2019云南省高二上学期数学(文)期末考试试卷

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2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省曲靖市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则{}2430A x x x =-+<{}480xB x =->A B =A ．B ．C ．D ．3(3,)2--3(3,2-3(1,)23(,3)2【答案】D【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B ，再利用交集的定义求出.A B ⋂【详解】，，则()(){}{}31013A x x x x x =--<=<<{}233222x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，故选D.332A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．复数（其中i 为虚数单位）的虚部为（）31iz i +=-A ．B ．C ．D ．21-i-2i【答案】D【分析】根据复数的乘除法运算法则可得复数，再根据复数的概念可得其虚部.12z i =+【详解】因为，()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+所以复数的虚部是2，z 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的乘除法算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则210θ（）c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭A BC D 【答案】D【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sin θ，cos θ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6，∴sin θ，cos θ，35=45=∴sin （）﹣cos （）＝﹣cos θ﹣（cos θcos ）sin θ）cos θ2πθ-6πθ+66sin sinππθ-12=1=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（）A ．甲、丙B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果.【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设，1234x x x x <<<则()()()()()222221234112812812812813512819.85x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦∴，()()()()2222123412812812812850x x x x -+-+-+-=∴，()211112850128128120x x x -≤⇒-≤⇒≥->∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选:A5．函数的部分图象是（）()22sin 1x f x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.()f x 06x π<<()f x 【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-()f x ()f x轴对称，排除C ，D ；当时，，排除B.y 06x π<<()0f x <故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．的内角，，的对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c cos cos 3cos a B b A c C +=，则（）sin sin sin 0a A c C b A -+=b a =A ．B ．C ．D ．53737252【答案】A【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=1cos 3C =，得，结合余弦定理，即可求得本题答sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-222cos 2a b c C ab +-=案.【详解】在中，由正弦定理及，ABC cos cos 3cos a B b A c C +=得，sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=∴，sin()sin 3sin cos A B C C C +==又，∴；sin 0C ≠1cos 3C =由正弦定理及，得，sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-又由余弦定理得，22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===所以，得．213b a -=53b a =故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.7．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，22221x y a b +=12,F F 122FF c =A ，，则椭圆的离心率1120AF F F ⋅= 212AF AF c ⋅=e =A B CD【答案】C【详解】由于，则，， 1120AF F F ⋅= 2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()12,0,,0F c F c -22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，，，，，42122b AF AF c a ⋅== 2b ac=22a c ac -=21e e -=210e e +-=e = ，则，选C.01e <<e 二、多选题9．如图，在长方体中，，M ，N 分别为棱的中点，1111ABCD A B C D -14,2AA AB BC ===111,C D CC 则下列说法正确的是（）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面平面ADM ⊥11CDDC C ．直线与所成角的为D ．平面BN 1B M 60︒//BN ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外判断；B.平面，11ABC D 11ABC D AD ⊥11CDD C 再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由，得到为1//BE B M EBN ∠异面直线与所成的角判断；D.利用反证法判断.BN 1B M【详解】A.点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外，故错误；11ABC D 11ABC DB.在正方体中，平面，又平面ADM ，所以平面平面，故正确；AD ⊥11CDD C AD ⊂ADM ⊥11CDD CC.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得，则为异面直线与所成的角，易知1//BE B M EBN ∠BN 1B M 是等边三角形，则，所以直线与所成角的为，故正确；EBN △60EBN ∠= BN 1B M 60︒D. 若平面，又平面ADM ，又，所以平面平面ADM ，//BN ADM //BC BC BN B = 11//BCC B 而平面平面，矛盾，故错误；11//BCC B 11ADD A 故选：BC10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，a b c d 从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d (),c d 对于A ，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A 错(),a b 116P =误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次(),a d (),b d (),c d品的概率，故B 正确；23162P ==对于C ，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率(),a b (),a c (),b c ，故C 错误；33162P ==对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d 故两件中至少有1件是一等品的概率，故D 正确.456P =故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.11．下列四个命题中，正确命题有（）A ．当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线()1210a x y a --++=的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是()5,020x y -=221520x y -=C ．抛物线的准线方程为()20y ax a =≠14y a =-D ．已知双曲线，其离心率，则m 的取值范围是2214x y m +=()1,2e ∈()12,0-【答案】ABCD【分析】对于A ，求出点的坐标即可判断，对于B ，根据条件可得P ,a b ==对于C ，根据抛物线的知识可判断，对于D ，得到，然后可判断.22222244c a b me a a +-===【详解】对于A ，当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，()1210a x y a --++=因为方程可化为()1210a x y a --++=()210a x x y +--+=所以，而过点，故A 正确；()2,3P -243x y=()2,3P -对于B ，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，()5,020x y -=则，，，解得，故双曲线的标准方程是，故B 正5c =2ba =222c ab =+,a b ==221520x y -=确；对于C ，抛物线的准线方程为，故C 正确；()20y ax a =≠14y a =-对于D ，根据题意，双曲线，其离心率，2214x y m -=-()1,2e ∈即，则，故D 正确.22222244c a b m e a a +-===4141204m m -<<⇒-<<故选：ABCD.12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层球的球的总数为，则（）n a n S A ．B ．11(2)n n a a n n --=+≥784S =C ．D ．9898992a ⨯=1232022111140442023a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】BCD 【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项123a a a 、、1n n a a n --=n a A 、C ；计算前7项的和即可判断B ；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，121321=1=2=3n n a a a a a a a n ----= ，，，，以上n 个式子累加可得，(1)=12(2)2n n n a n n ++++=≥ 又满足上式，所以，故A 错误；11a =(1)=2n n n a +则，2345673610152128a a a a a a ======，，，，，得，故B 正确；7127==1+3+6+10+15+21+28=84S a a a +++ 有，故C 正确；9898992a ⨯=由，1211=2((1)1n a n n n n =-++得，12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023a a a +++=-+-++-=-=故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数，则________．3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩(2020)f -=【答案】1-【解析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=【详解】根据题意，当时，，0x <()(3)f x f x =+所以，(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=当时，，0x ≥3()log (1)2f x x =+-所以.3log (21)(22)1f +-=-=故答案为：.1-【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.14．若数列，都等差数列，且有，则__________．{}n a {}n b 1212532n n a a a n b b b n ++++=++++ 77a b =【答案】6815【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.n 【详解】设等差数列、的前项和分别为{}n a {}n b n n nS T 、由1131137711312131131977113121313()25133682213()21321522a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b++++++⨯+=======+++++++ 故答案为:681515．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________;【答案】【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而R求出这个球的体积【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，R 即解得2R =R=则其体积，343V Rπ===故答案为：．16．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第x 1F 2F 一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范P 12PF F △2PF 210PF =围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．()1,2【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率(1,2)102102cc c ∈⇒>-521(,1).2105532c c c c c ==-∈+++【解析】椭圆离心率四、解答题17．已知函数.()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期；()f x (2)在中，角所对的边分别为，若，且的面积为ABC ,,A B C ,,a b c ()3,24f C a ==ABC 的值.c【答案】(1)π(2)c =【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，即可得到结果；()f x （2）根据条件求出，由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出c 即可.C b 【详解】（1），π111cos 21π1()sin sin()sin sin 2sin(2)3222264x f x x x x x x x x ⎛⎫-=+==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭故最小正周期为.2ππ2T ==（2），即，1π13()sin(22644f C C =-+=πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，所以，ππ22,62C k k π-=+∈Z ,3C k k ππ=+∈Z 因为，所以，()0,C π∈π3C =由三角形面积公式，且，解得，1sin 2S ab C ==2a =4b =由余弦定理，22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=解得.c =18．若数列满足，.{}n a 11a =-121(N ,2)n n a a n n *-=-∈≥(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a -{}n a (2)设，若数列的前项和为，求证：.2log (1)n n b a =-11(N )n n n b b *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n n T 1n T <【答案】(1)证明见解析，12n n a =-(2)证明见解析【分析】（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列121n n a a -=-()1121n n a a --=-{}1n a -的通项公式，可得数列的通项公式．{}n a （2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．n b n =11111n n b b n n +=-+【详解】（1）证明：∵，121n n a a -=-()2n ≥∴，()1121n n a a --=-又，1120a -=-≠∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n a -2-2∴， ()11222n nn a --=-⋅=-∴．12n n a =-（2）解：由（1）知，()22log 1log 2n n n b a n =-==∴，()1111111n n b b n n n n +==-++∴.11111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．[)[)[]4050506090100 ，，，，，，（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；[)7080，（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．[)4050，[]90100，【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．0.2572.50.4【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=平均分的估计值为：；（3）450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在[)40,50[]90,1003,3[)40,503,,a b c的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成[]90,1003,,A B C [)40,50[]90,10015绩在同一分组区间的结果共种，利用古典概率计算公式即可得出所求概率．6试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为[)70,80，频率分布直方图如图所示；()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：；450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由题意可得，成绩在的人数为，记他们分别是，成绩在[)40,50600.005103⨯⨯=,,a b c 的人数为，记他们分别是，则从成绩在和的学生[]90,100600.005103⨯⨯=,,A B C [)40,50[]90,100中任选两人的结果分别是，共()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c B C B a B b B c C a C b C c a b a c b c 15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C B C a b a c b c 所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．60.415P ==【解析】1、频率分布直方图；2、古典概率．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．20．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=，点A 在平面3πBCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到1CE BB ⊥1AE BB ⊥1BB ⊥AEC ，问题得证；1AA AC ⊥（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法E EC 1EB EA x y z 1EB C 向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.11A B C 【详解】（1）因为平面，所以，⊥AE 11BB C C 1AE BB ⊥又因为，，，所以1112BE BB ==2BC =3EBC π∠=CE 因此，所以， 222BE CE BC +=1CE BB ⊥因此平面，所以，1BB ⊥AEC 1BB AC ⊥从而，又四边形为平行四边形，1AA AC ⊥11ACC A 则四边形为矩形；11ACC A （2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以E EC 1EB EA x y z，11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),A A B C 平面的法向量，设平面的法向量，1EB C (0,0,1)m = 11A B C (,,)n x y z =由，1(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅=⇒= 由，11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=令，1x y z =⇒==n =所以，cos ,m n <>== 所以，所求二面角的余弦值是【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该25︒库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化25︒ 2 6402016万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．12060(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，0.120%那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留25︒1位小数，，)91.2 5.16≈81.2 4.30≈【答案】(1)年2023(2)万立方米543.6【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；n （2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，{}n a 由题意知数列是等差数列，且首项，公差．{}n a 1120a =60d =设第n 年后可以使绿化任务完成，则有，解得．(1)12060 2 6402n n n S n -=+⨯≥8n ≥所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.2023（2）因为年造林数量为，20238120760540a =+⨯=设到年年底木材总量为万立方米，2023S由题意得876120 1.2180 1.2240 1.2540 1.0(.)21S =⨯+⨯+⨯++⨯⨯ ．8762 1.23 1.2)9 1.2(=⨯⨯+⨯++⨯ 令①，872 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ 两边同乘以，得②．1.29821.22 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ ②①，得-98720.22 1.2 1.2 1.2(1).29 1.2S'=⨯++++-⨯ 2791.2(1 1.2)2 1.210.81 1.2-=--⨯⨯+．97 1.218=⨯-所以，所以．957 1.218(90).6S'=⨯⨯-≈690.6543.6S =⨯=故到年年底共有木材万立方米．2023543.622．已知点与点的距离比它的直线的距离小2．M ()4,0F :60l x +=(1)求点的轨迹方程；M (2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出,OA OB M AB x 该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)216y x=(2)直线过定点.()16,0【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系y 数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三()0,0P x A B P 点共线，结合向量共线定理，即可求解.【详解】（1）（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，M ()4,0:6l x =-即动点到的距离与它到直线的距离相等，M ()4,04x =-由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，M ()4,0则点的轨迹方程为；M 216y x =（2）（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，AB设直线的方程为，，AB ()0x ty m m =+≠()()1122,,,A x y B x y 联立方程，消去，可得，即，216y x x ty m ⎧=⎨=+⎩x 216160y ty m --=0∆>240t m +>，，121216,16y y t y y m +==-22212121616y y x x m =⨯=由题意知，即，则，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=故，，，直线的方程为，2160m m -=0m ≠16m =AB 16x ty =+故直线过定点，且定点坐标为；AB ()16,0法二：假设存在定点，设定点，()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠，，故，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=在抛物线上，即代入上式，可得，A B 、221212,1616y y x x ==()212120256y y y y +=故，三点共线，，，12256y y =-A B P 、、PA PB ∥2221121212120121216161616y y y y y x x y y y x y y y y --===-=--假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．AB x ()16,0【点睛】本题考查了根据定义求抛物线轨迹，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线垂直转化为向量垂直计算是解题的关键.。

2021-2022学年高二上学期期末考试试卷（全国卷）语文

2021-2022学年高二上学期期末考试试卷（全国卷）语文绝密★启用前2021-2022学年高二上学期期末考试试卷（全国卷）语文考试时间：150分钟试卷分数：150分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2.请将答案正确填写在答题卡上。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

新时代，新征程，呼唤诗歌创作的新高峰。

现实生活给诗歌创作注入了新活力，也提出了新要求。

在我看来，诗歌体裁的多样化，是其中的一个重要要求。

我国数千年的诗歌遗产十分丰厚。

大量的诗歌作品不仅题材丰富多样，而且体裁方面也是非常多样，唐宋后出现诸体并行的局面。

早期上古歌谣，二言体如“断竹，续竹；飞土，逐宍”（载《吴越春秋》），三言者如《尚书·皋陶谟》所载：“乃歌曰：股肱喜哉，元首起哉，百工熙哉！……乃赓载歌曰：元首明哉，股肱良哉，庶事康哉！”（转引自鲁迅《汉文学史纲要》，鲁迅认为：“去其助字，实止三言，与后之汤之《盘铭》曰'苟日新，日日新，又日新’同式。

”）《诗经》则是西周至春秋数百年四言体集大成的总汇。

战国出现杂言的楚辞体，汉魏六朝有五言为主的乐府体（也有杂言体），东汉有七言的柏梁体，晋代陶渊明有五言古体和介于诗与赋之间的辞赋体，南齐有七言的永明体为格律诗的滥觞，唐代近体、古体多样并行，唐五代宋有词牌多样的词体，元曲在词的基础上独创新体，明清诗词沿用以前格律诗词为主兼及其他体裁而没有明显新体生成。

近百年来则有打破既有一切旧体格律的自由诗新体，当然还有注重格律的新诗。

由此看来，在格律最严的格律诗（以及词、曲）和最宽松的新体自由诗之间，还有多种诗歌体裁先后出现、后来同期并行使用，留下大量丰富多彩的诗歌遗产。

也由此看出，几千年诗歌发展，体裁多姿多彩，各种体裁对于表达表现各种题材内容是各得其宜、各展其长，而不能简单地判定谁优谁劣。

明清诗词相比唐宋之前成绩平平，我认为其中一个重要原因在于，其局限于唐宋以来已经成熟规范的格律之中，为狭隘的格律格局束缚。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题含答案

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，（11分）令，∵ ，∴ ，在上单调递增，∴ ，解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ，推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分）（3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分）由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

2022-2023学年云南省昆明市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

昆明市2022-2023学年度上学期期末考试高二数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数是函数的导函数，若，则（）()f x '()f x ()cos f x x =π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭A.B.C.12-12【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数的导数公式求解.【详解】因为，()cos f x x =所以，()sin f x x '=-所以，ππ1sin 662f ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B.2. 已知等差数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 76a =13S =A. 6 B. 12C. 78D. 156【答案】C 【解析】【分析】由条件根据等差数列前项和公式结合等差数列性质可求.n 13S 【详解】因为，()11313713132a a S a+==又，76a =所以，1313678S =⨯=故选：C.3. 如图，在平行六面体中，M 是的中点，设1111ABCD A B C D -11B C ，则（）1,,AB a AD b AA c===AM =A.B. C.D.12a b c ++ 12a b c++12a b c++1122a b c++ 【答案】B 【解析】【分析】利用向量的线性运算法则即可计算.【详解】解：因为在平行六面体中，M 是的中点，1111ABCD A B C D -11B C 所以111111111222A cA M AB AB AB BB B M A BC AA AD a b ++=+++==+=++故选：B4. 直线与圆交于两点，则为（）22y x =+224670x y x y ++--=,MN MN C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由圆方程求圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，结合弦长公式求.MN【详解】方程可化为，224670x y x y ++--=()()222320x y ++-=所以圆的圆心的坐标为，半径为224670x y x y ++--=()2,3-圆心到直线的距离，()2,3-22y x =+d 所以MN ==故选：D.5. 空间直角坐标系中，已知点，则平面的一O xyz -(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0)A B C ABC 个法向量可以是（）A. B. C. D.(1,2,1)(1,2,1)-(2,1,2)(2,1,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据法向量的求解方法求解即可.【详解】解：由题知，()()0,1,2,2,1,0AB BC =-=-设平面的一个法向量为，ABC (),,n x y z =所以，即，令得00n AB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22y z y x =⎧⎨=⎩1x =()1,2,1n = 所以，平面的一个法向量可以是.ABC ()1,2,1n =故选：A6. 在中，，则（）ABC1,5,cos2A AB AC ===BC =AD.【答案】A 【解析】【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可.cos A BC 【详解】因为cos2A =所以，23cos 2cos 125A A =-=-由余弦定理可得，2222cos BC AB AC AB BC A =+-⋅因为，1,5AB AC ==所以，23125215325BC⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以BC =故选：A.7. 已知等比数列的各项都是正数，为其前项和，若，，则{}n a n S n 48S =824S =16S =A. 40B. 56C. 72D. 120【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的片段求和性质求解即可.【详解】因为,,,成等比数列,所以,48S =8416S S -=128S S -1612S S -12832S S -=,,161264S S -=()()()164841281612S S S S S S S S =+-+-+-8163264120=+++=故选：D .【点睛】本题主要考查了等比数列片段求和的性质,属于基础题.8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不R ()f x ()f x '3()()0,(ln 2)1f x f x f +<='等式的解集为（）3()e 8xf x >A. B. C. D.(,2)-∞(,ln 2)-∞(ln 2,)+∞(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数3()e 8xf x >()33ln 2()e ln 2e x f x f >，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.()()3e x g x f x =【详解】令，函数的定义域为，()()3e x g x f x =()g x R 因为()()30f x f x '+<所以，()()33(e )e 0x x f x f x ''+<故()()3(e )0x g x f x ''=<故在R 上单调递减，()g x 又因为()ln 21f =所以，，()()3ln 2e ln 28ln 2g f ==所以不等式可化为，3()e 8xf x >()()ln 2g x g >所以，ln 2x <所以的解集为3()e 8xf x >(),ln 2-∞故选：B.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.9. 下列关于双曲线的结论中，正确的是（）221x y -=A. B. C. 两条渐近线互相垂直 D. 焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线，可得，，221x y -=1a =1b =c =则双曲线的离线率为A 正确；221x y -=ce a ==焦距，故B 错误；2c =渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C 正确；y x =y x =-焦点到渐近线的距离为，故D 正确；1b =故选：ACD.10. 设是数列的前n 项和，且，，则下列结论中，正确n S {}n a 11a =()12n n a S n *+=∈N 的是（）A.是等比数列 B.是等比数列{}n a {}n S C. D.13n na -=13n n S -=【答案】BD 【解析】【分析】利用与的关系可得的递推关系即可判断A ，C ；利用与的关系可n a n S {}n a n a n S 得的递推关系即可判断B ，D ．{}n S 【详解】由，所以当时，有，两式相减得，12n na S +=2n ≥12n n a S -=13n n a a +=又，，所以数列不是等比数列，故A 错误；C 错误；11a =2122a S =={}n a 由，得，所以数列是首项为1，公比为3的等比数112n n n nS a S S ++==-13n n S S +={}n S 列，所以，故B 正确；D 正确．11133n n n S --=⨯=故选：BD ．11. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于两点，2:6C y x =F 1l l F C ,A B若，则下列结论中正确的是（）3AF FB = A. 直线B. 的中点到的距离为4l AB 1lC. D. （O 为坐标原点）112||||3AF BF +=OA OB ⊥【答案】ABC 【解析】【分析】由题设直线的方程为，，进而联立方程，结合向l 32x my =+()()1122,,,A xy B x y量关系得，再依次讨论各21y y m ==-=21y y m ===选项即可.【详解】解：由题知焦点为，准线为，3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭13:2l x =-所以，设直线的方程为，，l 32x my =+()()1122,,,A x y B x y 所以，得，2632y x x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩2690y my --=所以，，①，②，236360m ∆=+>126y y m +=129y y =-因为，即，3AF FB = 112239,,33,322AF x y FB x y ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以③，123y y -=所以，由①②③得，21y y m ==-=21yy m ===所以直线的斜率为，故A 选项正确；l 1m =所以，，故的中点的横坐标为，()212123635x x m y y m +=++=+=AB 52所以，的中点到的距离为，故B选项正确；AB 1l53422⎛⎫--= ⎪⎝⎭当，此时，21y y m ==-=91,,22A B ⎛⎛- ⎝⎝93622AF =+=，故；13222BF =+=112||||3AF BF +=当时，，此时，21y y m ===91,,22A B ⎛⎛ ⎝⎝93622AF =+=，故；故C 选项正确；13222BF =+=112||||3AF BF +=因为，故不成立，故D 选项()212121212909364y y OA OB x x y y y y ⋅=-=+≠+= OA OB ⊥错误.故选：ABC12. 已知函数，则下列结论中正确的是（）32()1f x x mx =-+A. 有两个极值点()f x B. 当时，在上是增函数1m =-()f x (0,)+∞C. 当时，在上的最大值是11m =()f x [1,1]-D. 当时，点是曲线的对称中心3m =(1,1)-()y f x =【答案】BCD 【解析】【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A ，结合导数判断函数的单调性()f x 求最值，判断B ，C ，结合奇函数的定义判断D.【详解】因为，()321f x x mx =-+所以，()()23232f x x mx x x m '=-=-当时，，当且仅当时，0m =()230f x x '=≥0x =()0f x '=函数在上单调递增，()f x (),-∞+∞函数没有极大值点也没有极小值点，A 错误；()f x 当时，，1m =-()()32f x x x '=+当时，，函数在上单调递增，B 正确；()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，，1m =()()32f x x x '=-令可得，或，()0f x '=0x =23x =当时，，函数在上单调递增，[)1,0x ∈-()0f x ¢>()f x [)1,0-当时，，函数在上单调递减，20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，函数在上单调递增，213x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x ¢>()f x 213⎛⎤ ⎥⎝⎦，又，()01f =()11f =所以函数在上的最大值为1，C 正确；()f x []1,1-当时，，3m =32()31f x x x =-+，()()323(1)131131f x x x x x +=+-++=--设，()()11g x f x =++则，，()33g x x x=-()()33g x x x g x -=-+=-所以函数为奇函数，()()11g x f x =++所以函数的图象关于原点对称，()g x 所以函数关于点对称，D 正确.()f x ()1,1-故选：BCD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线在点处的切线方程为____________.21()2x f x x +=-(1,3)-【答案】520x y +-=【解析】【分析】再结合导数的几何意义切线斜率，代入切线方程公式即可．【详解】因为，21()2x f x x +=-所以，()()()()()222221522x x f x x x --+-'==--所以．()15f '=-故切线方程为．520x y +-=故答案为：．520x y +-=14. 在直三棱柱中，，则直线与所成111ABC A B C -190,BAC AB AC AA ∠=== 1AC 1A B 角的余弦值为____________.【答案】##120.5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求直线的方向向量，利用向量夹角公式求两向量夹角，结合异面直线夹角定义可得两直线的余弦值.【详解】因为三棱柱为直三棱柱，且，111ABC A B C -90BAC ∠= 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系,A 1,,AC AB AA ,,x y z 设，则11AB AC AA ===，11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B A C 所以，11(0,1,1),(1,0,1)A B AC =-=所以，1111111cos ,2A B AC A B AC A B AC ⋅===-因为异面直线所成的角在，(0,90]所以异面直线与所成的角余弦值为，1AC 1A B 12故答案为：.1215. 已知经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，(2,1)P 1-l 222:1(0)b x yC a b a +=>>,A B 若恰为弦的中点，则椭圆的离心率为________________.P AB C 【解析】【分析】设，代入椭圆方程相减，利用中点坐标求得关系，从而()()1122,,,A x y B x y ,a b 可得离心率．【详解】解：设，，()()1122,,,A x y B x y 2211221x y a b +=①2222221x y a b +=②是线段的中点，P AB ，两式相减可得，12122,122x x y y ++∴==①②22221212220x x y y a b --+=整理得，即，()()121222420x x y y a b --+=2122122y y b x x a -=--∵弦的斜率为AB 1-，即21221221yy b x x a -∴=-=--a =．c e a ∴====．16. 已知中，，则面积的最大值为_____ABC 2,2BC AB AC ==ABC 【答案】43【解析】【分析】设，则，根据面积公式得AC x =2AB x=ABC S ∆=代入化简，由二次函cos C ABC S ∆=223x <<数的性质求得取得最大值．ABC S∆【详解】解：设，则，根据面积公式得AC x =2AB x =1sin sin 2ABC S AC BC C x C ∆=== 由余弦定理可得，2224443cos 44x xxC x x +--==可得：，ABCS ∆===由三角形三边关系有：，且，解得：，22x x +>22x x +>223x <<故当时，取得最大值，x =ABC S ∆43故答案为：．43【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. 已知等差数列的前n 项和为.{}n a 25,3,25n S a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和.11n n n b a a +={}n b n T 【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）设数列的公差为，列方程求，写出等差数列通项公式；{}n a d 1,a d （2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列的公差为，{}n a d 因为，253,25a S ==所以，，13a d +=151025a d +=解得，，11a =2d =所以．12(1)21n a n n =+-=-【小问2详解】，111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭因为2231n n nT b b b b b -=+++++ 所以．1111111111123352325121271n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪---+⎝⎭ 所以.11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭18. 在中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，C ，且.ABC cos 2cb a C =-（1）求角A ；（2）若面积的最大值.a =ABC【答案】（1）；2π3（2【解析】【分析】（1）利用正弦定理，，据cos 2sin()2sin cos sin 2cb a C A C A C C =-⇒+=-此可得答案；（2），21122si n si n si n si n si n si n si n ABC a S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三π3BC +=3πsi n si n ，ABC S C C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 角函数有界性可得答案【小问1详解】由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，cos 2sin 2sin cos sin 2cb a C B A C C=-⇒=-又在三角形中，.()()si n si n π--si n B A C A C ==+则，又，2sin 2sin cos sin 2cos sin sin B A C C A C C =-⇒=-sin 0C >得，结合，知.1cos 2A =-()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由正弦定理，可知.si n ，si n si n si n a ab Bc CA A=⋅=⋅则.21122si n si n si n si n si n si n si n ABCa S bc A B C A B CA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭又由（1）可知，π3B C +=则.2332πsi n si n si n cos si n ABC S C C C C C⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭())3212224si n cos si n cos C C C C =--=+-，因，26πsi n C ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π0,3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π2,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当，即时，ππ262C +=π6C =ABC S 19. 已知数列满足.{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N （1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）设，求数列的前n 项和.n n b na ={}n b n S 【答案】（1）证明见解析，31nna =-（2）()12233214n n n nS n +-=+-⋅+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）由题知，进而根据错位相减法和分组求和法求解即可.3nn n b na n n ==⋅-【小问1详解】解：数列满足{}n a ()112,32n n a a a n *+==+∈N ，即，113(1)n n a a ++=+ 1131n n a a ++=+∴数列是以为首项，为公比的等比数列，{}1n a +113a +=3，即；11333n n n a -∴+=⋅=31n n a =-∴31nna =-【小问2详解】解：由题知，3nn n b na n n ==⋅-设的前项和为，{}3nn ⋅n nT ，231323333n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅ ，23413132333(1)33n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，()23111313312233333331322n n n n n n n T n n +++--∴-=++++-⋅=-⋅=-+⋅- 1321344n n n T +-∴=+⋅∵数列的前n 项和为{}n ()2122n n n n++=∴数列的前n 项和{}n b ()1222133223212213444n n n n S n n n n T n n n n++-=-+⋅-+-⋅+++=-=20. 已知函数.()ln 2,f x x ax a =-∈R （1）当时，求函数的单调区间；1a =()f x （2）若函数有两个零点，求a 的取值范围.()f x 【答案】（1）单调增区间；减区间 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求函数的导函数，由求函数的单调递增区间，由求函()f x ()0f x ¢>()0f x '<数的单调递减区间；（2）由可得，则直线与函数的图象有两个交点，利()0f x =ln 2xa x =y a =()ln x g x x =用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.()g x a 【小问1详解】当时，，该函数的定义域为，1a =()ln 2f x x x=-()0,∞+，()1122xf x x x -'=-=令可得，列表如下：()0f x '=12x =x10,2⎛⎫⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '取值为正0取值为负()f x 单调递增极大值单调递减所以，函数在上单调递增，在上单调递减；()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【小问2详解】由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，()0f x =ln 2xa x =y a =()ln 2x g x x =函数的定义域为，，()ln 2x g x x =()0,∞+()21ln 2xg x x -'=由，可得，列表如下：()0g x '=e x=x()0,e e()e,+∞()g x '取值为正0取值为负()g x 单调递增极大值单调递减所以，函数的极大值为，()g x ()1e 2e g =且当时，，1x >()0g x >当时，和函数相比，一次函数呈爆炸性增长，所以，x→+∞ln y x =()0f x →且，，()0f x '<()0f x '→又，()10f =根据以上信息，作出其图象如下：当时，直线与函数的图象有两个交点，102e a <<y a =()ln 2x g x x =因此，实数的取值范围是.a 10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21. 如图，在四棱锥中，面，，且P ABCD -PA ⊥ABCD //AB CD ，，为的中点．22,CD AB BC ===90ABC ∠=︒M BC （1）求证：平面平面；PDM ⊥PAM （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P DM A --30︒PC PDM 【答案】（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由条件可得，即．再由ABCD 222AD AM DM =+DM AM ⊥面，得，利用线面垂直的判定可得平面，进一步PA ⊥ABCD DM PA ⊥DM ⊥PAM 得到平面平面；PDM ⊥PAM （2）由（1）知，，则为二面角的平面角,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --为，求得．以为坐标原点，分别以所在直线为30︒tan 301PA AM =⋅︒=A ,,AE AB AP 轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所,,x y z PC PDM PCn 成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．PC PDM 【详解】（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，ABCD 1,2,AB CD BM CM ====可得，223,6AM DM ==过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 1,DE AE ==29AD =则，∴．222AD AM DM =+DM AM ⊥∵面，PA ⊥ABCD ∴，DM PA ⊥又，∴平面，PA AM A = DM ⊥PAM ∵平面，DM ⊂PDM ∴平面平面；PDM ⊥PAM （2）解：由（1）知，，则为二面角的平,PM DM AM DM ⊥⊥PMA ∠P DM A --面角为，30︒则．tan 301PA AM =⋅︒=以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，A ,,AE AB AP ,,x y z 则，，，，()0,0,1P 1,0)D-CM．1),1,1),1)PC PD PM =-=--=-设平面的一个法向量为，PDM (,,)n x yz =由，取，得．00n PD y z n PM y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩1x=n ⎛= ⎝ ∴直线与平面所成角的正弦值为：PC PDM|||cos ,|||||PC n PC n PC n ⋅<>===⋅【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且2222C :1(b 0)xy a a b +=>>12F (F 该椭圆过点．1A 2⎫⎪⎭，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）过点作一条斜率不为0的直线，直线与椭圆相交于两点，记点()40B ，l l C P Q ，关于轴对称的点为点，若直线与轴相交于点，求面积的最大值．P x P 'P Q 'x D DPQ ∆【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2214x y +=34【解析】【分析】（Ⅰ）根据，和计算椭圆的标准方程；（Ⅱ）题意122a AF AF =+222b ac =-可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到l 4(0)x my m =+≠，根据坐标设出的方程，并得到的面积，代121222812,44m y y y y m m -+==++P Q 'DPQ ∆入根与系数的关系，并求最大值.【详解】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，解得121242a AF AF =+== .2a =又，2221b a =-=所以椭圆的标准方程为C 2214x y +=（Ⅱ）由题意可设直线的方程为 .l 4(0)x my m =+≠设，则.()()1122,,,P x y Q x y ()11,P x y '-由，消去可得22414x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，x ()2248120m y my +++=121222812,44m y y y y m m -∴+==++()2216120,12m m ∆=->∴> ，()21212121P Q y y y y k x x m y y '++==-- 直线的方程为.∴P Q '()()211121y y y y x x m y y ++=--令，0y =可得，()2111212121244m y y y my y x my y y y y -=++=+++22122244441884m m m m m m ⋅+=+=+=--+(1,0)D ∴ DPQ BDQ BDPS S S ∆∆∆∴=-121||2BD y y=⋅-==令，(0,)t t =∈+∞则266316164DPQ t S t t t∆==++当且仅当，即4t =m =±面积的最大值为DPQ ∴∆34【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2024—2025学年云南省大理州宾川县第四完全中学高二上学期开学测试数学试卷

2024—2025学年云南省大理州宾川县第四完全中学高二上学期开学测试数学试卷一、单选题(★★) 1. 若集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 若，则（）A．1B．C．2D．(★) 3. 记的内角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知是两个不同的平面，，是内两条不同的直线，则“，且”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 5. 把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（）A．B．C．D．(★★★) 6. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若，则（）A．1B．-1C．2D．-2(★★★) 8. 已知，函数，若关于的方程至少有2个不同的实数解，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（）A．三棱锥和四棱柱B．四棱锥和三棱柱C．四棱锥和四棱柱D．五棱锥和三棱柱(★★★) 10. 抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（）A．A包含C B．A与B相互独立C．B与C互为对立事件D．B与C互斥但不对立(★★★) 11. 在中，角的对应边分别为．已知，则下列结论正确的是（）A．B．外接圆的半径为C．面积的最大值为D．若为的中线，则的最小值为三、填空题(★★) 12. 若向量满足.则 _________ (★★) 13. 已知数据的极差为6，且分位数为，则__________ .(★★) 14. 已知某圆锥的体积为.侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球的体积为 __________四、解答题(★★★) 15. 7月23日，第8届中国一南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作､共谋发展”为主题，会期从23日至28日，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家､地区和国际组织参会，2000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在内，并将部分数据整理如下表：10102020(1)估计这100家企业评分的中位数（保留小数点后一位）；(2)估计这100家企业评分的平均数与方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(★★★) 16. 在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为，且每次投篮能否命中都是相五独立的.(1)求甲四次投篮共得0分的概率;(2)若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率.(★★★) 17. 若函数和的定义域相同，值域也相同，则称和是"同域函数".(1)判断函数与是否为"同域函数"，并说明理由；(2)若函数和，且是"同域函数"，求的值.(★★★) 18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．(1)求的长；(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？(★★★) 19. 如图，在正三棱柱中，分别为的中点.(1)若三棱柱的体积为，求的长(2)证明：平面(3)若正方形的中心为，动点在的边上，求直线与平面所成角的正切值的最小值与最大值.。

云南省玉溪一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题

云南省玉溪一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合A={y |y =xx ||(x ≠0)}，B={x | x 2－x －2≤0}，则（） A ．ABB ．BAC ．A=BD ． A ∩B=φ2、已知：命题P ：R x ∈∀，总有|x |≥0；命题q :x =1是方程x 2+x +1=0的根，则下列命题为真命题的是（）A ．p ∧⌝qB ．⌝p ∧qC ．⌝p ∧⌝qD ．p ∧q 3、函数f (x )=e x +x －2的零点所在的一个区间是（）A ．(－2, －1)B ．(－1, 0)C ．(0, 1)D ．(1, 2)4、若直线ax +2y +6=0与直线x +a (a +1)y +a 2－1=0垂直，则实数a 的值为（）A ．－23B ．0C ．1D ．0或－23 5、曲线f (x )=x 3－2x +1在点(1, 0)处的切线方程为（）A ．y =－x +1B ．y =x －1C ．y =2x －2D ．y =－2x +26、从正方形的四个顶点及中心这5个点中，任取2个点，则这两个点的距离不小于该正方形边长的概率为（） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54 7、执行如下图所示的程序框图，如果输入t ∈[－2, 2]，则输出的s 属于（）A ．[－6, －2]B ．[－5, －1]C ．[－4, 5]D ．[－3, 6]8、一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（）A ．33B ．63C ．93D ．1839、已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为（）A ．4B ．5C ．10D ．1510、若正数a , b 满足3a +4b =ab ，则a +b 的最小值为（）A ．6+23B ．7+23C ．7+43D ．7－4311、在矩形ABCD 中，若AB=3，AD=4，E 是CD 的中点，F 在BC 上，若·=10，则BC EF ·等于（）A ．－5B ．－6C ．－7D ．31112、若f (x )=⎩⎨⎧----1222x x x ),0[)0,[+∞∈-∞∈x x ，x 1＜x 2＜x 3，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1, 2)B ．(1, 2]C ．(0, 1]D ．[2, 3)第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13、设数列{a n }满足a 1=7，a n +a n +1=20，则{a n }的前50项和为 .14、若变量x , y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤14y y x x y ，则z =2x +y 的最大值为 .15、在三角形ABC 中，若A=60°，AB=4，AC=1，D 是BC 的中点，则AD 的长为 .16、设直线x －3y +m =0（m ≠0）与双曲线2222by a x -=1(a ＞0, b ＞0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若P(m , 0)满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）已知直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x 32(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为θρ2cos 2=1.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）直线l 被曲线C 截得的弦长.18、（本小题满分12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图. （1）求频率分布直方图中的a 的值；（2）分别求出成绩落在[50, 60)与[60, 70)中的学生人数.（3）从成绩在[50, 70)的学生中任选2人，求这两人的成绩都在[60, 70)中的概率.19、（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E 、F 分别为A 1C 1和BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；（2）求证：C 1F//平面ABE.20、（本小题满分12分）在三角形ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若m =(b ,3cos B)，=(sin A, －a )，且⊥.（1）求角B 的大小；（2）若b =3，sin C=2sin A ，求△ABC 的面积.21、（本小题满分12分）若数列{a n }满足a 1=2，a n +1=13 n na a .（1）设b n =na 1，问：{b n }是否为等差数列？若是，请说明理由并求出通项b n ；（2）设c n =a n a n +1，求{c n }的前n 项和.22、（本小题满分12分）设椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，||||121DF F F =22，△DF 1F 2的面积为22.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点，求出这个圆的方程.玉溪一中2014－2015学年上学期期末考试高二数学答案（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、50014、715、221 16、25. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：（1）由θρ2cos 2=1得)sin (cos 222θθρ-=1(θρcos )2－(θρsin )2=1∵θρcos =x ，θρsin =y ∴x 2－y 2=1（2）直线l 的方程为y =3(x －2) 将y =3(x －2)代入x 2－y 2=1得 2x 2－12x +13=0解得x 1=2106+，x 2=2106-∴弦长为||1212x x k -+=||3121x x -+=210。

2022-2023学年云南省玉溪市高二上学期期末教学质量检测数学试题(解析版)

2022-2023学年云南省玉溪市高二上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2A =，()(){}210B x x x =-+<，则A B =（） A ．{}1 B ．{}2C ．{}1,2D ．∅【答案】A【分析】求一元二次不等式的解集，再求集合A 与集合B 的交集即可. 【详解】∵{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，∴{1}A B ⋂=. 故选：A. 2．已知复数()21i1i z +=-，则z 的虚部为（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1【答案】C【分析】由复数的运算结合定义求解. 【详解】()2221i1i i i 11i 2i 2i 221i z +++====-+---，即z 的虚部为12. 故选：C3．欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．56【答案】A【分析】运用列举法解决古典概型.【详解】记4部书籍分别为a 、b 、c 、d ，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd 共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为ab 、ac 、ad 共有3个，所以抽到《几何原本》的概率为：3162P ==. 故选：A.4．过点()1,0-的直线l 与圆C ：222440x y x y +-+-=相交于A ，B 两点，弦AB 长的最小值为（）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】判断点(1,0)-在圆C 内，根据当l 垂直于圆心与定点所在直线时，弦长||AB 最短，代入公式||AB =.【详解】∵圆C ：222440x y x y +-+-=，即：22(1)(2)9x y -++=， ∴圆C 的圆心(1,2)C -，半径为3. 又∵22(11)(02)9--++<， ∴点(1,0)M -在圆C 内， ∴当l CM ⊥时，弦长||AB 最短. 又∵||CM ==∴||2AB ===. 故选：C.5．已知等比数列{}n a 满足220n n a a +-=，10n n a a +<，12a =，则6a 的值为（） A ．4 B．-C ．8 D．-【答案】D【分析】由10n n a a +<得出0q <，再由通项结合220n n a a +-=得出q ，进而得出6a 的值. 【详解】设公比为q ，110,0n n n na a a q a ++<∴=<. 220n n a a +-=，111120n n a q a q +-∴-=.即()12220n qq--=，解得q =55612(a a q ==⨯=-故选：D6．已知直线1l ：()31302a x y +++=和直线2l ：210x ay ++=，则12l l ∥的充要条件为（） A ．2a = B ．3a =- C ．25a =-D ．2a =或3a =-【答案】B【分析】根据两直线平行得出关于实数a 的方程，解出即可. 【详解】∵12//l l ，∴313221a a +=≠，即：2602? a a a ⎧+-=⎨≠⎩，解得：3a =-.故选：B.7．碳14的半衰期为5730年.在考古中，利用碳14的半衰期可以近似估计目标物所处的年代.生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的函数关系式是5730012x y A ⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中0A 为生物体死亡时体内碳14含量）.考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的60%，由此可以推测到发掘出该生物标本时，该生物体在地下大约已经过了（参考数据：lg 20.3≈，lg30.5≈）（）A ．2292年B ．3580年C ．3820年D ．4728年【答案】C【分析】运用对数运算性质解方程即可.【详解】由题意知，5730001()0.62xA A =，所以16lg lg 5730210x =，即lg 2lg 61lg 2lg310.30.510.25730x -=-=+-≈+-=-，即：lg 20.25730x-≈-，解得：0.20.2573057303820lg 20.3x ≈⨯≈⨯=（年）. 故选：C.8．若22lg 2lg 5a =+，ln 44b =，ln 55c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据,b c 的形式可构造函数()()ln 3xf x x x=>，利用导数可求得()f x 单调性，由()()45f f >可得,b c 大小关系；根据基本不等式和对数运算可求得12a b >>，由此可得结果. 【详解】令()()ln 3x f x x x =>，则()1ln 0xf x x -'=<，f x 在()3,+∞上单调递减，()()45f f ∴>，即ln 4ln 545>，c b ∴<； ()2222lg 2lg5lg 2lg 5lg 2lg52lg 2lg512lg 2lg5122+⎛⎫+=+-=->-⨯ ⎪⎝⎭111242=-⨯=，12a ∴>，又2ln 4ln 2111ln 2ln e 44222b ===<=，b a ∴<，c b a ∴<<. 故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据所给数值的共同形式，准确构造函数，将问题转化为同一函数的不同函数值的大小关系比较问题，从而利用函数单调性来确定结果.二、多选题9．如图，在ABC 中，若点D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点，设AD ，BE ，CF 交于一点O ，则下列结论中成立的是（）A ．BC AC AB =- B ．1122AD AC AB =+ C ．2233AO AC AB =+ D ．2233OC AC AB =- 【答案】AB【分析】利用向量的加减法则进行判断.【详解】根据向量减法可得BC AC AB =-，故A 正确；因为D 是BC 的中点，所以1122AD AC AB =+，故B 正确；由题意知O 是ABC 的重心，则()2211133233AO AD AC AB AC AB ==⨯+=+，故C 错误； 221111121()()332333333OC CF CB CA CB CA CA AB CA AC AB =-=-⨯+=--=-+-=-，故D 错误.故选：AB.10．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于点5π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象关于y 轴对称【答案】ABD【分析】根据三角函数的性质以及函数图象变换即可求解. 【详解】由题意可知，7πππ2,212122T A ==-=，则2ππT ω==，则2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又因为()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ22π2π126k k ϕϕ⋅+=⇒=-+，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；()5π5ππ2sin 22sin π012126f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；令πππ2π22π,Z 262k xk k ，解得：ππππ,Z 63k xk k ，令1k =可得：5π4π63x ≤≤，所以C 不正确；将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，则πππ2sin 22sin 22cos 662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，关于y 轴对称，所以D 正确. 故选：ABD.11．已知双曲线M ：()222108x y a a -=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作M 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，连接2AF ，记e 为双曲线M 的离心率，C 为12AF F △的周长，若直线2AF 与另一条渐近线交于点B ，且2AB BF =，则（）A ．e =B ．22eC ．8C =+D ．8C =+【答案】AD【分析】不妨设垂足A 在第二象限，从而可求得1AF ，再根据2AB BF =，可得1OB AF ∕∕，则1AF OB k k =，即可求出a ，进而可得离心率，求出直线1AF 斜率，即可得12AF F ∠，再在12AF F △中，利用余弦定理求得2AF 即可.【详解】双曲线M ：()222108x y a a -=>的渐近线方程为0bx ay ±=，()1,0F c -，不妨设垂足A 在第二象限，即点A 在直线0bx ay +=上，则12222bc AF b a b-===+，因为2AB BF =，所以B 为2AF 的中点，又因O 为12F F 的中点，所以1OB AF ∕∕，则1AF OB k k =，即a bb a=，所以228a b ==，故224c a b =+=，所以2ce a==，所以11AF OB k k ==，则12πtan 4AF F ∠=，在12AF F △中，11222,8AF F F ==，则22221121121222cos 8642228402AF AF F F AF F F AF F =+-∠=+-⨯⨯⨯=，所以2210AF =，所以12AF F △的周长822210C =++.故选：AD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上有一动点G ，则下列说法正确的是（）A ．当点G 在线段11A C 上运动时，三棱锥1G ACB -的体积为定值 B ．当点G 在线段AC 上运动时，1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得AG 与平面ABCD 所成角为45°的点G 的轨迹长度为π42+D ．若P 是线段1AB 的中点，当点G 在底面ABCD 上运动且满足//PG 平面11B CD 时，线段PG 长的最6【答案】ACD【分析】对于选项A ，运用等体积法转化可得；对于选项B ，通过作平行线研究异面直线所成的角；对于选项C ，通过线面垂直找到线面角，再根据线面角可得点G 的轨迹计算即可.对于选项D ，通过面面平行的判定定理证得面1A BD //面11B CD ，从而得到点G 的轨迹，在PBD △中，运用等面积法求得PG 的最小值.【详解】对于选项A ，因为1CC ⊥面1111D C B A ，11B D ⊂面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，当点G 在线段11A C 上运动时，因为1111B D A C ⊥，111B D CC ⊥，1111AC CC C =，11A C 、1CC ⊂面11ACC A ，所以11B D ⊥面11ACC A ，又因为11//AC A C ，所以111111111111111422222323223223G ACB B AGC AGC V V S B D AC AA B D --==⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯△.所以三棱锥1G ACB -的体积为定值43，故选项A 正确；对于选项B ，因为11//AC A C ，所以异面直线1B G 与11A C 所成角为1B GC ∠或其补角，在△1AB C 中，1122AB BC AC ===1π3B CG ∠=，所以1ππ32B GC ≤∠≤，故1B G 与11A C 所成角的取值范围为ππ[,]32，故选项B 错误；对于选项C ，∵1BB ⊥面ABCD ，则145B AB ︒∠=，∴当G 在线段1AB 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AB =，同理：当G 在线段1AD 上时，AG 与面ABCD 所成角为45︒，122AD =，若点G 在面1111D C B A 上，∵面ABCD //面1111D C B A ， ∴AG 与面1111D C B A 所成角为45︒，又∵1AA ⊥面1111D C B A ，1AG ⊂面1111D C B A ， ∴11AA A G ⊥，145A GA ︒∠=， ∴112AG AA ==， ∴点G 在以1A 为圆心，2为半径的圆上，又∵点G 在面1111D C B A 上，∴点G 在圆与四边形1111D C B A 的交线11B D 上，∴11B D 的长为12ππ4r ⨯=，∴点G 的轨迹长度为11112222ππ42B D AB AD l ++=++=+，故选项C 正确；对于选项D ，连接DP 、DB ，取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，则1//PE AA ，1AA ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，所以PE DE ⊥，如图所示，∵11//BB DD 且11=BB DD ， ∴四边形11BDD B 为平行四边形， ∴11//BD B D ，又∵BD ⊄面11B CD ，11B D ⊂面11B CD ，∴//BD 面11B CD ，同理1//A B 面11B CD ，又∵1BDA B B =，BD 、1A B ⊂面1A BD ，∴面1A BD //面11B CD ，又∵//PG 面11B CD ， ∴∈G 面1A BD ，又∵∈G 面ABCD ，面1A BD面ABCD BD =，∴G BD ∈，即：G 的轨迹为线段BD . ∴当PG BD ⊥时，PG 最短.在Rt DAB 中，2AD AB ==，1AE =，所以BD =，DE ，在1Rt A AB △中，112PB A B ==在Rt PED 中，1PE =，所以PD =在PBD △中，因为222PB PD BD +=，所以PB PD ⊥，所以由等面积法得1122PBD S PB PD BD h =⋅=⋅△，即：1122=⨯，解得：h =线段PG 故选项D 正确. 故选:ACD.三、填空题13．为估计某中学高一年级男生的身高情况，随机抽取了25名男生身高的样本数据（单位：cm ），按从小到大排序结果如下164.0164.0165.0165.0166.0167.0167.5168.0168.0170.0170.0170.5171.0171.5172.0172.0172.5172.5173.0174.0174.0175.0175.0176.0176.0据此估计该中学高一年级男生的第75百分位数约为___________. 【答案】173【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由75%2518.75⨯=，所以该中学高一年级男生的第75百分位数为第19个数，即173. 故答案为：17314．若正数x ，y 满足112x y+=，则9x y +的最小值是___________. 【答案】8【分析】利用常数“1”代换结合基本不等式进行求解. 【详解】因为112xy +=，则11112x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ()111191999101028222y x y x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=⋅++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当9y x x y =，即2,23x y ==时等号成立，所以9x y +的最小值是8. 故答案为：8.15．已知等腰三角形底角的正切值为52，则顶角的正弦值是___________.【答案】459##459 【分析】由倍角公式结合同角三角函数的基本关系求解.【详解】如下图所示，等腰三角形ABC ，其中A 为顶角，因为5tan 2B =，所以 ()2222sin cos 2tan 545sin sin 2sin 22sin cos 5sin cos tan 1914B B B A B B B B B B B π=-======+++.故答案为：45916．已知函数()f x 的定义域为R ，()32y f x =++是偶函数，当3x ≥时，()2log f x x =，则不等式()()221f x f x +>-的解集为___________.【答案】533x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【分析】运用函数的奇偶性可得()f x 关于3x =对称，再运用函数的单调性、对称性可得|21||4|x x ->-，解绝对值不等式即可.【详解】∵(3)2y f x =++是偶函数，∴(3)2(3)2f x f x ++=-++，即：(3)(3)f x f x +=-+∴()f x 关于3x =对称.∵当3x ≥时，2()log f x x =，∴()f x 在[3,)+∞上单调递增，又∵(22)(1)f x f x +>-，∴|223||13|x x +->--，即：|21||4|x x ->-，∴22(21)(4)x x ->-，即：234150x x +->，解得：3x <-或53x >. 故答案为：{|3x x <-或5}3x >.四、解答题17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，满足22a =，37S =(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)12n n a -=(2)()12n n n T -=【分析】（1）根据等比数列单调性和通项公式可构造方程求得公比q ，进而得到n a ；（2）利用等差数列求和公式可求得n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，{}n a 为递增的等比数列，220a =>，1q ∴>，23222227a S a a q q q q ∴=++=++=，解得：12q =（舍）或2q ，2122n n n a a q --∴==.（2）由（1）得：12log 21n n b n ，又10b =，11n n b b +-=，∴数列{}n b 是以0为首项，1为公差的等差数列，()()01122n n n n n T +--∴==. 18．已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0c a B b C -+=(1)求ABC ∠；(2)如图，点D 在AC 延长线上，且CD BC =，4AB =，7AD =，求ABC 的面积.【答案】(1)π3. 333 【分析】（1）由正弦定理边化角及和角公式化简可得结果；（2）在△ABC 中应用余弦定理解得BC 的值，代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0c a B b C -+=，∴由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=，即sin cos 2sin cos sin cos 0C B A B B C -+=，()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =， ∵ sin 0A ≠，∴ 1cos 2B = 又∵()0,πB ∈，∴ 3B π=. （2）设CD x =，则7AC x =-，在△ABC 中，()22247π1cos 3242x x x +--==⨯，解得：3310x = 则△ABC 的面积11333333sin 423210ABC S AB BC π=⨯⨯⨯=⨯⨯△19．2022年，某市教育体育局为了解九年级语文学科教育教学质量，随机抽取100名学生参加某项测试，得到如图所示的测试得分（单位：分）频率分布直方图.(1)根据测试得分频率分布直方图，求a 的值；(2)根据测试得分频率分布直方图估计九年级语文平均分；(3)猜测平均数和中位数（不必计算）的大小存在什么关系？简要说明理由.【答案】(1)0.007a =(2)79.2(3)中位数大于平均数，理由见解析【分析】（1）由频率之和等于1，得出a 的值；（2）由频率分布直方图求平均数的方法求解；（3）观察频率分布直方图数据的分布，得出平均数和中位数的大小关系.【详解】（1）解：()0.0030.0050.0150.02201a ++++⨯=解得0.007a =（2）语文平均分的近似值为()0.003300.005500.015700.02900.00711020⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.2=，所以，语文平均分的近似值为79.2.（3）中位数大于平均数.因为和中位数相比，平均数总在“长尾巴”那边.20．如图，三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，侧面11ABB A 是正方形，2AB AC ==，D 为线段11A B 上的一点（不包括端点）且1AC CD ⊥(1)证明：AC AB ⊥；(2)当点D 为线段11A B 的中点时，求直线1AC 与平面BCD 所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)22【分析】（1）法一：由线面垂直的判定定理证得11A B ⊥平面11AAC C ，则11A B AC ⊥，又11//AB A B ，所以AB AC ⊥.法二：设1B D k AB =，由空间向量基本定理表示出1,AC CD ，由1AC CD ⊥可得10AC CD ⋅=，代入化简即可得出AC AB ⊥.（2）建立空间直角坐标系，分别求出直线1AC 的方向向量和平面BCD 的法向量，由线面角的向量公式求解即可.【详解】（1）法一：证明：连接1A C ，在直三棱柱111ABC A B C 中，∵1AB AC A A ==，∴四边形11ACC A 是正方形，∴11A C AC ⊥，又∵1AC CD ⊥且1CD AC C ⋂=，1,CD AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥平面1A CD ，因为11A B ⊂平面1A CD ，∴111AC A B ⊥，又∵111A B AA ⊥，11,AC AA ⊂平面11AAC C ，11A AC AA ⋂=，∴11A B ⊥平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，∴11A B AC ⊥，又∵11//AB A B ，∴AB AC ⊥，法二：证明：设1B D k AB =，11AC AC AA =+，()()()1111CD CB BD AC BB B B AB D k AB AC B =+=-++=+-+∵1AC CD ⊥，∴10AC CD ⋅=，即()()1111111k AB AC AC AC BB AC k AB AA AC AA BB AA +⋅-⋅+⋅++⋅-⋅+⋅()1400040k AB AC =+⋅-++-+=又∵点D 不与11A B 的端点重合，∴10k +≠，∴0AB AC ⋅=，即AC AB ⊥.（2）由（1）得AC ，AB ，1AA 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()12,0,2C ，()2,0,0C ，()0,2,0B ，()0,1,2D()12,0,2AC =，()0,1,2BD =-，()2,1,2CD =-设平面BCD 的法向量为(),,n x y z =0202200n BD y z x y z n CD ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩，令2x =，则2,1==y z ，可求得()2,2,1n =设直线1AC 与平面BCD 所成角为θ， 11162sin cos 62AC nAC n AC n θ⋅=⋅===⋅， ∴直线1AC 与平面BCD 2 21．已知31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0ω>，设()f x a b =⋅ (1)若函数()y f x =图象相邻的两对称轴之间的距离为π，求()f x ；(2)当函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠，使()()1212f x f x +=，则称该函数为“互补函数”.若函数()y f x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”，求ω的取值范围.【答案】(1)()sin f x x =(2)3ω≥【分析】（1）根据数量积的坐标公式及辅助角公式将函数()f x 化简，再根据()y f x =相邻的对称轴距离为π求出ω，即可得解；（2）分3ππ222T -≥、3ππ22T -<、3ππ222T T ≤-<三种情况讨论，分别求出ω的取值范围，即可得解.【详解】（1）解：因为31,22a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()3π12πcos sin2323f x a b x x ωω⎛⎫⎛⎫=⋅=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ π1πππsin sin sin 32333x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为函数()y f x =相邻的对称轴距离为π，所以2πT =，即2π2πω=，解得1ω=，所以()sin f x x =.（2）解：因为函数()sin x y f x ω==在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“互补函数”，函数()y f x =在定义域内存在1x ，()212x x x ≠使()()1212f x f x +=，即()()122f x f x +=， ①当3ππ222T -≥，即3ππ2π2220ωω⎧-≥⋅⎪⎨⎪>⎩，解得4ω≥，显然成立； ②当3ππ22T -<，即3ππ2π220ωω⎧-<⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<<时，显然不成立； ③当3ππ222T T ≤-<时，即24ω≤<时，所以ππ223π5π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π5π223π9π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或者π9π223π13π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得ω的取值范围为34ω≤<，综上所述3ω≥.22．已知曲线C ：()222210x y a b a b +=>>，且点M ⎛ ⎝⎭和点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)若点O 为坐标原点，直线AB 与曲线C 交于A ，B 两点，且满足OA OB ⊥，试探究：点O 到直线AB 的距离是否为定值.如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由【答案】(1)2213x y += (2)【分析】（1）方法1：待定系数法（代入曲线的标准方程中）求得椭圆的方程. 方法2：待定系数法（代入曲线的一般式方程中）求得椭圆的方程.（2）分类讨论①若直线AB 斜率存在时，由韦达定理及0OA OB ⋅=可得2k 与2m 的关系式，代入计算点O 到直线AB 的距离即可. ②当直线AB 的斜率不存在时检验也成立.【详解】（1）方法1：由已知M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上，则2222161938199a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：2231a b ⎧=⎨=⎩，所以曲线C 的方程为2213x y +=. 方法2：由已知可设曲线C 的方程为221mx ny +=，(0)n m >>，因为M ⎛ ⎝⎭及点N ⎛ ⎝⎭在曲线C 上，则61938199m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，所以曲线C 的方程为2213x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，①若直线AB 斜率存在，设直线的方程为y kx m =+，则：22330y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩ 消去y 后得()222136330k x kmx m +++-=，则222222Δ364(13)(33)3612120k m k m k m =-+-=-+>， 122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，由OA OB ⊥知，()()()()2212121212121210x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=++⋅+=++++=22433m k ⇒=+，此时0∆>，又点O 到直线AB的距离d所以d ==.②当直线AB 的斜率不存在时，A 、B 两点关于x 轴对称，而且当11x y =时，代入方程2213x y +=，可得1x = 所以直线AB的方程为x =，此时O 点到直线AB的距离d =. 综上所述，点O 到直线AB。

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图1
乙
甲7
5
1
8
7
3
624
79
54368
534321高二年级上学期期末检测文科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合{}{}=≤=<<=B A x x B x x A 则,2,41（） A.()01， B.(]02，
C.()1,2
D.(]12， 2. 抛物线2x y -=的焦点坐标为 ( )
A.)8
1
,0(- B.)0,41(- C.)41,0(- D.)21,0(-
3. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级人400，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级分别抽取的学生人数为
.A 15,10,20 .B 10,5,30 .C 15,15,15 .D 15,5,25
4. 三个数6log 6,7.07.07.06的大小关系为 ( ) A. 7.067.067.06log << B. 6log 67.07.07.06<< C. 67.07.07.066log <<
D. 7.07.0666log 7.0<<
5. 右图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（） A ．62 B ．63 C ．64 D ．65
6. 已知:14p x +≤，2:56q x x <-，则p 是q 成立的 ( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 7. 已知向量,a b 满足||||||1a b a b ==+=，则向量,a b 的夹角为 ( )
A ．
3π B ．23π C ．6
π D ．56π
8. 函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）
A ．72
B ．36
C ．12
D ．3
9. 与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是( )
结束
开始
?1<x
输入
x
2x y = ?10<x
x y cos =
13+=x y
输出
y
是
否
是
否
A. 22(1)(1)2x y +++=
B. 22(1)(1)4x y +++=
C. 2)1()1(22=++-y x
D. 4)1()1(22=++-y x 10. 已知四棱锥ABCD P -的三视图如右图，则四棱锥ABCD P -的全面积为( ) A ．52+ B ．53+ C ．5 D ．4
11.椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x ，B 为上顶点，
F 为左焦点，A 为右顶点，且右顶点A 到直线FB 的距离为b 2，则该椭圆的离心率为（）
A.2
2 B.22-
C.12-
D. 23-
12. 已知函数)(x f y =的周期为2，当[]2)1()(2,0-=∈x x f x 时，，如果
1l o g )()(5--=x x f x g ，则函数)(x g y =的所有零点之和为
（）
A ．2 B. 4 C. 6 D. 8
第II 卷（非选择题，共90分）
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知,
x y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-+≥⎩
则3z x y =+
的最小值为
14. 根据如图所示的程序框图，若输出y 的值为4，则输入的x 值为______________.
15. 下列说法：
① “R x ∈∃，使x 2>3”的否定是“R x ∈∀，使≤x 23”；
② 函数sin(2)3
y x π
=+的最小正周期是π；
③ “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；
④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要
条件；其中正确的说法是（只填序号）. 16. 已知[]6,1∈m ，[]6,1∈n ，则函数3
213
y mx nx =
-+在[1,)+∞上为增函数的概率是 .
三、解答题（本大题共
6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本题满分10分）已知数列{}n a 是等差数列，且12,23211=++=a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式（2）令2n n n b a =+，求数列{}n b 前n 项和n S
18.（本题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表
示编号为n （1,2,,6n =）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
70,76,72,70,72
(1)求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
19.（本题满分12分）已知函数1)sin (cos 2
1
2sin 23)(22---=
x x x x f
（1）求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为a,b,c 且c =7，0)(=C f ，若向量
()B n A m sin ,3)sin ,1(==与向量共线，求b a ,的值．
20. (本题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB AC =,点D 是BC 的中点。

（1）求证：B A 1∥平面1ADC
（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：平面1A BE ⊥平面11BCC B .
21. （本题满分12分）设21,x x )(21x x ≠是函数
x a bx ax x f 223)(-+=（0>a ）的两个极值点。

（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式；（2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值。

22.（本题满分12分）已知椭圆:C ()22
2210x y a b a b
+=>>经过点()
0,3，离心率
为1
2
，左，右焦点分别为1F (),0c -，2F (),0c 。

（1）求椭圆C 的的方程；
（2）若直线1
:2
l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与圆222x y c +=交于,C D
两点，且满足：53
4
AB CD =
，求直线l 的方程。