2020-2021学年黑龙江省龙东南四校高二下期末联考数学(文)试卷

【最新】黑龙江省龙东南四校高二下期末联考数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U ＝R ，{}|1A x x =<，{}|2B x x =≥，则集合( )A ．{}|12x x ≤<B ．{}|12x x <≤C ．{}|1x x ≥D ．{}|2x x ≤ 2．若集合{|21}x A x =>，集合{|lg 0}B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z 满足2(2)1i z -⋅=，则z 的虚部为（ ) （A ）325i （B ）325 （C ）425i （D ）4254．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出 s 的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．75．已知样本：8 6 4 7 11 6 8 9 10 5 则样本的平均值x 和中位数a 的值是（ ）A ．7.3,7.5x a == B ．7.4,7.5x a ==C ．7.3,78x a ==和D ．7.4,78x a ==和6．设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)3πα+的值为（ ） A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24257．如图，下列四个几何题中，它们的三视图（主视图、俯视图、侧视图）有且仅有两个相同，而另一个不同的两个几何体是A ．（1）、（2）B ．（1）、（3）C ．（2）、（3）D ．（1）、（4）8．已知x 、 y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则 z = x + 2y 的最大值为（A ）-2 （B ）-1 （C ）1 （D ）29．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ） ①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥；③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；（A ）②③ （B ）③ （C ）②④ （D ）③④10．函数),2||,0(),sin()(R x x A x f ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为（ ）A ．)48sin(4)(ππ--=x x f B ．)48sin(4)(ππ+-=x x f C ．)48sin(4)(ππ-=x x f D ．)48sin(4)(ππ+=x x f112221cos sin +- （ ）A ．1cos -B ．cos 1C 3D ．1cos 3- 12．周期为4的奇函数()f x 在[0,2]上的解析式为22,01()log 1,12x x f x x x ⎧≤≤=⎨+<≤⎩，则(2014)+(2015)f f =（ )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题13．已知平面向量(2,4)a =，()2,1-=，若()⋅-=，则||c =_______． 14．在等比数列{}n a 中，对于任意*n N ∈都有123n n n a a +=，则126a a a ⋅⋅⋅= ．15．已知0,0x y >>且2x y +=，则22111x y xy++的最小值为______. 16．若函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围为_________.三、解答题 17．（本小题满分12分）已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x x ωωω-=-=)0(>ω，函数3)(+⋅=n m x f ，若函数)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为2π. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）若将函数)(x f 的图象先向左平移4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到函数)(x g 的图象，当]2,6[ππ∈x 时，求函数)(x g 的值域. 18．（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，090=∠ADC ，CD ∥AB ，4=AB ，2==CD AD ，将ADC ∆沿AC 折起，使平面⊥ADC 平面ABC ，得到几何体ABC D -，如图2所示．（1）求证：⊥BC 平面ACD ；（2）求几何体ABC D -的体积．19．某校为了了解A,B 两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们观看的时长（单位：小时）作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（1）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长；（2）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概率．20．（共12分）已知方程x 2+y 2−2mx −4y +5m =0的曲线是圆C（1）求m 的取值范围;（2）当m =−2时,求圆C 截直线l: 2x −y +1=0所得弦长;21．已知函数f (x )=x 2−ax +lnx,a ∈R 。

（1）若函数f (x )在(1,f (1))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数f (x )的单调区间；（3）若x >1时，f (x )>0恒成立，求实数a 的取值范围．22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为{x =−√22t +√2,y =√22t（t 为参数）, 圆C 的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ+π4)+1=r 2(r >0)．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．参考答案1．A【解析】试题分析：由题意，得，则. 考点：集合的运算2．B【解析】试题分析：{}{}0|12|>=>=x x x A x ，{}{}1|0lg |>=>=x x x x B ，由A x ∈不能推出B x ∈，由B x ∈能推出A x ∈，“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，故答案为B. 考点：充分条件、必要条件3．D【解析】 试题分析：由213434(2)1(34)134(34)(34)2525i i z i z z i i i i +-⋅=⇒-=⇒===+--+，所以复数z 的虚部为425，故答案选D . 考点：1.复数的计算；2.复数的定义.4．C【解析】试题分析：第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出选C. 考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5．B【解析】 试题分析：8647116891057.410x +++++++++==，把这10个数按从小到大顺序排列，第5个是7，第6个是8，故中位数是7．5。

考点：平均值与中位数．（样本的数字特征）6．D【分析】 由同角间的三角函数关系求得sin()6πα+，然后由正弦的二倍角公式求值． 【详解】∵α为锐角，4cos()65πα+=，∴(0)62ππα+∈，，∴3sin()65πα+==， 则3424sin(2)2sin()cos()23665525πππααα+=+⋅+=⨯⨯=， 故选：D. 本题考查同角间的三角函数关系，考查二倍角公式，应用平方关系求函数值需要确定角的范围后再求值．7．C【解析】试题分析：依题可知（1）中三视图均是边长为2的正方形；（2）主视图与侧视图均是边长为2的正方形，俯视图是直径为2的圆；（3）主视图与侧视图均是底边长和高为2的等腰三角形，俯视图是直径为2的圆；（4）主侧视图均是矩形，俯视图是菱形；故选C . 考点：三视图.8．D【解析】试题分析：画出可行域如图所示，由图可知当目标函数 2z x y =+过点() A 0,1时取得最大值maxz 0122=⨯+=考点：简单的线性规划9．B【解析】试题分析：如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AD B C ,AD ⊂平面ABCD ,11B C ⊂平面11BB C C ,但平面ABCD 与平面11BB C C 相交于BC ，故选项①错误；平面//ABCD 平面1111A B C D ，AD ⊂平面ABCD ,11D C ⊂平面11BB C C ，CD AD ⊥,但CD 与11D C 不垂直，，故选项②错误；选项③是线面垂直的一个性质定理，故选项③是正确的；平面ABCD ⊥平面11BB C C ，11//B C 平面ABCD ，//AD 平面11BB C C ，但11//B C AD ，故选项④错误.故答案选B考点：点、线、面的位置关系10．B【解析】试题分析：由图可知()4,6282T A ==--=,216,8T ππωω∴==∴=.()4sin 8f x x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 由图可知()6,0是五点作图的第一个点,所以608πϕ⨯+=,解得34πϕ=-. 所以()34sin 4sin 4sin 4sin 84848484f x x x x x ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=--=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故B 正确. 考点：()ϕω+=x A y sin 的图像和求解析式11．C【解析】= 考点：1.二倍角公式；2.同角间三角公式12．B【解析】试题分析：因为函数()f x 是周期为4的奇函数，所以2(2014)(50342)(2)log 212f f f =⨯+==+=，2(2015)(50441)(1)(1)11f f f f =⨯-=-=-=-=-，(2014)+(2015)1f f =， 故答案选B .考点：1.函数求值；2.函数的周期性和奇偶性.13．28【解析】 试题分析：682-=-=⋅b a ，()()12,6-=⋅⋅∴b b a ，()()8,812,6-=--=∴a c ，()288822=-+= 考点：向量的模14．63【解析】试题分析：令2=n ，得2433=⋅a a ；由等比数列的性质，得()63436213==⋅⋅⋅a a a a a .考点：1.赋值法；2.等比数列的性质. 15．3 【解析】试题分析：2222222221111111()()[4()3()]24x y y x y xx y xy x y xy x y x y+++=++=++++11[423(426)344y x x y ≥+⋅⋅+⋅=++=，当且仅当""x y =时，等号成立. 考点：基本不等式求最值 16．[)1,2- 【解析】试题分析：()()()2'111f x x x x =-=+-,令()'0f x >得1x <-或1x >,令()'0f x <得11x -<<,所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞,减区间为()1,1-.所以要使函数x x x f -=331)(在()210,a a -上有最小值,只需()()21101a a f a f ⎧<<-⎪⎨≥⎪⎩,即23110312112233a a a a a a a ⎧<<--<<⎧⎪⇒⇒-≤<⎨⎨≥--≥-⎩⎪⎩. 考点：用导数研究函数的简单性质. 17．（Ⅰ）Z k k k ∈+-],83,8[ππππ；（Ⅱ）[. 【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步，先进行向量数量积的坐标表示，求()x f ，第二步，因为是二次关系，所以根据二倍角公式降幂化简函数，然后再进行化一为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 2πωx y ；并且求ω，最后求函数的单调递增区间；（Ⅱ）根据函数的图像变换，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=44sin 2πx x g ，然后根据]2,6[ππ∈x ，求44π+x 的范围，最后求函数的值域. 试题解析：（Ⅰ）32)cos (sin cos 23)(+--=+⋅=x x x x f ωωω2sin 22cos 1sin 2cos 2)4x x x x x ωωωωπω=-+=-=-， 4由题意知，πωπ==22T ，1=∴ω， )42sin(2)(π-=∴x x f . 5由Z k k x k ∈+≤-≤-,224222πππππ，解得：Z k k x k ∈+≤≤-,838ππππ, ∴)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],83,8[ππππ. 6（Ⅱ）由题意，若)(x f 的图像向左平移4π个单位，得到)4y x π=+，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21倍，得到)44sin(2)(π+=x x g ，]2,6[ππ∈x ，]49,1211[44πππ∈+∴x ， 8∴22)44sin(1≤+≤-πx ， 10 ∴函数()g x的值域为[. 12考点：1.三角函数的化简；2.三角函数的性质；3.三角函数的图像变换. 18．（1）详见解析；（2）几何体ABC D -的体积为324． 【解析】试题分析：对于翻折问题，主要翻折前后的变与不变的量，（1）根据边的数据，能证明BC AC ⊥，根据面面垂直的性质定理，两平面垂直，平面内的线垂直于交线，则垂直于平面，可证明；（2）根据上一问，所证明，底面是直角三角形，等腰直角三角形的高就是点到面的距离，所以利用体积公式h S V ⨯⨯=31. 试题解析：（1）证明：在图1中，可得22==BC AC ，从而222AB BC AC =+，故BC AC ⊥，方法一：取AC 的中点O ，连接DO ，则AC DO ⊥，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面 ADC 平面AC ABC =，⊂DO 平面ADC ， 从而⊥DO 平面ABC∴BC DO ⊥，又BC AC ⊥，O DO AC = ，∴BC ⊥平面ACD 6分 （方法二：因为平面ADC ⊥平面ABC 平面ADC 平面ABC AC =又因为,AC BC BC ⊥⊂平面ABCBC ∴⊥平面ADC 6分）（2）解 由（Ⅰ）知BC 为三棱锥ACD B -的高，22=BC ，2=∆ACD S ∴3242223131=⨯⨯=⋅=∆-BC S V ACD ACD B 由等体积性可知，几何体ABC D -的体积为324． 12分 考点：1、空间线面的垂直关系；2、几何体的体积． 19．（1）B 班学生平均观看时间较长；（2）29.【解析】试题分析: （1）先根据平均数等于总数除以样本个数，计算两班平均值，再比较大小即可，（2）利用枚举法计算样本总数为9种，再从中计算满足a >b 的样本数，最后根据古典概型概率公式求概率.试题解析:（1）A 班样本数据的平均值为15(9+11+14+20+31)=17 由此估计A 班学生平均观看时间大约为17小时，B 班样本数据的平均值为15(11+12+21+25+26)=19，由此估计B 班学生平均观看时间较长.（2）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9,11,14，B 班的样本数据中不超过21的数据b 有3个，分别为：11,12,21，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为：(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,12),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21)其中a >b 的情况有(14,11),(14,12)两种，故a >b 的概率为p =29.20．（1）m <1或m >4；（2）2√13； 【解析】试题分析：(1)圆的一般方程的条件是,或者是配方，看配方后的计算取值范围;(2)根据弦长公式计算，，所以需要计算点到直线的距离.试题解析：（1）(x −m)2+(y −2)2=m 2−5m +44 m 2−5m +4>0m <1或m >4-6（2）设m =-2时，圆心C(-2，2)，半径R=3√2-8圆心到直线的距离为d =√5=√510圆C 截直线l: 2x −y +1=0所得弦长为2√R 2−d 2=2√18−5=2√13-12 考点：1.圆的一般方程；2.圆的弦长公式.21．（Ⅰ）a =3；（Ⅱ）f(x)的单调递增区间为(0,12),(1,+∞)，单调递减区间为(12,1)；（Ⅲ）实数a 的取值范围为(−∞,1]． 【解析】试题分析：此题考查导数求解的综合问题（Ⅰ）应用导数的几何意义，首先求函数的导数，以及在切点处的导数，然后根据，求解参数；（Ⅱ）利用导数求函数的单调性的方法，第一步，根据上一问得到函数的导数，将导数化简，第二步，求解，和的不等式，就是对应函数的单调区间，注意函数的定义域；（Ⅲ）处理此类不等式恒成立的问题，有两种方程，第一种，反解参数a <lnx+x 2x，转化为求函数的最小值，同样是求函数的导数，求函数的单调区间，确定最小值；第二种，转化为求，所以方法就是求函数的导数，讨论函数的极值点的存在问题，确定单调性，求函数的最小值大于0.试题解析：（Ⅰ）f ′(x)=2x −a +1x ． 由题意得，f ′(1)=2−a +11=0即a =34分（Ⅱ）a =3时，f(x)=lnx +x 2−3x ，定义域为(0,+∞)，f ′(x)=1x +2x −3=1+2x 2−3xx当0<x <12或x >1时，f ′(x)>0，当12<x <1时，f ′(x)<0，故f(x)的单调递增区间为(0,12),(1,+∞)，单调递减区间为(12,1)． 8分 （Ⅲ）解法一：由f(x)>0，得a <lnx+x 2x在x >1时恒成立，令g(x)=lnx+x 2x，则g ′(x)=1+x 2−lnxx 2-10令ℎ(x)=1+x 2−lnx ，则ℎ′(x)=2x −1x =2x 2−1x>0所以ℎ(x)在(1,+∞)为增函数，ℎ(x)>ℎ(1)=2>0． 故g ′(x)>0，故g(x)在(1,+∞)为增函数．g(x)>g(1)=1， 所以a ≤1，即实数的取值范围为(−∞,1]． 12分 解法二：f ′(x)=1x+2x −a =1+2x 2−axx令g(x)=2x 2−ax +1，则Δ=a 2−8，（Ⅰ）当Δ<0，即−2√2<a <2√2时，f ′(x)>0恒成立， 因为x >1，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)>f(1)=1−a ≥0，即a ≤1，所以a ∈(−2√2,1]； （Ⅱ）当Δ=0，即a =±2√2时，f ′(x)≥0恒成立， 因为x >1，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增， f(x)>f(1)=1−a ≥0，即a ≤1，所以a =−2√2； （Ⅲ）当Δ>0，即a <−2√2或a >2√2时， 方程g(x)=0有两个实数根x 1=a−√a 2−84,x 2=a+√a 2−84若a <−2√2，两个根x 1<x 2<0，当x >1时，f ′(x)>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增， 则f(x)>f(1)=1−a ≥0，即a ≤1，所以a <−2√2； 若a >2√2，g(x)=0的两个根0<x 1<x 2，因为f(x)=1−a <0，且f(x)在(1,+∞)是连续不断的函数 所以总存在x 0>1，使得f(x 0)<0，不满足题意． 综上，实数的取值范围为(−∞,1]．考点：1.利用导数求函数的单调性；2.导数的综合应用；3.导数的几何意义.22．（1）(x +√22)2+(y +√22)2=r 2(r >0)；（2）1.【解析】试题分析：（1）将参数方程转化为直角坐标系下的普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取恰当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法；（2）将参数方程转化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若有范围限制，要标出的取值范围；（3）直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式及直接代入并化简即可；而极坐标方程化为极坐标方程要通过变形，构造形如，，的形式，进行整体代换，其中方程的两边同乘以（或同除以）及方程的两边平方是常用的变形方法.试题解析：（1）直线l 的直角坐标方程为x +y =√2， 2分 圆C 的直角坐标方程为(x +√22)2+(y +√22)2=r 2(r >0)． 5分（2）∵圆心C(−√22,−√22)，半径为r ， 5分圆心C 到直线x +y =√2的距离为d =|−√22−√22−√2|√2=2， 8分又∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即d +r =3， ∴r =3−2=1． 10分考点：1、极坐标方程与普通方程的互化；2、点到直线的距离.。