湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考数学试卷
2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(371)
永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ）A ．50x -<<或5x >B ．5x <-或5x >C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<2． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．33． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8B ．1C ．5D ．﹣14． 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假5． 若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜06． 在△ABC 中，sinB+sin （A ﹣B ）=sinC 是sinA=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也非必要条件7． 已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ．x=1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=18． 线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）A ．AB ⊂αB ．AB ⊄αC ．由线段AB 的长短而定D ．以上都不对9． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．210．已知函数，函数，其中b ∈R ，若函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣iD ．﹣1+i12．已知α，β为锐角△ABC 的两个内角，x ∈R ，f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，则关于x 的不等式f （2x ﹣1）﹣f （x+1）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，2）C ．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）D ．（﹣，2）二、填空题13．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．①设A ，B 为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P 的轨迹为双曲线；②设A ，B 为两个定点，若动点P 满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8； ③方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）fB （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为 ．15．在极坐标系中，直线l 的方程为ρcos θ=5，则点（4，）到直线l 的距离为 ．16．若直线：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间()1k k +，内，则正整数k 的值为________． 18．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B为 .三、解答题19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女总计（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.010 0.005 0.001k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.63520．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．21．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈ （1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域； （2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．（本小题满分12分）已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.24．设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．永胜县第二中学校2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.12． 【答案】A【解析】解：由，得3x 2﹣4x+8=0．△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．所以直线4x+3y ﹣8=0与抛物线y=﹣x 2无交点．设与直线4x+3y ﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0联立，得3x 2﹣4x ﹣m=0．由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m ）=16+12m=0，得m=﹣．所以与直线4x+3y ﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x 2相切的直线方程为4x+3y ﹣=0．所以抛物线y=﹣x 2上的一点到直线4x+3y ﹣8=0的距离的最小值是=．故选：A ．【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．3． 【答案】B【解析】解：∵函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，令3x+2=2，解得x=0，∴a=2×0+1=1．故选：B．4．【答案】B【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，若“非p”为真，则p为假，∴p假q真，故选：B．【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．5．【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=3﹣|x﹣1|+m的图象与x轴没有交点，∴﹣m=3﹣|x﹣1|无解，∵﹣|x﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x﹣1|≤1，∴﹣m≤0或﹣m＞1，解得m≥0或m＞﹣1故选：A．6．【答案】A【解析】解：∵sinB+sin（A﹣B）=sinC=sin（A+B），∴sinB+sinAcosB﹣cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∴A=，∴sinA=，当sinA=，∴A=或A=，故在△ABC中，sinB+sin（A﹣B）=sinC是sinA=的充分非必要条件，故选：A7．【答案】C【解析】解：如图，++（）．故选C．8．【答案】A【解析】解：∵线段AB在平面α内，∴直线AB上所有的点都在平面α内，∴直线AB与平面α的位置关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α故选A．【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．9．【答案】D【解析】解：命题p：∃x∈R，cosx≥a，则a≤1．下列a的取值能使“￢p”是真命题的是a=2．故选；D．10．【答案】D【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x），由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．作出函数h （x ）的图象如图：当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2=（x+）2+≥，当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+≥，故当=时，h （x ）=，有两个交点，当=2时，h （x ）=，有无数个交点，由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点，即h （x ）=恰有4个根，则满足＜＜2，解得：b ∈（，4），故选：D ．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．11．【答案】A【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴z===1﹣i ．故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．12．【答案】B【解析】解：∵α，β为锐角△ABC 的两个内角，可得α+β＞90°，cos β=sin （90°﹣β）＜sin α，同理cos α＜sin β，∴f （x ）=（）|x ﹣2|+（）|x ﹣2|，在（2，+∞）上单调递减，在（﹣∞，2）单调递增，由关于x的不等式f（2x﹣1）﹣f（x+1）＞0得到关于x的不等式f（2x﹣1）＞f（x+1），∴|2x﹣1﹣2|＜|x+1﹣2|即|2x﹣3|＜|x﹣1|，化简为3x2﹣1x+8＜0，解得x∈（，2）；故选：B．二、填空题13．【答案】②③．【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．故正确的命题为②③．故答案为：②③．【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．14．【答案】{1，6，10，12}．【解析】解：要使f A（x）f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．15．【答案】3．【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．点（4，）化为． ∴点到直线l 的距离d=5﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．16．【答案】1 【解析】试题分析：两直线垂直满足()02-12=⨯+⨯a ，解得1=a ，故填：1. 考点：直线垂直【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ，当两直线垂直时，需满足02121=+b b a a ，当两直线平行时，需满足01221=-b a b a 且1221c b c b ≠，或是212121c c b b a a ≠=，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直121-=k k ，两直线平行时，21k k =，21b b ≠.117．【答案】2 【解析】18．【答案】4π 【解析】考点：正弦定理．【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是︒180，消去多余的变量，从而解出B 角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：非体育迷体育迷合计男30 15 45女45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．∵3.030＜3.841，∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j （j=1，2）表示女性．设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．∴P（A）=．【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…（其他方法亦可）21．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令0f x '=得121,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增 所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+= 即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减 所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减 当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增 所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥ 22．【答案】【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+， ∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；（2）p=2时，y 2=4x ，若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）∴k MN =，∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），∴B 的横坐标为x=3﹣，直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0△＞0可得0＜t 2＜12，∴x=3﹣∈（﹣3，3），∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）． 【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)-．【解析】试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围．试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2230x x -++>，13x -<<，又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)(0,3)-.考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是0a b a b⋅>且,a b 不同向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b⋅<且,a b 不反向．24．【答案】【解析】解：（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4，…由e==，得1﹣=，∴a=5，…∴椭圆C的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），…设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，…由韦达定理得x1+x2=3，y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．。
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题答案
高二数学参考答案解析及给分细则一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD1、解析：由B {x x 0}，得A B {x x 0}故选A2、解析：由f [f (2)]f (3)log 2(9a )1a 7.故选B3、解析：f (x )3ax 22，又(1)tan4f ，故3a -2=1,得a =1.故选B4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积22214S故概率4144P，故选A5、解析：由57925a a a 有19959()9452a a S a 。
故选C6、解析：122sin()sin(2)22C y xy x横坐标缩短为原来的曲线化为8右移个单位sin 2()sin(2)824y xx1C 即为曲线,故选D7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为2(0)xay a点A （2,-2）在抛物线上，得a = -2抛物线方程为22x y当水面宽为h m,由点)h 在抛物线上，得52h ，故水面下降了12m 。
故选 D8、解析：由题意，222()A x a y b 圆为,与渐近线b y x a 交于M 、N 两点， 0090,AM AN MAN 由知故圆心A 到渐近线距离为2b2222222a b e c b a即，故选 B9、解析：如图，四边形PACB 的面积为22PACS SPA故当PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离22,22dPC则226PA CA 又2623S,故选C10、解析：4142224444x x y x yyxyxy由23414m m m 知，故选A 11、解析：如图，过点M 作MH ⊥l 于H ， 由题意3PF MF224333MH PM MHp KFPF12323MMMp MHx x y 由定义1232322MFKS，故选A12、解析：如图，当0x时，()1f x x 与()g x 有1个交点，故0x 时()log a f x x 与()g x 有且仅有5个交点，必有1a 且(5)157(7)1f a f ，故选D二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 13、e14、636415、916、2（a -m ）答案解析：13、解析：'''''()2(1)1(1)2(1)(1)xf x f e x f f e f e 由令有 14、解析：法一：可求得1236623*********,,,,12222264a a a a S 法二：记211232222n n n nT a a a a 则22112311222(2)2n n n n T a a a a n两式相减得1112(2)22n nnn a a n由112a 也适合上式，有12n n a ，故661631264S15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，在Rt △OAB 中， 由22(2)2R R 有32R， 故249SR16、解析：由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到,则可知,光线从出发,无论经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图,,所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2（a-m ）三、解答题 17、解：（1）2000:,10q x R mx mx(或写为：2,10)x R mx mx ……………………4分（2）由p 有：(m +2)(m -1)>0m <-2或m >1 ……………………5分由q 有：若m =0,化为1>0成立 …………………6分若m ≠0,则有040mm ………………………7分∴[0,4)m ……………………………………………8分∵“p q ”为假命题，“q ”为假命题 ∴p 假q 真……………9分∴[2,1][0,4)[0,1]m ………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理有：2222ac ac b …………2分由余弦定理 cos B =222222a cb ac……………………4分又(0,)B4B……………………5分（2）由（1）11tan 22a B a……………………6分又22428111(3)()(7)a a a a d a d a d1102a d d dd a …………………………7分 ∴2na n……………………………8分14411122(1)(1)1n n a a n n n n n n 从而………………10分1111111(1)()()()223341n S n n1111nn n …………………………12分19、解：（1）各小组的频率依次为0.1, 0.2, 0.25, 200a , 0.1, 0.05由0.1+0.2+0.25+200a +0.1+0.05=1有a =0.0015…………………………………………………3分 （2）平均金额3000.15000.27000.25900(2000.0015)11000.113000.05x750()元…………………………………………………7分（3）选择方案一：优惠力度为750×（1-80％）=150元………9分 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140（元） ……11分故，方案一的优惠力度更大. ……………………12分 20、（1）证明：取AC 的中点O ，连接OS,OB, ∵SA=SC,AB=BC∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO. ∴AC ⊥面SBO又SB 面SBO∴AC ⊥SB ………………5分(2)解：由面SAC ⊥面ABC,SO ⊥AC 可得SO ⊥面ABC ………6分故以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OS 所在直线为x 轴，y轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则A(2,0，0),B(O,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,2) ∴,1)∴(3,3,0),(2,3,1)CE CF设(,,)n x y z 为平面EFC 的一个法向量由3300230n CE x y n CF xy z1,3, 1.(1,3,1)x yz n 取则……………………9分又(0,0,2)OS为面ABC 的一个法向量由5cos ,552n OS如图知二面角B-CE-F 的余弦值为5………………………………12分 21、解：（1）由图可知函数2()(1)4f x a x 的图象过点F （-3,0）(3)4401f aa ……………………………3分（2）由（1）知2()(1)4f x x当x =0时，f (0)=3 ∴OC=3,又在Rt △OCD 中，6COD3DOE……………………………………………6分（3）由（2）可知2223OD OC CD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上.如图：(0)3POE23sin23cosQMPN ON32sin3OMQM 又23cos 2sinMN ON OM……………………………8分∴矩形草坪的面积为：223sin (23cos 2sin )12sin cos 43sin 6sin 223cos 223S QM MN43sin(2)236……………………………10分又5023666故，当262即6时，有max23S综上所述，当6时，矩形草坪面积最大………………………12分22、解：（1）由题意知12(2,0),F F2c又离心率22cea 2,2ab 故椭圆C 的方程为22142x y ……………………………………2分（2）证明：设P(x 0,y 0)，则22002x y 由此20001221222y K K x x x（定值）…………………………5分 （3）由（2）知121K K设直线AB 的方程为(2)yk x，则直线CD 方程为1(2)yx k联立22(2)142y k xx y 消去y ，得：2222(12)42440k x k x k记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则221212224244,1212k k x x x x kk ………………………………7分∴222121224(1)1()412k ABk x x x x k同理224(1)2k CD k ………………………………………9分 ∴222222111223334(1)4(1)4(1)4k k k AB CD k k k 由题意：123232cos 44ABCDAB CD AB CD F PF 故121132cos()42323232AB CD F PF AB CD AB CD∴o 1245F PF……………………………………12分。
湖南省2019-2020学年高二上学期12月联考物理试卷 PDF版含答案
物理科考生注意：1、本试题共分为18题，共4页，时量90分钟，满分100分，答题前考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内。
2、客观题请用2B 铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色签字笔书写在答题卷上。
考试结束时交答题卷，试卷请妥善保管。
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分。
第1~8小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，第9~12小题给出的四个选项中，有多个选项正确，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
)1．一个电流表的满偏电流I g ＝1 mA ，内阻为500 Ω，要把它改装成一个量程为10 V 的电压表，则应在电流表上( )A ．串联一个10 kΩ的电阻B ．并联一个10 kΩ的电阻C ．串联一个9.5 kΩ的电阻D ．并联一个9.5 kΩ的电阻 2．如图所示，两个质量均为m 的完全相同的金属球壳a 与b ，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l ，为球半径的4倍。
若使它们带上等量异种电荷，两球带电量的绝对值均为Q ，那么，a 、b 两球之间的万有引力F 引、库仑力F 库分别为()A ．F 引＝G m 2l 2，F 库＝k Q 2l 2B ．F 引＝G m 2l 2，F 库＞k Q 2l 2C ．F 引≠G m 2l 2，F 库＞k Q 2l2D ．F 引≠G m 2l 2，F 库＜k Q 2l23．关于磁感应强度B 、电流I 、导线长度L 和电流所受磁场力F 的关系，下面说法正确的是( )A ．在B ＝0的地方，F 一定等于零 B ．在F ＝0的地方，B 一定等于零C ．若B ＝1 T ，I ＝1 A ，L ＝1 m ，则F 一定等于1 ND ．若L ＝1 m ，I ＝1 A ，F ＝1 N ，则B 一定等于1 T4．如图所示，甲、乙两带电小球的质量均为m ，所带电荷量分别为＋q 和－q ，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E ，平衡时细线都被拉紧。
湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高二数学12月联考试题
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点 F1、F2 恰好是等轴双曲线 E : x2
y2
2
的左右顶点，且椭圆的离心率为
2 2
，P
是双曲线
E
上异于顶点的任意一点，直线
PF1
和
PF2
与椭圆的交点分别记为 A,B 和 C,D．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 K1，K2，求证：K1·K2 为定值；
21．（12 分）如图，要在河岸 EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所 示坐标系，其中 E,F 在 x 轴上，且 F(-3,0),道路的前一部分为曲线段 FBC，该曲线段为二次函
数 f (x) a(x 1)2 4 在 x∈[-3,0]时的图像，最高点为 B,道路中间部分为直线段 CD，CD//EF，
点值做代表计算）．
（1）求 a 的值；
（2）试估计购物金额的平均数；
（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：
方案一：全场商品打八折；
方案二：全场商品优惠如下表：
购物金额 范围 商家优惠 （元）
[200,400) 30
[400,600) 50
[600,800) [800,1000)
140
160
如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？
且 CD= 3 ，道路的后一段是以 O 为圆心的一段圆弧 DE．
（1）求 a 的值； （2）求 DOE 的大小； （3）若要在扇形区域 ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ,
P 在圆弧 DE 上运动,M、N 在 OE 上,记 POE , 则当 α 为何值时，“矩形草坪”面积最大．
2019-2020学年湖南省名校联盟高二12月联考数学试题
湖南省名校联盟2019—2020学年高二12月联考数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1},{21},x A x x B x 则A ．{0}AB x x B ．A B RC ．{1}A B x xD ．{1}A B x x2．已知函数221log ()(0)()3(0)x x a x f x x ，若f [ f (2) ]=1，则a =A ．-2B ．-7C ．1D ．53．已知曲线3()21f x ax x 在x =1处的切线的倾斜角为4，则a = A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是 A ．14 B ．4 C ．16D ．65．在等差数列{a n }中，n S 为前n 项和，且7925a a ，则9S 的值为A ．9B ．36C ．45D ．546．已知曲线12:sin(2),:cos 4C y xC y x ，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位．B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位．C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位． D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8个单位．7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了( )m AB ．2C ．1D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的右顶点为A ,以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AMAN ,则C 的离心率为A．2 BC ．2 D9．已知圆22:(2)2C x y ，点P 在直线20x y 上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B,则四边形P ACB 面积的最小值为 AB．C ．D ．410．若两个正实数x,y 满足411xy,对这样的x,y ，不等式234x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(,4)(1,)D ．(,1)(4,)11．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ,P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF ,则△MFK 的面积为ABCD ．12．已知函数1(0)()log (0)a x x f x x x ，函数g (x )是偶函数，且(2)()g x g x ，当[0,1]x 时，()21xg x ，若函数y =f (x )-g (x )恰好有6个零点，则a 的取值范围是A ．(5,+∞)B ．(5,6)C ．(4,6)D ．(5,7)二．填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分。
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≤，{}21xB x =<，则（ ） A ．{}0A B x x ⋂=< B ．A B R =C ．{}1A B x x ⋃=> D ．{}1A B x x ⋂=≤【答案】A【解析】求出集合B ，然后利用交集和并集的定义判断各选项中集合运算的正误. 【详解】解不等式0212x <=，得0x <，{}0B x x ∴=<， 所以{}0A B x x ⋂=<，{}1A B x x ⋃=≤. 故选：A. 【点睛】本题考查集合交集和并集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2．已知函数()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若()21f f =⎡⎤⎣⎦，则a =（ ） A ．2- B ．7-C ．1D ．5【答案】B【解析】先计算出()23f =-，然后得出()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦，即可求出实数a 的值. 【详解】()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()21233f -∴=-=-，则()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦，得92a +=，解得7a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.3．已知曲线()321f x ax x =-+在1x =处的切线的倾斜角为4π，则a =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．3【答案】B【解析】由题意得出()1tan 14f π'==，利用导数运算可求出实数a 的值.【详解】()321f x ax x =-+，()232f x ax '∴=-，又()1tan14f π'==，故321a -=，得1a =． 故选：B. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，涉及了直线的倾斜角与斜率，考查计算能力，属于基础题. 4．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A ．14π-B ．4π C ．16π-D ．6π 【答案】A【解析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.5．在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且7925a a =+，则9S 的值为（ ） A ．9 B ．36C ．45D ．54【答案】C【解析】由等差中项的性质得出7592a a a =+，可得出5a 的值，然后利用等差数列的求和公式以及等差中项的性质可计算出9S 的值. 【详解】759925a a a a =+=+，55a ∴=，因此，()199599452a a S a +===. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列求和，充分利用等差中项的性质计算可将问题简化，考查计算能力，属于中等题.6．已知曲线1:sin 24C y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2:cos C y x =，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是（ ）A ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8π个单位 B ．把曲线2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位 C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4π个单位 D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8π个单位 【答案】D【解析】将曲线2C 的解析式化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用三角函数图象变换规律可得出结论. 【详解】曲线2C 化为sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得到函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得函数图象上每点向右平移8π个单位，可得到函数sin 2sin 2824y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即曲线1C . 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，在变换时要保证两个函数名称要一致，结合三角函数图象变换原则来解决问题，考查推理能力，属于中等题.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了（ ）mA ．B ．2C ．1D ．12【答案】D【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，根据题意得出点()2,2A -在抛物线上，可求出a的值，并设拱顶高于水面m h ，可知点)h -在抛物线上，代入抛物线方程可解出h的值，由此可得出水面下降的高度. 【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为()20x ay a =<，点()2,2A -在抛物线上，得2a =-， 抛物线方程为22x y =-，当水面宽为m h ，由点)h -在抛物线上，得52h =， 故水面下降了12m . 故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AM AN ⋅=uuu r uuu r，则C 的离心率为（ ） A．2BCD【答案】B【解析】由题意得知AMN ∆为等腰直角三角形，可得出点A到渐近线的距离为2，2=，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的焦距为()20c c >，离心率为c e a=， 由题意，圆A 为()222x a y b -+=，与渐近线by x a=交于M 、N 两点， 由0AM AN ⋅=uuu r uuu r知90MAN ∠=o ，故圆心A，b a c==，即b e =，解得e =故选：B 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，分析三角形的几何性质是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.9．已知圆()22:22C x y -+=，点P 在直线20x y ++=上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则四边形PACB 面积的最小值为（ ）A B ．C ．D ．4【答案】C【解析】由题意得出四边形PACB 的面积为2PAC S S ∆==，由勾股定理知，当PC 取最小值时，切线长PA 取最小值，利用圆心到直线l 的距离作为PC 的最小值，并利用勾股定理求出PA 的最小值，从而可得出四边形PACB 的面积S 的最小值. 【详解】如图，四边形PACB 的面积为2PAC S S PA ∆==，故当PA 最小时，S 有最小值，记圆心到直线距离d =PC ≥PA =≥S ∴≥=故选：C.【点睛】本题考查与圆的切线相关的四边形面积的计算，涉及切线长的计算，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.10．若两个正实数x 、y 满足411x y +=，对这样的x 、y ，不等式234x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,4-B ．()4,1-C ．()(),41,-∞-+∞UD ．()(),14,-∞-+∞【答案】A 【解析】将代数式41x y +与4x y +相乘，展开后利用基本不等式求出4xy +的最小值为4，由题意得出234m m -<，解此不等式即可.【详解】 由基本不等式得4142224444x x y x y y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4x y =时，等号成立，则4xy +的最小值为4.由题意可得234m m -<，即2340m m --<，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，考查了基本不等式中“1”的妙用，同时也涉及了一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF =，则M FK ∆的面积为（ ）A．3B．3CD．【答案】A【解析】由3PF MF =可计算出点M 的坐标，再利用三角形的面积公式可计算出MFK ∆的面积.【详解】如下图，设点M 的坐标为()00,x y ，抛物线C 的准线方程为1x =-，可设点()1,P p -， 抛物线C 的焦点为()1,0F ，且抛物线的准线与x 轴交于点()1,0K -，3PF MF =，即()()002,31,p x y -=--，()0312x ∴-=，解得013x =，200443y x ==，0y ∴=， 因此，MFK ∆的面积为12233MFK S =⨯⨯=△. 故选：A.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积计算，同时也考查了利用向量共线求点的坐标，考查计算能力，属于中等题.12．已知函数()()()10log 0a x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()g x 是偶函数，且()()2g x g x +=，当[]0,1x ∈时，()21x g x =-，若函数()()y f x g x =-恰好有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．()5,+∞ B ．()5,6C ．()4,6D ．()5,7【答案】D【解析】作出函数()y g x =与函数()y f x =的图象，可知两函数在区间(),0-∞上有且只有一个交点，则两函数在[)0,+∞上有5个交点，结合图象得出()()5171f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】如下图所示，当0x <时，函数()1f x x =+与()y g x =有1个交点， 故0x >时()log a f x x =与()y g x =有且仅有5个交点，必有1a >且()()51log 515771log 71a a f a f ⎧<<⎧⎪⇒⇒<<⎨⎨>>⎪⎩⎩. 因此，实数a 的取值范围是()5,7. 故选：D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，一般转化为两函数的交点个数，结合图象找出一些关键点列不等式组求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知函数()()21xf x xf e '=-，则()1f '=______．【答案】e【解析】对函数()y f x =求导，然后令1x =，可解出()1f '的值. 【详解】由()()21xf x f e ''=- 令1x =有()()()1211f f e f e '''=-⇒=.故答案为：e 【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.14．已知数列{}n a 满足()21*1232222n n na a a a n N -+++⋅⋅⋅+=∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =______． 【答案】6364【解析】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=，利用111,12,2n nn n T n a T T n --=⎧=⎨-≥⎩求出12n n a =，然后利用等比数列的求和公式可求出6S 的值. 【详解】记211232222n n n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+=， 则()221123112222n n n n T a a a a a n ----=+++⋅⋅⋅+=≥两式相减得()1112222n n n n a a n -=⇒=≥，由112a =也适合上式，有12n n a =，故661631264S =-=. 故答案为：6364. 【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了等比数列求和，考查计算能力，属于中等题.15．一个几何体的三视图如图，网格中每个正方形的边长为1，若这个几何体的顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为______．【答案】9π【解析】作出正四棱锥的实物图，找出球心的位置，并设其外接球的半径为R ，根据勾股定理列关于R 的等式，求出R 的值，再利用球体的表面积公式可计算出该几何体外接球的表面积. 【详解】几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，设该正四棱锥的外接球球心为O ，则球心O 在AC 上（A 为底面正方形的中心，C 正四棱锥的顶点），在Rt OAB ∆中，2OA CA OC R =-=-，由勾股定理得222OA AB OB +=，即()222R R -=，解得32R =，故四棱锥外接球的表面积为249S R ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了利用三视图还原几何体，以及正四棱锥的外接球，找出球心的位置，并利用几何特征建立等式是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.16．光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1x y C m n-=（0m >，0n >）有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过()*2k k N ∈次反射后，首次回到左焦点所经过的路径长为______．【答案】()2a m -【解析】根据题意，可知光线从左焦点出发经过椭圆反射回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点，从而可计算光线经过()2k k N *∈次反射后首次回到左焦点所经过的路径长.【详解】由已知，如图光线从1F 出发，若先经过双曲线上一点B 反射，则反射光线相当于光线从2F 设出经过点B 再到达椭圆上一点A 反射回到1F ；同理，若先出发经过椭圆上一点A 反射，则光线沿着直线2AF 方向到达双曲线上一点B 反射后回到1F ，则可知，光线从1F 出发，无论经由那条路线，经过两次反射后必然返回1F ，则讨论光线反射两次后返回1F 的过程如图，212AF m AF =+，()11211122222BF BA AF a AF AF a m AF AF a m ++=-+=-++=-所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为()2a m - 故答案为：()2a m -【点睛】本题考查以新定义为素材，考查椭圆、双曲线的定义，考查光线的反射问题，理解定义是解题的关键，考查推理能力，属于难题.三、解答题17．已知命题:p 方程22121x y m m -=+-表示双曲线，命题:q x R ∀∈，210mx mx ++>．（1）写出命题q 的否定“q ⌝”；（2）若命题“p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]0,1.【解析】（1）根据全称命题的否定可得出命题q ⌝；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，并求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可知命题p 为假命题，命题q 为真命题，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）由题意可知0:q x R ⌝∃∈，20010mx mx ++≤，（或写为：x R ∃∈，210mx mx ++≤）； （2）若命题p 为真命题，由()()2102m m m +->⇒<-或1m >. 若命题q 为真命题，则x R ∀∈，210mx mx ++>. 若0m =，化为10>成立. 若0m ≠，则有20440m m m m >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，[)0,4m ∴∈. “p q ∧”为假命题，“q ⌝”为假命题 p ∴假q 真，[][)[]2,10,40,1m ∴∈-=.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，同时也考查了利用复合命题的真假求参数，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.18．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin sin sin sin a A c C C b B +=．（1）求B ；（2）若等差数列{}n a 的公差不为0，且1tan 2a B =，2a 、4a 、8a 成等比数列，求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ． 【答案】（1）4B π=；（2）1nn + 【解析】（1）利用边角互化思想结合余弦定理求出cos B 的值，再由()0,B π∈，可得出角B 的值；（2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，求出11a =，由题意列出关于d 的方程，求出d 的值，利用等差数列{}n a 的通项公式，然后利用裂项求和法可求出数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．【详解】（1）由正弦定理有：222a c b +-=，由余弦定理222cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈ ，4B π∴=； （2）设等差数列的公差为d ，则0d ≠，由（1）11tan 22a B a =⇒=，又()()()2242811137a a a a d a d a d =⇒+=++21a d d ⇒=，0d ≠，12d a ∴==，2n a n ∴=，从而()()14411122111n n a a n n n n n n +===-⋅+++. 11111111223341n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了裂项求和法，涉及正弦定理边角互化思想的应用以及等差数列中基本量的计算，考查计算能力，属于中等题.19．双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了100份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．（1）求a 的值；（2）试估计购物金额的平均数；（3）若该商家制订了两种不同的促销方案： 方案一：全场商品打八折； 方案二：全场商品优惠如下表：如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？【答案】（1）0.0015a =；（2）750元；（3）方案一的优惠力度更大. 【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，相加即可得出购物金额的平均数； （3）计算出两种方案的优惠金额，从而得出方案一的优惠力度更大. 【详解】（1）各小组的频率依次为0.1、0.2、0.25、200a 、0.1、0.05. 由0.10.20.252000.10.051a +++++=，有0.0015a =； （2）购物金额的平均数为()3000.15000.27000.259002000.001511000.113000.05750x =⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元）；（3）选择方案一：优惠力度为()750180%150⨯-=元 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.故方案一的优惠力度更大． 【点睛】本题考查频率分布直方图中矩形高的计算，同时也考查了频率直方图中平均数的计算以及方案的选择，考查数据处理的能力，属于中等题.20．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是正三角形，面SAC ⊥面ABC ，4AB =，SA SC ==E 、F 分别是AB 、SB 的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角B CE F --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，由等腰三角形三线合一的性质得出AC SO ⊥且AC BO ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AC ⊥面SBO ，从而得出AC SB ⊥；（2）利用面面垂直的性质定理证明出SO ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角B CE F --的余弦值． 【详解】（1）取AC 的中点O ，连接OS 、OB ，SA SC =，AB BC =，AC SO ∴⊥且AC BO ⊥．又SO CO O =，AC ∴⊥面SBO ，又SB ⊂面SBO ，AC SB ∴⊥；（2）由面SAC ⊥面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO AC ⊥，SO ⊂平面SAC ，可得SO ⊥面ABC .故以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,B ，()2,0,0C -，()0,0,2S(),0E ∴，()F.()CE ∴=，()CF =，设(),,n x y z =为平面EFC 的一个法向量由300020x n CE n CF x z ⎧⎧+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎩⎩，取1x =，则y =1z =． ()1,3,1n ∴=-. 又()0,0,2OS =为面ABC的一个法向量，由cos ,5n OS ==如图知二面角B CE F --.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.21．如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =，道路的后一段是以O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．【答案】（1）1a =-；（2）3DOE π∠=；（3）当6πα=时，矩形草坪面积最大.【解析】（1）将点F 的坐标代入函数()y f x =的解析式，可得出实数a 的值； （2）在函数()y f x =的解析式中令0x =，可求出点C 的坐标，由此得出OC ，可求出tan COD ∠，计算出COD ∠，由此可得出DOE ∠；（3）可得出QM PN α==，2sin MN αα=-，从而得出“矩形草坪”的面积S 关于α的表达式，利用三角恒等变换思想将S 关于α的表达式化简为26S πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭α的范围，可计算出S 的最大值以及对应的α值. 【详解】（1）由图可知函数()()214f x a x =++的图象过点()3,0F -，()34401f a a ∴-=+=⇒=-；（2）由（1）知()()214f x x =-++，当0x =时，()03f =，3OC ∴=，又CD =Rt OCD ∆中，6COD π∠=，3DOE π∴∠=；（3）由（2）可知OD = 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上．如图：03POE παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，QM PN α∴==，ON α=，又2sin 3OM α==，2sin MN ON OM αα∴=-=- ∴矩形草坪的面积为：()2sin S QM MN ααα=⋅=-212sin cos 6sin 2226παααααα⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭，又5023666ππππαα<<⇒<+<，故当262ππα+= 即6πα=时，有max S =综上所述，当6πα=时，矩形草坪面积最大．【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22．如图，椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左右焦点1F 、2F 恰好是等轴双曲线22:2E x y -=的左右顶点，且椭圆的离心率为2，P 是双曲线E 上异于顶点的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别记为A 、B 和C 、D ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1K 、2K ，求证：12K K ⋅为定值；（3）若存在点P 满足324AB CD AB CD +=⋅，试求12F PF ∠的大小． 【答案】（1）22142x y +=；（2）定值为1，见解析；（3）1245F PF ∠=. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意得出c =算出a ，进而求出b 的值，由此可得出椭圆Γ的方程；（2）设点()00,P x y ，可得出22002x y -=，再结合斜率公式可计算出12KK ⋅的值；（3）设直线AB 的方程为(y k x =，可得出直线CD 的方程为(1y x k=，将直线AB 的方程与椭圆Γ的方程联立，利用韦达定理和弦长公式计算出AB ，同理得出CD ，利用平面向量数量积的定义得出1211cos F PF AB CD ⎛⎫⎪∠=+⎪⎭，计算出12cos F PF ∠，即可得出12FPF ∠的大小.【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由题意知()1F ，)2F ，c ∴=又离心率2c e a ==，2a ∴=，故b =Γ的方程为22142x y +=；（2）设()00,P x y ，则22002x y-=，可得22002y x =-，由此20122012y K K x ===-（定值）；（3）由（2）知121K K =，设直线AB的方程为(y k x =+，则直线CD方程为(1y x k=， 联立(22142y k xx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩消去y ，得：()222212440k x x k +++-=， 记()11,A x y ，()22,B x y ，则212212x x k-+=+，21224412k xx k -=+， ()2241112k AB k+∴=+=+，同理()22412k CD k +=+，()()()222222111223334414141k k k k k k AB CD +++∴+=+==+++. 由题意：123232cos 4AB CD AB CD AB CD F PF +=⋅=∠， 故12113cos 4233AB CDF PF AB CD AB CD⎛⎫+⎪∠==+==⎪⎭，1245F PF ∴∠=.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时考查了双曲线中的定值问题，以及焦点三角形中角的计算，涉及到弦长公式、平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于中等题.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三(上)月考数学试卷(二)(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学大联考高三（上）月考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||x|⩽2}，B ={t|1⩽2t ⩽8(t ∈Z)}，则A ∩B =( )A. [−1,3]B. {0,1}C. [0,2]D. {0,1,2}2.已知复数z 满足|z−i|=1，则|z|的取值范围是( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,2)D. [0,2]3.已知p ：f(x)=ln(21−x +a)(−1<x <1)是奇函数，q ：a =−1，则p 是q 成立的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若锐角α满足sinα−cosα=55，则sin (2α+π2)=( )A. 45B. −35 C. −35或35D. −45或455.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是( )A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且AP =BP ，O 为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC 所成的角的正切值为( )A. 2B. 12C.5D.557.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =kx +12与圆C ：x 2+y 2=1交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最大值为( )A. 1B. 12C.32D.348.设函数f(x)=(x 2+ax +b)lnx ，若f(x)≥0，则a 的最小值为( )A. −2B. −1C. 2D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )A. ²B.C. ，D.2.已知集合( )A. B. C. D.3.若则z的虚部为( )A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则( )A. 5B.C. 6D. 135.在正四棱台中，，且三棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为( )A. 2B. 3C.D.6.若则( )A. B.C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则( )A. 5B.C.D. 68.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线下列选项正确的是( )A. 若B. 若C. 直线l 恒过点D. 若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为10.如图，在菱形ABCD 中，，，将沿直线BD 翻折成不在平面ABCD 内，则A.B. 点 B 到直线PC 的距离为定值C. 当PB 与CD 所成的角为时，二面角的余弦值为D. 当PB 与平面BCD 所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为11.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的日均值单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是( )A. 众数为32B. 第80百分位数是38C. 平均数是40D. 前4天的方差比后4天的方差小12.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )A. 事件A 与事件B 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是对立事件C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。