八年级全等三角形-知识点归纳与典型习题
初二年级数学八上第十二章全等三角形知识点总结复习及常考题型练习
第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；②一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形；③三角形全等不因位置发生变化而改变。
&⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
(3)全等三角形的周长相等、面积相等。
](4)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.证明两个三角形全等的基本思路：:5.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.(4)三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，并且这点到三边的距离相等6.证明的基本方法：—⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.7.学习全等三角形应注意以下几个问题：(1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；(2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；(3)“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；(4)中线倍长法、截长补短法证三角形全等。
八上数学全等三角形章节复习及经典例题
八上数学全等三角形章节复习及经典例题【知识梳理】一、全等三角形1.概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
2.全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等、对应角相等。
②全等三角形的周长相等、面积相等。
③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3.全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4.证明两个三角形全等的基本思路：⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边二、角的平分线：1.（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2.（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”【例题精讲】例1．如图，在ABC ∆中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
千里之行，始于足下。
八年级数学上册《全等三角形》知识点梳理
1. 什么是全等三角形？
- 全等三角形指的是两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等的三角形。
2. 全等三角形的性质和判定方法有哪些？
- 全等三角形的性质包括：对应边长相等，对应角度相等，对应线段相等，对应角平分线相等。
- 判定两个三角形全等的方法有：SSS 判定法（边边边）、SAS 判定法
（边角边）、ASA 判定法（角边角）和 HL 判定法（斜边直角边）。
3. 全等三角形的基本性质有哪些？
- 对应的边相等：若两个三角形全等，则它们的对应边长相等。
- 对应的角度相等：若两个三角形全等，则它们的对应角度相等。
- 对应的线段相等：若两个三角形的对应边相等，它们的对应线段（如中线、高线、角平分线等）也相等。
4. 如何应用全等三角形解题？
- 利用全等三角形的性质可以在图形中推导出其他线段和角度的长度或关系，从而解决各种三角形的问题。
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锲而不舍，金石可镂。
- 典型的应用包括求角度的大小、线段长度的关系、面积的比较等。
5. 如何证明两个三角形全等？
- 根据要证明的条件选择合适的判定方法（SSS、SAS、ASA 或 HL）。
- 使用已知条件和全等三角形的性质，逐步推导出两个三角形的对应边长和对应角度相等。
- 利用已知条件的等式和全等三角形的性质，一步一步证明两个三角形全等。
注意：以上为八年级数学上册《全等三角形》的知识点梳理，具体内容可能与教材有所差异，建议参考教材进行学习。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
初二全等三角形全部知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完好重合的两个图形叫做全等形 . ⑵全等三角形：能够完好重合的两个三角形叫做全等三角形 . ⑶对应极点：全等三角形中相互重合的极点叫做对应极点 . ⑷对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边 . ⑸对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角 .2.基天性质：⑴三角形的稳固性：三角形三边的长度确立了，这个三角形的形状、大小就全确立，这个性质叫做三角形的稳固性 .⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判断定理：⑴边边边（ SSS）：三边对应相等的两个三角形全等 .⑵边角边（ SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 .⑶角边角（ ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 . ⑷角角边（ AAS）：两角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 . ⑸斜边、直角边（ HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 .4.角均分线：⑴画法：⑵性质定理：角均分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的均分线上.5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证 . （包含隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角均分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵依据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证 . ⑶经过剖析，找出由已知推出求证的门路，写出证明过程 .常考题：一．选择题（共14 小题）1．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等2．如图，已知 AE=CF，∠ AFD=∠CEB，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ADF≌△ CBE的是（）A．∠ A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥ BC3．以下图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就依据所学知识画出一个与书上完好同样的三角形，那么这两个三角形完好同样的依照是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直均分线的交点D．三条角均分线的交点5．如图，△ ACB≌△ A′CB′，∠ BCB′=30°，则∠ ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l 1、 l 2、l 3表示三条相互交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处7．如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥ AB于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC长是（）A．3B．4C．6D．58．如图，在△ ABC和△ DEC中，已知 AB=DE，还需增添两个条件才能使△ABC≌△ DEC，不可以增添的一组条件是（）A．BC=EC，∠ B=∠E B． BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠ A=∠ D D．∠ B=∠ E，∠ A=∠D9．如图，已知在△ ABC中， CD是 AB边上的高线， BE均分∠ ABC，交 CD于点 E，BC=5，DE=2，则△ BCE的面积等于（）A．10 B．7C．5D．410．要丈量河两岸相对的两点A， B 的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（以下图），能够说明△EDC≌△ ABC，得 ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB的长，判断△ EDC≌△ ABC最适合的原因是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角11．如图，△ ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30， 40，其三条角均分线将△ ABC分为三个三角形，则 S△ABO： S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：512．尺规作图作∠ AOB的均分线方法以下：以 O为圆心，随意长为半径画弧交OA，P，OB于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点作射线 OP由作法得△ OCP≌△ ODP的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS13．以下判断正确的选项是（）A．有两边和此中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等14．如图，已知∠ 1=∠ 2， AC=AD，增添以下条件：①AB=AE；② BC=ED；③∠ C=∠ D；④∠ B=∠E．此中能使△ ABC≌△ AED的条件有（）A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个二．填空题（共11 小题）15．如图，在△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D 到线段 AB的距离是cm．16．如图，△ ABC中，∠ C=90°， AD 均分∠ BAC， AB=5， CD=2，则△ ABD的面积是．17．如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠ 2+∠3=°．18．如图，△ ABC≌△ DEF，请依据图中供给的信息，写出x=．19．以下图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完好同样的玻璃，那么最省事的方法是带去玻璃店．20．如图，已知 AB∥CF，E 为 DF的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD=cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°， E 是 BC的中点，DE均分∠ ADC，∠ CED=35°，如图，则∠ EAB是多少度？大家一同热情地议论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ ABC≌△ ADE，∠ B=100°，∠ BAC=30°，那么∠ AED=度．23．以下图，将两根钢条 AA′， BB′的中点 O连在一同，使 A A′， BB′能够绕着点 O自由转动，就做成了一个丈量工具，则A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判断△ OAB≌△ OA′B′的原因是．24．如图，在四边形 ABCD中，∠A=90°，AD=4，连结 BD，BD⊥CD，∠ ADB=∠ C．若P 是 BC边上一动点，则 DP长的最小值为．25．如图，△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，点 M在线段 AB上，∠ GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为 G，MG与 BC订交于点 H．若 MH=8cm，则BG=cm．三．解答题（共15 小题）26．已知：如图，C为 BE上一点，点 A，D 分别在 BE双侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证： AC=CD．27．已知：如图， OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线， OA=OC，OB=OD．求证： AB=CD．28．已知，以下图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点 E，DF⊥AC于点 F，求证：DE=DF．29．如图， C是 AB的中点， AD=BE，CD=CE．求证：∠ A=∠B．30．已知：如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC， BC=DC，CF均分∠ BCD，DF∥AB，BF的延伸线交 DC于点 E．求证：（1）△ BFC≌△ DFC；（2） AD=DE．31．如图，已知， EC=AC，∠ BCE=∠ DCA，∠ A=∠E；求证： BC=DC．32．如图，把一个直角三角形 ACB（∠ ACB=90°）绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到AB边上的一点D，点A 旋转到点E 的地点．F，G分别是BD，BE上的点， BF=BG，延伸 CF与 DG交于点 H．（1）求证： CF=DG；（2）求出∠ FHG的度数．33．已知，如图，△ ABC 和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠DCE=90°，D 为 AB边上一点．求证： BD=AE．34．如图，点 M、 N 分别是正五边形ABCDE的边 BC、CD上的点，且BM=CN，AM交 BN于点 P．（1）求证：△ ABM≌△ BCN；（2）求∠ APN的度数．35．如图，四边形 ABCD中，E 点在 AD上，此中∠ BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ ABC与△ DEC全等．36．如图，△ ABC和△ ADE都是等腰三角形，且∠ BAC=90°，∠ DAE=90°， B，C，D在同一条直线上．求证： BD=CE．37．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，此中 AB=CB， AD=CD．对角线 AC，BD订交于点 O，OE⊥AB， OF⊥CB，垂足分别是 E，F．求证 OE=OF．38．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， CE⊥AB 于点 E， AD=AC，AF 均分∠CAB交CE于点 F，DF的延伸线交 AC于点 G．求证：（1）DF∥ BC；（ 2） FG=FE．39．如图：在△ ABC中，BE、CF分别是 AC、AB两边上的高，在 BE上截取 BD=AC，在 CF的延伸线上截取 CG=AB，连结 AD、AG．（ 1）求证： AD=AG；（ 2） AD与 AG的地点关系怎样，请说明原因．40．如图，已知△ ABC中， AB=AC=10cm， BC=8cm，点 D为 AB的中点．（ 1）假如点 P 在线段 BC上以 3cm/s 的速度由 B 点向 C点运动，同时，点 Q在线段 CA上由 C 点向 A 点运动．①若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1s 后，△BPD与△ CQP能否全等，请说明原因；②若点 Q的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与△ CQP全等？（ 2）若点 Q以②中的运动速度从点 C出发，点 P 以本来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q第一次在△ ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形全部知识点总结和常考题提升难题压轴题练习 ( 含答案分析 )参照答案与试题分析一．选择题（共14 小题）1．（2013? 西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等【剖析】利用全等三角形的判断来确立．做题时，要联合已知条件与三角形全等的判断方法逐一考证．【解答】解： A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不可以证明两三角形全等，故A 选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不可以证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不可以得出两三角形全等，故 C 选项错误；D、两条边对应相等，假如两条直角边相等，可利用 SAS证全等；若向来角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故 D 选项正确．应选： D．【评论】本题考察了直角三角形全等的判断方法；三角形全等的判断有ASA、SAS、AAS、 SSS、HL，能够发现起码得有一组对应边相等，才有可能全等．2．（2013? 安顺）如图，已知AE=CF，∠ AFD=∠CEB，那么增添以下一个条件后，仍没法判断△ ADF≌△ CBE的是（）A．∠ A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥ BC【剖析】求出 AF=CE，再依据全等三角形的判断定理判断即可．【解答】解：∵ AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、依据 AD=CB，AF=CE，∠ AFD=∠ CEB不可以推出△ ADF≌△ CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵ AD∥BC，∴∠ A=∠ C，∵在△ ADF和△ CBE中∴△ ADF≌△ CBE（ASA），正确，故本选项错误；应选 B．【评论】本题考察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判断定理有 SAS， ASA，AAS，SSS．3．（2014 秋? 江津区期末）以下图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就依据所学知识画出一个与书上完好同样的三角形，那么这两个三角形完全同样的依照是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【剖析】依据图象，三角形有两角和它们的夹边是完好的，所以能够依据“角边角”画出．【解答】解：依据题意，三角形的两角和它们的夹边是完好的，所以能够利用“角边角”定理作出完好同样的三角形．应选 D．【评论】本题考察了三角形全等的判断的实质运用，娴熟掌握判断定理并灵巧运用是解题的重点．4．（2007? 中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直均分线的交点D．三条角均分线的交点【剖析】因为角的均分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点．【解答】解：∵角的均分线上的点到角的两边的距离相等，∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点．应选： D．【评论】该题考察的是角均分线的性质，因为角的均分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角均分线的交点，易错选项为 C．5．（2011? 呼伦贝尔）如图，△ ACB≌△ A′CB′，∠ BCB′=30°，则∠ ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【剖析】本题依据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．【解答】解：∵△ ACB≌△ A′CB′，∴∠ ACB=∠A′CB′，即∠ ACA′ +∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，∴∠ ACA′=∠B′CB，又∠ B′CB=30°∴∠ ACA′=30°．应选： B．【评论】本题考察了全等三角形的判断及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．6．（2000? 安徽）如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1 处 B．2 处 C．3 处 D．4 处【剖析】到三条相互交错的公路距离相等的地址应是三条角均分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角均分线的交点以及三个外角两两均分线的交点都知足要求．【解答】解：知足条件的有：（1）三角形两个内角均分线的交点，共一处；（2）三个外角两两均分线的交点，共三处．应选： D．【评论】本题考察了角均分线的性质；这是一道生活联系实质的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角均分线，很简单遗漏外角均分线，解答时必定要注意，不要漏解．7．（ 2014? 遂宁）如图，AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥AB于点 E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则 AC长是（）A．3B．4C．6D．5【剖析】过点 D 作 DF⊥AC于 F，依据角均分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再依据 S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点 D 作 DF⊥AC于 F，∵AD是△ ABC中∠ BAC的角均分线， DE⊥AB，∴ DE=DF，由图可知， S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得 AC=3．应选： A．【评论】本题考察了角均分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的重点．8．（2013? 铁岭）如图，在△ ABC和△ DEC中，已知 AB=DE，还需增添两个条件才能使△ ABC≌△ DEC，不可以增添的一组条件是（）A．BC=EC，∠ B=∠E B． BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠ A=∠ D D．∠ B=∠ E，∠ A=∠D【剖析】依据全等三角形的判断方法分别进行判断即可．【解答】解：A、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，∠ B=∠E 可利用 SAS证明△ABC ≌△ DEC，故此选项不合题意；B、已知 AB=DE，再加上条件 BC=EC，AC=DC可利用 SSS证明△ ABC≌△ DEC，故此选项不合题意；C、已知 AB=DE，再加上条件 BC=DC，∠ A=∠D不可以证明△ ABC≌△ DEC，故此选项切合题意；D、已知 AB=DE，再加上条件∠ B=∠E，∠ A=∠D 可利用 ASA证明△ ABC≌△DEC，故此选项不合题意；应选： C．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意： AAA、 SSA 不可以判断两个三角形全等，判断两个三角形全等时，一定有边的参加，如有两边一角对应相等时，角一定是两边的夹角．9．（2015? 湖州）如图，已知在△ ABC中， CD是 AB边上的高线， BE均分∠ ABC，E，BC=5，DE=2，则△ BCE的面积等于（）交 CD于点A．10 B．7C．5D．4【剖析】作 EF⊥ BC于 F，依据角均分线的性质求得EF=DE=2，而后依据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作 EF⊥BC于 F，∵BE均分∠ ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴ EF=DE=2，∴ S△BCE=BC? EF=×5×2=5，应选 C．【评论】本题考察了角的均分线的性质以及三角形的面积，作出协助线求得三角形的高是解题的重点．10．（ 1998? 南京）要丈量河两岸相对的两点 A，B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再定出 BF的垂线 DE，使 A，C，E 在一条直线上（以下图），能够说明△ EDC≌△ ABC，得 ED=AB，所以测得 ED的长就是 AB的长，判断△ EDC≌△ ABC最适合的原因是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【剖析】由已知能够获得∠ ABC=∠BDE，又 CD=BC，∠ ACB=∠ DCE，由此依据角边角即可判断△ EDC≌△ ABC．【解答】解：∵ BF⊥AB， DE⊥BD∴∠ ABC=∠BDE又∵ CD=BC，∠ ACB=∠ DCE∴△ EDC≌△ ABC（ASA）应选 B．【评论】本题考察了全等三角形的判断方法；需注意依据垂直定义获得的条件，以及隐含的对顶角相等，察看图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017? 石家庄模拟）如图，△ABC的三边 AB，BC，CA长分别是 20，30，40，S△ABO：S△BCO： S△CAO等于（）其三条角均分线将△ABC分为三个三角形，则A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【剖析】利用角均分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是 20，30，40，所以面积之比就是 2：3：4．【解答】解：利用同高不一样底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．应选 C．【评论】本题主要考察了角均分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式特别重要的．12．（ 2009? 鸡西）尺规作图作∠ AOB的均分线方法以下：以 O 为圆心，随意长为半径画弧交 OA，OB于 C，D，再分别以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 OP由作法得△ OCP≌△ ODP的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【剖析】仔细阅读作法，从角均分线的作法得出△ OCP与△ ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形切合 SSS判断方法要求的条件，答案可得．【解答】解：以 O为圆心，随意长为半径画弧交 OA， OB于 C，D，即OC=OD；以点 C，D 为圆心，以大于 CD长为半径画弧，两弧交于点 P，即CP=DP；∴在△ OCP和△ ODP中，∴△ OCP≌△ ODP（SSS）．应选： D．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、ASA、AAS、HL．注意： AAA、 SSA 不可以判断两个三角形全等，判断两个三角形全等时，一定有边的参加，如有两边一角对应相等时，角一定是两边的夹角．13．（ 2002? 河南）以下判断正确的选项是（）A．有两边和此中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等【剖析】判断两个三角形全等的一般方法有： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，对照选项进行剖析．【解答】解： A、只有两个三角形同为锐角三角形或许钝角三角形或许直角三角形时，才能建立；B、30°角没有对应关系，不可以建立；C、假如这个角是直角，此时就不建立了；D、切合全等三角形的判断方法：AAS或许 ASA．应选 D．【评论】本题要求对全等三角形的几种判断方法娴熟运用，会对特别三角形全等进行剖析判断．14．（2006? 十堰）如图，已知∠ 1=∠ 2，AC=AD，增添以下条件：①AB=AE；② BC=ED；③∠ C=∠ D；④∠ B=∠ E．此中能使△ABC≌△ AED的条件有（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个【剖析】∠1=∠ 2，∠ BAC=∠ EAD，AC=AD，依据三角形全等的判断方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠ 1=∠ 2， AC=AD，由∠ 1=∠ 2 可知∠BAC=∠EAD，加① AB=AE，就能够用 SAS判断△ ABC≌△ AED；加③∠ C=∠D，就能够用 ASA判断△ ABC≌△ AED；加④∠ B=∠E，就能够用 AAS判断△ ABC≌△ AED；加② BC=ED不过具备 SSA，不可以判断三角形全等．此中能使△ ABC≌△ AED的条件有：①③④应选： B．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要依据已知条件在图形上的地点，联合判断方法，进行增添．二．填空题（共11 小题）15．（2006? 芜湖）如图，在△ ABC中，∠C=90°，AD均分∠ CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点 D 到线段 AB的距离是 3 cm．【剖析】求 D 点到线段 AB的距离，因为 D 在∠ BAC的均分线上，只需求出 D 到AC的距离 CD即可，由已知可用 BC减去 BD可得答案．【解答】解： CD=BC﹣BD，=8cm﹣5cm=3cm，∵∠ C=90°，∴D到 AC的距离为 CD=3cm，∵ AD均分∠ CAB，∴D点到线段 AB的距离为3cm．故答案为： 3．【评论】本题考察了角均分线的性质；知道并利用 CD是 D点到线段 AB的距离是正确解答本题的重点．16．（2013? 邵东县模拟）如图，△ ABC中，∠C=90°，AD均分∠ BAC，AB=5，CD=2，则△ ABD的面积是 5 ．【剖析】要求△ ABD的面积，有 AB=5，可为三角形的底，只求出底边上的高即可，利用角的均分线上的点到角的两边的距离相等可知△ABD的高就是CD的长度，所以高是 2，则可求得面积．【解答】解：∵∠ C=90°， AD均分∠ BAC，∴点 D 到 AB的距离 =CD=2，∴△ ABD的面积是 5× 2÷ 2=5．故答案为： 5．【评论】本题主要考察了角均分线上的一点到两边的距离相等的性质．注意剖析思路，培育自己的剖析能力．17．（ 2016 秋 ? 宁城县期末）如图为 6 个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= 135°．【剖析】察看图形可知∠ 1 与∠ 3 互余，∠ 2 是直角的一半，利用这些关系可解本题．【解答】解：察看图形可知：△ ABC≌△ BDE，∴∠ 1=∠ DBE，又∵∠ DBE+∠3=90°，∴∠ 1+∠3=90°．∵∠ 2=45°，∴∠ 1+∠ 2+∠3=∠1+∠3+∠2=90° +45°=135°．故填 135．【评论】本题综合考察角均分线，余角，要注意∠ 1 与∠ 3 互余，∠ 2 是直角的一半，特别是察看图形的能力．18．（2013? 柳州）如图，△ABC≌△ DEF，请依据图中供给的信息，写出 x= 20．【剖析】先利用三角形的内角和定理求出∠ A=70°，而后依据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠ A=180°﹣ 50°﹣ 60°=70°，∵△ ABC≌△ DEF，∴EF=BC=20，即 x=20．故答案为： 20．【评论】本题考察了全等三角形的性质，依据角度确立出全等三角形的对应边是解题的重点．19．（2009? 杨浦区二模）以下图，某同学把一块三角形的玻璃打坏成了三块，此刻要到玻璃店去配一块完好同样的玻璃，那么最省事的方法是带③ 去玻璃店．【剖析】本题就是已知三角形损坏部分的边角，获得本来三角形的边角，依据三角形全等的判断方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保存了原三角形的一个角和部分边，依据这两块中的任一块均不可以配一块与本来完好同样的；第三块不单保存了本来三角形的两个角还保存了一边，则能够依据 ASA来配一块同样的玻璃．应带③去．故答案为：③．【评论】这是一道考察全等三角形的判断方法的开放性的题，要修业生将所学的知识运用于实质生活中，要仔细察看图形，依据已知选择方法．20．（2015 秋? 西区期末）如图，已知 AB∥ CF，E 为 DF的中点，若 AB=9cm，CF=5cm，则 BD= 4 cm．【剖析】先依据平行线的性质求出∠ ADE=∠EFC，再由 ASA可求出△ ADE≌△CFE，依据全等三角形的性质即可求出 AD的长，再由 AB=9cm即可求出 BD的长．【解答】解：∵ AB∥CF，∴∠ ADE=∠EFC，∵∠ AED=∠FEC，E 为 DF的中点，∴△ ADE≌△ CFE，∴AD=CF=5cm，∵ AB=9cm，∴BD=9﹣ 5=4cm．故填 4．【评论】本题考察的是平行线的性质、全等三角形的判断定理及性质，比较简单．21．（ 2009 秋? 南通期末）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠ B=∠ C=90°，E 是 BC的中点，DE均分∠ ADC，∠CED=35°，如图，则∠ EAB是多少度？大家一同热情地议论沟通，小英第一个得出正确答案，是35度．【剖析】过点 E 作 EF⊥AD，证明△ ABE≌△ AFE，再求得∠ CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠ EAB的度数．【解答】解：过点 E 作 EF⊥AD，∵DE均分∠ADC，且E 是BC的中点，∴ CE=EB=EF，又∠ B=90°，且AE=AE，∴△ ABE≌△ AFE，∴∠ EAB=∠EAF．又∵∠ CED=35°，∠ C=90°，∴∠ CDE=90°﹣ 35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠ EAB=35°．【评论】三角形全等的判断是中考的热门，一般以考察三角形全等的方法为主，判断两个三角形全等，先依据已知条件或求证的结论确立三角形，而后再依据三角形全等的判断方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（ 2012 秋? 合肥期末）如图，△ ABC≌△ ADE，∠ B=100°，∠ BAC=30°，那么∠ AED= 50 度．【剖析】先运用三角形内角和定理求出∠ C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠ AED．【解答】解：∵在△ ABC中，∠ C=180﹣∠ B﹣∠ BAC=50°，又∵△ ABC≌△ ADE，∴∠ AED=∠C=50°，∴∠ AED=50度．故填 50【评论】本题考察的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015 秋? 蒙城县期末）以下图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一同，使A A′，BB′能够绕着点O自由转动，就做成了一个丈量工具，则A′B′的长等于内槽宽 AB，那么判断△ OAB≌△ OA′B′的原因是 SAS ．【剖析】已知二边和夹角相等，利用SAS可证两个三角形全等．【解答】解：∵ OA=OA′， OB=OB′，∠ AOB=∠A′OB′，∴△ OAB≌△ OA′B′（ SAS）所以原因是 SAS．【评论】本题考察了三角形全等的应用；依据题目给出的条件，要察看图中有哪些相等的边和角，而后判断所选方法，题目不难．24．（ 2011? 河南）如图，在四边形 ABCD中，∠ A=90°， AD=4，连结 BD，BD⊥ CD，∠ ADB=∠C．若 P 是 BC边上一动点，则 DP长的最小值为 4 ．【剖析】依据垂线段最短，当DP垂直于 BC的时候， DP的长度最小，则联合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ ABD=∠ CBD，由角均分线性质即可得AD=DP，由 AD的长可得 DP的长．【解答】解：依据垂线段最短，当DP⊥BC的时候， DP的长度最小，∵BD⊥CD，即∠ BDC=90°，又∠ A=90°，∴∠ A=∠ BDC，又∠ ADB=∠C，∴∠ ABD=∠CBD，又 DA⊥BA，BD⊥DC，∴ AD=DP，又 AD=4，∴ DP=4．故答案为： 4．【评论】本题主要考察了直线外一点到直线的距离垂线段最短、角均分线的性质，解题的重点在于确立好 DP垂直于 BC．25．（ 2015? 鄂尔多斯）如图，△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，点 M在线段 AB上，∠GMB=∠ A，BG⊥ MG，垂足为 G，MG与 BC订交于点 H．若 MH=8cm，则 BG= 4 cm．【剖析】如图，作 MD⊥ BC于 D，延伸 DE交 BG的延伸线于 E，建立等腰△BDM、全等三角形△ BED 和△ MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等获得： BE=MH，所以 BG=MH=4．【解答】解：如图，作 MD⊥BC于 D，延伸 MD交 BG的延伸线于 E，∵△ ABC中，∠ C=90°， CA=CB，∴∠ ABC=∠A=45°，∵∠ GMB=∠A，∴∠ GMB=∠A=°，∵BG⊥MG，∴∠ BGM=90°，∴∠ GBM=90°﹣° =°，∴∠ GBH=∠EBM﹣∠ ABC=°．∵MD∥AC，∴∠ BMD=∠A=45°，∴△ BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠ GBH=°，∴GM均分∠BMD，而 BG⊥ MG，∴BG=EG，即 BG=BE，∵∠ MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠ MHD=∠E，∵∠ GBD=90°﹣∠ E，∠ HMD=90°﹣∠ E，∴∠ GBD=∠HMD，∴在△ BED和△ MHD中，，∴△ BED≌△ MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是： 4．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“ SAS”、“ ASA”、“ AAS”；全等三角形的对应边相等．也考察了等腰直角三角形的性质．三．解答题（共15 小题）26．（ 2008? 北京）已知：如图， C 为 BE上一点，点 A，D 分别在 BE双侧，AB∥ ED，AB=CE， BC=ED．求证： AC=CD．【剖析】依据 AB∥ED 推出∠ B=∠E，再利用 SAS 判断△ ABC≌△ CED从而得出AC=CD．【解答】证明：∵ AB∥ED，∴∠ B=∠ E．在△ ABC和△ CED中，，∴△ ABC≌△ CED．∴AC=CD．【评论】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需增添协助线，且全等的条件都很显然．27．（2007? 北京）已知：如图，OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线， OA=OC，OB=OD．求证： AB=CD．【剖析】依据角均分线的性质得出∠ AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB= ∠ COD，再利用 SAS判断其全等从而获得 AB=CD．【解答】证明：∵ OP是∠ AOC和∠ BOD的均分线，∴∠ AOP=∠COP，∠ BOP=∠DOP．∴∠ AOB=∠COD．在△ AOB和△ COD中，．∴△ AOB≌△ COD．∴AB=CD．【评论】本题考察三角形全等的判断方法，以及全等三角形的性质．判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（ 2014? 黄冈）已知，以下图，AB=AC，BD=CD，DE⊥ AB于点 E，DF⊥ AC于点 F，求证： DE=DF．【剖析】连结 AD，利用 SSS获得三角形 ABD与三角形 ACD全等，利用全等三角形对应角相等获得∠EAD=∠FAD，即AD 为角均分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角均分线定理即可得证．【解答】证明：连结 AD，在△ ACD和△ ABD中，，∴△ ACD≌△ ABD（SSS），∴∠ EAD=∠FAD，即 AD均分∠ EAF，∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴ DE=DF．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质，以及角均分线定理，娴熟掌握全等三角形的判断与性质是解本题的重点．29．（ 2013? 常州）如图， C是 AB的中点， AD=BE，CD=CE．求证：∠ A=∠B．【剖析】依据中点定义求出AC=BC，而后利用“ SSS”证明△ ACD和△ BCE全等，再依据全等三角形对应角相等证明即可．【解答】证明：∵ C是 AB的中点，∴AC=BC，在△ ACD和△ BCE中，，∴△ ACD≌△ BCE（SSS），∴∠ A=∠ B．【评论】本题考察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．30．（2008? 重庆）已知：如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC，BC=DC，CF均分∠ BCD，DF∥AB， BF的延伸线交 DC于点 E．求证：（1）△ BFC≌△ DFC；（2） AD=DE．。
八年级数学全等三角形综合(含知识点、练习题、答案、作业)
∴ Rt△ ABF ≌ Rt△CDE （ HL ）， ∴ BF=DE ．
BFG 在△ BFG 和△ DEG 中 BGF
DEG DGE ，
BF DE
∴△ BFG ≌△ DGE（ AAS ）． ∴ EG=FG ． （ 2）（ 1）中结论依然成立． 理由如下：∵ AE=CF ， ∴ AE ﹣EF=CF ﹣ EF． ∴ AF=CE ． ∵ DE ⊥AC ， BF⊥ AC ， ∴∠ DEG= ∠BFE=90°．
ACG B 45
BGH 与 CGK 均为旋转角，
BGH CGK
B KCG
在 BGH 与 CGK 中， BG CG
BGH
CGK
BGH≌ CGK ASA
BH CK ， S BGH S CGK
S四边形 CHGK
S CHG
S CGK
S CHG S BGH
1 S ABC
2
11 44 4
22
（ 2） AC
BC 4 ， BH x ， CH
（ 1）在上述旋转过程中， BH 与 CK 有怎样的数量关系，四边形 CHGK的面积有何变化？证明你发现
的结论；
（ 2）连接 HK，在上述旋转过程中，设 BH=X， GKH 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并
写出自变量 x 的取值范围；
（ 3）在（ 2）的前提下，是否存在某一位置，使 求出此时 x 的值；若不存在，说明理由．
例 1.1.6 已知：等边 ABC 中，点 O 是边 AC ， BC 的垂直平分线的交点， M ， N 分别在直线 AC ，
BC 上，且 MON 60 ． （ 1）如图 1 ，当 CM CN 时， M ， N 分别在边 AC ， BC 上时，请写出 AM 、 CN 、 MN 三者之 间的数量关系； （ 2）如图 2，当 CM CN 时， M ， N 分别在边 AC ， BC 上时，（ 1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
八年级数学全等三角形综合(含知识点、练习题、答案、作业)
三角形综合讲义全等综合知识精讲一．全等三角形的判定方法：边角边定理()SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理()ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理()SSS：三边对应相等的两个三角形全等．角角边定理()AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理()HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二．全等三角形的应用：1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2．能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．1.三．全等三角形辅助线的作法2.1．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD是ABC∆底边的中线)．2．角平分线类辅助线作法图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA有下列三种作辅助线的方式：（1）由角平分线上的一点向角的两边作垂线；（2）过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；（3）OA OB，这种对称的图形应用得也较为普遍．3．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．三点剖析一．考点：1．全等三角形的判定2．全等三角形辅助线的作法二．重难点：1．全等三角形的判定2．全等三角形辅助线的作法三．易错点：1．在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样，对应顶点要对应．2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；3．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．1．全等三角形的判定2．全等三角形辅助线的作法例题讲解一：全等与三角形综合例1.1.1把两个全等的Rt ABC ∆和Rt EFG ∆（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系，四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=X ，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的516？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；（2）04x <<；（3）存在．【解析】（1）在上述旋转过程中，BH =CK ，四边形CHGK 的面积不变证明：连接CG 、KH ，ABC ∆为等腰直角三角形，()O G 为其斜边中点，CG BG ∴=，CG AB ⊥45ACG B ∴∠=∠=︒BGH ∠与CGK ∠均为旋转角，BGH CGK ∴∠=∠在BGH ∆与CGK ∆中，B KCG BG CG BGH CGK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGH CGK ASA ∴∆∆≌ BH CK ∴=，BGH CGK S S ∆∆∴=111444222CHG CGK CHG BGH ABC CHGK S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==⨯⨯⨯=四边形（2）4AC BC ==，x BH =，4CH x ∴=-，CH x = 由GHK CHK CHGK S S S ∆∆=-四边形得()1442y x x =-- 21242y x x ∴=-+ 由090α︒<<︒，得到max 4BH BC == 04x ∴<<．（3）存在；根据题意，得215248216x x -+=⨯ 解这个方程，得11x =，23x =即当11x =或23x =时，GHK ∆的面积均等于ABC ∆的面积的516． 例1.1.2如图1所示，点E 、F 在线段AC 上，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ；DE ，BF 分别在线段AC 的两侧，且AE=CF ，AB=CD ，BD 与AC 相交于点G ．（1）求证：EG=GF ；（2）若点E 在F 的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．（3）若点E 、F 分别在线段CA 的延长线与反向延长线上，其余条件不变，（1）中结论是否成立？（要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由）【答案】（1）见解析（2）成立，见解析（3）成立 【解析】（1）∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°． ∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ． ∴AF=CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， AB CDAF CE =⎧⎨=⎩∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）， ∴BF=DE ．在△BFG 和△DEG 中BFG DEG BGF DGE BF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG ≌△DGE （AAS ）． ∴EG=FG ．（2）（1）中结论依然成立． 理由如下：∵AE=CF ， ∴AE ﹣EF=CF ﹣EF ． ∴AF=CE ．∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．（3）（1）中结论依然成立．如图所示：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中AB CD AF CE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE（AAS）．∴EG=FG．例1.1.3等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF 于G，交AC于H．（1）如图（1），延长BH 到点E ，连接AE ，当∠EAB=90°，AE=1，F 为AB 的三等分点，且BF ＜AF 时，求BE 的长；（2）如图（2），若F 为AB 中点，连接FH ，求证：BH+FH=CF ； 【答案】见解析【解析】（1）∵BH ⊥CF ，∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°， ∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 与△BCF 中，90EAB FBC AB B ABE BCF C︒∠=∠⎧∠=∠=⎪=⎨⎪⎩， ∴△ABE ∽△BCF ， ∴BF=AE=1，∵F 为AB 的三等分点，且BF ＜AF ， ∴AB=3BF=3，∴（2）证明：过点A 作AD ⊥AB 交BH 的延长线于点D ． ∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BCF ，在△ABD 与△BCF 中，DAB FBC D CFBAB BC ∠=∠⎧⎪⎨⎪=∠=⎩∠，∴Rt △BAD ≌Rt △CBF ， ∴AD=BF ，BD=CF ． ∵F 为AB 的中点， ∴AF=BF ， ∴AD=AF ，在△ADH 与△AFH 中，45AD AF AH DAH HAF AH ︒∠=∠==⎧⎪⎨⎪=⎩，∴△AHD ≌△AHF ， ∴DH=FH ．∵BD=BH+DH=BH+FH ， ∴BH+FH=CF ；例 1.1.6已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上，且60MON ∠=︒．（1）如图1，当CM CN =时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM CN ≠时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；【答案】（1）AM CN MN =+（2）AM CN MN =+（3）MN AM CN =+ 【解析】该题考查的是等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定． （1）如图1，在AM 上截取AN CN '=，连接ON '，OC ，OA ， ∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，ABC ∆是等边三角形， ∴OC OA =，O 也是等边三角形三个角的平分线交点，∴160302OCA OAB OCN ∠=∠=∠=⨯︒=︒∴1803030120AOC ∠=︒-︒-︒=︒， ∴NCO OAN ∠=∠'， ∵在OCN ∆和OAN ∆'中''OC OA NCO OAN AN CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩OCN OAN ∆∆'≌（SAS ），∴ON ON '=，CON AON ∠=∠'，∵120COA ∠=︒，60NOM ∠=︒，∴60CON COM ∠+∠=︒， ∴60AON COM ∠'+∠=︒，即NOM N OM ∠=∠'，∵在NOM ∆和'N OM ∆中 ''ON ON NOM N OM OM OM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴'NOM N OM ∆∆≌（SAS ）， ∴MN MN ='，∵MN AM AN AM CN '=-'=-， ∴AM CN MN =+……2分（2）如图2，过点O 作OD AC ⊥，OE BC ⊥易得OD OE =，120DOE ∠=︒， 在边AC 上截取'DN NE =，连接'ON ，∵'DN NE =，OD OE =，'ODN OEN ∠=∠， ∴'DON EON ∆∆≌， ……4分 ∴'ON OE =，'DON NOE ∠=∠ ∴120DOE ∠=︒，60MON ∠=︒ ∴60MOD NOE ∠+∠=︒ ∴'60MOD DON ∠+∠=︒易证'MON MON ∆∆≌……4分 ∴'MN MN =∴'MN MD DN MD NE =+=+ MD AM AD AM CE =-=- NE CE CN =-∴()()MN AM CE CE CN AM CN =-+-=-， ∴AM CN MN =+课后作业1已知ABC ∆，90BAC ∠=︒，等腰直角BDE ∆，90BDE ∠=︒，BD=DE ，点D 在线段AC 上．（1）如图1，当30ACB ∠=︒，点E 在BC 上时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明；（2）如图2，当45ACB ∠=︒，点E 在BC 外时，连接EC\、BD 并延长交于点F ，设ED 与BC 交于点N ，图中是否存在与BN 相等的线段？若存在，请加以证明．若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）2ED AD =．理由是：BDE ∆是等腰直角三角形 ∴45DBE DEB ∠=∠=︒ 又Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒ 604515ABD ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 同理60CEP ∠=︒，180180604515PED CEP DEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒PDE ABD ∴∠=∠ ∴在ABD ∆和PDE ∆中，90DPE A PDE ABD DE BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD PDE AAS ∴∆∆≌AD PE ∴= 又∵Rt PCE ∆中，30C ∠=︒，2CE PE ∴= 2CE AD ∴=．（2）BN EF =，理由是：如图2，过E 作EG AC ⊥，交AC 的延长线于G 90BDE ∠=︒ 90BDE EDF ∴∠=∠=︒ 90GDE ADB ∠+∠=︒90A ∠=︒，90ADB ABD ∴∠+∠=︒ GDE ABD ∴∠=∠在ABD ∆和GDE ∆中，90GDE ABD G A DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD GDB AAS ∴∆∆≌ AD GE ∴=，DG AB =AB AC =，AC DG ∴= AD DG GE ∴== CGE ∴∆是等腰直角三角形 45GCE ∴∠=︒45DCF GCE ∴∠=∠=︒ 90FCB ∴∠=︒ 90F FBC ∴∠+∠=︒ 90FBC DNB ∠+∠=︒F DNB ∴∠=∠ 在FDE ∆和NDB ∆中，F DNB FDE NDB DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FDE NDB AAS ∴∆∆≌ BN EF ∴=．2如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是锐角，点D 为射线BC 上的一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 ，线段CF 、BD 的数量关系为 ；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否依然成立，并说明理由；（2）如果AB=AC ，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C 、F 不重合），并说明理由．【答案】见解析．【解析】证明：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF ，90BAC DAF ∠=∠=︒ BAD CAF ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌ CF BD ∴=，B ACF ∠=∠ 90ACB ACF ∴∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，90DAF ∠=︒ 90BAC ∠=︒ DAF BAC ∴∠=∠ DAB FAC ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌ CF BD ∴=，ACF ABD ∠=∠ 90BAC ∠=︒ ，AB AC = 45ABC ∴∠=︒ 45ACF ∴∠=︒ 90BCF ACB ACF ∴∠=∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．（2）当45ACB ∠=︒时，CF BD ⊥（如图）．理由：过点A 作AG AC ⊥交CB 的延长线于点G ，则90GAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，90AGC ACB ∠=︒-∠，904545AGC ∴∠=︒-︒=︒ 45ACB AGC ∴∠=∠=︒，AC AG ∴= DAG FAC ∠=∠（同角的余角相等），AD=AF GAD CAF ∴∆∆≌ 45ACF AGC ∴∠=∠=︒，454590BCF ACB ACF ∠=∠+∠=︒+︒=︒ 即CF BC ⊥．3如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒．（1）操作发现如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的数量关系是 ．（2）猜想论证当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//ABA 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出相应的BF 的长．【答案】见解析．【解析】解：（1）①∵DEC ∆绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上，AC CD ∴= 90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACD ∴∆是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ 又60CDE BAC ∠=∠=︒ ACD CDE ∴∠=∠ //DE AC ∴．②30B ∠=︒，90C ∠=︒ 12CD AC AB ∴== BD AD AC ∴== 根据等边三角形的性质，ACD ∆的边AC 、AD 上的高相等∴BCD ∆的面积和AEC ∆的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即12S S =（2）如图，DEC ∆是由ABC ∆绕点C 旋转得到，BC CE ∴=，AC CD = 90ACN BCN ∠+∠=︒,1809090DCM BCN ∠+∠=︒-︒=︒，ACN DCM ∴∠=∠在ACN ∆和DCM ∆中，90ACN DCM CMD N AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ACN DCM AAS ∴∆∆≌ AN DM ∴=BDC ∴∆的面积和AEC ∆的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）即12S S =；（3）如图，过点D 作DF 1//BE ，易求四边形BE DF 1是菱形，所以BE= DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时1DCF BDE S S ∆∆=；过点D 作2DF BD ⊥，60ABC ∠=︒，DF 1//BE ，2160F F D ABC ∴∠=∠=︒，∵B F 1=D F 1，11302F BD ABC ∠=∠=︒，290F DB ∠=︒， 1260F DF ABC ∴∠=∠=︒ 12DF F ∴∆是等边三角形，12DF DF ∴=BD CD =，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，160302DBC DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 118018030150CDF BCD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒ 236015060150CDF ∠=︒-︒-︒=︒12CDF CDF ∴∠=∠ 在1CDF ∆和2CDF ∆中，1212DF DF CDF CDF CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()12CDF CDF SAS ∴∆∆≌∴点F 2也是所求的点，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，DE //AB160302DBC BDE ABD ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒ 又4BD =14cos3022BE ∴=⨯÷︒==，1BF ∴=,2112BF BF F F =+==故BF．。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC3．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点5．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°6．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．58．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10 B．7 C．5 D．410BF1112，再≌△14．其15163= °．18．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．19．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．20．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=5cm，则BD= cm．21．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．22．如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED= 度．23．如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是．24．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为．25．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G，MG与BC相交于点H．若MH=8cm，则BG= cm．三．解答题（共15小题）26．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．27．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．2830DC于32旋转到AB DG交3334P．35ABC 3637，．38DF的延求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．39．如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．（1）求证：AD=AG；（2）AD与AG的位置关系如何，请说明理由．40．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013?西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）BCD、HL，2．（ADFBD、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．（2014秋?江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．4．（2007?中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．【解答】解：5．（）6．（【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解．7．（2014?遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD +S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC =S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．8．（2013?铁岭）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选BCD、已知ASA、注意：9．（，BC=5，BC?EF=10．（D，使CD=BC ABC，得）【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA）故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．11．（2017?石家庄模拟）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO ：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：3：4．【解答】解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．12．（2009?鸡西）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C OP由作∴在△OCP和△，ASA、注意：B、30°角没有对应关系，不能成立；C、如果这个角是直角，此时就不成立了；D、符合全等三角形的判断方法：AAS或者ASA．故选D．【点评】本题要求对全等三角形的几种判断方法熟练运用，会对特殊三角形全等进行分析判断．14．（2006?十堰）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】∠1=∠2，∠BAC=∠EAD，AC=AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．【解答】解：已知∠1=∠2，AC=AD，由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD，加①AB=AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；加③∠C=∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；加④∠B=∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；加②BC=ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．二．填空题（共11小题）15．（2006?芜湖）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么点D到线16．（17．（∴∠1=∠DBE，又∵∠DBE+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∵∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°．故填135．【点评】此题综合考查角平分线，余角，要注意∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，特别是观察图形的能力．18．（2013?柳州）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= 20 ．【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠A=70°，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，∠A=180°﹣50°﹣60°=70°，∵△ABC≌△DEF，∴EF=BC=20，即x=20．故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．19．（2009?杨浦区二模）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带③去玻璃店．【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能20．（．21．（点，DE∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．22．（2012秋?合肥期末）如图，△ABC≌△ADE，∠B=100°，∠BAC=30°，那么∠AED= 50 度．【分析】先运用三角形内角和定理求出∠C，再运用全等三角形的对应角相等来求∠AED．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=180﹣∠B﹣∠BAC=50°，又∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=50°，∴∠AED=50度．故填50【点评】本题考查的是全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等．是需要识记的内容．23．（2015秋?蒙城县期末）如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB24．（C．若25．（A，BGBED和△．【解答】解：如图，作MD⊥BC于D，延长MD交BG的延长线于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵MD∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM为等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，，∴△BED≌△MHD（AASBG=MH=426．（．求∴AC=CD．【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．27．（2007?北京）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．【分析】根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS判定其全等从而得到AB=CD．【解答】证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，以及全等三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．本题比较简单，读已知时就能想到要用全等来证明线段相等．28．（2014?黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．【解答】证明：连接AD，，30．（，BF的（2）AD=DE．【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF=∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC．（2）要证明AD=DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF?∠ABD=∠BDF，又BF=DF?∠DBF=∠BDF，∴∠ABD=∠EBD，BD=BD，再证明∠BDA=∠BDC则可，容易推理∠BDA=∠DBC=∠BDC．【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC（SAS）．（2）连接BD．∵△BFC≌△DFC，∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又∵BD是公共边，∴△BAD≌△BED（ASA）．∠ECD，中，，EDC（ASA），32．（得点C，延（2，∴△CBF≌△DBG（SAS），∴CF=DG；（2）解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，又∵△BCF中，∠CBF=180°﹣∠BCF﹣∠CFB，△DHF中，∠DHF=180°﹣∠BDG﹣∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．33．（2013?内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，BCD（SAS），34．（交BN （2即可得，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．即∠APN的度数为108°．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．35．（2015?通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．【分析】根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．【解答】解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．、SAS、36．（B，C，ADB≌37．（其中OE=OF．）的对∴OE=OF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．38．（2013秋?莒南县期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：（1）DF∥BC；（2）FG=FE．【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．【解答】（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAF．在△ACF和△ADF中，∵，∴△ACF≌△ADF（SAS）．∴∠ACF=∠ADF．∵∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，∴∠ACF=∠B，∴∠ADF=∠B．先根再去证39．（上截取得∠ACG （2GAC=∴△ABD≌△GCA（SAS），∴AD=GA（全等三角形的对应边相等）；（2）位置关系是AD⊥GA，理由为：∵△ABD≌△GCA，∴∠ADB=∠GAC，又∵∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，∴∠AED=∠GAD=90°，∴AD⊥GA．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．40．（2009?包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2cm/s解得．∴点P共运动了×3=80cm．△ABC周长为：10+10+8=28cm，若是运动了三圈即为：28×3=84cm，∵84﹣80=4cm＜AB的长度，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过s点P与点Q第一次在边AB上相遇．【点评】此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．。
初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二全等三角形所有知识点总结和常考题1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形 .⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边 .⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角 .2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 .⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 .一.选择题（共14小题）1.使两个直角三角形全等的条件是（）A. 一个锐角又t应相等B.两个锐角对应相等C. 一条边对应相等D.两条边对应相等2.如图，已知AE=CF /AFD=/ CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△AD陷4CBE的是（）A. /A=/ CB. AD=CBC. BE=DFD. AD // BC3.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5.如图，△ AC阴NA CB'/BCB =30°则/ ACA的度数为（A. 20°B. 300C. 350D. 40°6.如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7.如图，AD是4ABC中/ BAC的角平分线，D已AB于点E, S AABC=7, DE=ZAB=4,则AC长是（）8.如图，在△ ABC和4DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABCDEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC /B=/ EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC /A=/DD. / B=/ E,/ A=/ D9.如图，已知在△ ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=5 DE=2,贝BCE的面积等于（）A. 10B. 7C. 5D. 410.要测量河两岸相对的两点A, B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D, 使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A, C, E在一条直线上（如图所示），可以说明△ED8 AABC,彳3ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ ED8 △ ABC最恰当的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角11.如图，4ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则S A ABO）：S A BCO：S A CAO等于（）BC AA. 1:1:1B. 1: 2: 3C. 2: 3: 4D. 3: 4: 512.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于tCD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得^ OC国4ODP的根据是（）A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为 30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 1=/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE ②BC=ED ③C C= /D;④/ B=/ E.其中能使△ AB ®ZXAED 的条件有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二.填空题（共11小题）15 .如图，在△ ABC 中，/C=90°, AD 平分/CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点 D 到线段AB 的距离是 cm.16 .如图，△ ABC 中，/ C=90°, AD 平分/BAC AB=5, CD=2,则△ ABD 的面积17 .如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+/ 2+/3=19 .如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配 一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带 去玻璃店.18.如图，△AB ®ADEF5请根据图中提供的信息，写出* F x= ______是 _______20.如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm 贝U BD=cm.B C21.在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE 平分/ADC, /CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度.D C22.如图，/XABeAADEE, / B=100°, / BAC=30,那么/ AED=度.23.如图所示，将两根钢条AA', BB'的中点。
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全等三角形
一、基本概念
1、全等的图形必须满足：
（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；
即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质
（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；
3、全等三角形的判定方法
（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS）
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA) （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS) （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS) （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
4、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
二、知识网络
⎧⎧⎨⎪
⎩⎪
⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪
⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩⎩
⎧
⎨
⎩对应角相等
性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用
边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理
三、证题的思路：
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎪
⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）
找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）
找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS
7．全等三角形基本图形
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
全等三角形经典题型
1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．
2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．
4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：AD∥BC．
5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．
6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．
7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．
8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．
9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB
求证：AE=CE．
10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．
11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．
14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．
15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．
16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．
17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC ≌△BAD．
18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．
求证：△ABC≌△DEF．
19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．
（1）你添加的条件是：；
（2）证明：．
20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．
23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．
请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，
组成一个真命题，并给予证明．
题设：；结论：．（均填写序号）
证明：
24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．
求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）
25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．
26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；
（2）证明你写出的命题．
27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．
28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．求证：AE=DE．
29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．
30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．。