图论与网络基本知识
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
完全图知识点总结
完全图知识点总结一、完全图的基本概念完全图是图论中的一个重要概念，它是一种特殊的图，具有很多独特的性质和特点。
完全图由n个顶点组成，其中任意两个顶点之间都有一条边相连。
完全图通常用Kn来表示，其中n代表顶点的个数。
完全图是一种特殊的简单图，因为任意两个顶点之间都有边，所以在完全图中不存在孤立的顶点或者度为0的顶点。
二、完全图的性质1. 完全图的边数在完全图中，任意两个顶点之间都有边相连，因此完全图的边数可以通过组合数学的知识计算得到。
对于n个顶点的完全图Kn，它的边数可以表示为C(n, 2)，即n个顶点中任取两个顶点相连，共有C(n, 2)条边。
2. 完全图的度完全图中每个顶点的度都是相同的，为n-1。
这是因为在完全图中，任意两个顶点之间都有边相连，所以每个顶点都与其他所有的顶点相邻，因此它的度为n-1。
3. 完全图的邻接矩阵和度矩阵完全图的邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示第i个顶点和第j个顶点之间是否有边相连。
在完全图中，邻接矩阵是一个对称矩阵，对角线元素为0，非对角线元素为1。
完全图的度矩阵是一个n×n的矩阵，其中对角线元素为每个顶点的度，非对角线元素为0。
4. 完全图的生成对于完全图Kn，可以使用不同的方法进行生成。
一种方法是从n个顶点开始，逐个添加边直到所有的顶点之间都有边相连。
另一种方法是从n个顶点开始，对于每一对顶点，都添加一条边相连。
5. 完全图的应用完全图在实际生活中有很多应用，例如通信网络中的数据传输、交通规划中的道路建设、社交网络中的人际关系等。
在这些应用中，完全图可以帮助分析网络的拓扑结构、寻找最短路径、评估网络的稳定性等。
三、完全图的相关问题1. 完全图的最大团和最大独立集在完全图中，由于任意两个顶点都相连，因此最大团的大小为n，即完全图本身就是一个最大团。
最大独立集的大小为1，即每个顶点都是一个独立集。
2. 完全图的哈密顿回路和欧拉回路在完全图中，哈密顿回路是指通过所有顶点恰好一次的回路，而欧拉回路是指通过所有边恰好一次的回路。
贝叶斯网络
(40-9)
贝叶斯网络中的独立关系
•利用变量间的条件独立关系可以将联合概率分布分解成多个复杂度较低的 概率分布，从而降低模型复杂度，提高推理效率。 •例如：由链规则可以把联合概率分布P(A, B, E, J, M)改写为： 独立参数：1+2+4+8+16=31
– E与B相互独立， 即P(E|B)=P(E) – 给定A时，J与B和E相互独立， 即P(J|B, E, A)=P(J|A) – 给定A时，M与J、B和E都相互独立，即P(M|J, A, B, E)=P(M|A)
– 条件独立 – 因果影响独立 – 环境独立
(40-11)
贝叶斯网络中的独立关系
(一)条件独立
•贝叶斯网络的网络结构表达节点间的条件独立关系。 •三种局部结构
– 顺连 (serial connection) – 分连(diverging connection) – 汇连(converging connection)
(40-15)
贝叶斯网络中的独立关系
(四)环境独立(context independence)
•环境独立是指在特定环境下才成立的条件独立关系。 •一个环境是一组变量及其取值的组合。设环境中涉及变量的集合用 C表示， C的一种取值用c表示，则C=c表示一个环境。 •定义5.8 设X，Y，Z，C是4个两两交空的变量集合，如果 P(X, Y, Z, C=c)>0 且 P(X|Y, Z, C=c)= P(X| Z, C=c) 则称X, Y在环境C=c下关于Z条件独立。若Z为空，则称X, Y在环境C=c下 环境独立。
得到联合概率边缘化分布：
再按照条件概率定义，得到
(40-8)
不确定性推理与联合概率分布
运筹学涉及的数学知识
运筹学涉及的数学知识运筹学是一门应用数学学科，它研究的是如何进行有效的决策和规划。
在运筹学中，数学起着至关重要的作用，它提供了一种精确的分析工具，帮助我们解决现实生活中的各种问题。
线性规划是运筹学中的一种常用数学方法。
它通过建立数学模型来描述问题，并利用线性代数和凸优化等数学知识，寻找最优解。
线性规划广泛应用于生产调度、资源分配、物流运输等领域。
通过对各种约束条件的定量分析，线性规划能够帮助我们优化决策，提高效率。
图论是运筹学中另一个重要的数学工具。
图论研究的是图的性质和图之间的关系。
在运筹学中，图论常被用于解决网络流问题、最短路径问题、旅行商问题等。
通过建立图模型，我们可以利用图论的算法来求解这些问题，从而找到最优解或近似最优解。
排队论也是运筹学中的一项重要研究内容。
排队论研究的是顾客到达和排队等待的规律，以及如何通过优化服务策略来提高系统的效率。
排队论中涉及的数学知识包括概率论、统计学和随机过程等。
通过建立排队模型，我们可以分析系统的性能指标，如平均等待时间、系统利用率等，从而优化系统的运作。
在供应链管理中，运筹学也扮演着重要角色。
供应链管理涉及到多个环节和参与方，需要进行复杂的决策和协调。
运筹学通过建立数学模型，帮助企业优化供应链的规划、调度和库存管理等方面。
通过运筹学的方法，我们可以最大程度地降低成本、提高效率，同时保持供应链的稳定和可靠性。
决策分析也是运筹学中的一个重要领域。
决策分析研究的是如何做出最优的决策，在面对不确定性和风险时，如何进行合理的选择。
决策分析利用概率论、统计学和决策理论等数学工具，帮助我们分析和评估各种决策的风险和效益，从而选择最合适的决策方案。
运筹学涉及的数学知识非常丰富多样，包括线性规划、图论、排队论、供应链管理和决策分析等。
这些数学工具为我们解决各种实际问题提供了强大的支持。
通过合理运用这些数学方法，我们可以优化决策，提高效率，实现最优解。
运筹学的发展不仅推动了数学的进步，也为实际生活和经济发展带来了巨大的影响。
图论在数据挖掘与知识发现中应用
图论在数据挖掘与知识发现中应用图论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在数据挖掘与知识发现方面，图论的应用也日益增多。
本文将探讨图论在数据挖掘与知识发现中的应用，并分析其优势和挑战。
一、图论简介图论是研究图的数学分支，图是由节点和边组成的数据结构。
节点代表实体，边代表实体之间的关系。
图论提供了一种直观、简洁的方式来描述实体之间的关联关系，并通过图算法进行相应的分析与处理。
二、图论在数据挖掘中的应用1. 社交网络分析社交网络是图论的典型应用场景之一。
通过构建社交网络图，可以分析用户之间的社交关系、网络拓扑结构等，从而实现群体行为预测、社交推荐等功能。
例如，通过图算法分析用户在社交网络中的连通性，可以发现潜在的社区结构，挖掘用户的兴趣爱好等。
2. 异常检测图论在异常检测中也有广泛应用。
通过构建普通业务图或者物理设备图，可以识别出与正常情况不符的节点、边等异常数据，从而发现潜在的安全风险或者设备故障。
例如，在电信领域，通过分析用户通信行为的图模式，可以识别出异常的通话模式，帮助提前发现诈骗和网络攻击等问题。
3. 数据聚类图论可用于数据聚类分析，通过构建相似性图，将相似的数据点连接起来。
通过图算法，可以实现对大规模数据的聚类和分类。
例如，在文本挖掘中，可以通过构建文档间的共现关系图，将相似的文档聚类在一起，从而实现文本分类和主题提取。
三、图论在知识发现中的应用1. 信息抽取信息抽取是指从大规模的非结构化数据中提取结构化的知识和信息。
图论可以帮助构建实体间的关联关系，并通过图算法进行实体关系的发现。
例如，在文本信息抽取中，可以通过构建实体之间的共现图，实现实体识别、关系提取等任务。
2. 关联规则挖掘关联规则挖掘是一种挖掘数据中项集之间频繁关联关系的方法。
图论可以用于构建事务间的关联图，帮助发现频繁项集和关联规则。
例如，在购物篮分析中，可以通过构建商品之间的关联图，发现顾客购买行为中的潜在关联关系，从而实现个性化推荐等功能。
图论课件-图的宽直径简介
宽直径的应用场景和案例分析
宽直径在许多领域都有应用，如社交网络分析、生物信息学、交通网络分析等。例如，在社交网络分析中，宽直径可以用于 衡量社交网络的紧密程度和信息传播效率。
以社交网络分析为例，通过计算社交网络中任意两个用户间的最远距离，可以了解信息在该社交网络中的传播范围和速度， 进而评估网络的紧密程度和信息传播效率。在实际应用中，可以根据具体需求选择合适的宽直径算法，以获得更好的分析效 果。
图论课件-图的宽直径简介
目 录
• 引言 • 基础知识 • 宽直径的定义和性质 • 宽直径的算法和应用 • 总结和展望
01 引言
什么是图的宽直径
图的宽直径定义
图的宽直径是指图中最短的两个 顶点之间的最大距离，即任意两 个顶点之间的最大距离。
宽直径的表示
通常用WD(G)表示图G的宽直径 ，其中G是一个图。
基于稀疏图的最短路径问题，通过预处理和后处理两个阶段，快速计算出图中任 意两个节点间的最短距离，最终得到宽直径。算法时间复杂度为 O(nlogn)。
宽直径算法的时间复杂度
• 宽直径算法的时间复杂度取决于所采用的算法。如 Floyd-Warshall 算法的时间复杂度为 O(n^3)，而 Johnson 算法的时 间复杂度为 O(nlogn)。在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法，以获得更好的性能。
弱连通图
图中任意两个顶点之间都存在 无向路径的性质。
连通分量
无向图中连通子图，任意两个 顶点之间都存在路径。
悬挂顶点
与其它顶点仅通过一条边相连 的顶点。
03 宽直径的定义和性质
宽直径的定义
01
02
03
04
宽直径是指图中最长路径的长 度，即图中任意两点之间的最
程序员的数学4：图论入门
内容摘要
这一章通过分析图的连通性，让读者理解图中的信息流动和路径问题。 第四章介绍了图的遍历算法，包括深度优先遍历和广度优先遍历。这两种算法是常用的图遍历算 法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何遍历一个图并获取所需信息。 第五章介绍了最小生成树算法，包括Prim算法和Kruskal算法。这两种算法是最常用的最小生成 树算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何找到一个图中连接所有节点的最小代价的树。 第六章介绍了拓扑排序算法，包括Kahn算法和DFS算法。拓扑排序是解决有向无环图（DAG）上 的一种排序算法，通过这一章的学习，读者可以掌握如何对一个有向无环图进行拓扑排序。 《程序员的数学4：图论入门》这本书是一本非常适合程序员阅读的数学书籍，它介绍了图论的 基本概念和应用，并提供了很多实例和练习题帮助读者理解和应用所学知识。这本书不仅可以提 高程序员的数学素养，还可以帮助程序员更好地理解和应用图论来解决实际问题。
精彩摘录
精彩摘录
《程序员的数学4：图论入门》是一本面向程序员群体的数学入门指南，其作 者罗博·福布斯将带大家探索图论的基础概念和算法，从而更好地理解和应用编 程技术。本书将选取一些精彩的摘录，供大家欣赏。
精彩摘录
“图论是一个研究图形和结构的学科，其中节点和边分别表示对象和它们之 间的关系。”
精彩摘录
这是本书最基本的概念之一，通过节点和边这两个概念，我们可以描述各种 复杂的结构。在编程中，我们通常会使用节点和边来表示数据结构，例如树、图 等。
精彩摘录
“一个图G=(V,E)由一组节点V和一组边E组成。”
精彩摘录
这个定义简洁明了，很好地概括了图论的基本构成要素。在许多应用场景中， 节点可以表示人、物体或其他实体，而边则表示这些实体之间的关系。
数学与计算机科学密码学的数学基础
数学与计算机科学密码学的数学基础密码学作为计算机科学的一个重要分支，其核心是研究如何保护信息的安全性和隐私性。
而要理解密码学的数学基础，就必须掌握数学与计算机科学密切相关的数学知识。
本文将简要介绍密码学的数学基础，包括数论、代数、离散数学和信息论等方面。
一、数论1. 整数与素数：在密码学中，整数和素数是非常重要的概念。
我们需要了解整数的性质，包括奇偶性、质因数分解等。
而素数则在密码学中用于生成密钥和构建加密算法。
2. 模运算：模运算在密码学中有着广泛的应用。
我们需要了解模运算的基本定义和性质，如同余定理、模逆元等，并掌握如何使用模运算进行加密和解密操作。
3. 欧拉函数与欧拉定理：欧拉函数是指小于某个正整数n且与n互质的正整数的个数。
欧拉定理则是指在模n的情况下，若a与n互质，那么a的欧拉指数一定是n的欧拉函数的倍数。
这些概念在密码学中用于生成RSA加密算法的密钥。
二、代数1. 群论与环论：密码学中的加密算法和解密算法可以视为群的运算过程。
我们需要了解群和环的基本定义，以及群论和环论的一些基本性质，如封闭性、结合律、单位元等。
2. 有限域与扩域：有限域是一种具有有限个元素的域，而扩域则是指通过扩展域中的元素来生成新的域。
在密码学中，有限域和扩域被广泛应用于椭圆曲线密码和有限域上的运算。
三、离散数学1. 图论与网络流：密码学中的一些加密算法可以利用图论和网络流的方法进行建模与分析。
我们需要了解图的基本概念，如顶点、边、路径等，以及网络流的基本算法，如最大流最小割定理等。
2. 组合数学：组合数学是研究离散对象的组合与排列问题的数学分支。
在密码学中，我们需要掌握组合数学的基本概念和技巧，例如排列组合、二项式系数等。
四、信息论1. 熵与信息量：信息论是研究信息传输、压缩和保密性的数学分支。
在密码学中，我们需要了解熵的概念和计算方法，以及信息量的度量和编码技术。
2. 纠错码与检验码：为了确保信息传输的可靠性，我们需要借助纠错码和检验码来检测和纠正传输过程中的错误。
离散数学知识点
离散数学知识点
离散数学是数学中的一种分支，主要研究离散的数学结构和离散的数学对象，
例如集合、图论和组合数学等内容。
以下是一些离散数学的知识点：
1. 集合和函数：集合是离散数学的基础，函数是一种映射关系。
2. 逻辑和证明：逻辑用于建立数学理论的形式化方法，证明是验证数学结论的
方法。
3. 数论：研究整数和整数间的关系，包括质数、素数、最大公约数、最小公倍
数等。
4. 图论：研究图和网络的数学理论，包括图的表示、遍历、最短路径和树等。
5. 组合数学：研究离散结构的组合和计数问题，包括排列、组合、二项式系数等。
6. 计算理论：研究计算算法和计算机科学的理论基础，包括自动机、形式语言
和复杂性理论等。
7. 数值方法：研究数值计算的方法和理论，包括数值逼近、数值微积分和矩阵
计算等。
8. 离散优化：研究离散问题的最优解，包括线性规划、整数规划和组合优化等。
9. 随机模型：研究随机事件和概率论，包括随机过程、马尔可夫链和随机算法等。
10. 图形理论：研究图形的美学、结构和性质，包括图像处理、计算机视觉和
图形学等。