高考数学中的恒成立问题与存在性问题

“恒成立问题”的解法
常用方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法。

一、函数性质法
1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >，则根据函数
的图象（直线）可得上述结论等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ；同理，若在[m,n]内恒有()0f x <，则有⎩
⎨⎧<<0)(0
)(n f m f .
例1.对满足2p ≤的所有实数p ,求使不等式2
12x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。

略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2
()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上恒大于
0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪
⎨⎧>->+-0
10342
2x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或.
2.二次函数：
①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩（或00
a <⎧⎨
∆<⎩）； ②.若二次函数2
()(0)0f x ax bx c a
=++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。

例2.
已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少
有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )
A ．(0，2)
B ．(0，8)
C ．(2，8)
D ．(－∞，0)
选B 。

例3.设2
()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

解：设2
()()22F x f x a x ax a =-=-+-，
（1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ∆=-+>时，由图可得以下充要条件：
0(1)021,2
f a
⎧⎪∆>⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎩即(1)(2)0
30
1,a a a a -+>⎧⎪
+≥⎨⎪≤-⎩32a ⇒-≤<-;综合得a 的取值范围为[-3，1]。

例4.关于x 的方程9(4)340x
x
a +++=恒有解，求a 的范围。

解法：设3x
t =,则0t >.则原方程有解即方程2
(4)40t a t +++=有正根。

1212
(4)040
x x a x x ∆≥⎧⎪
∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-.
3.其它函数：
()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界≥0）
； ()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界≤0）.
例5．设函数3
21()(1)4243
f x x a x ax a =
-+++，其中常数1a >， （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。

解：（2）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(3
1)2(23+⋅++-=a a a 24434
23++-=；a f 24)0(=
-1 o x
y
则由题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1
f a f a 即1,4(3)(6)03240.
a a a a a >⎧⎪⎪-+->⎨⎪>⎪⎩16a ⇒<<∴(1,6)a ∈。

二、主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。

例6．已知函数32
3()(1)132
a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数． （1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；
（2）已知不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．
解：由题设知“2
2
3(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，
即2
2
(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，
都成立。

设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。

220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。

所以对∀(0)a ∈+∞，，
()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

三、分离参数法：利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立时参数λ的取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，求得λ的取值范围。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例7．当(1,2)x ∈时，2
40x
mx ++<恒成立，则m 的取值范围是.
解: 当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得24x m x +<-.令244
()x f x x x x
+==+，则易知()f x 在(1,2)
上是减函数，所以4()5f x <<，所以24
5x x
+->-，∴5m ≤-. 例8.已知x R ∈
时，不等式cos 254sin a x x +<-+恒成立，求实数a 的取值范围。

解：原不等式即为：2
14sin 2sin 5x x a +-<-+45-a -a+5大于
214sin 2sin x x +-的最大值，因为214sin 2sin 3x x +-≤，
∴53a ->
2a >+220
54054(2)a a a a ⎧-≥⎪
⇔-≥⎨
⎪->-⎩
或⎩⎨⎧≥-<-0
4502a a ，解得≤54a<8.
四、数形结合（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理）：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判
断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例9．若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
(A)1a <-(B)||1a ≤ (C)||1a < （D ）1a ≥ 选B 。

例10.当|(1,2)x ∈)时，2
(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围。

答案：12a <≤.
例11.已知关于x 的方程2
lg(20)lg(863)0x x x a +---=有唯一解，求实数a
的取值范围。

解：原问题即为：方程2
208630x x x a +=-->有唯一解。

令2
120y x x =+，2863y x a =--,则如图所示，要使1y 和2y 在x 轴上有 唯一交点，则直线必须位于1l 和2l 之间。

（包括1l 但不包括2l )。

当直线为1l 时，1636a =-
;当直线为2l 时，1
2a =-， ∴a 的范围为1631
[,)62
--。

另解：方程2
1263x x a +=--在方程(,20)(0,)x ∈-∞-+∞上有唯一解有唯一解。

五。

根据函数的奇偶性、周期性等性质：函数是奇偶性、单调性、周期性都在给定区间上恒成立。

例12.若()sin()cos()f x x x αα=++-为偶函数，求α的值。

|
ax
=y x
解：由题得：()()f x f x -=对一切x R ∈恒成立，
∴sin()cos()sin()cos()x x x x αααα-++--=++- sin()sin()cos()cos()
x x x x αααα⇔++-=+--sin cos sin sin x x αα
⇔=-sin (cos sin )0x αα⇔+=
对一切x ∈R 恒成立．．．，∴只需也必须cos sin 0αα+= ∴4
k π
απ=-
.（k Z ∈)。