c i j i j ，则2,650=c ，396,62020=c ． 得，,(55)[9(1)9]595=--+-=--i j d i j i j ，则2,649=-d ． （Ⅱ）证明：已知6a =，7b =，得数列{}n a 的通项公式为66=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为77=-n b n ．所以，,6(1)7(1)6713=-+-=+-i j c i j i j ，,∈∈**N N i j ． 所以，,(66)[7(1)7]676i j d i j i j =--+-=--，17,,∈∈**N N i i j ≤≤． 所以，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．若*t M ∈，则存在,6,∈∈*N N u u v ≤，使67=-t u v ．因此，对于整数t ，考虑集合0{|6,,6}==-∈N M x x t u u u ≤，即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}-t ．下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为126,6--t u t u ，其中1212,,6∈<N u u u u ≤．则这两个元素的差为7的倍数，即21126(6)6()---=-t u t u u u ．所以120-=u u ，与12u u <矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为0006,,6-∈N t u u u ≤．则存在∈Z s ，使00067,,6t u s u u -=∈N ≤，即00067,,6,=+∈∈N Z t u s u u s ≤． 由已证可知，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．而t M ∉，所以s 为负整数，设v s =-，则*N v ∈，且00067,,6,=-∈∈*N N t u v u u v ≤． 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立． （Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉．假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈．则对于整数t ，存在,∈∈N N n m ，,6,∈∈*N N u u v ≤，使6767=-=+t u v n m 成立．整理，得6()7()u n m v -=+．又因为∈N m ，∈*N v ，所以7()06-=+>u n m v 且u n -是7的倍数． 因为,6∈N u u ≤，所以6-u n ≤，所以矛盾，即假设不成立．所以，对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉．又由第二问，对于整数t ，t M ∉，则*t M ∈．所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值．又因为67,,6*N,N t u v u v u =-∈∈≤， 所以*max max ()667129t M ==⨯-⨯=．。
2020年北京密云县高三一模数学试卷(详解)
， 单调减区间是
．
（ 3 ）因为
，
，
所以令
，得
，
（i）当 此时函数
时，方程无解， 无零点．
取 获
（ii）当
时，解得
，
”
此时函数 有唯一的一个零点．
卷
综上所述，当
时，函数 无零点．当
试 时，函数 有一个零点．
题
真
20. 已知椭圆
“ 的离心率为 ，且过点
．
索
（ 1 ） 求椭圆 的标准方程．
搜
信 （ 2 ） 点 是椭圆上异于短轴端点 ， 的任意一点，过点 作
．
（ 1 ） 已知
，计算
的面积；
10
请从①
，② ，③
这三个条件中任选两个，将问题（ ）补充完整，并作答．
注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．
（2） 求
的最大值．
【答案】 （1） （2） ．
解析:
（ 1 ）方法一：
由余弦定理得
，
取
在
中，
，所以
，
获 ”
若选择①和②，
卷
将
， 代入
化简得
试，
所以
（舍），或 ，
题
因此 方法二：
“真． 索
由正弦定理得
，搜
所以
，因此
信，
微
若选择①和③，
请
由
料 得，
资 （为
更多 所以
，
外接圆的半径），
将
，
代入
解得
，
所以
，
所以
，
若选择②和③，
由
2020年北京市密云区高考数学一模试卷(含解析)
2020年北京市密云区高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合M ＝{x|x >0}，N ＝{x|−l ≤x ≤1}，则M ∩N ＝（ ） A.[−1, +∞)B.(0, 1)C.(0, 1]D.[0, 1]2.已知复数z =2i1+i ，则|z|＝（ ） A.l +iB.1−iC.√2D.23.设数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5＝6，a 7＝6．则这个数列的前7项和等于（ ） A.12B.21C.24D.364.已知平面向量a →=(4, 2)，b →=(x, 3)，a → // b →，则实数x 的值等于（ ） A.6B.1C.32D.−325.已知x ，y ∈R ，则“x <y ”是“xy <1”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.如果直线ax +by ＝1与圆C:x 2+y 2＝1相交，则点M(a, b)与圆C 的位置关系是（ ） A.点M 在圆C 上 B.点M 在圆C 外C.点M 在圆C 内D.上述三种情况都有可能7.函数f(x)＝sin(ωx +φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（ ）A.[−54+kπ,−14+kπ],k ∈Z B.[−54+2kπ,−14+2kπ],k ∈Z C.[−54+k,−14+k],k ∈ZD.[−54+2k,−14+2k],k ∈Z8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（ ）89.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(1, m)(m>0)，则斜率k的取值范围是（）A.(−∞, 1)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.[1, +∞)10.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（）A.点F的轨迹是一条线段B.A1F与BE是异面直线C.A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F−ABD1的体积为定值二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知(x−2x)5的展开式中，含x3项的系数为________（用数字作答）．12.双曲线y2−x2＝1的焦点坐标是（0，±√2），渐近线方程是________．13.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为________，第________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14.函数f(x)＝cos2x的最小正周期是________，单调递增区间是________15.已知函数f(x)={2−x−1,x≤0f(x−2),x>0，若关于x的方程f(x)=32x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且b2+c2−a2＝bc．(I)已知_______，计算△ABC的面积；请从①a=√7，②b＝2，③sinC＝2sinB这三个条件中任选两个，将问题(I)补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．(Ⅱ)求cosB+cosC的最大值．17.在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．(I)从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；(Ⅱ)从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；(Ⅲ)利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk＝1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk＝0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者(k＝1, 2, 3, 4, 5, 6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60∘，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点．(I)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；(Ⅱ)求二面角D−AP−B的余弦值；(Ⅲ)试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明．19.已知函数f(x)＝e x(ax+1)，a∈R．(I)求曲线y＝f(x)在点M（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)判断函数f(x)的零点个数．20.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且过点A(0, 1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M．直线AM与直线y=−1交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．21.设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N∗；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N∗．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M∗：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i,j，其中c i,j＝a i+b j(i, j＝1, 2, 3,…)．记数表M∗中位于第i行第j列的元素为d i,j，其中d i,j＝a i−b j+1．(1≤i≤b, i∈N∗, j∈N∗)．如：c1,2＝a1+b2，d l,2＝a1−b3．(I)设a＝5，b＝9，请计算c2,6，c396,6，d2,6；(Ⅱ)设a＝6．b＝7，试求c i,j，d i,j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M∗；(Ⅲ)设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．2020年北京市密云区高考数学一模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合M ＝{x|x >0}，N ＝{x|−l ≤x ≤1}，则M ∩N ＝（ ） A.[−1, +∞) B.(0, 1) C.(0, 1] D.[0, 1]【解答】∵M ＝{x|x >0}，N ＝{x|−l ≤x ≤1}， ∴M ∩N ＝(0, 1]．2.已知复数z =2i1+i ，则|z|＝（ ） A.l +i B.1−i C.√2 D.2【解答】因为复数z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=i(1−i)＝1+i ； ∴|z|=√12+12=√2；3.设数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5＝6，a 7＝6．则这个数列的前7项和等于（ ） A.12 B.21 C.24 D.36【解答】∵数列{a n }是等差数列，a 1+a 3+a 5＝6，a 7＝6． ∴{a 1+a 1+2d +a 1+4d =6a 1+6d =6，解得a 1＝0，d ＝1，∴这个数列的前7项和为： S 7=7×0+7×62×1=21．4.已知平面向量a →=(4, 2)，b →=(x, 3)，a → // b →，则实数x 的值等于（ ） A.6 B.1C.32D.−32【解答】向量a →=(4, 2)，b →=(x, 3)，若a → // b →， 可得12＝2x ，解得x ＝6．5.已知x ，y ∈R ，则“x <y ”是“xy <1”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件“x <y ”与“xy <1”相互推不出，与y 的正负有关， ∴“x <y ”是“xy <1”的既不充分也不必要条件．6.如果直线ax +by ＝1与圆C:x 2+y 2＝1相交，则点M(a, b)与圆C 的位置关系是（ ） A.点M 在圆C 上 B.点M 在圆C 外C.点M 在圆C 内D.上述三种情况都有可能【解答】∵直线ax +by ＝1与圆C:x 2+y 2＝1相交， ∴圆心(0, 0)到直线ax +by ＝1的距离d =22<1，即√a 2+b 2>1．也就是点M(a, b)到圆C 的圆心的距离大于半径． 即点M(a, b)与圆C 的位置关系是点M 在圆C 外．7.函数f(x)＝sin(ωx +φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为（ ）A.[−54+kπ,−14+kπ],k ∈Z B.[−54+2kπ,−14+2kπ],k ∈Z C.[−54+k,−14+k],k ∈Z D.[−54+2k,−14+2k],k ∈Z【解答】 本题采用赋值法如图所示，此图象在x 轴负半轴与x 轴相交的点为−34， x 轴负半轴最高点对应的横坐标为−14， x 轴正半轴14与54中点为34，所以我们所能看到的图象上对称的特殊点的横坐标分别为−54，−34，−14，14，34，54， 增区间里面没有π，所以A 、B 答案错．C 答案：当k ＝1时，区间为(−14, 34)为此函数的减区间， D 答案：当k ＝0时，区间为(−54, −14)为此函数的增区间． 故选：D ．A.8B.83C.8+2√2D.8+4√2【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，（该题中的三视图要转换角度来看）如图所示：所以：S=2×2+2×12×2×2+2×12×2×2√2=8+4√2，故选：D．9.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点为M(1, m)(m>0)，则斜率k的取值范围是（）A.(−∞, 1)B.(−∞, 1]C.(1, +∞)D.[1, +∞)【解答】设直线l的方程为：y＝kx+b，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立方程{y=kx+by2=4x，消去y得：k2x2+(2kb−4)x+b2＝0，∴△＝(2kb−4)2−4k2b2>0，∴kb<1，且x1+x2=4−2kbk2，x1x2=b2k2，y1+y2＝k(x1+x2)+2b=4k，∵线段AB的中点为M(1, m)(m>0)，∴x1+x2=4−2kbk =2，y1+y2=4k=2m，∴b=2−k 2k ，m=2k，∵m>0，∴k>0，把b=2−k 2k代入kb<1，得2−k2<1，∴k2>1，∴k>1，如图所示，下列说法不正确的是（）A.点F的轨迹是一条线段B.A1F与BE是异面直线C.A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F−ABD1的体积为定值【解答】对于A．设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则∵A1M // D1E，A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，∴A1M // 平面D1AE．同理可得MN // 平面D1AE，∵A1M、MN是平面A1MN内的相交直线∴平面A1MN // 平面D1AE，由此结合A1F // 平面D1AE，可得直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点．∴A正确．对于B．∵平面A1MN // 平面D1AE，BE和平面D1AE相交，∴A1F与BE是异面直线，∴B正确．对于C，由A知，平面A1MN // 平面D1AE，∴A1F与D1E不可能平行，∴C错误．对于D，因为MN // EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F−AD1E的体积为定值，所以D正确；二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．)5的展开式中，含x3项的系数为________（用数字作答）．11.已知(x−2x【解答】)5展开式的通项公式为(x−2xT r+1=C5r x5−r(−2)r=C5r(−2)r x5−2r，x令5−2r＝3，解得r＝1，所以展开式中含x3的系数为C51(−2)1=−10．12.双曲线y2−x2＝1的焦点坐标是（0，±√2），渐近线方程是________．双曲线y2−x2＝1，可得a＝1，b＝1，则c=√2，所以双曲线的焦点坐标是(0, ±√2)，渐近线方程为：y＝±x．13.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为________，第________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．【解答】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a4＝1×23＝8，S n=1×(1−2n)1−2=127，解得n＝7，∴第7+15＝22天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14.函数f(x)＝cos2x的最小正周期是________，单调递增区间是________【解答】∵函数f(x)＝cos2x=12cos2x+12，∴可得最小正周期T=2π2=π，令2kπ+π≤2x≤2kπ+2π，k∈Z，可得kπ+π2≤x≤kπ+π，k∈Z，可得单调递增区间是[kπ+π2, kπ+π]，k∈Z．15.已知函数f(x)={2−x−1,x≤0f(x−2),x>0，若关于x的方程f(x)=32x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．【解答】函数f(x)的图象如图所示：方程f(x)=32x+a有且只有两个不相等的实数根，当过(0, 3)点时两个函数有一个交点，即y＝a，时与函数f(x)有一个交点，向下平移后有两个交点，可得a<3，故答案为：(−∞, 3)．三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且b 2+c 2−a 2＝bc ． (I)已知_______，计算△ABC 的面积；请从①a =√7，②b ＝2，③sinC ＝2sinB 这三个条件中任选两个，将问题(I)补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． (Ⅱ)求cosB +cosC 的最大值． 【解答】（1）若选②b ＝2，③sinC ＝2sinB ． ∵sinC ＝2sinB ，∴c ＝2b ＝4， ∵b 2+c 2＝a 2+bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，又∵A ∈(0, π)，∴A =π3．∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×4×√32=2√3．若选①a =√7，②b ＝2．由b 2+c 2＝a 2+bc 可得c ＝3， ∵b 2+c 2＝a 2+bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，又∵A ∈(0, π)，∴A =π3．∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 若选①a =√7，③sinC ＝2sinB ∵sinC ＝2sinB ，∴c ＝2b ，又b 2+c 2＝a 2+bc ，∴b 2+4b 2＝7+2b 2，可得b =√213，c =2√213∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×√213×2√213=73．（2）∵A =π3．∴cosB +cosC ＝cosB +cos[π−(B +π3)]＝cosB −cos(B +π3)＝cosB −12cosB +√32sinB =1cosB +√3sinB =sin(B +π) ∵0<B <23π，∴sin(B +π6)≤1， 故cosB +cosC 的最大值为1．．17.在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯，社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到如表：假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立．(I)从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；(Ⅱ)从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；(Ⅲ)利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk ＝1”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“ξk ＝0”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者(k ＝1, 2, 3, 4, 5, 6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系． 【解答】（I ）设“选取的试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者“的事件为A ， 有效问卷共有380+550+330+410+400+430＝2500（份）， 其中受访者中膳食合理习惯良好的人数是400×0.65＝260人， 故P(A)=2602500=0.104；(II)设该区“卫生习惯状况良好者“，“体育锻炼状况良好者“、“膳食合理状况良好者”事件分别为A ，B ，C ，根据题意，可知P(A)＝0.6，(B)＝0.8，P(C)＝0.65，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯“则P(E)＝P(ABC ¯)+P(AB ¯C)+P(A ¯BC)+P(ABC)＝P(A)P(B)P(C ¯)+P(A)P(B ¯)P(C)+P(A ¯)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) ＝0.6×0.8×0.35+0.6×0.2×0.65+0.4×0.8×0.65+0.6×0.8×0.65 ＝0.168+0.078+0.208+0.312 ＝0.766；(III)Dξ6＝Dξ1>Dξ5>Dξ4>Dξ3>Dξ2．18.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ADC ＝60∘，△PAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点． (I)求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值； (Ⅱ)求二面角D −AP −B 的余弦值；(Ⅲ)试判断直线MN 与平面PAB 的位置关系，并给出证明．【解答】∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ADC ＝60∘，∴△ACD 为等边三角形． 取AD 中点O ，连接OC ，则OC ⊥AD ， ∵△PAD 为等边三角形，∴OP ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴OP ⊥平面ABCD ． 以O 为坐标原点，分别以OC ，OD ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0, −1, 0)，D(0, 1, 0)，C(√3, 0, 0)，B(√3, −2, 0)，P(0, 0, √3)， M(0, 12, √32)，N(√3, −1, 0)．AP →=(0,1,√3)，AB →=(√3,−1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n →=(x,y,z)． 由{n →⋅AP →=y +√3z =0n →⋅AB →=√3x −y =0 ，取y =√3，得n →=(1,√3,−1)． （1）证明：CM →=(−√3,12,√32)，设直线CM 与平面PAB 所成角为θ， 则sinθ＝|cos <n →,CM →>|=|n →⋅CM →||n →|⋅|CM →|=√3√5⋅2=√1510， 即直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值为√1510； （2）设平面DAP 的一个法向量为m →=(1,0,0)， 由cos <n →,m →>=n →⋅m→|n →|⋅|m →|=√5⋅1=√55，得二面角D −AP −B 的余弦值为−√55；(Ⅲ)∵MN →=(√3,−32,−√32)， ∴n →⋅MN →=√3−3√32+√32=0，又MN ⊄平面PAB ，∴直线MN // 平面PAB ．19.已知函数f(x)＝e x (ax +1)，a ∈R ．(I)求曲线y ＝f(x)在点M （0, f(0)）处的切线方程； (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间； (Ⅲ)判断函数f(x)的零点个数． 【解答】（I ）∵f(x)＝e x (ax +1)，∴f′(x)＝e x (ax +1)+ae x ＝e x (ax +a +1)， 设曲线y ＝f(x)在点M （0, f(0)）处的切线的斜率为k ， 则k ＝f′(0)＝e x (ax +1)+ae x ＝e 0(a +1)＝a +1， 又f(0)＝1，∴曲线y ＝f(x)在点M （0, f(0)）处的切线方程为：y −1＝(a +1)x ，即(a +1)x −y +1＝0； （2）由(Ⅰ)知，f′(x)＝e x (ax +a +1)，故当a ＝0时，f′(x)＝e x >0，所以f(x)在R 上单调递增； 当a >0时，x ∈(−∞, −a+1a)，f′(x)<0；x ∈(−a+1a , +∞)，f′(x)>0； ∴f(x)的递减区间为(−∞, −a+1a)，递增区间为(−a+1a, +∞)；当a <0时，同理可得f(x)的递增区间为(−∞, −a+1a)，递减区间为(−a+1a, +∞)；综上所述，a ＝0时，f(x)单调递增为(−∞, +∞)，无递减区间； 当a >0时，f(x)的递减区间为(−∞, −a+1a )，递增区间为(−a+1a , +∞)； 当a <0时，f(x)的递增区间为(−∞, −a+1a )，递减区间为(−a+1a, +∞)；(Ⅲ)当a ＝0时，f(x)＝e x >0恒成立，所以f(x)无零点；当a ≠0时，由f(x)＝e x (ax +1)＝0，得：x =−1a ，只有一个零点．20.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且过点A(0, 1)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于Q ，线段PQ 的中点为M ．直线AM 与直线y =−1交于点N ，D 为线段BN 的中点，设O 为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系． 【解答】解：(1)由题意可知，{ b =1，c a=√32，a 2=b 2+c 2， 解得{a =2，b =1，c =√3，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1； (2)设点P(x 0, y 0)，则M(x02, y 0)，∴直线AM 的斜率为y 0−1x 02−0=2(y 0−1)x 0， ∴直线AM 的方程为：y =2(y 0−1)x 0x +1，令y =−1得，x =x1−y 0，∴点N 的坐标为(x01−y 0, −1)，∴点D 的坐标为(x02(1−y 0), −1)，∴OM →⋅DM →=(x 02, y 0)⋅(x 02−x2(1−y 0),y 0+1)=x 024+y 02−x 024−4y 0+y 0，又∵点P(x 0, y 0)在椭圆C 上， ∴x 024+y 02=1，x 02=4−4y 02，∴OM →⋅DM →=1−4(1−y 02)4(1−y 0)+y 0=1−(1+y 0)+y 0=0，∴点M 在以OD 为直径的圆上．21.设等差数列{a n }的首项为0，公差为a ，a ∈N ∗；等差数列{b n }的首项为0，公差为b ，b ∈N ∗．由数列{a n }和{b n }构造数表M ，与数表M ∗：记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为c i,j ，其中c i,j ＝a i +b j (i, j ＝1, 2, 3,…)．记数表M ∗中位于第i 行第j 列的元素为d i,j ，其中d i,j ＝a i −b j+1．(1≤i ≤b, i ∈N ∗, j ∈N ∗)．如：c 1,2＝a 1+b 2，d l,2＝a 1−b 3．(I)设a ＝5，b ＝9，请计算c 2,6，c 396,6，d 2,6；(Ⅱ)设a＝6．b＝7，试求c i,j，d i,j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M∗；(Ⅲ)设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．【解答】（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n−5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n−9，得c i,j＝a i+b j＝(5i−5)+(9i−9)＝5i+9j−14，则c2,6＝50，c396,6＝2020，得d i,j＝a i−b j+1＝(5i−5)−[9(j+1)−9]＝5i−9j−5，故d2,6＝−49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n−6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n−7，得c i,j＝a i+b j＝(6i−6)+(7i−7)＝6i+7j−13，i∈N∗，j∈N∗)．得d i,j＝a i−b j+1＝(6i−6)−[7(j+1)−7]＝6i−7j−6，1≤i≤7，i∈N∗，j∈N∗)．所以若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，若t∈M∗，则存在u∈N，u≤6，v∈N∗，使t＝6u−7v，因此，对于正整数t，考虑集合M0＝{x|x＝t−6u, u∈N, u≤6}，即{t, t−6, t−12, t−18, t−24, t−30, t−36}．下面证明：集合M0中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合M0中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合M0中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6，又因为集合M0中共有7个元素，所以集合M0中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为t−6u1，t−u2，其中u1，u2∈N，u1<u2≤6．则这两个元素的差为7的倍数，即(t−u2)−(t−6u1)＝6(u1−u2)，所以u1−u2＝0，与u1<u2矛盾，所以假设不成立，即原命题成立．即集合M0中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为t−6u0，u0≤6，u0∈N，则存在s∈Z，使t−6u0＝7s，u0∈N，u0≤6，即t＝6u0+7s，u0∈N，s∈Z，由已证可知，若t∈M，则存在u∈N，v∈N，使t＝6u+7v，而t∉M，所以S为负整数，设V＝−s，则v∈N∗，且t＝6u0−7v，u0∈N，u0≤6，v∈N∗，所以，当a＝6，b＝7时，对于整数t，若t∉M，则t∈M∗成立．(Ⅲ)下面用反证法证明：若对于整数t，t∈M∗，则t∉M，假设命题不成立，即t∈M∗，且t∈M．则对于整数t，存在n∈N，m∈N，u∈N，u≤6，v∈N∗，使t＝6u−7v＝6n+7m成立，整理，得6(u−n)＝7(m+v)，又因为m∈N，v∈N∗，(m+v)>0且u−n是7的倍数，所以u−n=76因为u∈N，u≤6，所以u−n≤6，所以矛盾，即假设不成立．所以对于整数t，若t∈M∗，则t∉M，又由第二问，对于整数t∉M，则t∈M∗，所以t的最大值，就是集合M∗中元素的最大值，又因为t＝6u−7v，u∈N，v∈N∗，u≤6，所以t max＝(M∗)max＝6×6−7×1＝29．。
2020北京密云高三一模-数学
2020北京密云高三一模数学 2020.4考生须知１.本试卷共４页，满分150分，考试时间120分钟. ２.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号. ３.试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效. ４.在答题卡上，试题用黑色字迹签字笔作答.５.考试结束，将答题纸交回.一、选择题.1.已知集合M={x|x>0},N={x|−1≤x≤1}，则M∩N=A.[−1,+∞)B.(0,1)C. (0,1]D. [0,1]2.已知复数z=2i1+i，则|z|=A.1+iB. 1−iC.√2D.23.设数列{a n}是等差数列，a1+a3+a5=6,a7=6.则这个数列的前７项和等于A.12B.21C.24D.364.已知平面向量a=(4,2),b=(x,3),a∥b，则实数x的值等于A.6B.1C.32D.−325.已知x,y∈R，则“x<y”是“xy<1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.如果直线ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交，则点M(a,b)与圆C的位置关系是A.点M在圆C上B.点M在圆C外C.点M在圆C内D.上述三种情况都有可能7.函数f(x)=sin (ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为A.[−54+kπ,−14+kπ,k∈Z]B. [−54+2kπ,−14+2kπ,k∈Z]C. [−54+k,−14+k,k∈Z]D. [−54+2k,−14+2k,k∈Z]8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为A.8B.83C.8+2√2D. 8+4√29.已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点，线段AB的中点为M(1,m)(m>0)，则斜率k的取值范围是A.(−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)10.在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是A.点F的轨迹是一条线段B. A1F与BE是异面直线C. A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F−ABD1的体积为定值二、填空题:本大题共５小题，每小题5分，共25分.11.已知(x−2x)5的展开式中，含x3项的系数为.(用数字作答).12.双曲线y2−x2=1的焦点坐标是，渐近线方程是.13.在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的１名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第１９天治愈出院患者的人数为，第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.14.函数f(x)=cos2x的最小正周期是，单调递增区间是.15.已知函数f(x)={2−x−1 x≤0,f(x−2) x>0.若关于x的方程f(x)=32x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在∆ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，并且b2+c2−a2=bc.(Ⅰ)已知，计算∆ABC的面积；请从①a=√7，②b=2，③sinC=2sinB这三个条件中任选两个，将问题(Ⅰ)补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.(Ⅱ)求cosB+cosC的最大值.17.(本小题满分１４分)在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是:(１)卫生习惯状况类；(２)垃圾处理状况类；(３)体育锻炼状况类；(４)心理健康状况类；(５)膳食合理状况类；(６)作息规律状况类.经过数据整理，得到下表:(Ⅰ)从小组收集的有效答卷中随机选取１份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；(Ⅱ)从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；(Ⅲ)利用上述六类习惯调查的排序，用“ξk=1”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“ξk=0”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者(k=1,2,3,4,5,6).写出方差Dξ1,Dξ2,Dξ3,Dξ4,Dξ5,Dξ6的大小关系.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC60°，∆PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M,N分别是线段PD和BC的中点.(Ⅰ)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；(Ⅱ)求二面角D−AP−B的余弦值；(Ⅲ)试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.19.(本小题满分14分)已知函数f(x)=e x(ax+1),a∈R(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点M(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)判断函数f(x)的零点个数.20.(本小题满分14分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，且过点A(0,1)(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)点P是椭圆上异于短轴端点A,B的任意一点，过点P作PQ⊥y轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线y=−1交于点N,D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.设等差数列{a n}的首项为0，公差为a,a∈N∗；等差数列{b n}的首项为0，公差为b,b∈N∗.由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M∗:记数表M中位于第i行第j列的元素为c i,j，其中c i,j=a i+b j(i,j=1,2,3···).记数表M∗中位于第i行第j列的元素为d i,j，其中d i,j=a i−b j+1(1≤i≤b,i∈N∗,j∈N∗).如:c1,2=a1+b2,d1,2=a1−b3.(Ⅰ)设a=5,b=9，请计算c2,6,c396,6,d2,6；(Ⅱ)设a=6,b=7，试求c i,j，d i,j的表达式(用i，j表示)，并证明:对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M∗；(Ⅲ)设a=6,b=7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)2020北京密云高三一模数学参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．11．10- 12．0±（，；y x =± 13．16；2114．π；π[+π,π],2k k k -∈Z 15.(,3)-∞． 备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 在ABC ∆中，0πA <<，所以π3A =． 若选择①和② 方法一将a =2b =代入222b c a bc +-=化简得2230c c --=．所以1c =-（舍），或3c =．因此11sin 2322ABC S bc A ∆==⨯⨯=． 方法二 由正弦定理得sin sin a bA B=，2sin B =，因此sin B = 在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >．因此B 为锐角，所以cosB =．所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=因此1sin 2ABC S ab C ∆== 若选择①和③ 由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径），所以2c b =．将a =2c b =代入222b c a bc +-=解得b =所以c =所以11sin2226ABC S bc A ∆===． 若选择②和③ 由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径），所以2c b =．因为2b =，所以4c =．所以11sin 24222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）解：因为π3A =，所以2π3B C +=．所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+- 2π2πcos coscos sin sin 33B B B =++1πcos sin()26B B B =+=+． 因为2π03B <<，所以π5π66B <<． 所以当π3B =时，cos cos B C +有最大值1. 17. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份）， 受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人，所以，()P A =260=0.1042500． （Ⅱ）解：记事件A 为“该区卫生习惯良好者”，事件B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者”，事件C 为“该区膳食合理习惯良好者”， 由题意，估计可知()=0.6()=0.8()=0.65P A P B P C ，，，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，()()()()E ABC ABC ABC ABC =U U U所以事件E 的概率()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++=0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =0.168+0.078+0.208+0.312=0.766所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2 个良好习惯的概率为0.766．（Ⅲ）解：615432>D D D D D D ξξξξξξ=>>>． 18．（本小题满分15分）（Ⅰ）解：取AD 中点为O ，连接OP ，OC 和AC ．因为PAD ∆为等边三角形，ADMxzO所以PO OD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥．在菱形ABCD 中，AD CD =，60ADC ∠=o， 所以ADC ∆为正三角形，因此OC AD ⊥．以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ，(100)A ，，，(2B，(0C ，(1,0,0)D -，P ，1(,0,)22M -，N ．所以1(,2CM =-u u u u r，AB =u u u r，(AP =-u u u r ． 设平面PAB 的法向量()x y z =，，m ，由00.AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r ，m m得00.x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令x =1,1)=-m ．设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，则有||sin |cos ,|||||CM CM CM θ⋅=<>===⋅u u u u ru u u u r u u u ur m m m 所以直线CM 与平面PAB所成角的正弦值为10． （Ⅱ）解：因为,OC AD OC PO ⊥⊥，所以OC ⊥平面PAD ．所以OC =u u u r是平面PAD 的法向量，则有cos ,||||OC OC OC ⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r m m m ，因为二面角B AP D --的平面角为钝角，所以二面角B AP D --的余弦值为． （Ⅲ）解：结论MN //平面PAB ．因为3(2MN =u u u u r ，所以3(1)(102MN =-+⨯=u u u u r g m ． 因此MN ⊥u u u u rm ．又因为直线MN ⊄平面PAB ， 所以MN //平面PAB ．19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1xf x ax =+，x ∈R ，所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时 令'()0f x =，则11x a=--． ① 当0a >时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：所以()f x 的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞． ②当0a <时，()f x 与'()f x 在R 上的变化情况如下：所以()f x 的单调增区间是()a -∞，-1-，单调减区间是(1,)a--+∞． 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x 的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a --+∞；当0a <时，()f x 的单调增区 间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a --+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e 1,x f x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=.（1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点；（2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.方法二（1）当0a =时因为()e 0x f x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点； 若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a +<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10x f x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点．（3）当0a <时 因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a --=<， 并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点； 若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a +>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10x f x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a -∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2221,2.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）解：方法一 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则00x ≠，01y ≠± ， 并且220014x y +=， 0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --．所以00000000(,1)(,1)2(1)22(1)x x x y MD y y y y =---=----u u u u r ． 因为00(,)2x MO y =--u u u u r ， 所以000000()(1)2(1)2x y x MD MO y y y =⨯-++-u u u u r u u u u r g 200000(1)4(1)x y y y y =-⨯++-． 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以200000(1)(1)01y MD MO y y y y =--⨯++=-u u u u r u u u u r g ． 因此MD MO ⊥u u u u r u u u u r ．所以点M 在以OD 为直径的圆上．方法二 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ， 则220014x y +=，并且0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 设E 为线段OD 的中点，则001(,)4(1)2x E y --． 所以2ME =2200001()()4(1)22x x y y -++-=22200020(21)1()16(1)2x y y y -++-． 设以OD 为直径的圆的半径为r ， 则222020116(1)4x r OE y ==+- ． 所以22222200002200(21)11()16(1)16(1)42x x y r ME y y y --=-+-+--222000020()11()4(1)42x y y y y -=⨯+-+- 因为220014x y +=，所以220014x y =-． 所以22222000020()11(1)()0(1)42y y r ME y y y --=-⨯+-+=-． 因此||r ME =．所以点M 在以OD 为直径的圆上．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为55=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为99=-n b n ．得，,(55)(99)5914=-+-=+-i j c i j i j ，则2,650=c ，396,62020=c ．得，,(55)[9(1)9]595=--+-=--i j d i j i j ，则2,649=-d ．（Ⅱ）证明：已知6a =，7b =，得数列{}n a 的通项公式为66=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为77=-n b n ．所以，,6(1)7(1)6713=-+-=+-i j c i j i j ，,∈∈**N N i j ．所以，,(66)[7(1)7]676i j d i j i j =--+-=--，17,,∈∈**N N i i j ≤≤． 所以，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．若*t M ∈，则存在,6,∈∈*N N u u v ≤，使67=-t u v ．因此，对于整数t ，考虑集合0{|6,,6}==-∈N M x x t u u u ≤，即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}-t ．下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数，则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6．又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为126,6--t u t u ，其中1212,,6∈<N u u u u ≤．则这两个元素的差为7的倍数，即21126(6)6()---=-t u t u u u ．所以120-=u u ，与12u u <矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为0006,,6-∈N t u u u ≤． 则存在∈Z s ，使00067,,6t u s u u -=∈N ≤，即00067,,6,=+∈∈N Z t u s u u s ≤． 由已证可知，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．而t M ∉，所以s 为负整数，设v s =-，则*N v ∈，且00067,,6,=-∈∈*N N t u v u u v ≤． 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立．（Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉．假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈．则对于整数t ，存在,∈∈N N n m ，,6,∈∈*N N u u v ≤，使6767=-=+t u v n m 成立． 整理，得6()7()u n m v -=+．又因为∈N m ，∈*N v ，所以7()06-=+>u n m v 且u n -是7的倍数． 因为,6∈N u u ≤，所以6-u n ≤，所以矛盾，即假设不成立．所以，对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉．又由第二问，对于整数t ，t M ∉，则*t M ∈．所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值．又因为67,,6*N,N t u v u v u =-∈∈≤，所以*max max ()667129t M ==⨯-⨯=．。
2020-2021学年北京市密云区高三(上)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年北京市密云区高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}2．（4分）已知向量＝（4，m），＝（3，﹣2），且⊥，则m＝（）A．﹣B．﹣6C．6D．83．（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x﹣2B．y＝ln|x|C．y＝2x D．y＝x sin x4．（4分）将数列{2n+1}与{3n﹣2}（n＝1，2，……）的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前4项的和为（）A．35B．60C．64D．955．（4分）已知a＝log34，πb＝3，c3＝9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．（4分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（x﹣）B．f（x）＝2sin（x﹣）C．f（x）＝2sin（2x﹣）D．f（x）＝2sin（2x﹣）7．（4分）当强度为x的声音对应等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数），装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．2B．lg2C．102D．1068．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S2021＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（4分）在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则等于（）A．1B．C．D．10．（4分）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[0，a]上可找到n（n≥2，n∈N*）个不同的数x1，x2，…，x n，使得＝＝……＝，则n的取值为（）A．{2，3，4，5}B．{2，4，5}C．{3，4，5}D．{2，3，4}二、填空题（共5小题）.11．（5分）函数f（x）＝log2x+的定义域为．12．（5分）给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；④a＞b；⑤＜．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．13．（5分）已知向量，满足||＝1，＝（1，1），则•的最大值为．14．（5分）若“∃x0＞1，使得x+＜a．”为假命题，则实数a的最大值为．15．（5分）设函数f（x）＝．①若a＝1，则f（x）的值域为；②若f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x•cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．17．（13分）已知等差数列{a n}的前n和为S n，满足S7＝a4．（Ⅰ）若a3＝2，求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若a1＜0，且S n≤a n，求n的取值范围．18．（14分）在△ABC中，A＝，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：c＝5；条件②：cos B＝﹣．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e+恒成立，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+a，若x1，x2∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，①求a的取值范围；②求证：x1x2＜1．21．（15分）对于实数数列{a n}，记m n＝．（Ⅰ）若m1＝1，m2＝2，m3＝4，m4＝8，写出a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）若数列{a n}是等差数列，求证：对任意三元数组（i，j，k）（i，j，k两两不相等），总有（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝0；（Ⅲ）若对任意三元数组（i，j，k）（i，j，k两两不相等），存在常数c，使得（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝c，求证：{a n}是等差数列．参考答案一、选择题（共10小题）.1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，0}D．{0}解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{0}．故选：D．2．（4分）已知向量＝（4，m），＝（3，﹣2），且⊥，则m＝（）A．﹣B．﹣6C．6D．8解：∵向量＝（4，m），＝（3，﹣2），且⊥，∴•＝12﹣2m＝0，则m＝6，故选：C．3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x﹣2B．y＝ln|x|C．y＝2x D．y＝x sin x解：对于A，函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故A错误，对于B，函数是偶函数，在（0，+∞）递增，合题意；故B正确，对于C，函数不是偶函数，不符合题意；故C错误，对于D，函数在（0，+∞）上不是单调递增，不符合题意；故D错误．故选：B．4．（4分）将数列{2n+1}与{3n﹣2}（n＝1，2，……）的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前4项的和为（）A．35B．60C．64D．95解：数列{2n+1}的前几项为3，5，7，9，11，13，15，…，{3n﹣2}的的前几项为1，4，7，10，13，16，…，可得数列{2n+1}与{3n﹣2}（n＝1，2，……）的公共项是首项为7，公差为6的等差数列，则{a n}的前4项的和为4×7+×4×3×6＝64．故选：C．5．（4分）已知a＝log34，πb＝3，c3＝9，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c解：∵a＝log34＞1，且a＜log39＝2，即a∈（1，2）．∵πb＝3，∴b＝logπ3＜logππ＝1，∵c3＝9＝＞＝2，则b＜a＜c，故选：D．6．（4分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（x﹣）B．f（x）＝2sin（x﹣）C．f（x）＝2sin（2x﹣）D．f（x）＝2sin（2x﹣）解：由函数的图象可得A＝2，又∵函数的周期T＝2（﹣）＝π，∴ω＝＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ），∵点（，0）在函数图象上，∴2sin（2×+φ）＝0，可得2×+φ＝kπ，k∈Z，由于|φ|＜，可得φ＝﹣．∴f（x）的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣）．故选：C．7．（4分）当强度为x的声音对应等级为f（x）分贝时，有f（x）＝10lg（其中A0为常数），装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（）A．2B．lg2C．102D．106解：根据题意，f（x）＝10lg，装修电钻的声音约为120分贝，此时对应的声音强度为x1，则有120＝10lg，变形可得＝1012，①普通室内谈话的声音约为60分贝，此时对应的声音强度为x2，则有60＝10lg，变形可得＝106，②①÷②，变形可得：＝106，故选：D．8．（4分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a1＜0”是“S2021＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：设等比数列{a n}的公比为q，若q＝1，则S2021＝2021a1，则“a1＜0”⇔“S2021＜0”．若q≠1，则S2021＝a1•，1﹣q与1﹣q2021的符号相同，则“a1＜0”⇔“S2021＜0”．综上可得：“a1＜0”⇔“S2021＜0”．∴“a1＜0”是“S2021＜0”的充要条件．故选：C．9．（4分）在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ+μ，其中λ，μ∈R，则等于（）A．1B．C．D．解：由余弦定理可得：AC＝＝＝2，所以由勾股定理可得：AB2+AC2＝BC2，如图所示：因为AD是BC边上的高，则在直角三角形ABD中，AB＝2，∠B＝，则BD＝3，所以BD＝，则＝＝＝＝，又，所以，所以，故选：D．10．（4分）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[0，a]上可找到n（n≥2，n∈N*）个不同的数x1，x2，…，x n，使得＝＝……＝，则n的取值为（）A．{2，3，4，5}B．{2，4，5}C．{3，4，5}D．{2，3，4}解：令y＝f（x），y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4，5个交点，故k＝（x＞0）可分别有2，3，4，5个解．故n∈{2，3，4，5}．故选：A．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）函数f（x）＝log2x+的定义域为（0，1）∪（1，+∞）．解：由题意得：，解得：x＞0且x≠1，故函数的定义域是（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（0，1）∪（1，+∞）．12．（5分）给出下列五个论断：①b＜0；②b＞0；③a＜0；④a＞b；⑤＜．以其中的两个论断作为条件，一个论断作为结论，写出一个正确的命题：②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤；．解：由②③⇒⑤，由于b＞0，a＜0，则．由③④⇒⑤，由于a＜0，a＞b，则0＞a＞b，所以．由②④⇒⑤，由于b＞0，且a＞b，则a＞b＞0，所以．故答案为：②③⇒⑤；③④⇒⑤；②④⇒⑤；13．（5分）已知向量，满足||＝1，＝（1，1），则•的最大值为．解：向量，满足||＝1，＝（1，1），则•＝||||cos＝cos≤．当向量，同向共线时，•取得最大值：．故答案为：．14．（5分）若“∃x0＞1，使得x+＜a．”为假命题，则实数a的最大值为3．解：由“∃x0＞1，使得x+＜a．”为假命题，可知，“∀x＞1，x+≥a”为真命题，∴a≤x+恒成立，由x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，即a的最大值为3．故答案为：3．15．（5分）设函数f（x）＝．①若a＝1，则f（x）的值域为（﹣1，+∞）；②若f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．解：①若a＝1，则，当x≤1时，f（x）＝3x﹣1∈（﹣1，2]，当x＞1时，f（x）＝|x+1|＞2，∴f（x）的值域为（﹣1，2]∪（2，+∞）＝（﹣1，+∞）；②在同一平面直角坐标系内作出函数y＝3x﹣1与y＝|x+1|的图象如图：由图可知，要使函数f（x）＝在R上的增函数，则实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：①（﹣1，+∞）；②[﹣1，1]．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）已知函数f（x）＝2sin x•cos（x﹣）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x•cos（x﹣）＝2sin x（cos x cos+sin x sin）＝sin x cos x+sin2x ＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x﹣）+，所以f（x）的最小正周期为T＝＝π，因为函数y＝sin x的单调递增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，所以﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．（Ⅱ）当x∈[﹣，m]时，可得﹣≤2x﹣≤2m﹣，因为f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，所以2m﹣≥，所以m≥，即m的最小值为．17．（13分）已知等差数列{a n}的前n和为S n，满足S7＝a4．（Ⅰ）若a3＝2，求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若a1＜0，且S n≤a n，求n的取值范围．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵S7＝a4，∴7a1+＝a1+3d，∴a1＝﹣3d，∵a3＝2，∴a1+2d＝2，解得a1＝6，d＝﹣2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣2n+8，（n＝1，2，3，…），∴S n＝na1+d＝6n﹣n（n﹣1）＝﹣n2+7n．（Ⅱ）∵a1＜0，由S7＝a4，可知a1＝﹣3d，∴d＞0，∵S n≤a n，∴﹣3nd+≤﹣3d+（n﹣1）d，∵d＞0，∴﹣3n+≤﹣3+（n﹣1），∵n2﹣9n+8≤0，解得1≤n≤8．∴n的取值范围1≤n≤8，n∈N*．18．（14分）在△ABC中，A＝，b﹣a＝1，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）sin（A+B）的值；（Ⅱ）△ABC的面积．条件①：c＝5；条件②：cos B＝﹣．解：选择条件①：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得a2＝（a+1）2+25﹣2×（a+1）×5×，解得a＝7，由正弦定理，所以＝，因此sin C＝，在△ABC中，A+B+C＝π，有sin（A+B）＝sin C＝．（Ⅱ）当a＝7时，b＝8，则S△ABC＝bc sin A＝10．选择条件②：（Ⅰ）在△ABC中，0＜B＜π，因为cos B＝﹣，则sin B＝，又因为A＝，所以sin（A+B）＝sin（+B）＝sin cos B+cos sin B＝+＝，即sin（A+B）＝．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理＝＝＝，又因为b﹣a＝1，所以a＝7，b＝8，则S△ABC＝bc sin A＝6．19．（15分）已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e+恒成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝e x﹣ax﹣1的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）＝e x﹣a．当a≤0时，∵f′（x）＞0在（﹣∞，+∞）上恒成立，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有减区间．当a＞0时，由f′（x）＝0，得x＝lna，∴当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，没有减区间．当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，lna），单调递增区间为（lna，+∞）；（Ⅱ）对任意x1，x2∈[﹣1，1]，恒成立，即在区间[﹣1，1]上，f（x）max﹣f（x）min恒成立．∵f′（x）＝e x﹣a在[﹣1，1]上单调递增，令f′（﹣1）≥0．当a时，f′（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立，∴f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，f（x）max﹣f（x）min＝f（1）﹣f（﹣1）＝e﹣，可得，符合题意；当＜a＜e，即﹣1＜lna＜1时，若x∈（﹣1，lna），f′（x）＜0，f（x）单调递减，若x∈（lna，1），f′（x）＞0，f （x）单调递增，又f（﹣1）＝，f（1）＝e﹣a﹣1，f（lna）＝a﹣alna﹣1，依题意有，即，∵﹣1＜lna＜1，＜a＜e，∴恒成立，可得＜a＜e符合题意；当a≥e，即lna≥1时，∵f′（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减，，可得a＝e符合题意．综上，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e+恒成立，a的取值范围是[﹣]．20．（15分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设函数g（x）＝f（x）+a，若x1，x2∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，①求a的取值范围；②求证：x1x2＜1．解：（Ⅰ）∵f′（x）＝﹣1，∴切线的斜率f′（1）＝0，f（1）＝﹣1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y＝﹣1；（Ⅱ）①由g（x）＝f（x）+a＝lnx﹣x+a，x∈（0，e]，g′（x）＝﹣1，令g′（x）＝0，解得：x＝1，x，g′（x），g（x）的变化如下：x（0，1）1（1，e）eg′（x）+0﹣g（x）递增极大值递减若x1，x2∈（0，e]是函数g（x）的两个零点，g（1）＝﹣1+a＞0，即a＞1，g（e）＝1﹣e+a≤0，即a≤e﹣1，令x＝e﹣a，显然0＜e﹣a＜1，有g（e﹣a）＝﹣e﹣a＜0，故a的取值范围是（1，e﹣1]；②证明：不妨设x1＜x2，由①可知x1∈（0，1），x2∈（0，e），故∈（0，1），要证x1x2＜1，即证x1＜，又∵x1，∈（0，1），函数g（x）在（0，1）递增，即证g（x1）＜g（），∵x1，x2∈（0，e）是函数g（x）的两个零点，故g（x1）＝g（x2）＝0，即证g（x2）＜g（），只需证g（x2）﹣g（）＜0，g（x2）﹣g（）＝lnx2﹣x2﹣（ln﹣）＝2lnx2﹣x2+，令h（x2）＝2lnx2﹣x2+，则h′（x2）＝﹣1﹣＝﹣，当x2∈（1，e]时，h′（x2）＜0，故h（x2）在（1，e]递减，h（x2）＜h（1）＝0，故g（x2）﹣g（）＜0得证，故x1x2＜1．21．（15分）对于实数数列{a n}，记m n＝．（Ⅰ）若m1＝1，m2＝2，m3＝4，m4＝8，写出a1，a2，a3，a4的值；（Ⅱ）若数列{a n}是等差数列，求证：对任意三元数组（i，j，k）（i，j，k两两不相等），总有（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝0；（Ⅲ）若对任意三元数组（i，j，k）（i，j，k两两不相等），存在常数c，使得（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝c，求证：{a n}是等差数列．解：（Ⅰ）a1＝m1＝1，a1+a2＝2m2＝4，则a2＝3，a1+a2+a3＝3m3＝12，则a3＝8，a1+a2+a3+a4＝4m4＝32，则a4＝20，证明：（Ⅱ）由等差数列的通项公式可得a p﹣a q＝（p﹣q）（a2﹣a1），可得p﹣q＝，并注意到m s＝＝＝，于是（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝m k+m i+m j，＝[（a i﹣a j）（a1+a k）+（a i﹣a k）（a1+a i）+（a k﹣a i）（a1+a j）]，＝[（a i﹣a j）a k+（a i﹣a k）a i+（a k﹣a i）a j]＝0；证明：（Ⅲ）首项交换（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k﹣i）m j＝c中的i，j可得（j﹣i）m k+（i﹣k）m i+（k﹣j）m i＝c，两式相加可得c＝0，于是对任意三元数组（i，j，k）（i，j，k两两不相等，总有（i﹣j）m k+（j﹣k）m i+（k ﹣i）m j＝0，取i＝n，i＝n+1，k＝n+2，得2m n+1＝m n+2+m n，即m n+2﹣m n+1＝m n+1﹣m n＝…＝a2﹣a1，于是数列{m n}是等差数列，故m n＝m1+（n﹣1）•＝a1+（n﹣1）•，另一方面m n＝，于是a1+a2+…+a n＝n（a1+（n﹣1）•），当n≥2时，用n﹣1替换n得，a1+a2+…+a n﹣1＝（n﹣1）（a1+（n﹣2）•），两式相减得a n＝a1+（n﹣1）（a2﹣a1），n≥2，a1也满足上式，故{a n}是等差数列.。
2020高三上期末9个区试卷与答案
强度约为一般说话时声音强度的
【】
A．106 倍
B．108 倍
C．1010 倍
D．1012 倍
10．若点 N 为点 M 在平面 上的正投影，则记 N f (M ) . 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，
记平面 AB1C1D 为 ，平面 ABCD 为 ，点 P 是棱 CC1上一动点（与 C ，C1 不重合）， Q1 f [ f (P)] ，
权重
教育与文化（0.20） 0.7
0.9
0.1
医疗与养老（0.20） 0.7
0.6
0.3
交通与购物（0.32） 0.5
0.7
0.2
休闲与健身（0.28） 0.5
0.6
0.1
注：每个小区“15 分钟社区生活圈”指数T w1T1 w2T2 w3T3 w4T4 ，其中 w1, w2 , w3, w4 为该小区四个
（1）求证： AB// 平面 CMN ；
（2）求证： AB VC ；
（3）求直线VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.
V
M N
A
C
B
6
19．（本小题共 13 分）某市《城市总体规划（2016—2035 年）》提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活圈”全
覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 4 个方面构建 “15 分钟社区生活
方面的权重，T ,T ,T ,T 为该小区四个方面的指标值（小区每一个方面的指标值为 0~1 之间的一个数 1234
值）.
现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表： 分组 [0,0.2） [0.2,0.4） [0.4,0.6） [0.6,0.8） [0.8,1]