大数定理和中心极限定理习题课

2
X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ X n ,⋅ ⋅ ⋅ 相互独立，且具有有限数 相互独立，
(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) 。 则对于任意正数 ε > 0, 恒有
1 n lim P Yn − ∑ µ i < ε = 1 n→ ∞ n i =1
定理3 贝努里定理） 定理 （贝努里定理）设在 n 次独立试 验中事件 A 发生的次数为 n A ，在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p，则对于任意给定 ， 的正数恒有
ε
2
对任意 λ > 0 ，取 ε = λσ
得
1 σ2 P (| X − µ |≥ λσ ) ≤ = 2 2 (λσ ) λ
例2 设 X 的概率密度为
x −x f ( x) = e , m!
试证
m
x≥0
m P[0 < X < 2( m + 1)] ≥ m +1
证：
1 + ∞ ( m + 2 )−1 − x xm −x E( X ) = ∫ x ⋅ e dx = ⋅e dx ∫0 x 0 m! m! 1 ( m + 1)! = Γ ( m + 2) = = m + 1. m! m!
n
若存在正数 δ ，使得当 n → ∞ 时，
2+δ i =1 n
∑E X
n i =1 i
n
i
− µi
n
2+δ
→ 0.
则随机变量
Zn =
∑ X −∑µ
i =1
i
Bn
的分布函数 Fn ( x ) 对任意的 x ，满足
n n ∑ X i − ∑ µi i =1 i =1 ≤ x lim Fn ( x ) = lim n→ ∞ n→ ∞ Bn
解：(1)由德莫佛拉普拉斯定理 ， 得
P (49 ≤ X ≤ 55) 55 − 500 × 0.1 49 − 500 × 0.1 ) − Φ( ) = Φ( 500 × 0.1 × 0.9 500 × 0.1 × 0.9 5 1 ) − Φ( − ) = Φ( 45 45 = 0.323
（2）所需最少的射击次数是满足不等式 ）
t2 − 2
dt = Φ( x ).
二、常见例题精解
例1 利用车贝晓夫不等式估计随机变 量与其数学期望的差大于均方差的 λ (λ > 0) 倍的概率。 倍的概率。 解：设随机变量 X 的期望为 µ ，方差 则由车贝晓夫不等式有： 为σ 2，则由车贝晓夫不等式有：
P (| X − E ( X ) |≥ ε ) ≤ D( X )
得证。 取 ε = m + 1，得证。
ε
2
有一批建筑房屋用的柱子， 例3 有一批建筑房屋用的柱子，其中 80%的长度不小于 米。现从这批柱子中随机 的长度不小于3米 的长度不小于 地取出100根。问其中至少有 根短于 米的 根短于3米的 地取出 根 问其中至少有30根短于 概率为多少？ 概率为多少？
P ( X > 50) > q
的最小正整数 X 。 而
P ( X > 50) = P (50 < X < +∞ ) 50 − n × 0.1 500 − n ) = 1 − Φ( ) = 1 − Φ( n × 0.1 × 0.9 3 n
故可从不等式
500 − n 1 − Φ( )>q 3 n
中解出最小的正整数n，即为所求。 中解出最小的正整数 ，即为所求。
=∫
x
−∞
1 e 2π
t2 − 2
dt .
= Φ( x ).
定理3 德莫佛—拉普拉斯定理 拉普拉斯定理） 定理 （德莫佛 拉普拉斯定理）设随机 变量Yn (n = 1,2,⋅ ⋅ ⋅ ) 服从参数为 n, p(0 < p < 1) 的 二项分布， 二项分布，则对于任意区间 (a, b] 恒有
lim P a < n→ ∞ b Yn − np 1 e ≤ b = ∫ np(1 − p ) a 2π
D( X i ) = σ (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅) 。则对于任意正数ε > 0,
2
恒有
1 n lim P ∑ X i − µ < ε = 1 n n→ ∞ i =1
定理2 契比晓夫定理） 定理 （契比晓夫定理）设随机变量
E 学期望和方差： 学期望和方差： ( X i ) = µ i , D( X i ) = σ i ≤ c
+∞
D( X ) = E ( X ) − [ E ( x )] = ∫
2 2
+∞
0
xm −x 2 2 x e dx − ( m + 1) m!
1 = Γ( m + 3) − ( m + 1) 2 = m + 1 m!
由车贝晓夫不等式， 由车贝晓夫不等式，
P (| X − E ( X ) |≤ ε ) ≥ 1 − D( X )
第六章
习题课
一、内容概要
1、切比雪夫不等式 、
设随机变量 X 有数学期望 E ( X ) 和 方差 D( X ) 则对于任意给定的正数 ε > 0, 总成立不 等式
P ( X − E (X ) ≥ ε ) ≤ D( X )
ε
2
2、依概率收敛 、 为一个随机变量序列， 设 Y1 , Y2 ,⋅ ⋅ ⋅, Yn ,⋅ ⋅ ⋅ 为一个随机变量序列， a 是一个常数，若对于任意正数 ε > 0, 都有 是一个常数，
n
Yn =Βιβλιοθήκη ∑Xi =1i
− nµ
nσ
的分布函数Fn ( x )对任意 x ，满足
n ∑ X i − nµ i =1 lim Fn ( x ) = lim P ≤ x n→ ∞ n→ ∞ nσ =∫
x −∞
1 e 2π
t2 − 2
dt
= Φ( x ).
根柱子中短于3米的根数 解： 设100根柱子中短于 米的根数 根柱子中短于 为 X ，则 X ~ B(100,0.2) 。所以有
P (0 < X < 30) 30 − 100 × 0.2 0 − 100 × 0.2 ) − Φ( ) = Φ( 100 × 0.2 × 0.8 100 × 0.2 × 0.8 ≈ Φ( 2.5) = 0.9938.
lim P( Yn − a < ε )= 1. →∞
n
则称随机变量序列 Y1 , Y2 ,⋅ ⋅ ⋅, Yn ,⋅ ⋅ ⋅ 依概率收敛 于a。
3、大数定律 、
定理1 契比晓夫定理的特殊情况） 定理 （契比晓夫定理的特殊情况）设 相互独立， 随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ X n ,⋅ ⋅ ⋅ 相互独立，且具有 相同的有限数学期望和方差： E ( X i ) = µ , 相同的有限数学期望和方差：
定理2 李雅普诺夫定理） 定理 （李雅普诺夫定理）设随机变量 相互独立， X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n ,⋅ ⋅ ⋅ 相互独立，且 E ( X i ) = µ i ,
D( X i ) = σ i ≠ 0
2
(i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅).
1 B
记
2 Bn = ∑ σ i2 , i =1
nA lim P n − p <ε=1 n→ ∞
4、中心极限定理 、
定理1 同分布的中心极限定理） 定理 （同分布的中心极限定理）设随机 独立同分布： 变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n ,⋅ ⋅ ⋅ 独立同分布：E ( X i ) = µ ,
D( X i ) = σ 2 ≠ 0 (i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅). 则随机变量
故
P ( X ≥ 30) = 1 − 0.9938 = 0.0062
射击不断进行， 例4 射击不断进行，设每次射中的概率 为0.1。 。 次射击中， （1）试求 次射击中，射中的次数在 ）试求500次射击中 区间[49， 之间的概率 之间的概率。 区间 ，55]之间的概率。 （2）问至少要射击多少次，才能使射中 ）问至少要射击多少次， 的次数超过50次的概率大于已给正数 次的概率大于已给正数q。 的次数超过 次的概率大于已给正数 。