高一下期数学期中试题(理)
河北省高一下学期期中数学试题(解析版)
高一年级期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） ()212i z =+z A. B.C.D.()3,4--()3,4-()3,4()3,4-【答案】D 【解析】【分析】先化简复数，根据实部虚部写出点的坐标.【详解】，即在复平面内对应的点的坐标为. ()212i i 34z =+=-+z (3,4)-故选:D.2. 在中，，，则外接圆的半径为（ ）ABC A 60A =︒BC =ABC A A.B. 1C. 2D. 312【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】设为外接圆的半径，则 R ABC A由正弦定理，得，解得． 22sin a R A ===1R =所以外接圆的半径为. ABC A 1故选:B ．3. 已知向量，满足，，则（ ）a b 1a = 1a b ⋅=()2a a b ⋅-= A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D 【解析】【分析】由向量数量积的运算律，结合已知直接计算可得.【详解】因为．()222221211a a b a a b a ⋅-=-⋅=-=-= 故选：D ．4. 将图(1)中的等腰直角三角形沿斜边ABC BC 的中线折起得到空间四面体，如图(2)，则在空间四面体中, 与的位置关系AD ABCD ABCD AD BC 是（ ）A. 相交且垂直B. 相交但不垂直C. 异面且垂直D. 异面但不垂直【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直的判断定理，证出平面；再由线面垂直的定义即可证出，AD ⊥BCD AD BC ⊥由于不相交即可得出答案.,AD BC 【详解】折起前，折起后有，，且， AD BC ⊥AD BD ⊥AD CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面，所以又与不相交，故与异面且垂直. AD ⊥BCD AD BC ⊥AD BC AD BC 故选C【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理以及线面垂直的定义，需掌握线面垂直的判定定理内容，证明异面直线垂直一般先证线面垂直，此题属于基础题.5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） m n αβA. 若，，，则 m n ⊥m α⊥n β⊥αβ⊥B. 若，，，则 m n ∥m α⊥n β∥αβ⊥C. 若，，，则 m n ⊥m α∥n β∥αβ∥D. 若，，，则 m n ∥m α⊥n β⊥αβ∥【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质，结合垂直的性质、平面平行的性质逐一判断即可.【详解】因为，，若，分别在直线上为平面，的法向量，且，故m α⊥n β⊥m n ,m n αβm n ⊥，所以选项A 说法正确；αβ⊥因为，，所以，而，因此，所以选项B 说法正确； //m n m α⊥n α⊥//n βαβ⊥当时，如下图所示：也可以满足，，，所以选项C 说法不正确；αβ⋂m n ⊥//m α//n β因为，，所以，而，所以，因此选项D 说法正确，//m n m α⊥n α⊥n β⊥//αβ故选：C6. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数等于()2,1,3a = ()1,2,2b =-- ()7,6,c λ= a b cλ（ ） A. 10 B. 8C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量．【详解】解：向量，，共面，存在实数，使得，即abc∴m n c ma nb =+．()()()7,6,2,1,31,2,2m n λ=+--，． ∴726232m n m n m n λ=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩⇒4110m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩10λ∴=故选：A ．7. 已知的三边长分别为，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值ABC A a 3a +6a +为（ ） A.B.C.D.23344538【答案】B 【解析】【分析】设的最小内角为，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到ABC A α6cos 2a aα+=，进而即可求解．()15cos 26a a α+=+【详解】设的最小内角为， ABC A α由正弦定理得，整理得， 6sin sin2a a αα+=6cos 2a aα+=又余弦定理得，()()()222(3)(6)15cos 23626a a a a a a a α+++-+==+++所以，解得，则．()615226a a a a ++=+12a =3cos 4α=故选：B ．8. 在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC .，，则三棱PA PB AB ===90BAC ∠=︒2AC =锥P -ABC 的外接球的表面积为（ ）A. B.C. D.5π16π38π20π【答案】C 【解析】【分析】由面面垂直可得线面垂直，进而可确定球心的位置在DO 上，根据勾股定理即可求解. 【详解】如图，取AB 的中点E ，BC 的中点D ，连接PE ，△PAB 是等边三角形，则.因为平面PE AB ⊥PAB ⊥平面ABC ，平面平面，平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC ，又平面PAB ⋂ABC AB =PE ⊂ED ⊂ABC ，所以.过D 作OD ⊥平面ABC ，则.因为，所以三棱锥P -ABC 的PE ED ⊥OD PE ∥90CAB ∠=︒外接球的球心在DO 上，设球心为O ，连接OB ，OP ，设外接球半径为R ，由已知，32PE ==，在直角梯形PEDO 中，，BC ==BD =OD =112ED AC ==，，所以三棱锥P -ABC 外接球的表面积222312R ⎛=+ ⎝R =224π4π8πS R ==⨯=. 故选:C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若复数为纯虚数，则（ ）zA. 为实数B. 为实数 z z +z z -C. 为实数D. 为实数2z i z ⋅【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可i(R z m m =∈0)m ≠i z m =-求解.【详解】因为为纯虚数，设且，则， z i(R z m m =∈0)m ≠i z m =-由，所以A 正确； 0z z +=由，所以B 错误； 2i z z m -=由为实数，所以C 正确；22z m =-由为实数，所以D 正确. i i i z m m =⋅=-⨯=故选：ACD.10. 已知四边形是平行四边形，，，，则（ ） ABCD (0,0,1)A -(2,0,0)B -(0,2,2)C -A. 点D 的坐标是B. (2,2,3)--BD =C. D. 四边形的面积是cos DAB ∠=ABCD 【答案】BD 【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知即可求出D 点坐标判断A ，利用两点间距离公式判断B ，AD BC =由向量夹角公式判断C ，由三角形面积公式可得平行四边形面积判断D.【详解】不妨设点D 坐标为，因为四边形是平行四边形，所以， (),,a b c ABCD AD BC =即，所以，，，所以点D 坐标为，故A 错误；()(),,12,2,2a b c +=-2a =2b =-1c =()2,2,1-，故B 正确；BD ==，，所以，故C 错()2,2,2AD =-u u u r ()2,0,1AB =-u u u r cos cos ,||||AD AB DAB AD AB AD AB ∠⋅===u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r 误；因为，所以四边形的面积sin DAB ∠=ABCD，故D 正确.sin S AD AB DAB ∠===u u u r u u u r 故选：BD11. 在中，角、、的对边分别为、、，向量，向量，ABC ∆A B C a b c (m =()cos sin n A A =，若，且满足，则下列说法正确的是（ ） //m ncos cos sin a B b A c C ⋅+⋅=⋅A. B. π3A =π6B =C. D. π3C =π2C =【答案】ABD 【解析】【分析】由向量平行得到，从而求出，A 正确；由正弦定理得到，求出tan A =π3A =sin 1C =，判断CD ；结合三角形内角和求出，判断B 选项.π2C =π6B =【详解】∵， //m nsin A A =∴， tan A =∴，A 选项对， π3A =由题意及正弦定理得，即， 2sin cos sin cos sin A B B A C +=2sin sin C C =又， 0sin 1C <≤∴，又，sin 1C =(0,π)C ∈∴，C 选项错，D 选项对， π2C =又， πA B C ++=则，B 选项对， π6B =故选：ABD.12. 如图所示，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD 1==PA AB ，为线段上的点（不包括端点），则（ ） E F PDA.B. 平面AC EF ⊥//PB AECC. 二面角的大小为定值D.E BD C --AE CE +【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理和性质定理即可得出；对于B ，利用线面平行的性质定理即可得出；对于C ，由二面角的定义即可判断；对于D ，将侧面和展开在一个平面内，结合余PAD A PCD A 弦定理即可得出.【详解】对于A ，平面，平面，，假设， PA ⊥ ABCD AC ⊂ABCD PA AC ∴⊥AC EF ⊥又平面PAD ，平面，,,PA EF P PA EF ⋂=⊂AC∴⊥PAD 又平面，，而四边形为正方形，与矛盾， AD ⊂PAD AC AD ∴⊥ABCD AC AD ⊥所以假设错误，故不正确，故A 不正确；AC EF ⊥对于B ，设，连接，假设平面，AC BD O = OE //PB AEC又平面平面，则，PBD AEC OE =PB OE ∥在中，因为为的中点，则必为的中点，这与为线段上的动点矛盾， PBD △O BD E PD E PD 所以假设错误，故B 不正确；对于C ，为线段上的动点，二面角的大小即为二面角的大小， E PD ∴E BD C --P BD C --因为二面角的大小为定值，所以二面角的大小为定值， P BD C --E BD C --故C 正确；对于D ，平面，平面，，为等腰直角三角形，PA ⊥ ABCD AD ⊂ABCD PA AD ∴⊥PAD ∴A 平面，平面，，即，PA ⊥ ABCD CD ⊂ABCD PA CD ∴⊥CD PA ⊥又四边形为正方形，，ABCD CD DA ∴⊥平面PAD ，平面，平面，，,,PA DA A PA DA ⋂=⊂ CD \^PAD PD ⊂PAD CD PD ∴⊥为直角三角形，PCD ∴A 如图，将侧面和展开在一个平面内，， Rt PAD △Rt PCD △135ADC ∠= 连接，当处在与的交点处时，取得最小值， AC E AC PD AE CE +此时，在中，由余弦定理，得ACD A2222cos 11211cos1352AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯︒=所以，故D 正确.AE CE +故选：CD .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为___________.α(1,1,2),(2,1,7)n A =-α(1,2,2)P -α【答案】【解析】【分析】利用空间向量坐标运算的求点到平面的方法即可求解.【详解】由题意知，所以点到的距离()1,3,5PA =Pαn PA d n⋅===故答案为：.14. 某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 【答案】2π【解析】【分析】根据圆柱的侧面展开图可知底面圆的周长等于正方形的边长，即可求出底面圆的半径，进而可求面积.【详解】因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该圆柱的底面圆的周长为其侧面展开图正方形的边长，故该圆柱一个底面的面积. 222ππ×=πS r ==故答案为：2π15. 如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°．若山高AD ＝150m ，汽车从C 点到B 点历时25s ，则这辆汽车的速度为______m/s ．【答案】【解析】【分析】由余弦定理求得后可得速度．BC 【详解】由题意可知，AB ＝300m ，m，由余弦定理可得AC =BC（m ），这辆汽车的速度为==m/s ）， 25÷=故答案为：16. 在中，G 满足，过G 的直线与AB ，AC 分别交于M ，N 两点.若ABC A 0GA GB GC ++=，，则3m +n 的最小值为_______.(0)AM mAB m => (0)AN n AC n =>【解析】【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最G 11313m n+=值.【详解】取中点，连接，如图，BC D GD由可得，即， 0GA GB GC ++= 20GA GD →→+=2GA GD →→=-所以三点共线且，即为的重心，,.A G D 2AG GD =G ABC A 所以，2211113323AG AD AB AC AM AN m n →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为三点共线， ,,M G N 所以， 11313m n+=又，， 1143(3)=+3333n m m n m n m n m n⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭0,0m n >>所以， 433m n +≥+=3n m m n =即 m n ==四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，.()1,3a =()2,1b =- （1）求向量与夹角的余弦值；a b（2）若向量与互相垂直，求的值. a b + a kb -k 【答案】（1. （2）. 116k =【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积即可求得结果. （2）利用两向量垂直的条件即可求得结果. 【小问1详解】由，，()1,3a =()2,1b =- 所以，1(2)31231a b ⋅=⨯-+⨯=-+=，||a== b == 设向量与的夹角为，则a b θcos ||||a b a b θ⋅===【小问2详解】若向量与互相垂直，a b + a kb -则，22()()(1)10510a b a kb a kb k a b k k +⋅-=-+-⋅=-+-=所以. 116k =18. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且． ABC A cos sin 0a B B c +-=（1）求A ；（2）若，且b ，c ． 2a =ABC A 【答案】（1）3A π=（2）， 2b =2c =【解析】【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算求解即可； （2）应用余弦定理及三角形面积公式，列方程求边即得. 【小问1详解】在中，由正弦定理及得 ABCA cos sin 0aB B c -=， sin cos sin sin 0A B A BC -=又，代入上式，()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B =--=+=+， sin cos sin A B A B =∵，sin 0B ≠， cos A A =∴， sin tan cos A A A==∵， 0πA <<∴． π3A =【小问2详解】由（1）知，又， π3A =2a =∴由余弦定理得，即，①2242cos b c bc A =+-224b c bc +-=又∵ABC A∴有，即， 1sin 2bc A =1πsin 23bc =∴，②4bc =解由①②组成的方程组得，．2b =2c =19. 已知正四面体的棱长为2，点G 是的重心，点M 是线段的中点.OABC OBC △AG（1）用，，表示，并求出；OA OB OC OM OM （2）求. OM AB ⋅【答案】（1）， 111266OM OA OB OC =++u u u r u u r u u u r u u u r OM = （2） 23-【解析】【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可. 111266OM OA OB OC =++u u u r u u r u u u r u u u r （2）根据展开求解即可. 111()266OM AB OA OB OC OB OA ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r【小问1详解】因为点M 是线段的中点，点G 是的重心，AG OBC △所以， 11112111112222322266OM OA OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r因为，22cos 602OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r 所以 22222111111436366618OM OM OA OB OC OA OB OA OC OB OC ==+++⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ， 1111114442222436366618=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.OM = 【小问2详解】 111()266OM AB OA OB OC OB OA ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r 221111132666OA OB OA OB OB OC OA OC =⋅-++⋅-⋅u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r . 11111224422326663=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯=-20. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，平面平面，点是1111ABCD A B C D -ABCD 11AA D D ⊥ABCD E 的中点，.AD 1122A A A D AD AB ====（1）求证：平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）求直线与平面所成角的正弦值.1A D 1A BC 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明，根据面面垂直的性质定理证明⊥平面，再由面面垂直判定1A E AD ⊥1A E ABCD 定理证明平面平面；1A EB ⊥ABCD （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角公式求直1A D 1A BC 线与平面夹角.1A D 1A BC 【小问1详解】因为，点是的中点，所以，11A A A D =E AD 1A E AD ⊥又平面平面，平面平面，11AA D D ⊥ABCD 11AA D D ABCD AD =平面，1A E ⊂11AA D D 所以⊥平面ABCD ，又平面，1A E 1A E ⊂1A EB 所以平面平面；1A EB ⊥ABCD 【小问2详解】取的中点，连结，BC F EF 因为四边形为矩形，且，ABCD 22AD AB ==所以四边形为正方形，，CDEF EF AD ⊥以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，E EF ED 1EA x yz则， ()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,B C D A -所以， ()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-= 设平面的法向量，1A BC (),,m x y z = 则 有，即， 100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200y x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令，则1z =0,y x ==所以平面的一个法向量， 1A BC )m = 设直线与平面所成角为，1A D 1A BC θ则1sin cos ,m A θ= 直线与平面. 1A D 1ABC 21. 如图，在平面四边形中，，设.ABCD 90AB ADC CAB =∠=∠= DAC ∠θ=（1）若，求的长度；60,2AB CD θ== BD （2）若，求.30ADB ABC ∠=∠= tan θ【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据题意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的长；1AD =ABD △BD （2）根据题意求得，得到，在中，利用正弦定理求得2AC =2cos ,60AD ABD θθ=∠=-ABD △的值. 2cos sin(60)θθ=- tan θ【小问1详解】解：由题意得且， 90AB CD ADC CAB ==∠=∠= 60DAC ∠= 可得， 1tan 60CDAD == 在中，，ABD △150,1DABAB AD ∠===由余弦定理可知：，222222cos 60121(19BD AB AD AB AD =+-⋅=+-⨯⨯= 所以BD =【小问2详解】解：因为，所以， 90,30CAB ABC ∠=∠= tan 2AC AB ABC =⋅∠==又因为且，可得, 90ADC ∠= DAC ∠θ=2cos ,60AD ABD θθ=∠=- 在中，由正弦定理知， ABD △si n si n AD AB ABD ADB=∠∠所以， 2cos sin(60)θθ=- 2cos )6cos θθθθ=-=-可得，即. 4cos θθ=tan θ=22. 如图，平面平面，四边形和四边形均为正方形.，ABFE ⊥ABCD ABCD ABFE //CG BF .22BF CG ==（1）求证：平面平面；//ADE CGF （2）求多面体的体积. ABCDEFG 【答案】（1）证明见解析；（2）163【解析】【分析】（1）由，可得四点共面，依题意可得面，面，即//CG BF ,,,B C G F //AD CGF //AE CGF 可得证；（2）多面体可看成三棱柱和四棱锥组合而成，由面面垂直的性质ABCDEFG ADE BCF -G CDEF -可得平面，再证面，再分别求出三棱柱的体积，四棱锥⊥AE ABFE AB ⊥ADE ADE BCF -的体积，再求和即可；G CDEF -【详解】解：（1）因为，所以四点共面，//CG BF ,,,B C G F 因为四边形为正方形，所以，又平面，面，所以面ABCD //AD BC BC ⊂CGF AD ⊄CGF //AD ，CGF 四边形为正方形，所以，又平面，面，所以面，ABFE //AE BF BF ⊂CGF AE ⊄CGF //AE CGF 又，平面，所以平面平面AD AE A ⋂=,AD AE ⊂ADE //ADE CGF （2）多面体可看成三棱柱和四棱锥组合而成，因为为正方形，所以ABCDEFG ADE BCF -ABFE ，又平面平面，平面平面，平面，所AB AE ⊥ABFE ⊥ABCD ABFE ABCD AB =AE ⊂ABFE 以平面，又平面，所以，又，，⊥AE ABFE AD ⊂ABCD AE AD ⊥AB AD ⊥AB AE ⊥，面，所以面，所以三棱柱的体积，AD AE A ⋂=,AD AE ⊂AED AB ⊥ADE ADE BCF -，四棱锥的体积1122242ADE V S AB =⋅=⨯⨯⨯=A G CDEF -，所以多211111422222122332323G CDF D CFG FCG V V V S CD CG BC CD --===⨯⨯=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=A 面体的体积ABCDEFG 12416433V V V =+=+=。
高一下学期期中考试数学(理)试卷
第Ⅰ卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)2．设2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则有( )A ． M N >B ． M N ≥C ． M N <D ． M N ≤3 ） A ．]1,2[- B ．]1,2(- C ．--21+∞⋃∞（，）（，） D ．]--21+∞⋃∞（，（，）4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是 ( )A ． C 1D 1⊥B 1C B ． BD 1⊥AC C ．BD 1∥B 1C D ．∠ACB 1=60°5．在等差数列错误！未找到引用源。
中，已知错误！未找到引用源。
，则该数列前13项和错误！未找到引用源。
（ ）A ． 42B ． 26C ． 52D ．1046．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为( )A.83π B. 3C. 163πD. 323π 7．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）．A ．()219πcm + B ．()2224πcm + C ．()2104πcm +D ．()2134πcm +8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 009的值是( )A ．2 008×2 009B ．2 008×2 007 C. 2 009×2 010 D ． 2 00929．已知函数()2,1{43,1x x f x x x x ≤=+->，则()f x 的值域是( )A ． [)1,+∞B ． [)0,+∞ C. ()1,+∞ D ． [)()0,11,⋃+∞10．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为（ ）A ． 5B ．C.D．11．若不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]-12．正项等比数列错误！未找到引用源。
浙江省湖州市高一下学期期中数学试卷(理科)
浙江省湖州市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知向量 =（1，2）， =（2，x）若 + 与﹣平行，则实数x的值是（）A . ﹣2B . 0C . 4D . 12. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高二上·三原期中) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a2=﹣2，S4=﹣4，若Sn取得最小值，则n的值为（）A . n=2B . n=3C . n=2或n=3D . n=44. （2分） (2020高三上·宣化月考) 已知数列{an}的首项a1＝3，前n项和为Sn ， an+1＝2Sn+3，n∈N* ，设bn＝log3an ，数列的前n项和Tn的范围（）A .B .C .D .5. （2分）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2020高一下·温州期末) 已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值（）A . 3B .C . 4D .7. （2分） (2016高二上·赣州开学考) 已知、、均为单位向量，其中任何两个向量的夹角均为120°，则| + + |=（）A . 3B .C .D . 08. （2分） (2018高一下·广东期中) 已知动点P在一次函数y＝2－x的图像上，线段QR长度为6且绕其中点O（即坐标原点）旋转。
则的最小值是（）A . －7B . －2C . －1D . 79. （2分）无穷数列1，3，6，10…的通项公式为（）A . an=n2﹣n+1B . an=n2+n﹣1C . an=D . an=10. （2分） (2018高二上·泰安月考) 定义函数如下表，数列满足， . 若，则（）A . 7042B . 7058C . 7063D . 726211. （2分） (2019高三上·成都月考) 正项数列的前n项和为，且，设，则数列的前2020项的和为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高三上·永州月考) 已知向量，，若与的夹角为，则（）A . 2B .C .D . 1二、填空 (共4题；共5分)13. （1分）(2016·山东文) 已知向量 =（1，﹣1）， =（6，﹣4），若⊥（t + ），则实数t 的值为________．14. （1分） (2019高三上·泰州月考) 已知向量满足且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为________.15. （2分）(2020高三上·浙江月考) 已知数列的前项和为，满足，，则 ________； ________．16. （1分） (2016高一下·盐城期中) 设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊥α，则l⊥β；②若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α∥β；③若m⊥α，l⊥m，则l∥α；④若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m．其中真命题的序号为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二上·延吉期中) 已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．18. （5分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，]上的最大值为2．求常数m的值；19. （10分）(2018·雅安模拟) 已知函数 .（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角，，的对边分别为，，，已知，若，且，求的值.20. （5分）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．21. （15分） (2019高一下·滁州月考) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=4an+2 ， a1=1．（1） bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列；（2）设cn= ，求证数列{cn}是等差数列；（3）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn。
安徽省池州市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
【详解】结合余弦函数的性质可知，函数 y cos x 在 1,1 上不单调，故 A 错误；
结合对数函数的性质及函数的图象平移可知，函数 y ln x 1 在 1,1 上单调递增，故 B 错
误；
结合正弦函数的性质可知，函数
y
cos
2
x
sin
x
在
1,1
上单调递减，故
C
正确；
结合反比例函数的性质及函数图象的平移可知
B. y ln x 1
C.
y
cos
2
x
D. y 2020 1 x
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦函数、正弦函数的单调性可判断 A、C 选项中函数在区间 1,1 上的单调性，利用对
数函数的单调性可判断 B 选项中的函数在区间 1,1 上的单调性，利用反比例函数的单调性可
判断 D 选项中函数在区间 1,1 上的单调性，综合可得出结论.
2
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形
问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余
弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合
xa 5.实数 x ， y 满足{y x （ a 1 ），且 z 2x y 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是
x y 2
（）
2
A.
11
【答案】B
1
B.
4
C. 1 2
11
D.
2
【解析】
试题分析：在直角坐标系中作出可行域如下图所示，当目标函数
吉林省长春十一中高一数学下学期期中试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．35．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．2006．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．97．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．58．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．205810．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣403011．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值X围．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．21．数列{a n}的前n项和为S n， a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若=，求数列{}的前n项和W n．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．某某省某某十一中2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题4分，共48分）1．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．解答：解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．点评：本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：仔细观察数列1，3，6，10，15…，便可发现其中的规律：第n项应该为1+2+3+4+…+n=，便可求出数列的通项公式．解答：解：设此数列为{ a n}，则由题意可得 a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1=1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，…∴第n项为1+2+3+4+…+n=，∴数列1，3，6，10，15…的通项公式为a n=，故选C．点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力和观察能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题．3．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（）A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．解答：解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．4．已知平面向量与的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．1 B．C．2 D．3考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：利用|+2|22+4•+42=12，根据向量数量积的运算，化简得出关于||的方程，求解即可．解答：解：∵|+2|=2，∴|+2|2=12，即2+4•+42=12，∴||2+4||×1×cos60°+4×12=12，化简得||2+2||﹣8=0，解得||=2，故选：C．点评：本题考查向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题．5．已知数列{a n}为等比数列，若a4+a6=10，则a7（a1+2a3）+a3a9的值为（）A．10 B．20 C．100 D．200考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质即可得出．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，∴a7（a1+2a3）+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9===102=100，故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，属于基础题．6．等差数列{a n}中，已知a1=﹣12，S13=0，使得a n＜0的最大正整数n为（）A．6 B．7 C．8 D．9考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由于a1=﹣12，S13=0，利用等差数列的前n项和公式可得，解得a13=12．利用通项公式解得d．进而得到a n，解出a n≤0即可．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣12，S13=0，∴，解得a13=12．∴12=a13=a1+12d=﹣12+12d，解得d=2．∴a n=﹣12+2（n﹣1）=2n﹣14，令a n=0，解得n=7．∴使得a n＜0的最大正整数n=6．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．7．给出下列图形：①角；②三角形；③平行四边形；④梯形；⑤四边形．其中表示平面图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据平面图形的定义，图形的所有部分都在同一平面内，由此得出正确的结论．解答：解：根据平面图形的定义，知①角，②三角形，③平行四边形，④梯形，都是平面图形；⑤四边形，不一定是平面图形．所以，以上表示平面图形的个数为4．故选：C．点评：本题考查了平面图形的概念与应用问题，是基础题目．8．若两个等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且满足=，则的值为（）A．B．C．D．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：把转化为，然后借助于已知得答案．解答：解：等差数列{a n}、{b n}前n项和分别为A n，B n，且=，得=．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和，考查数学转化思想方法，是中档题．9．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A．1033 B．1034 C．2057 D．2058考点：数列的求和．专题：计算题．分析：首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据=1+2+23+25+…+29+10进行求和．解答：解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）×1=n+1，∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴b n=1×2n﹣1，依题意有：=1+2+23+25+…+29+10=1033，故选A．点评：本题主要考查数列求和的知识点，解答本题的关键是要求出数列{a n}和{b n}的通项公式，熟练掌握等比数列求和公式．10．在等比数列{a n}中，若a1=2，a2+a5=0，{a n}的n项和为S n，则S2015+S2016=（）A．4032 B．2 C．﹣2 D．﹣4030考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得公比q=﹣1，可得S2015=2，S2016=0，相加可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=2，a2+a5=0，∴2q（1+q3）=0，解得q=﹣1，∴S2015=2，S2016=0∴S2015+S2016=2故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则+的最小值为（）A．B．C．D．不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式．专题：等差数列与等比数列．分析：正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，利用等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出公比q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，再利用“1”的代换和基本不等式求出式子的最大值．解答：解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所以=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）≥=，当且仅当时取等号，所以的最小值是，故选：B．点评：本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力．12．已知数列{a n}中，a n＞0，a1=1，a n+2=，a100=a96，则a2014+a3=（）A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由数列递推式求出a3，结合a100=a96求得a96，然后由a n+2=可得a2014=a96，则答案可求．解答：解：∵a1=1，a n+2=，∴，由a100=a96，得，即，解得（a n＞0）．∴．则a2014+a3=．故选：C．点评：本题考查了数列递推式，解答此题的关键是对数列规律性的发现，是中档题．二、填空题（每小题4分，共16分）13．在等差数列{a n}中，a7=m，a14=n，则a28=3n﹣2m．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a28=3a14﹣2a7，代入已知的值可求．解答：解：等差数列{a n}中，由性质可得：a28=a1+27d，3a14﹣2a7=3（a1+13d）﹣2（a1+6d）=a1+27d，∴a28=3a14﹣2a7，∵a7=m，a14=n，∴a28=3n﹣2m．故答案为：3n﹣2m．点评：本题为等差数列性质的应用，熟练利用性质是解决问题的关键，属基础题．14．已知数列{a n}为等比数列，且a1a13+2a72=5π，则cos（a5a9）的值为．考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：根据等比数列的性质进行求解即可．解答：解：∵a1a13+2a72=5π，∴a72+2a72=5π，即3a72=5π，则a72=，则cos（a5a9）=cos（a72）=cos=cos（2π）=cos=，故答案为：．点评：本题主要考查三角函数值的计算，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键．15．若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=3．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将f（x）=x+化成x﹣2++2，使x﹣2＞0，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．解答：解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故答案为：3点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．16．数列{a n}中，a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，S n是{a n}的前n项和，则S242﹣10a6=909．考点：数列的求和．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过题意可得a1a2=14、a3=4，同理可得：a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3），进而可得结论．解答：解：∵a1=2，a2=7，a n+2是a n a n+1的个位数字，∴a1a2=14，∴a3=4．∴a2a3=28，∴a4=8，a3a4=32，∴a5=2，a4a5=16，∴a6=6，a5a6=12，∴a7=2，a6a7=12，∴a8=2，a7a8=4，∴a9=4，a8a9=8，∴a10=8，…以此类推可得：a6n+k=a k（k∈N*，k≥3）．∴S242=a1+a2+40（a3+a4+a5+a6+a7+a8）=2+7+40×（4+8+2+6+2+2）=969，∴S242﹣10a6=969﹣10×6=909．故答案为：909．点评：本题考查数列的周期性，考查推理能力与计算能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．三．解答题：（本大题共5小题，共66分）17．已知向量、满足：||=1，||=4，且、的夹角为60°．（1）求（2﹣）•（+）；（2）若（+）⊥（λ﹣2），求λ的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2﹣）•（+）的值．（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．解答：解：（1）由题意得，∴．（2）∵，∴，∴，∴λ+2（λ﹣2）﹣32=0，∴λ=12．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．在△ABC中，，BC=1，．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数基本关系，根据cosC，求得sinC，进而利用正弦定理求得sinA．（2）先根据余弦定理求得b，进而根据=BC•CA•cos（π﹣C）求得答案．解答：解：（1）在△ABC中，由，得，又由正弦定理：得：．（2）由余弦定理：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC得：，即，解得b=2或（舍去），所以AC=2．所以，=BC•CA•cos（π﹣C）=即．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，平面向量数量积的计算．考查了学生综合运用所学知识的能力．19．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b2+c2=bc+a2（1）求∠A；（2）若，求b2+c2的取值X围．考点：解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的X 围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由a和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入所求的式子中，利用二倍角的余弦函数公式及两角差的余弦函数公式化简，去括号合并后再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据角度的X围求出正弦函数的值域，进而得到所求式子的X围．解答：解：（1）由余弦定理知：cosA==，又A∈（0，π）∴∠A=（2）由正弦定理得：∴b=2sinB，c=2sinC∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）=4﹣2cos2B﹣2cos2（﹣B）=4﹣2cos2B﹣2cos（﹣2B）=4﹣2cos2B﹣2（﹣cos2B﹣sin2B）=4﹣cos2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），又∵0＜∠B＜，∴＜2B﹣＜∴﹣1＜2sin（2B﹣）≤2∴3＜b2+c2≤6．点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦、余弦函数公式及二倍角的余弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．20．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+log a n，S n=b1+b2+…+b n，求S n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列{b n}的通项公式，然后分组求和，即可得出结论．解答：解：（I）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20解得或∵数列{a n}单调递增∴a n=2n（II）∵a n=2n，∴b n=a n+log a n=a n﹣n，∴S n=﹣=2n+1﹣2﹣，点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，考查学生的计算能力，属于中档题．21．数列{a n}的前n项和为S n，a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1+S4=0，b9=a1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若=，求数列{}的前n项和W n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a n是S n和1的等差中项，可得S n=2a n﹣1，再写一式，可得数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，可求数列{a n}的通项公式，求出等差数列{b n}的首项与公差，可得{b n}的通项公式；（2）利用裂项求和，可得数列{}的前n项和W n．解答：解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，当n=1时，a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n﹣1∴S n=2n﹣1；设{b n}的公差为d，b1=﹣S4=﹣15，b9=a1=﹣15+8d=1，∴d=2，∴b n=2n﹣17；（2）==（﹣），∴W n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．附加题（本小题满分10分，该题计入总分）22．已知数列{a n}的前n项和S n=，且a1=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=lna n，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：等比关系的确定；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）直接利用a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式即可（注意要验证n=1时通项是否成立）．（2）先利用（1）的结论求出数列{b n}的通项，再求出b k b k+2的表达式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．解答：解：（1）当n≥2时，，即（n≥2）．所以数列是首项为的常数列．所以，即a n=n（n∈N*）．所以数列{a n}的通项公式为a n=n（n∈N*）．（2）假设存在k（k≥2，m，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列，则b k b k+2=b k+12．因为b n=lna n=lnn（n≥2），所以．这与b k b k+2=b k+12矛盾．故不存在k（k≥2，k∈N*），使得b k、b k+1、b k+2成等比数列．点评：本题考查了已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式，根据a n和S n的关系：a n=S n ﹣S n﹣1（n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a n=S n﹣S n﹣1（n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．。
江苏省南京高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ） z ()13i z i -=-i zA ．1B ．2C D ．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．z【详解】由题意． 23(3)(1)3321(1)(1)2i i i i i i z i i i i --++--====+--+=故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．已知向量，满足，则向量，夹角的大小等于（ ）a b||a = ||b = ()1a b b -⋅= a b A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】A【分析】先由得到，再根据数量积公式得到()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= cos θ=的范围进行求解.【详解】设向量向量，的夹角为， a bθ由，得， ()1a b b -⋅= 21a b b ⋅-= 即，2||||cos ||1a b b θ⋅-=因为||a = ||b =所以，解得 21θ-=cos θ=又因为，所以，0180θ≤≤ 30θ= 即向量，的夹角的大小为30°． a b故选：A ．3．已知复数z 1，z 2，则z 1z 2的代数形式是（ ）cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭cos sin 66i ππ⎫+⎪⎭ABcos sin 44i ππ⎫+⎪⎭cos sin 1212i ππ⎫+⎪⎭C D【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】12cos sin cos sin 121266z z i i ππππ⎫⎫=++⎪⎪⎭⎭s in()]112626i ππππ=+++44cossin )i ππ=+=故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得． 【详解】∵a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，∴， sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-∴, sin()sin()sin cos sin cos B C C A C B C A +-+=-∴， sin cos sin cos 0B C A C -=∴或，∴或，cos 0C =sin sin A B =2C π=A B =故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用． 5．若，则（ ） 4sin 3cos 0αα-=2sin 22cos αα+=A ．B ．C ．D 4825562585【答案】B【解析】由，求得，再由，即可求出．4sin 3cos 0αα-=3tan 4α=222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+【详解】由，求得， 4sin 3cos 0αα-=sin 3tan cos 4ααα==而， 222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++所以． 22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则ABC ∆3AB AC ==4BC =P BC ()AP AB AC⋅+（ ）A ．为定值10B ．为定值6C ．最大值为18D ．与P 的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意(01)BP BC λλ=≤≤义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可. 【详解】设.(01)BP BC λλ=≤≤，()()()2()AP AB AC AB BP AB AC AB AB AC BC AB AC λ⋅+=+⋅+=+⋅+⋅+ 因为，()()()()220BC AB AC BA AC AB AC AC AB λλλ⋅+=+⋅+=-=，22299161cos 22339AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯所以.()22333cos 10AP AB AC AB AB AC A ⋅+=+⋅=+⨯⋅= 故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力. 7所得的结果是（ ）2cos 20-︒A ．B ．C ．D ．2141232【答案】B【分析】，再结合2cos20︒=展开整理即可得答案.()sin40sin6020=-【详解】2cos202cos20︒=====.sin2012sin202===故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在2cos20︒=化简整理即可求解.()sin40sin6020=-8．已知中，的面积为（）ABC1,sin,23B C A BCπ=-==ABCAB．C．D【答案】C【分析】由已知判断为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解与的值，B sin B sinC b c代入三角形面积公式得答案．【详解】解：由，得，可得为锐角，2B Cπ=-2C Bπ-=B又，，则，1sin3A=1sin()3B C∴+=1sin(223Bπ+=即，，解得，则1cos23B=∴21213cos B-=cos=B sin B=sin sin()cos2C B Bπ=+==由正弦定理，sin sin sina b cA B C==得．sinsina BbA==sin6sina CcA=．∴111sin6223ABCS bc A==⨯⨯=故选：．C二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是( ) A ．若复数(i 为虚数单位)，则 1i1iz +=-i z =B ．若复数z 满足，则2z ∈R z ∈R C ．若复数，则z 为纯虚数的充要条件是()i ,z a b a b =+∈R 0a =D ．若复数z 满足，则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆 1z =【答案】AD【分析】A ：根据复数的除法运算法则计算即可；B ：设，根据求出a 、b ()i ,z a b a b =+∈R 2z ∈R 的值即可判断；C ：根据纯虚数的概念即可判断；D ：设，求出z 对应的点(a ，b )()i ,z a b a b =+∈R 的轨迹方程即可判断．【详解】对于A ，，故A 正确； ()()()21i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z ++====--+对于B ，设z =a +b i ，a 、b R ，则， ∈2222i z a b ab =-+；当a =0，b ≠0时，z =b i R ，故B 错误；20z ab ∈⇒=R ∉对于C ，，则z 为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0，故C 错误；()i ,z a b a b =+∈R 对于D ，设，则，()i ,z a b a b =+∈R 2211z a b =⇒+=则复数z 对应点的集合是以原点O 为圆心，以1为半径的圆，故D 正确． 故选：AD ．10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）a bA ．若，则，的方向相同+=- a b a b a bB ．若⊥，则a ba b a b +=- C ．若，则在方向上的投影向量为a b a b +=+ a b aD ．若存在实数λ使得，则a b λ=+=- a b a b 【答案】BC【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D 的正误，再根据投影向量的定义可判断C 的正误．【详解】因为，， +=- a b a b 2222+22a b a b a b a b +⋅=+-⋅ 故即，故，共线反向，故A 错误．a b a b ⋅=-⋅ cos ,1=- a b a b若⊥，则，故，故B 正确．a b 2240a b a b a b +--=⋅=a b a b +=- 若，则即，a b a b +=+ 2222+22a b a b a b a b +⋅=++⋅a b a b ⋅=⋅ 故，故，共线同向，故cos ,1a b = a b()0b a λλ=> 则在方向上的投影向量为，故C 正确． a b b a a a a a bλλ==由A 选项的分析可知：即为，共线反向，且， +=- a b a b a ba b ≥ 故当时，，共线同向，故不成立， 0λ>a b+=- a b a b 故选：BC ．11．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），ABC a ∈R tan A tan B x 230x ax a -++=则可能是（ ） ABC A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】BCD【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解. 【详解】因为方程有两根，，230x ax a -++=tan A tan B 所以，所以，tan tan tan tan 3A B a A B a +=⎧⎨⋅=+⎩tan tan tan()(2)1tan tan 1(3)2A B a aA B a A B a a ++===≠--⋅-+--且或. 24(3)06a a a ∆=-+≥⇒≥2a <-所以， tan()02aA B a +=<--因为，所以，从而可得， A B C π+=-tan()tan()tan 0A B C C π+=-=-<tan 0C >所以.02C π<<当时，，所以，，此时锐角三角形.6a ≥tan tan 0A B ⋅>02A π<<02B π<<ABC 当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形. 3a <-tan tan 0A B ⋅<,A B ABC 若，则，此时，所以，解得或（舍），tan tan A B =A B =tan tan 2a A B ==322a aa ⋅=+6a =2a =-当时，是等腰三角形.6a =ABC 因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形. ABC 故选：BCD12．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则下列224sin 02A Bb a a +-+=结论正确的是（ ） A ．角C 一定为锐角 B ． 22220a bc +-=C ． D ．sin 2sin cos 0B A C +=3tan tan 0A C +=【答案】BCD【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断. 【详解】∵，∴， 224sin02A Bb a a +-+=224cos 02C b a a -+=即，∴， ()22cos 10b a a C -++=cos 02bC a=-<又，∴一定是钝角，故A 错误；()0,C π∈C 由余弦定理知，， 222cos 22a b c bC ab a+-==-化简得，，故B 正确；22220a b c +-=∵， ()()222222222tan sin cos sin cos 1tan cos sin sin cos 332a b c bc A A C A C a b C A C C A c b ab b c a +-⋅-==⋅=⋅==-⋅+-∴，3sin cos cos sin 0A C A C +=，C 正确；()sin 2sin cos 0sin 2sin cos 0A C A C B A C ++=⇒+=∴，D 正确； 3tan tan 0A C +=故选：BCD【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、填空题13．已知平面向量，，且，则 _________ . ()2,1a =- (),2b m = a b ⊥+= a b【分析】利用求出，再求出的坐标后可求其模长．a b ⊥ m a b +【详解】因为，故，，故， a b ⊥220m -=1m =()3,1a b += 故a +14．已知，且_____________. π0π2αβ<<<<cos αβ==αβ+=【答案】54π【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出. sin ,cos αβ()sin αβ+αβ+【详解】因为， π0π2αβ<<<<cos αβ==所以 sin α===cos β===所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛== ⎝因为，所以， π0π2αβ<<<<322ππαβ<+<所以，54αβπ+=故答案为：. 54π15．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西A B D A B D 15︒、北偏东方向．再往正东方向行驶16海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏45︒C B C A C 西方向，则、两岛屿之间的距离为___________海里． 60︒A B【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形在中由正弦定理求得的值，在中求出ADC △AD BDC BD ，在中由余弦定理求得的值． ADB AB 【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，105ADC ∠=︒30ACD ∠=︒16CD =45DAC ∠=︒在中，由正弦定理得：，解得ADC △16sin 45sin 30AD=︒︒AD==又，，所以， 45BDC ∠=︒90BCD ∠=︒16BC DC ==BD =又，154560ADB∠=︒+︒=︒在中，由余弦定理得：ADB ， 222260384AB =+-⨯︒=解得AB =所以､两岛屿之间的距离为 A B 故答案为：四、双空题16．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．DE AB ⊥且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF +()DE DF DA +⋅____________．【答案】 11120【分析】设，由可求出；将化为关于BE x =222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+ ()DE DF DA +⋅ x的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥， 22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅ ， 222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+⎪⎝⎭所以当时，的最小值为. 310x =()DE DF DA +⋅ 1120故答案为：1；. 1120五、解答题17．已知复数（，是虚数单位）.123i,2i z a z a =+=-R a ∈i (1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围； 21z z +a (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值. 1z 260x x m -+=m 【答案】(1) 2a >-(2) 18m =【分析】（1）写出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的几何意义结合题意列出2z 21z z +方程组，从而可得出答案；（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案. 【详解】（1）解：，22i z a =+，()()1223i z z a a +=+++因为在复平面内对应的点落在第一象限，21z z +所以，解得；2030a a +>⎧⎨+>⎩2a >-（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根， 1z 260x x m -+=所以虚数也是一元二次方程的根， 13i z a =-260x x m -+=则，2111126,9z z a z z a m +==⋅=+=所以.3,18a m ==18．已知角是的内角，若，. A ABC),cos a A A = ()1,1b =-r (1)若，求角A 的值；a b (2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.()f x a b =⋅ ()f x a b 【答案】(1)；(2). 5π6(-【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A ，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并()f x 根据投影 的定义求在上的投影向量.a b 【详解】解：(1)∵角是的内角，∴，A ABC 0πA <<又，且，),cos a A A = ()1,1b =-r a b ∴，即，cos 0A A -=12cos 02A A ⎫⎪⎭+=∴， πsin 06A ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=∵，∴， 0A π<<ππ7π666A <+<则，即； ππ6A +=5π6A =(2)， ()πcos 2sin 6f x a b A A A ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭ ∵，∴要使取得最大值，则，即. ππ5π666A -<-<()f x ππ62A -=2π3A =∴， 2π2π31,cos ,3322a ⎫⎛⎫==-⎪⎪⎭⎝⎭∴在上的投影向量为. ab ()(1,1a b b b ⋅⋅=-=- 19．在①A = ，a =b =②a = 1，b = A = ；③a，b = ，B =这3π6π3π三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 ________ ，解三角形.【答案】；或 ②ππ232B C c ===，，2ππ136B C c ===，，【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可. 【详解】（1）选择条件①π3a b A==根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或，时，，不符合题意.π4B∴=3π4B=3π4B=πA B+>所以选择条件时，，此时，①π4B=ππ5ππA Bπ4312C=--=--=计算得：sinsina CcA===此时三角形的解只有一个，不符合题意.（2）选择条件.②π16a b A===，根据正弦定理：可得：sin sina bA B=sinsinb ABa===或π3B∴=2π3B=时，，此时计算得：π3B=ππππA Bπ632C=--=--=2c=时，，此时计算得：2π3B=π2πππA Bπ636C=--=--=1c a==选择条件，解三角形可得结果为：②或ππ232B C c===，ππ136B C c===，，（3）选择条件③π3a b B==根据正弦定理得：sinsin1a BAb===，此时，计算得：π2A∴=ππππA Bπ326C=--=--=c=此时三角形只有一个解，不符合题意.所以选择条件，解三角形结果为：或 ②ππ232B C c ===，ππ136B C c ===20．在中，角所对的边分别为，且．ABC , ,A B C ,,a b c ()cos =2cos a B c b A -（1）求角；A （2）若向量，求的取值范围． ()2cos ,2cos ,0,sin 2c mB A n æöç÷ç÷è==ø2m n - 【答案】（1）；（2）． 3π【分析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得；A （2）由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由（1）求得角范C 围，结合余弦函数性质可得结论．【详解】解：（1）在中，ABC cos =(2)cos a B c b A -由正弦定理：，sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，因为，故，sin 2sin cos C C A =(0,)C π∈sin 0C >从而，又，所以． 1cos 2A =(0,)A π∈3A π=（2） ()2cos ,10),si ,n 2(n C m B == 22cos ,12si )c n ((o = ,cos s 2C m n B B C -=- 2222cos cos m n B C -=+ 1cos 21cos 222B C ++=+)11cos 2c (os 22B C =++ ]12=1+[cos2223()cos C C p +-4()co ]11[cos 222s 3C C p -+=+]1=1+[22cos 221cos 2C C C +--111[cos 2]222C C =+- 11cos(2)23C π=++因为，， 203C π<<52333C πππ<+<11cos 232C π⎛⎫-≤+< ⎪⎝⎭所以 1151cos 22234C π⎛⎫≤++< ⎪⎝⎭所以2152,24m n éö÷-Îê÷êëø 所以． 2m n -Î21．如图，在四边形中，，，ABCD 34ABC π∠=AB AD⊥AB =（1）若的面积；AC =ABC ∆（2）若，，求的长. 6ADC π∠=CD =AD【答案】（1）；（2.12【分析】（1）由余弦定理求出BC ，由此能求出△ABC 的面积．（2）设∠BAC ＝θ，AC=x ，由正弦定理得从而，在sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭1=sin 4x πθ⎛⎫-⎪⎝⎭ACD ∆中，由正弦定理得θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin ∠CAD ．再利用余弦x 定理可得结果.【详解】（1）因为，34ABC π∠=AB =AC =所以，即，2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2230BC BC +-=所以.1BC =所以. 11122ABC S =⨯= （2）设，，则， 04BAC πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭AC x =2CAD πθ∠=-在中，由正弦定理得：， ABC ∆sin sin 4x AB ABC πθ=∠⎛⎫- ⎪⎝⎭所以； 1sin 4x πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在中，，所以. ACD ∆sin sin 62x CD ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭x =即，1sin 4πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭1tan 2θ=所以，sin cos CAD θ∠=所以AC x ==cos CAD ∠=所以在中，.ACD ∆2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅∠即，解得（舍）.2220AD --=AD =AD =【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知的最小正周期是． ()()21sin cos (0)2f x x x x f x ωωωω=->π(1)求的值；ω(2)若，求值； ()4π7π5312f αα⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭sin2α(3)当时，讨论方程的根的个数． π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6f x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】(1)；1ω=； (3)答案见解析.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合函数的最小正周期计算作答.()f x （2）利用（1）的结论，结合平方关系及和角的正弦公式求解作答.（3）求出函数，并探讨在上的性质，由函数值的变化情况即可推理作答. π()6y f x =+π[0,2【详解】（1）依题意， 1cos 21cos 2π()22sin(22226x x f x x x x ωωωωω-=-=-=-函数的最小正周期，解得， ()f x 2ππ2ω=1ω=所以的值是1.ω（2）由（1）知，，于是，而， π()sin(2)6f x x =-π4()sin(2)65f αα=-=π7π312α≤≤则，， ππ2[,π]62α-∈π3cos(2)65α-=-所以 ππππππsin2sin[(2sin(2cos(2)sin 666666αααα=-+=-+-. 431()552=+-⨯=（3）由（2）知，函数，显然， πππ(sin(2),[0,662f x x x +=+∈ππ7π2[,]666x +∈函数在上单调递增，函数值由增大到1，在上单调递减，函数值由1减小π()6y f x =+π[0,612ππ[,62到， 12-则当或时，方程的根的个数为0； 12k <-1k >π()6f x k +=当或时，方程的根的个数为1； 1k =1122k -≤<π(6f x k +=当时，方程的根的个数为为2. 112k ≤<π()6f x k +=。
辽源市第五中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学(理)试卷
数学试题（理）一、选择题( 本题共12小题，每小题5分，共60分。
)1.一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名，其中高三学生400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样本，那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是（）A. 10B. 15C. 20D. 302.有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A. 48B. 60C. 64D. 72t=-，则输出的n的值为（）3．执行如图所示的程序框图，若输入的25A．3 B．4C．5 D．64.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：若根据表中提供的数据，求出y 关于x的线性回归方程为ˆ 1.1528.1y x =-+，则 a 的值等于（ ）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．65.已知等差数列{a n }前9项的和为27,a 10=8,则a 100=( ) A.100B.99C.98D.976．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=35,S 8=S 28,则S n 最大值为 ( ) A.324B.196C.431D.5317. 设一元二次方程x 2+bx+c=0,若b,c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为 ( ) A.B.C.D.8．已知n S 是等差数列)}({*N n a n ∈的前n 项和，且576S S S >>，有下列四个命题：①0<d ；②011>S ；③012<S ；④数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是（ ）A ．②③ B．①② C．①③ D．①④9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 10. 在△ABC 中,B=120°,AB=,A 的角平分线AD=,则AC=( )A.3B. 6C.2D.511．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是 （ ） A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样 C ．这五名男生成绩的方差小于这五名女生成绩的方差 D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数12若△ABC 的面积为(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则c a的取值范围是 .A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,3)D. (2,3)产量x （万件） 14 16 18 20 22 单位成本y （元/件） 12 10 7a3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为14. 若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1, ∠B ＝45°，S △ABC ＝2，则b ＝_________. 15. 在△ABC 中,B=60°,AC=,则AB+2BC 的最大值为___________.16. 在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
黑龙江省名校高一下学期期中数学试题(解析版)
高一学年数学学科试题考试用时：120分钟 总分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1. 已知是虚数单位，，则复数在复平面内对应的点位于（ ） i i 2i 2z +=-z A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的加减运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. z 【详解】因为，所以， i 2i 2z +=-2i 2i 2i z =--=-+所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. z ()2,1-故选：B2. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且，，则的面ABC A ()224a b c +-=120C =︒ABC A 积为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理可求的值，从而可求三角形的面积.ab 【详解】因为，故， 120C =︒222222cos120c a b ab a b ab =+-︒=++而，故， ()224a b c +-=2222224c a b ab a b ab =++-=++故，故三角形的面积为， 4ab =1sin12042ab ⨯⨯︒==故选：C.3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A. 8B.C.D.2+2【答案】A 【解析】【分析】画出直观图及对应的原图，由此求得原平面图形的周长.【详解】由题意，用斜二测画法画出此平面图形的直观图，其中，，1,O A C B O B =='''''='由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，所以，1,OA BC OB ===3OC AB ===所以原平面图形的周长为. 32128⨯+⨯=故选：A.4. 两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ） A. 北偏东10° B. 北偏西10° C. 南偏东10° D. 南偏西10°【答案】B 【解析】【分析】画图，根据三角形的几何性质求解即可 【详解】灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 故选：B.5. 已知非零向量，满足，与的夹角为（ ）a b 2a b = a b += a bA.B.C.D.π6π32π35π6【答案】C 【解析】【分析】将，再由夹角公式计算可得. a b += a b ⋅ 【详解】，，为非零向量，2a b = a b += a b，，∴()223a bb += 22223a a b b b +⋅+= 即，所以，22223a a b b b +⋅+= 222423b a b b b +⋅+= ，∴2a b b ⋅=-，且，∴221cos ,22b a b a b a b b -⋅===-,[0,π]a b ∈ ．∴2π,3a b =故选：C ．6. 已知直线平面，直线平面，则下面命题正确的为（ ） l ⊂αm ⊂βA. B. 与相交C.D. 与////l m αβ⇒//l m ⇒αβ//l m P αβ=⇒ l m P =⇒ αβ相交 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由直线与平面、平面与平面的位置关系依次分析即可判断．【详解】对于A 、B ，直线平面，直线平面，若，则与相交或，故A 、B l ⊂αm ⊂β//l m αβ//αβ错误；对于C 、D ，若，则且，又直线平面，直线平面， l m P = P l ∈P m ∈l ⊂αm ⊂β所以且，则与相交，故C 错误，D 正确． P α∈P α∈αβ故选：D ． 7. 已知＝（ ）z =z z ⋅A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算，结合模的性质求解. 【详解】∵z ==，21045⨯=∴． 216z z z ⋅==故选：D ．8. 如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】延拓过点三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择. ,,P Q R 【详解】由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面即为平面，如下图所示：PSRHNQ对选项：可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上，所以B 、C 错误； ,B C 对：MC 1与是相交直线，所以A 不正确；A QN 对：因为//，，//， D 11AC RH 1BC QN 1111,AC BC C ⋂=又容易知也相交，,RH QN 平面；平面，111,AC BC 11A C B ,RH QN ⊂PSRHNQ 故平面//平面 11A C B PSRHNQ 故选：.D 【点睛】本题考查面面平行的判定，属基础题.二、多选题（每小题5分，共20分，少选漏选得2分，错选得0分）9. 设，则（ ） 1i z =+A. 的虚部是1B.z 1i z =-C. D.20>z 2zz z =【答案】ABD 【解析】【分析】利用给定复数，对各选项逐一计算并判断作答. 【详解】因，显然的虚部是1，即A 正确；1i z =+z ，则B 正确；1i z =-，是纯虚数，它与0不能比较大小，即C 不正确； 22(1i)2i z =+=2z，，即，D 正确.(1i)(1i)2zz =+-=222z ==2zz z =故选：ABD10. 在中，内角，，的对边分别是，，，下列结论正确的是（ ） ABC A A B C a b c A. 若，则为等腰三角形 cos cos a A b B =ABC A B. 若为锐角三角形，且，则 ABC A 2A B π+>sin cos A B >C. 若，，，则符合条件的有两个 6a =8b =60B =︒ABC A D. 若，则 A B <22cos cos A B >【答案】BD 【解析】【分析】A .根据正弦定理，转化为三角函数恒等变形，得，即可判断选项； sin 2sin 2A B =B .移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论； C .根据两边和一边对角，利用公式即可判断解的个数；ABC A D .首先得到，再结合同角三角函数基本关系式，即可判断选项. 0sin sin A B <<【详解】对于A ，根据正弦定理，可知， 11sin cos sin cos sin 2sin 222A AB B A B =⇔=即或,所以是等腰三角形或是直角三角形，故A 不正确；A B =222A B A B ππ+=⇒+=ABC A 对于B ，若为锐角三角形，有， ABC A 2A B π+>则，∴,故B 正确； ππ022A B >>->sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭对于C ， ，此时满足条件的只有一个，故C 错误；b a >ABC A 对于D ，根据正弦定理可知，则，所以， A B <0sin sin A B <<22sin sin A B <则，即，故D 正确. 221cos 1cos A B -<-22cos cos A B >故选：BD ．11. 欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数i e cos isin x x x =+集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ） A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数2i e πi e C.的模长等于D. 的共轭复数为12πi 3e 12-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.【详解】对于A 项：由题意可得：，则其对应的点为， 2i e cos 2isin 2=+()cos 2,sin 2∵，则， π2,π2⎛⎫∈⎪⎝⎭cos20,sin 20<>∴对应的点位于第二象限，故A 项正确；2i e 对于B 项：由题意可得：为实数，故B 项错误；πi e cos πisin π1=+=-对于C 项：由题意可得：，1π1πsin i cos 2323x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫===+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 项正确；12=对于D 项：由题意可得：，πi 3cos is ππ1e33n i2==+则的共轭复数为，故D 项正确； πi 3e 12-故选：ACD.12. 已知三棱锥中，，的正三角形，E ，F 分别是PA 、-P ABC 1PA PB PC ===ABCA CB 的中点，则以下说法正确的是（ ） A. 此三棱锥为正三棱锥B. 在此三棱锥表面从E 到FC. 此三棱锥的体积是16D. 【答案】AC 【解析】【分析】根据正三棱锥的概念判断A ；沿侧面PAB 与PBC ，将沿PB 旋转到与平面PAB 在同一平PBC A面内，由余弦定理求解可判断B ；正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，求出体积可判断C ；求-P ABC 出三棱锥的表面积与它的外接球的表面积可判断D.【详解】作平面，垂足为，连接， PO ⊥ABC O ,,AO BO CO 因为，所以，1PA PB PC ===OA OB OC ==因为的正三角形，所以为正的中心， ABC A O ABC A 三棱锥为正三棱锥，故A 正确；∴沿侧面PAB 与PBC ，将沿PB 旋转到与平面PAB 在同一平面内，PBC A可得， 3,452CE CF PCB ==∠=︒在中，由余弦定理可得ECF △22292352cos 4524424EF CE CF CE CF =+-⋅⋅︒=+-⨯=，，故B 错误． EF ∴=<，，则，1PA PB PC ===AB BC AC ===90APB BPC APC ∠=∠=∠=︒正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，∴-P ABC ，故C 正确；111111326P ABC V -∴=⨯⨯⨯⨯=所以23OB ==OP ==设三棱锥外接球的球心为，半径为，则，M R 222()MB OP MP OB =-+即，，解得 222()R OP R OB =-+222R R ⎫=+⎪⎪⎭R =此三棱锥外接球的表面积是，24π3πS R ==该三棱锥的表面积为，21332PAB ABC S S S '=+=⨯+=△△，故D 错误. 故选：AC ．三、填空题（每小题5分，共20分）13. 若复数与其共轭复数在坐标原点为的复平面内所对应的点分别为，，则的面23z i =-O A B OAB A 积为______. 【答案】. 6【解析】【分析】根据题意求得复数的共轭方程，得出的坐标，结合三角形的面积公式，即可求解. ,A B 【详解】由复数，可得其共轭复数为， 23z i =-23z i =+则复数与在复平面对应点为， 23z i =-23z i =+(2,3),(2,3)A B -所以的面积为. OAB A 13(3)262OAB S =--⨯=A 故答案为：.614. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________． (a = 1,2e ⎛= ⎝ ae 【答案】12⎛- ⎝【解析】【分析】求出，再利用投影向量的定义直接计算作答.a e ⋅【详解】向量，，则，， (a =1,2e ⎛=⎝1112a e ⎛⋅=⨯+=- ⎝ ||1e = ∴向量在向量上的投影向量为. a e12e eee e a ⎛=⋅- ⎝=-故答案为：.12⎛-⎝15. 若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据体积可求正方体的棱长，而球的直径为正方体的体对角线，从而可求球的半径，利用公式可求其体积.【详解】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为，故正方体外接球的直径为故球的体积为，343π⨯=故答案为：.16. 已知向量 , ，则向量的模的最大值是________.()22OC =，)CA αα= OA【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求出模的表达式，并化简，根据三角函数的性质求得最OA大值.【详解】∵ ， ()22OA OC CA αα=+=+，则，OA ===当时，有最大值，且为，sin(14πα+=||OA u ur故答案为：四、解答题（共70分）17. （1）在复数范围内解方程：；2450x x ++=（2）若为（1）中方程的一个解，，求实数，的值． 1z ()()2115i z a b a b z z =-+-≥⋅+a b 【答案】（1），；（2）， 12i x =-+22i x =--0a =0b =【解析】【分析】（1）利用配方法得到，再根据计算可得；()221x +=-()2i 1±=-（2）首先求出，根据虚数不能比较大小可得，解得即可.11z z ⋅()255a b a b ⎧-+≥⎪⎨-=⎪⎩【详解】（1）因为，则，所以， 2450x x ++=()221x +=-()()222i x +=±所以或，则或， 2i x +=2i x +=-2i =-+x 2i x =--即方程的两根为，.12i x =-+22i x =--（2）若，则，所以， 12i z =-+12i z =--()()()21212i 2i 2i 5z z ⋅=---+=--=若，则，所以，12i z =--12i z =-+()()()21212i 2i 2i 5z z ⋅=---+=--=因为，()()2115i z a b a b z z =-+-≥⋅+所以，解得，.()2550a b a b ⎧-+≥⎪⎨-=⎪⎩0a =0b =18. 在中，内角，，的对边分别是，，，且，的面积是ABC A A B C a b c 3b =ABC A ①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，回答下列问题.条件①；条件②sin sin 3a C c A π⎛⎫=+⎪⎝⎭.2cos cos cos c A a B b A =+（1）求角； A （2）求.a 【答案】选①②答案均相同.（1）；（2）3A π=a =【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求得tan A =A ；选②：利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简求得，即可求出角；1cos 2A =A （2）根据的面积是，利用余弦定理即可求得. ABC A c a 【详解】解：若选①： （1）因为， sin sin 3a C c A π⎛⎫=+⎪⎝⎭由正弦定理知，， sin sin sin sin 3A C C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以0C π<<sin 0C ≠所以，所以 sinsin 3A A π⎛⎫=+⎪⎝⎭1sinsin 2A A A =即所以12sin os A A =tan A =因为，所以.0A π<<3A π=（2）因为且由（1）知，所以， 3b =3A π=sin 11322ABC A S bc c ==⨯=△又， ABC S =A =4c =由余弦定理知，， 2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=所以.a =若选②：（1）因为，2cos cos cos c A a B b A =+由正弦定理知，，2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+所以()2sin cos sin C A A B =+所以，因为，所以，所以， 2sin cos sin C A C =0C π<<sin 0C ≠1cos 2A =因为，所以，0A π<<3A π=（2）因为且由（1）知，所以， 3b =3A π=sin 11322ABC A S bc c ==⨯=△又， ABC S =A =4c =由余弦定理知，， 2222212cos 34234132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=所以. a =19. 如图所示，正三棱柱，，，分别为，的中点．111ABC A B C -14AB AA ==E F 11AC 1B C（1）证明：平面；//EF 1A BC （2）求三棱锥的体积．11B A BC -【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）连接，根据矩形的性质，可得与交于点，利用中位线定理证明，1BC 1BC 1B C F 1//EF A B 由线面平行的判定定理证明即可；（2）利用，可求三棱锥的体积．1111112B A BC ABC A B C A ABC V V V ---=-11B A BC -【小问1详解】在正三棱柱中，侧面为矩形，111ABC A B C -11BCC B 连接，为的中点，则与交于点，且为的中点，1BC F 1B C 1BC 1B C F F 1BC因为，分别为，的中点，E F 11AC 1BC 则，又平面，平面，1//EF A B 1A B ⊂1A BC EF ⊄1A BC 故平面；//EF 1A BC【小问2详解】由已知可得， 11sin 604422ABC S AB AC =⨯⨯︒=⨯⨯=A所以 111111124243B A BC ABC A B C A ABC V V V ---=-=-⨯⨯=20. 如图，在中，点D 为边的中点，． ABC A AB 14BE BC =（1）若，求；3,1,60AC BC ACB ==∠=︒||CD （2）若，求的值．CO CD λ= λ【答案】（1； （2）. 67【解析】【分析】（1）将用表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.CD CA CB ,（2）取平面向量的基底，再利用平面向量基本定理求解作答.{,}CA CB 【小问1详解】在中，点D 为边的中点，则， ABC A AB 1()2CD CA CB =+ 因此 222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒=所以 ||CD =【小问2详解】在中，不共线， ABC A CA CB,因为，则，而在上，即有，14BE BC = 34CE CB = O AE ,R EO EA μμ=∈ ()CO CE CA CE μ-=- ，于是，而， 3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+ 22CO CD CA CB λλλ==+ 因此，解得， ()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的值为. λ6721. 如图，在棱长为的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是DD 1，AB 的中点．a（1）若平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R（2）若为棱上一点且，若平面，求的值．M 1CC 1CM CC ＝λ//BM PQC λ【答案】（1） 13（2） 14【解析】 【分析】（1）设平面PQC 与直线AA 1交于R 点，连接RQ ，RP ，可证，则ARQ DPC V :V AR AQ DP DC =，求得，可求的值； 14AR a =1AR A R （2）取AA 1的中点E ，则R 为AE 的中点，连接BE ，设平面，连接， 1DD ⋂BME F =,EF FM 证明，可求的值．CM PF ER ==λ【小问1详解】如图所示：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 11//ABB A 11CDD C 11ABB A =PQC RQ 11CDD C =PQC PC 所以，根据空间等角定理可知，，则， //RQ PC ARQ DPC V :V AR AQ DP DC=又，，，则，即，，所以. DC a =12DP a =12AQ a =1212a AR a a =14AR a =134A R a =113AR A R =【小问2详解】取AA 1的中点E ，则R 为AE 的中点，连接BE ，则，//BE RQ 又平面， 平面，则平面．RQ ⊂PCQ BE ⊄PCQ //BE PCQ 又平面，平面且，所以平面平面， //BM PCQ ,BM BE ⊂BME BM BE B ⋂=//BME PCQ 设平面，连接，1DD ⋂BME F =,EF FM 由平面平面，平面平面，平面平面， //BME PCQ BME 11CDD C FM ＝PCQ 11CDD C PC ＝所以，又，则四边形为平行四边形，同理四边形也是平行四边形，//FM PC //CM PF CPFM PREF 所以，所以． 14a CM PF ER ===11144a CM CC a ===λ22. 已知点是锐角的外心，分别为角的对边，，O ABC A ,,a b c ,,A B C 222a b c bc =+-（1）求角；A （2）若，求面积的最大值；4a =ABC A （3）若，求x 的取值范围． cos cos sin sin A C BA BC xOB C A+= 【答案】（1）π3A =（2） （3）(2,1)--【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；cos A （2）利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大bc ABC A值；（3）由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：ABC A R ，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等,OD AB OE BC ⊥⊥BA OB ⋅ BC OB ⋅ 式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，结合两角和的正弦公式和内角和定理求出OB x的范围．【小问1详解】因为，则，222a b c bc =+-222b c a bc +-=由余弦定理可得， 2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以； ()0,πA ∈π3A =【小问2详解】 因为，则，2222a b c bc bc bc bc =+-≥-=216bc a ≤=当且仅当时，等号成立， 4b c ==所以11πsin 16sin 223ABC S bc A =≤⨯⨯=△所以面积的最大值为.ABC A 【小问3详解】分别取AB ，BC的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可得， 211()||22BA OB BA OD DB BA DB BA BA BA ⎛⎫⋅=⋅+=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭同理可得， 21||2BC OB BC ⋅=- 由得，， cos cos sin sin A C BA BC xOB C A += 2cos cos sin sin A C BA OB BC OB xOB C A ⋅+⋅= 所以， 2221cos 1cos 2sin 2sin A C BA BC xOB C A-⋅-⋅= 即， 2||||cos cos 2sin sin BA BC A BA C BC x OB C A⋅⋅+⋅⋅=-在中，由正弦定理得：，（为的外接圆的半径） ABC A ||||2sin sin BA BC R C A== R ABC A 代入上式得，2cos ||2cos ||22A BA R C BC R xR ⋅⋅+⋅⋅=- 则，cos ||cos ||A BA C BC xR ⋅+⋅=- 由正弦定理得，，||2sin ,||2sin BA R C BC R A == 代入上式得，；所以， 2sin cos 2cos sin R C A R C A xR +=-2sin()C A x +=-所以，即，2sin B x =-2sin x B =-因为，且为锐角三角形，，所以， π3A =ABC A 2πππ0,0322B B <-<<<ππ62B <<所以，所以， 1sin 12B <<22sin 1B -<-<-即的取值范围．x (2,1)--。
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高一下期数学期中试题（理） 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知，α是第一象限角，则cos（π－α）的值为（ ） A． B． C． D．
2．在等差数列{an}中，已知an＝11－2n，则使前n项和最大的n值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7
3．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，B＝60°，a＝4，其面积，则c＝（ ）
A．15 B．16 C．20 D．
4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，，则B＝（ ） A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°
5．下列命题中，正确的是（ ） A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ac>bc，则a>b C．若，则ab，c>d，则a－c>b－d 6．等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是（ ） A．28 B．48 C．36 D．52
7．已知等差数列{an}的前15项之和为，则＝（ ） A． B． C．－1 D．1
8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，若，则C的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°、45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（ ）
A．30＋30m B．30＋15m C．15＋30m D．15＋3m 10．已知数列{an}中，，，则数列{an}的通项公式为（ ） A． B． C． D．
11．已知a，b，c为互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（ ） A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．a>c>b
12．已知等差数列{an}满足，公差，当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该数列首项a1的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知直线AB的方程为，则直线AB的倾斜角为________．
14．若，则cos2x＝__________． 15．已知不等式的解集是（1，2），则a＋b的值为___________． 16．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是由一级分形图的每一条线段末端出发再生成两条长度均为原来的线段，且这两条线段与原来线段两两夹角为120°；依此规律得到n级分形图．
则（1）四级分形图中共有__________条线段． （2）n级分形图中所有线段长度之和为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{an}满足：． （1）求数列{an}的通项公式； （2）请问88是数列{an}中的项吗？若是，请指出它是哪一项；若不是，请说明理由．
18．（本小题满分12分）已知向量，，设函数． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调区间． 19．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn且；递增的等比数列{bn}满足：． （1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和．
20．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足（2a－c）cosB＝bcosC．
（1）求角B的值；
（2）若，求的取值范围．
21.（本小题满分12分）已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A、B两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）.调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2000．
（1）请用an、bn表示与； （2）证明：数列{an－2000}是常数列．
22．（本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切，点都在函数的图象上． （1）求,归纳数列{an}的通项公式（不必证明）； （2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为，……，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求的值；
（3）设An为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，其中a>0，求a的取值范围． 答案与解析： 1． C
解析：． 2．B 解析：则S5为Sn的最大值． 3．C
解析：． 4．B
解析：由正弦定理可知，
，∵0＜B＜180°， ∴B＝60°或120°． 5．C 解析：由不等式性质易知只有C正确. 6．A
解析：∵{an}为等比数列，∴成等比数列，∵等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，∴4，8，成等比数列，∴4（）＝82，解得． 7．C
解析：，所以.又因为，所以 ． 8．A 解析：， 即，所以. 9．A
解析：在△ABP中，由正弦定理知，所以，所以树高为m． 10．D
解析：， 所以，，
11． C 解析：2bc＝a2＋c2则，在B，C中选．再判断a，c的大小．
，∴b>c且a>c，或b12．A
解析 ：由得： ， ∴， 整理得：，∴sin（3d）＝－1．∵d（－1，0），∴3d（－3，0），
则3d＝，d＝－． 由题意当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，
∴，解得：． ∴首项a1的取值范围是． 13． 解析：． 14． 解析：． 15．－2
解析： ∵不等式的解集是（1，2），． ∴a＋b＝－2．
16．（1）45；（2） 解析：（1）记n级分形图中共有an条线段，则有a1＝3，，由累加法得 所以． （2）n级分形图中所有线段的长度和等于
． 17、解析：（1）依题意知－－－－－－－－－－3分 －－－－－－－－－－－－－－－－－5分
（2）令 所以88不是数列{an}中的项.－－－－－－－－－－－－－10分
18、解析：（1）依题意得，－－－－－－－－－－－4分 ∴f(x)最小正周期为T＝2π－－－－－－－－－－－－6分
（2）由解得， 从而可得函数f（x）的单调递增区间是：－－－9分 由解得， 从而可得函数f（x）的单调递减区间是：－－ 12分 19、解析：（1）当n≥2时，
， ，所以－－－－－－－－－－－ 3分 是方程的两根， ，所以解得． －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 6分 （2），则，
将两式相减得：
－－－－－－－－－－－－－－－ 10分 所以.－－－－－－－－－ 12分 20、解析：（1）由已知， 得－－－－－3分
化简得－－－－－－－－－－5分 故．－－－－－－－－－－－6分
（2）由正弦定理，得，
－－－－－－－－－ 9分 因为，所以－－－－－－ 10分 所以－－－－－－12分 21、解析：（1）由题意知
－－－－－－－－－－6分 （2）证明：， ，即－－－－－8分 －－－－－－－－－10分 又－－－－－－－12分
22、解析：（1）因为点在函数的图象上， 故，所以． 令n＝1，得，所以a1＝2；－－－－－－－－－－－－ 1分 令n＝2，得，所以a2＝4；－－－－－－－－ 2分 令n＝3，得，所以a3＝6．－－－－－－ 3分 由此猜想：an＝2n－－－－－－－－－－－－ 4分 （2）因为an＝2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故 b100是第25组中第4个括号内各数之和．而第25组中第4个括号内各数分别是{an}第247，248，249，250项，所以，又b5＝22，所以b5＋b100＝2010－－－－－－－－－－－－－－－ 8分
所以． 又 故对一切都成立，就是 对一切都成立．－－－ 9分 设，则只需即可． 由于 所以g（n＋1）
于是．所以， 即，又∵a>0，∴a>． 综上所述，实数a的取值范围是．－－－－－－ 12分