振动理论基础

很小，可忽略不计。
②共振区λ =0.75～1.25。在此区域 内阻尼对振幅有显著影响，λ≈1时， 振幅急剧增加出现峰值的现象，称 为共振。对应曲线峰值的频率，称 为系统的共振频率。
小阻尼时，共振频率近似等
于固有频率，共振振幅ຫໍສະໝຸດ 似与阻尼比成反比，即③ 当λ ＞＞1时，阻尼对振幅 影响可忽略不计。
★ 相频特性 相频特性曲线如图所示。由图可知， 当有阻尼时，ε随频率比ω/ωn连续变化。
阻尼对振幅的影响 为描述振幅 Ai 的衰减，引入减幅系数η（或称振幅缩减率）。由 图示得
上式表明：衰减振动的振幅 按几何级数递减。阻尼对自
由振动的振幅影响较大。
例如：ζ＝0.05时，Td＝ 1.00125T而经过10个周期后， 振幅只及原振幅的4.3%。
对上式两边取对数得对数缩减率
所以
初始幅值 A 和初位相θ取决于初始条件。
系统动能
以平衡位置为势能零点，系统势能
由
1 2 2 1 J n (k1l 2 k 2 d 2 ) 2 2 2
得固有频率
例16-6 如图所示，质量为m ，半径为r 的圆柱体，在半径为R 的 圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微
小振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其微振动规律为
若以平衡位置为势能零点，则 系统势能
系统动能
由机械能守恒，即T+V＝常数，则
系统固有频率 表明；如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置的长 度为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。只要写出系统的 动能和以平衡位置为零点的势能，即可确定系统的固有频率， 而不必列写系统的微分方程。
例16-4 图示为两个相同的塔轮。齿轮半径皆为R，半径为r 的鼓轮上 绕有细绳，轮Ⅰ上连一铅直弹簧，轮Ⅱ上挂一重物。塔轮对 轴的转动惯量皆为J ，弹簧刚度为k ，重物质量为m 。求系统 振动的固有频率。
由平衡方程得
式中
为并联弹簧的等效弹簧刚度。 n个并联弹簧的等效刚度
★ 串联弹簧 图示为串联弹簧。 静平衡时，变形分别为 和 。
弹簧总伸长
等效弹簧刚度 n个弹簧串联，则有
例16-3 图为一摆振系统。杆重不计，球质量为m ，摆对轴O的转动
惯量为J，弹簧刚度为k，杆于水平位置平衡，尺寸如图。求
系统微小振动的运动微分方程及振动频率。
圆柱体中心O1的速度
由运动学知，当圆柱体作纯滚动时，
角速度
系统动能
整理后得
系统的势能为重力势能，取圆柱在最低处时的圆心位置C 为 势能零点，则系统势能
圆柱体作微振动
由
3m 1 2 ( R r ) 2 2n mg ( R r ) 2 4 2
得
§16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动
例16-8 图示为一测振仪的简图，其中物块
质量为m ，弹簧刚度为k 。测振仪
放在振动物体表面，并随物体而运 动。设物体的振动规律为
求测振仪中物块的运动微分方程及
其受迫振动规律。
解：测振仪随物体振动，则其弹簧悬挂点的运动规律为
取 t=0 时物块的平衡位置为坐标原 点，取x 轴如图。在任一瞬时t ，弹
化简后得
系统的固有频率
当物块碰上弹簧时，取时间t=0，作为振动的起点。 则运动的初始条件： 初位移 初速度
得振幅及初位相
mm
物块的运动方程
例16-2 如图所示。在无重弹性梁的中部放置质量为m的物块，其 静挠度（静变形）为2mm。若将物块在梁未变形位置处无 初速释放，求系统的振动规律。
解：此无重弹性梁相当于弹簧，其刚性系数
解：以系统平衡时重物的位置为原点，取 x 为广义坐标。 设系统振动的规律为
则 塔轮角速度 系统动能
取平衡位置为势能零点，系统的势能为
由
得系统的固有频率
例16-5 在如图示的振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在
A水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。
解：取摆角
为广义坐标，设其变化规律为
物块在一般位置的受力如图示，则其
振动微分方程为
令
，代入上式，
得单自由度系统自由振动微分方程 的标准形式
其通解
积分常数A 和θ分别为振幅和初位相。 它们由运动的初始条件决定。
频率
圆频率（或固有圆频率、固有频率） 周期
频率和周期只与系统本身所固有的惯 性和弹性有关，而与运动的初始条件 无关，是描述振动系统基本性质的重 要物理量。
或
化简得 令 代入上式得衰减振动微分方程的标准形式
2、微分方程的解 设 ，代入式中，得特征方程
方程的两个根
通解
有三种可能情形：
★ 小阻尼情形
当 或 时，称为小阻尼。
此时
令
则
得运动方程 如图所示。由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。
衰减振动的周期
令
称为阻尼比。
则 周期Td较无阻尼自由振动的周期T 略有增加。阻尼对周期的 影响很小，可忽略不计，取Td≈T。
由于阻力作用，自由振动的振幅将逐渐衰减，最后趋于静止。 产生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性质。以下仅讨
论阻力与速度成正比的粘性阻尼或称线性阻尼。即
式中负号表明阻力与速度方向相反，阻尼系数c 取决于阻尼 介质的性质和物体的形状。
1、有阻尼自由振动微分方程的标准形式
图（a）为一有阻尼的质量--弹簧系统。取平衡位置为坐标原 点，受力如图（b）。 阻力 微分方程为
取重物平衡位置为坐标原点，x轴方向铅直向下，运动微 分方程为:
式中圆频率
在初瞬时t＝0，物块位于未变形的梁上，其坐标
x0＝－δst= － 2mm，初速v0=0，则 振幅 mm
初位相
系统的振动规律
mm
等效弹簧
并联和串联弹簧
★ 并联弹簧
下图表示刚度分别为k1和k2的两个弹簧并联的两种形式，其分 析方法相同。
第十六章 振动理论基础
§16-1 单自由度系统的自由振动 §16-2 计算系统固有频率的能量法 §16-3 单自由度系统有阻尼的自由振动 §16-4 单自由度系统的受迫振动 §16-5 隔振的概念
机械系统在其平衡位置附近所作的往复运动称为振动。振
动现象普遍存在于自然界和工程技术中，如地震。本章仅
研究单自由度系统的微振动，讨论振动的基本特征。
例16-1 质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速滑下，如图所示。 当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分 离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角β＝300，求系统振动的固 有频率和振幅，并写出物块的运动方程。
解：物块在平衡位置时，弹簧静变形
以此位置为原点O，建立图示 坐标。物块受力如图，其运动 微分方程为
？
谈谈本专业内有关振动问题！？
§16-1 单自由度系统的自由振动
系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作
用下维持的振动称为自由振动。
图示为单自由度系统自由振动的简化 模型，它是从实际振动系统中抽象出 的简图。设弹簧原长为lo ，刚度为k ，
物块质量为m ，静平衡时，弹簧变形
为δst（称静变形），有
以平衡位置为原点，建立图示坐标。
1、激振力直接作用下的受迫振动 ★ 振动微分方程 图为受迫振动系统的简化模型。
激振力
其中，H为最大激振力，ω为激振
力的圆频率。 以平衡位置为坐标原点，则 ：
令 整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式
★ 微分方程的解 方程的通解由两部分构成：对应的齐次方程的通解和该方程
的一个特解。 上式右端第一项为衰减振动，经过短暂时间，即趋于衰减，
解：摆处于平衡位置时，弹簧已压缩 由平衡方程
有
以平衡位置为角坐标原点， 摆绕轴O的转动微分方程 得系统自由振动微分方程 ★可见，只要以平衡位置为坐标原点， 固有频率 系统的运动微分方程具有标准形式。
§16-2 计算系统固有频率的能量法
对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守
恒定律求出，称为能量法。 设图示系统作简谐振动，则有
称瞬态响应。最后得到持续的等幅振动，称稳态响应，即系 统的受迫振动
由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。
将上式代入微分方程式，化简后得到受迫振动的振幅和位相差
式中
分别称为频率比、阻尼比和由最大激振力引起的弹簧的静变形。
★ 幅频特性
受迫振动的振幅与静变形之比称放大系数，即 当ζ一定，β与λ间的关系如图所示， 称为幅频特性曲线。由图可知： ①当λ＜＜1时，阻尼对振幅的影响
y Ⅱ Ⅰ
弹性力 F k ( y s ) k ( s y ) 应用
(e) m y F i Ci y
(a) (b) (c)
e
O
C φ mg m2g m1g x
m( 2e sin t ) 得 (m1 m2 ) y y
平衡位置
k ( s y ) (m1 g m2 g mg )
因为平衡时 m1g m2 g mg k s 则有
F
ky m 2e sin t (m1 m2 m) y
①当λ＜＜1时，ε≈0，受迫振动位移
与激振力接近同位相。 ②当λ ＞＞1时，ε≈π，受迫振动与激 振力接近反位相。 ③当λ＝1时，
关，这是共振时的一个重要特征。 2
，与阻尼大小无 工程上利用此特点，通过实 验测定系统固有频率ωn。
2、弹簧端点作简谐运动引起的受迫振动
振动系统的简化模型如图所示。设台面光滑，端点A 的运动规律 则弹簧恢复力 微分方程 得 与激振力直接作用下的受迫振动形式相同。前述有关受迫 振动的讨论适用于此。 令
并作用一简谐激振力
。刚杆在水平位置平衡，试列
出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率ωn，以及当激振 力频率ω 等于ωn 时质点的振幅。