斜抛运动疑难分析
动力学斜抛运动的解析
动力学斜抛运动的解析动力学斜抛运动是物理学中的一个经典问题，主要研究斜抛物体在重力作用下的运动规律。
通过解析这一运动过程，我们可以更好地理解物体在空中的轨迹和速度变化，为相关领域的研究提供基础。
一、问题描述考虑一个质点从斜面A以一定初速度进行斜抛运动，以重力加速度g为10 m/s^2来描述。
斜面A与水平面之间的夹角为θ，初速度的方向与斜面A的法线方向夹角为α。
我们需要分析质点在斜抛过程中的运动轨迹及速度变化情况。
二、解析运动轨迹假设斜面A的高度为h，质点的水平位移为x，垂直位移为y。
根据运动学和几何关系可以得到以下结论：1. 水平位移x：质点的水平速度为v0*cosα，运动时间为t，则水平位移x =v0*cosα*t。
2. 垂直位移y：质点的垂直速度为v0*sinα，运动时间为t，则垂直位移y =v0*sinα*t - 1/2*g*t^2。
3. 两个方程联立求解：由于斜抛运动是由水平运动和垂直运动组成，我们可以将x和y坐标分离，并联立求解两个方程，解得t和x的关系。
4. 运动轨迹：将t和x的关系代入y的表达式中，可以得到质点的运动轨迹方程。
该方程为一个抛物线，其形状和大小取决于初始速度、斜面角度和高度差。
三、速度变化情况在动力学斜抛运动过程中，质点的速度不断变化。
我们可以分别对水平速度和垂直速度进行分析：1. 水平速度vx：由于质点在水平方向没有受到加速度的作用，水平速度vx保持恒定不变，即vx = v0*cosα。
2. 垂直速度vy：在垂直方向上，质点受到重力加速度的作用。
根据物理学的知识，我们知道垂直速度vy = v0*sinα - g*t。
这意味着vy会随时间的流逝而发生变化，初始速度的正负决定了运动方向。
3. 合速度v：合速度v是vx和vy的矢量和，可以根据勾股定理计算得到合速度的大小。
合速度的方向则取决于vx和vy的方向。
四、实例分析假设斜面A的高度为10米，斜面角度为30度，初始速度v0为20米/秒。
高中物理教学论文：斜抛运动的极值问题例析
斜抛运动的极值问题例析斜抛运动由于其速度的不确定性，使其在运动过程中派生出许多的极值问题，比如射程和运动的对称性是斜抛运动常见的问题。
而物体在不同平面的斜抛其特点不同，对应的极值也各不同，现就物体在几种平面上斜抛运动时的极值问题进行分类说明。
（一）在水平面上的斜抛运动的极值问题例题1：在水平地面上以速度v 抛出一小球，v 的方向与水平面的夹角为θ，试确定θ为多大时，小球的射程最远？解：建立如图一所示的坐标系，把小球的运动看作是竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的匀速直线运动的合运动。
则两速度的分量为：v x ＝v sin θ v y ＝v cos θ 小球在空中运动的时间为：t ＝2v y /g ＝2v cos θ/g则小球的射程X ＝v x t ＝v sin θ·2v cos θ/g ＝v 2sin 2θ/g由上式可知：当θ＝45o 时，射程具有最大值。
最大射程为：X ＝v 2/g即要使物体以一定的速度在平面上有最大的射程的条件是：物体的抛射角为45o 。
（二）斜抛到上斜面的斜抛运动的极值问题例题2：如图二所示，倾角为θ的斜面光滑，自斜面上某处以速度v 沿与斜面夹角为Ф的方向向斜面上抛出一质点，设质点与斜面间的碰撞没有动能损失，斜面有足够长，要求质点最后仍能回到原出发点，Ф应满足什么条件？解析：整个运动过程中，质点的机械能守恒，显然，若质点能回到原出发点，则它沿斜面向上的运动和向下的运动应该是互相对称的，亦即质点沿斜面方向运动到其能达到的最高点后，它应沿“原路”返回。
这样，有两种情况都能满足这一要求。
一是质点最后一次与斜面相碰时，其速度方向刚好与斜面垂直，则其反弹起来的速度必与其碰前的速度大小相等而方向相反，这样，质点此后的运动将把其上升过程的运动“反演”一次，可回到原出发点。
二是质点最后一次与斜面相碰后，其反弹起来的速度恰沿竖直向上的方向，则质点弹起后作竖直上抛运动，当质点达到竖直上抛的顶点后，接着便会将此前的运动“反演”，也会回到原出发点。
斜抛运动的轨迹与速度的分析与解题
斜抛运动的轨迹与速度的分析与解题斜抛运动是物理学中的重要概念，通过对物体抛出的角度、初速度以及重力等因素的分析，可以推导出物体在空中运动的轨迹和速度。
本文将分析斜抛运动的基本原理，并结合实际情况进行解题。
一、斜抛运动的基本原理斜抛运动是指物体在受到水平初速度和竖直初速度的作用下，在重力的影响下进行运动。
在斜抛运动中，水平方向和竖直方向的运动是相互独立的，即水平方向上的速度不会影响竖直方向上的速度，而竖直方向上的重力只会影响物体在竖直方向上的运动。
二、斜抛运动的轨迹分析1. 斜抛运动的轨迹一般为抛物线形状。
当物体的初速度分解为水平方向和竖直方向的分速度后，物体在水平方向保持匀速直线运动，而在竖直方向上受到重力的作用而产生自由落体运动，因此物体的轨迹为抛物线。
2. 轨迹的形状受抛出角度的影响。
当抛出角度为45°时，水平和竖直方向的初速度相等，物体的运动轨迹呈现最大的水平距离。
当抛出角度小于45°时，物体的运动轨迹更接近水平方向；相反，当抛出角度大于45°时，物体的运动轨迹更接近竖直方向。
三、斜抛运动速度的分析1. 水平速度：斜抛运动中，物体在竖直方向上受到重力的作用，不会改变物体的水平速度，因此水平速度保持恒定。
2. 竖直速度：物体在竖直方向上受到重力的影响而逐渐增加，纵向速度越来越大。
当物体达到最高点时，竖直速度减小至零，然后物体开始下降，竖直速度逐渐增大。
3. 速度的合成：斜抛运动中，水平速度和竖直速度可以合成为物体的合速度。
合速度的大小等于两个分速度的矢量和。
根据三角函数的性质，合速度的大小可以通过初速度和抛出角度来计算。
四、斜抛运动的解题示例假设一个物体以30°的角度沿水平方向抛出，初速度为20 m/s，求解物体的运动轨迹和速度。
根据已知条件，将初速度分解为水平方向和竖直方向的分速度：水平分速度Vx = 20 m/s * cos 30° = 17.32 m/s竖直分速度Vy = 20 m/s * sin 30° = 10 m/s物体的水平速度保持不变，为17.32 m/s。
斜抛运动与斜抛体分析
斜抛运动与斜抛体分析斜抛运动是物体在竖直方向上受重力作用，水平方向上受外力作用的运动。
斜抛运动的基本特点是物体在竖直方向上受到一个恒定的加速度，称为重力加速度，而在水平方向上受到一个恒定的速度。
斜抛运动的物体称为斜抛体。
斜抛运动的分析可以通过一系列的物理公式和运动规律来进行。
首先，我们从斜抛运动的初速度、角度、时间等方面进行考虑，进行详细的分析。
1. 初速度分析斜抛运动的初速度可以分解为水平方向和竖直方向的分量。
水平方向的分速度始终保持恒定，不受其他力的影响，因此可以用来计算物体在水平方向上的位移。
竖直方向的初速度决定了物体在竖直方向上的运动特点。
2. 角度分析斜抛运动的角度是指初速度的方向与水平方向之间的夹角。
不同的角度会造成物体在飞行过程中的不同轨迹。
例如，当斜抛运动的角度为45度时，物体将会达到最大的水平位移；而当角度小于45度时，物体的水平位移将会减小，而竖直方向的位移将增加。
当角度大于45度时，物体的水平位移将减小，而竖直方向的位移也将减小。
3. 时间分析斜抛运动的时间是指物体飞行的总时间。
可以通过物理公式计算出物体在斜抛运动过程中的任意时刻的位置和速度。
通过时间的分析，我们可以了解物体的运动特点，例如，物体的最大高度、最大水平位移等。
综上所述，斜抛运动与斜抛体的分析是通过对初速度、角度和时间等因素的考虑和计算来实现的。
通过分析这些因素，我们可以了解物体在斜抛运动过程中的各种运动特点。
斜抛运动是物理学中的一个重要概念，在实际应用中有很大的价值。
通过对斜抛运动的研究和分析，我们可以更好地理解和应用物理学的知识。
斜抛运动实验总结
斜抛运动实验总结引言斜抛运动是物理学中的一个重要概念，指的是一个物体在一个斜面上加速度为零的条件下，以一定的初速度和发射角度进行运动。
斜抛运动实验主要通过实验验证斜抛运动的规律以及计算相关的物理量，如初速度、发射角度、最大高度和飞行时间等。
本文旨在总结斜抛运动实验的过程、结果和结论，并分析实验中遇到的问题以及可能的改进方法。
实验步骤1.实验器材准备：包括一个斜面，一只球和一个计时器。
2.设置斜面：调整斜面的角度以使其倾斜度适合实验进行。
3.发射球：用一定的初速度和发射角度将球从斜面上发射出去。
4.记录数据：用计时器记录球的飞行时间。
5.重复实验：根据需要，多次重复实验以得到更可靠的数据。
6.分析数据：根据实验数据计算出相关的物理量，如初速度、发射角度以及最大高度和飞行时间等。
实验结果与分析通过多次重复实验，我们得到了一系列的数据，用于分析斜抛运动的规律。
实验数据我们设置了不同的发射角度和初速度，记录了球的飞行时间，部分数据如下：发射角度(°) 初速度(m/s) 飞行时间(s)30 5 1.545 10 2.160 15 2.7数据处理根据实验数据，我们可以计算出相关的物理量。
初速度和发射角度的关系根据斜抛运动的理论，可以通过以下公式计算出初速度和发射角度之间的关系：v₀ = v0 * cosθ其中，v₀为初速度，v为发射速度，θ为发射角度。
通过实验数据计算，我们可以得到初速度和发射角度的关系如下：发射角度(°) 初速度(m/s)30 4.3345 7.0760 12.99最大高度和飞行时间的关系根据斜抛运动的理论，可以通过以下公式计算出最大高度和飞行时间之间的关系：t = 2 * (v₀ * sinθ) / gh = (v₀ * sinθ)² / (2 * g)其中，t为飞行时间，h为最大高度，v₀为初速度，θ为发射角度，g为重力加速度。
通过实验数据计算，我们可以得到最大高度和飞行时间的关系如下：发射角度(°) 飞行时间(s) 最大高度(m)30 1.5 0.4545 2.1 1.0560 2.7 1.62总结与改进通过斜抛运动实验，我们验证了斜抛运动的规律，并计算了相关的物理量。
高中物理斜抛运动问题解题步骤详解
高中物理斜抛运动问题解题步骤详解高中物理中，斜抛运动是一个重要的概念，也是考试中常见的题型。
本文将详细介绍解决斜抛运动问题的步骤，并通过具体题目举例，说明每个步骤的考点和解题技巧。
一、问题分析解决斜抛运动问题的第一步是仔细阅读题目，分析问题。
通常，题目会给出抛体的初速度、发射角度、抛体的质量、抛体所在的位置等信息。
我们需要确定所求的量，例如抛体的飞行时间、水平位移、最大高度等。
例如，假设题目给出一个斜抛运动的问题：一个质量为0.5kg的小球以20m/s 的速度与水平面成30°的角度抛出，求小球的飞行时间和水平位移。
二、坐标系的选择解决斜抛运动问题的第二步是选择合适的坐标系。
通常，我们可以选择水平方向为x轴，竖直方向为y轴。
这样，斜抛运动的速度可以分解为水平方向和竖直方向的速度分量。
例如，对于上述题目，我们可以选择一个以抛出点为原点的坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。
三、速度分解解决斜抛运动问题的第三步是将速度分解为水平方向和竖直方向的分量。
根据初速度和抛体的发射角度，可以得到水平方向和竖直方向的速度分量。
例如，对于上述题目，小球的初速度为20m/s，发射角度为30°。
根据三角函数的关系，可以得到小球在水平方向的速度分量为20m/s * cos30°，竖直方向的速度分量为20m/s * sin30°。
四、运动方程的应用解决斜抛运动问题的第四步是应用运动方程，求解所求的量。
根据题目所给的信息和已知的速度分量，可以利用运动方程求解所求的量。
例如，对于上述题目，我们可以利用竖直方向的运动方程求解小球的飞行时间。
在竖直方向上，小球的初速度为20m/s * sin30°，竖直方向的加速度为重力加速度9.8m/s^2，竖直方向的位移为0。
根据运动方程y = v0y * t + 0.5 * a * t^2，可以得到小球的飞行时间。
五、解题技巧和注意事项解决斜抛运动问题时，需要注意以下几点：1. 注意角度的单位：通常情况下，角度的单位为度。
斜抛运动(解析版)--2024高考物理疑难题
2024高考物理疑难题分析与针对性训练斜抛运动高考原题1(2024年高考湖北卷第15题)如图，三块厚度相同、质量相等的木板A、B、C(上表面均粗糙)并排静止在光滑水平面上，尺寸不计的智能机器人静止于A木板左端。
已知三块木板质量均为2.0kg，A木板长度为，机器人质量为6.0kg，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力。
(1)机器人从A木板左端走到A木板右端时，求A、B木板间的水平距离。
(2)机器人走到A木板右端相对木板静止后，以做功最少的方式从A木板右端跳到B木板左端，求起跳过程机器人做的功，及跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值。
(3)若机器人以做功最少的方式跳到B木板左端后立刻与B木板相对静止，随即相对B木板连续不停地3次等间距跳到B木板右端，此时B木板恰好追上A木板。
求该时刻A、C两木板间距与B木板长度的关系。
思路分析(1)利用人船模型得出机器人从A木板左端走到A木板右端时，A、B木板间的水平距离。
(2)根据题述情景，利用动量守恒定律和斜抛运动规律、功能关系列方程得出起跳过程机器人做的功表达式，利用数学知识得出跳离瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值、以及做功最小值。
(3)利用动量守恒定律及其相关知识列方程得出刻A、C两木板间距与B木板长度的关系，【名师解析】(1)机器人从A木板左端走到A木板右端，设A左移x，根据人船模型，可得M(L-x1)=mx解得x1=1.5m(2)机器人走到A木板右端相对木板静止后，木板速度为零。
设机器人相对于地面起跳速度大小为v1，与水平方向夹角为θ，从A木板右端跳到B木板左端的时间为t，人从A木板右端起跳，做斜抛运动，在水平方向v cosθ·t=x在竖直方向v sinθ=g·t/2联立解得：v2=gx2sinθcosθ=152sinθcosθ机器人跳离木板A的过程中，系统水平方向动量守恒。
对机器人和组成的系统，取向右为正方向，由动量守恒定律，Mv cosθ-mv A=0,解得v A=3v cosθ起跳过程中机器人做功W=12Mv2+12mv A2联立解得W=3cos2θ+12sinθcosθ×45J=4cos2θ+sin2θ2sinθcosθ×45J=12tanθ+2tanθ×45J当12tanθ=2tanθ即tanθ=2时，机器人做功W取最小值，最小值W=90J(3)由tanθ=2可得v cosθ=152m/sMv cosθ-mv A=0,解得v A=3152m/s分析可知A木板以该速度向左匀速运动，机器人跳离A木板到与B木板相对静止的过程中，机器人与BC木板组成的系统在水平方向动量守恒，得Mv cosθ=(M+2m)v共解得v共=31510m/s由v cosθ·t=x解得t=15 5s该过程A木板向左运动的距离为x A=v A t=3152×155m=4.5m机器人相对B木板连续不停地3次等间距跳到B木板右端，整个过程中机器人和B木板组成的系统水平方向动量守恒。
斜抛运动问题多解分析
斜抛运动问题多解分析甘肃甘南藏族自治州合作第二中学（747000）王燕［摘要］斜抛运动问题是运动学中的典型问题，对初学者而言，这类问题不容易处理。
文章结合一道典型例题分析探讨几种不同的解答方法。
［关键词］斜抛运动；多解；合成与分解［中图分类号］G 633.7［文献标识码］A［文章编号］1674-6058（2021）14-0055-02斜抛运动是日常生活中比较常见的实际问题，高考中也时常出现，分析解答这类题有一定的难度，解答方法也比较多，能有效考查学生的综合能力。
下面结合一道例题的分析解答，介绍这类题的多种解法。
［例题］如图1，滑雪运动员从初始滑道（光滑）上下降45m 后起跳，起跳角度与水平面夹角为30°，且起跳不损失动能。
降落滑道可看作一个倾斜角为30°的斜面，求运动员在空中飞行的时间，以及落地后速度与斜面的夹角。
（重力加速度取10m/s 2）思维导引：本题是斜面下滑运动与斜抛运动的结合，亦是“直线运动”与“曲线运动”的有机结合。
难点是斜抛运动与斜面相遇，学生难以对物体的运动情况做出正确判断。
具体解答时，可从运动的合成与分解、斜抛运动轨迹方程、斜抛运动射程方程、运动矢量图等不同角度做出复杂或简捷的几类不同解法［1］。
思路点拨：对这道题，我们可以求出滑雪运动员的起跳初速度v 0，由机械能守恒知识可求出v 0=2gh =2×10×45=30()m/s ，进而求解其他问题。
解法1.运动的合成与分解思路点拨：水平面上的斜抛运动是比较熟悉的情境，而此题是斜面上的斜抛运动，如何将陌生的情境转化为熟悉的情境，是解答本题的关键。
解析：学生习惯了沿水平和竖直方向建立坐标系，如果按照这种思维定式进行下去，需要分解的物理量较多，这样一来问题就变得复杂了，如何合理建立坐标系呢？如图2，可以尝试以降落滑道为x 轴，以垂直于降落滑道为y 轴，对其进行简要分析可知x 和y 轴方向上的初速度为：v x =v 0cos(θ+α)=12vv y =v 0sin (θ+α)=v 思路点拨：这和我们熟悉的水平面上的斜抛运动，又有点区别，区别在哪里呢？原来重力产生的加速度竖直向下，会使物体在x 和y轴方向上的运动分别为匀加速直线运动和匀减速直线运动，因此需要对加速度沿坐标轴方向进行分解。
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斜抛运动疑难分析
河北省鸡泽县第一中学057350吴社英
1. 运动的分解
如果物体抛出时的速度v 不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方的（这种情况常称为斜抛），它的受力情况与平抛完全相同，即在水平方向仍不受力，加速度仍是零，在竖直方向仍只受重力，加速度仍为g 。
但是，斜抛运动沿水平方向和竖直方向的初速度与平抛不同，分别是v x ＝v cos θ和v y ＝v sin θ。
因此，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ的匀速直线运动和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动。
2. 物体的位置随时间变化的规律
如图，物体以初速度v 斜向上抛出，我们以物体离开手的位
置为坐标原点，以水平抛出的方向为x 轴的正方向，竖直向下的
方向为y 轴的正方向，建立坐标系，并从这一瞬间开始计时。
物体在水平方向不受任何外力的作用，所以物体在水平方向
做匀速直线运动，速度v x ＝v cos θ，则物体位置的横坐标随时间变
化的规律为 x ＝v x t ＝vt cos θ；
物体在竖直方向只受重力作用，由牛顿第二定律可知，物体
的加速度a ＝g ，方向竖直向下。
注意，与平抛运动不同的是，小球在竖直方向的初速度并不为零，而是等于v y ＝v sin θ，由匀变速直线运动规律可得小球位置的纵坐标随时间变化的
关系为 y ＝v y t －12 at 2＝vt sin θ－12
gt 2。
3. 运动轨迹
从以上两式中消去t ，可得
y ＝－22)
cos 2(x v g θ＋tan θ·x 。
根据数学知识我们知道，函数方程y ＝－ax 2＋bx ＋c 代表一条开口向下的抛物线。
因此，斜抛物体的运动轨迹为抛物线。
我们可作以下讨论：
⑴ 数学知识告诉我们，对y ＝－ax 2＋bx ＋c ，当x ＝a
b 2时，y 有最大值y m ＝a b 42＋
c 。
所以，对上述斜抛运动轨迹方程，当
x ＝g v v g θθθ2sin )cos 2(2tan 22
=⋅ 时，y 有最大值 y m ＝g v v g θθθ222
2sin )cos 2(4tan =⋅。
对于炮弹的运动而言，此即弹道曲线最高点的位置坐标，也常称作射高。
⑵ 设斜抛运动轨迹方程中的y ＝0，则有
v y
x 1=0， x 2＝g
v g v θθθ2sin 2cos sin 422=， 式中x 2的物理意义是斜上抛运动的水平射程（如炮弹发射后在同一水平面上的弹着点与发射位置的距离）。
由此式可以知道，要增大射程，一是要增大发射速度，二是适当调节抛射方向，由水平射程表达式可知，在v 一定时，当θ＝45°（θ常称作投射角）时，水平射
程有最大值 x m ＝g
v 2
2。
除了上面的研究方案外，我们还可以发现，炮弹的运动轨迹对经过最高点的竖直线是左右对称的。
这启发我们：是不是可以将斜抛运动转化为平抛运动来分析处理呢？有兴趣的同学不妨一试。
请思考：运动员在投掷铅球、标枪时，应把投射角控制在什么角度为好？运动员的身高对他的投掷成绩有没有影响？
你能进一步推导出这种斜抛运动的轨迹方程吗？请试一试！
4. 受空气阻力时的运动轨迹
我们在讨论抛体运动的位置、轨迹以及速度等问题时，都没有考虑空气阻力的影响，即讨论的是理想抛体运动。
实际上，物体在空气中运动会受到阻力，且阻力与物体运动速度的大小有密切关系：物体的速度低于200m/s 时，可认为阻力与物体速度大小的平方成正比；速度达到400～600m/s 时，空气阻力和速度大小的三次方成正比；在速度很大的情况下，阻力与速度大小的高次方成正比。
由于空气阻力的影响，物体以较大的速度斜向上抛出后，其运动轨迹会形成不均等的弧形，升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。
斜向射出的炮弹的射程和射高都没有按抛体计
算得到的值那么大，当然路线也不再是抛物线，而是所谓“弹道曲线”。
理论计算表明，以610m/s 速
度射出的炮弹，在不计空气阻力的空间其最大射程可达38km ，炮弹将在空中划出一条高9.5km 的巨大
弧线，而实际炮弹在空气中只能飞行4km 左右，其
射程缩短10倍之多，如图所示（虚线为不计空气阻力的理想运动轨迹，实线为同样初速的实际运动轨迹）。
由于环绕地球的大气层由里向外是逐渐变稀薄的，远程大炮的发射角一般在50°～70°范围内变化。
这是因为如此发射的炮弹，可达到离地40～50km 的高度。
在这个高度上，空气十分稀薄，阻力很小，炮弹在大气圈中飞越130～160km 的距离。
如果炮弹仍以45°倾角发射飞行轨迹全在较稠密的大气中，阻力很大，就只能达到约10km 的射程了。
5. 速度随时间变化的规律
我们已经知道，斜抛运动可以看成是水平方向速度为v cos θ和竖直方向初速度为v sin θ的竖直上抛运动或竖直下抛运动的合运动，以斜上抛运动为例，从抛出开始计时，经过时间t 后，物体水平方向的速度 v xt ＝v cos θ， 竖直方向的速度 v yt ＝v sin θ－gt 。
根据运动的合成规律可知物体在这个时刻的速度（即合速度）大小 v ＝22222)sin (cos gt v v v v yt xt -+=+θθ，
速度的方向可用图中的θ表示，
4km 9.5km 38km
tan θ＝θ
θcos sin v gt v v v xt yt
-=。
例、观察节日焰火，经常可以看到五彩缤纷的焰火呈球形。
一般说来，焰火升空后突然爆炸成许许多多小块（看作发光质点），各发光质点抛出速度v 0大小相等，方向不同，所以各质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运动，有的做平抛运动，有的做斜抛运动，这些发光质点怎么会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）呢？请说明理由。
提示 用抛体运动的知识，求出任一发光质点经过一段时间后的位置坐标间的关系。
解析 设某一发光质点的抛出速度为v 0，与水平方向夹角为θ，将v 0沿水平方向（x 轴）和竖直方向（y 轴，向上为正方向）正交分解。
由抛体运动的研究可知质点的位置坐标为
x ＝v 0 cos θ ·t ， y ＝v 0 sin θ ·t －12
gt 2。
联立以上两式，消去θ即得
x 2＋(y ＋12
gt 2)2＝ (v 0t )2， 这是一个以C （0，－12 gt 2）为圆心、以v 0t 为半径的圆的方程式。
可见，只要初速度v 0相同，无论初速度方向怎样，各发光质点均落在一个圆上（在空间形成一个球面，其球心在不断下降，“礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。
点悟 本题也可用运动合成和分解的知识解释如下：礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度v 0大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（这里忽略空气阻力，如果受到空气阻力或风的影响，那么，“礼花”就不会形成球面形状了）。
很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。