等值计算的例子

F=G(F/G, i, n)
6个主要公式的关系：
1 (F/P, i, n)= (P/F, i, n) 1 (F/A, i, n)= (A/F, i, n) 1 (P/A, i, n)= (A/P, i, n)
但应注意，只有在i、n 等条件相同的情况下， 上述关系才成立。
公式应用中应注意的问题（另外见教材P52）
解：A = P(F／P,10％,1)(A／P,10％,5) =100×1.100×0.2638=29.018万元 A = 100(F／P,10％,6)(A／F,10％,5) = 100×1.722 ×0.1638 = 29.016万元
总结：等值计算公式
类别
一次支 付系列
求解
F
已知
P
复利系数
(F/P，i，n)
利息和利率
利息（或利润）——资金在单位时间内产生的增
值。利息（或利润）是衡量资金时间价值的绝对 尺度。
利率（收益率）——利息（或利润）与本金之比，
称为“利率”或收益率，它是衡量资金时间价值 的相对尺度，记作i。
单利法
单利法仅以本金为基数计算利息，利息不再计息。

例：从银行借款100元, i=10%,三年后本利和为
例: 商业住房按揭贷款
杭州商业银行按揭贷款的年名义利率 r = 5.04%，每年计息12次
年实际利率i =(1 + r／m)m
- 1
=(1 + 5.04％／12)12 – 1 = 5.158％ i＞r
资金等值的概念
资金等值——是指在考虑资金时间价值因素后，
不同时点上数额不等的资金在一定利率条件下具 有相等的价值。
P =F(P／F，12%，5)= 10×0.5674=5.67 万元
3．等额分付终值公式
F=? 0 A 1 A
n
2 A
3 A
n-1 A
n
(1+i ) -1 F = A i F=A (F／A，i ，n)
课堂练习：一位工作了3年的大学生想购买一套房子，
他从 25岁起每年末向银行存入8 000元，连续存10 年，若银行年利率为8％，问10年后共有多少本利和？
(1) 方案的初始投资，假定发生在方案的 寿命期初，即“零点”处；方案的经常性支出 假定发生在计息期末。 (2) P是在计算期初开始发生（零时点）， F在当前以后第n年年末发生，A是在考察期间 各年年末发生。 (3) 利用公式进行资金的等值计算时，要 充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清 晰、准确地反映现金收支情况，而且有助于准 确确定计息期数，使计算不致发生错误。
解：A = P(A／P,i,n)=200(A／P,10%,10) = 200 ×0.16275 = 32．6万元
课堂练习： 几个大学生合资建设一家废旧金属回
收公司，期初投资100万元，建设期1年，第二 年投产，如果年利率为10％，打算投产后5年内 收回全部投资，问该厂每年应最少获利多少？
i=10% 0 P=100 1 2 3 A=？ 4 5 6 年
现值——是指资金“现在”价值，用P 表示。
终值——现值在未来某一时点的资金金额称为终值或
将来值，用F 表示。
等年值—— 一定时期内每期有等额收支的资金值，用
A表示。
资金等值计算公式
1、一次支付终值公式
2、一次支付现值公式
3、等额分付终值公式 4、等额分付偿债基金公式 5、等额分付现值公式 6、资金回收公式
练习：有一家小饭店要转让，合同期为8年，预 计年净收益20万元，若投资者要求的年收益率为 20％，问投资者最多愿意出多少价格接手小饭店？
A=20 i=20%
0
P=?
1
2
3
7
8
解：P＝A×(P／A，i ，n) =20 × (P／A，20% ，8) = 20 ×3.837 =76．74（万元）
综合的例子：一位发明者转让其专利使用权，一种收
i (1 + i )n - 1
(1 + i )n 1 i (1 + i )n
i (1 + i )n (1 + i )n 1
等额分 付系列
A P A F
A =F(A/F, i, n)
P= A(P/A, i, n)
A =P(A/P, i, n)
1 (1 + i )n 1 n i i
6 7 100
8
9
10
年
200
第二节 资金的时间价值及其等值计算
资金时间价值——不同时间发生的等额资金在价
值上的差别称为资金的时间价值。
从两方面理解:

从投资者的角度看，资金的时间价值表现为资金 运动过程中价值的增值。

从消费者的角度看，资金一旦用于投资，就不能 用于消费。资金的时间价值体现为放弃现期消费 的损失所得到的必要补偿。
A＝F (A／F，i ，n)

课堂练习：一对夫妇欲积累一笔育儿基金，用于5
年后供孩子上大学用。此项基金约需要6万元，银行 利率12％，问每年末至少要存款多少？
i=12% 0 1 2 3 A=? 4 5 F=6
解：A =F(A／F，i ，n)=6×(A／F，12% ，5) = 6 × 0.15741 =0.9445（万元）
n
F =P (1+i )n i A =F (1+i)n -1 (1+i )n i A =P (1+i)n -1
练习：某投资项目贷款200万元，银行要求在
10年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为10 ％，那么项目每年的净收益不应少于多少万元？
A=? 1 2 3 9 10
i=1பைடு நூலகம்%
0 P=200
年初欠款 100 110 120 年末欠利息 10 10 10 年末欠本利和 110 120 130
年份 1 2 3
单利计算公式为： 本利和（终值） F＝P(1＋ i n)
（F——本利和或终值；P——现值；i——利率；n——年限）
复利法
复利法以本金与累计利息之和为基数计算利息，
即“利滚利”。

1．一次支付终值公式
F=?
0
P
1
2
3
n-1
n
计算公式：
F=P (1＋ i)n F＝P (F／P，i，n)
课堂练习：一份遗书上规定有250000元留给未
成年的女儿，但是，暂由她的保护人保管8年。 若这笔资金的利率是 5％，问8年后这位女孩可 以得到多少钱？
F=?
0 P
1
2
3
7 n-1
8 n
解：F= P(1＋ i)n =250000×(1+0.05)8 = 369250元 F= P(F／P，i，n) =250000 ×1.477 = 369250元
影响资金等值的因素有三个：
资金额大小；资金发生的时间；利率 将一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等 值金额，这一过程叫资金等值计算。
资金等值换算的几个重要概念：
贴现与贴现率——把将来某一时点处资金金额折算成
现在时点的等值金额称为贴现或折现。贴现时所 用的利率称贴现率或折现率，用 i 表示。
益方式是在今后5年里每年收到12000元，随后又连 续7年每年收到6000元，另一种收益方式是将前种收 益形式改为一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要 求年收益率10％，投资者选择后一种方式，即一次性 购买专利权的价格为多少？
i=10%
A1 =12000
A2 =6000
5 6 11 12
0
P=?
1
解： 单利计息法公式：F前3年＝P(1＋ i n) 复利计息法公式：F后4年＝P(1＋ i)n
F=10000(1+10%×3)(1+10%)4
=19033元
最后可收回本利和是19033元。
名义利率和实际利率
计息周期——一年内计算利息周期的次数，用m来表
示。计息周期有年、半年、季、月、周、日等。 实际利率——将计息周期实际发生的利率称为计息周 期实际利率，用 i来表示。 名义利率——计息周期的实际利率乘以每年计息周期 数就得到名义利率，用 r来表示。 实际利率 i =(1 + r／m)m -1
25
26
27
A=?
59
解：A ＝F(A／F，i ，n) =100 × (A／F，10% ，35) = 100 × 0.00369=0.369（万元）
5．等额分付现值公式
A 0 1 2 3 n-1 n
P=?
(1+i )n -1 P = A i(1+i )n
P＝A×(P／A，i ，n)
(1+i)n -1 F = A i F P= (1+i )n (1+i )n -1 P = A i(1+i )n
i=8% 0 1 8000 2 8000 3 8000 9 8000 F=? 10 8000
(1+i )n -1 F = A i
F=A(F／A，i ，n) = 8000×(F／A，8% ，10) =8000 ×14.487 = 115892元
4．等额分付偿债基金公式
F
0
1
2
3 A=?
n-1
n
i A =F (1+i )n -1
2．一次支付现值公式
F
0 P=?
1
2
3
n-1
n
P＝F× (1＋ i )-n
P＝F×(P／F，i ，n)
课堂练习：某刚刚参加工作的大学生欲筹备未来结
婚费用，打算5年后从银行得到10万元，如果银 行利率为12％，问现在应存入银行多少钱？
F=10 0 P=?
1
2
3
4
5
解：P=F(1＋ i)-n = 10×(1＋12% )-5 =5.67万 元
当m =1时，i=r；m>1时，i >r；m
∞时，即 一年中无限多次计息，连续复利计算。这时的实际利 率称连续利率。
例： 从银行借入资金10万元，年名义利率r为12%，
分别按每年计息1次以及每年计息12次，求年实际利率i 和本利和F？ 解：若每年计息1次 i＝(1+r／m)m -1=(1+0.12/1)1 -1=12% F=P(1+i)n=10×1.12=11.2万元 若每年计息12次 i= (1+0.12／12)12 -1 =12.68% F=P(1+i)n=10×1.1268=11.268万元 即：m＞1时，实际利率i大于名义利率r，计息次数 越多，实际利率i越高。
例：从银行借款100元, i=10%，三年后本利和为
年初欠款 100 110 121 年末欠利息 10 11 12.1 年末欠本利和 110 121 133.1
年份 1 2 3
复利计算公式为：本利和（终值）F＝P(1＋ i)n （F——本利和或终值；P——现值；i——利率；n——年限）
例：
某人把10000元，按利率10%（以单利计息） 借给朋友3年。3年后，改以复利计息，朋友又使用 了4年。最后他从朋友那里收回的本利和F是多少？
现金流量图
用现金流量图来表示一切经济活动：
（1）横坐标（轴）表示时间； （2）纵坐标（轴）表示现金流量。
180
单位：万元
35 0 1 50 2 35 3
80
100
100 150
150
4
5
6
7
8
年
100
例：
某建设项目第1年年初投资200万元，第2年年初 又投资100万元，第2年投产，当年收入500万元， 支出350万元。第3年至第5年年现金收入均为800 万元，年现金支出均为550万元，第5年末回收资产 余值50万元，试画出该项目的净现金流量图。
系数代数式
(1 + i )n
1 (1 + i )n
公式
F=P(F/P, i, n)
P=F(P/F, i, n)
P
F
F
A F A P G
(P/F, i, n)
(F/A，i，n) (A/F，i， n) (P/A，i，n) (A/P，i，n) (F/G，i，n)
(1 + i )n - 1 F= A(F/A, i, n) i
练习：某人学习了工程经济学课程以后，了解到达
到富裕的最佳决策及实施这一决策的方法是利用货 币的增殖能力。如果他希望在年满59岁退休时拥有 100万元，他决定从25岁生日时就开始投资，假定 投资的年收益率为 10％，则从第 25个生日起，到 第59个生日止，每个生日必须投资多少？
i=10% F=100
2
3
解：P前5年= A1(P/A,10%,5)=45492元
P后7年=A2(P/A,10%,7)(P/F,10%,5)=18135元 P= P前5年+P后7年=63627 元
6、资金回收公式
A=? 0 1 2 3 n-1 n
P
i(1+i ) A =P (1+i )n -1
A＝P×(A／P，i ，n)
300 250 250 150 0 200 单位：万元 年
1 100
2
3
4
5
某工程项目初始投资为200万，每年销售收入抵 消经营成本后为50万，第7年追加投资100万，当年 见效，且每年销售收入抵消经营成本后变为80万，该 项目的经济寿命约为10年，残值为0，试绘制该项目的 现金流量图。
例
单位：万元 50 50 50 50 50 50 0 1 2 3 4 5 80 80 80 80