2014年自主招生数学模拟试题(北约联盟)
2014自主招生部分题目收集与比较
第一部分：北约联盟第2题：10个人分成3组（3、3、4），共有____种分法。
A.1070 B.2014 C.2100 D.4200.解：43106222100C C A =（种）。
（这里有平均分组问题）。
在今年寒假讲义ppt 第十三讲337页重点讲了排列组合中的“平均分组”问题：2006全国2卷12题：5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有：（A ）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种解：分两种情况：2、2、1；3、1、1。
2231335352332222150C C C C A A A A +=第5题： ,x y 均为负实数，且1x y +=-，那么1xy xy+有_______。
A. 最大值174 B 最小值174 C 最小值174- D 最大值174- 解：设,,1a x b y a b =-=-∴+=，14ab ≤211117,()224ab xy ab xy ab≥+=-+≥ 或直接取12x y ==-，得1174xy xy +=，又13,.44x y =-=-，得31626517163484+=>，故选A2014寒假讲义第十讲 ppt 第257页：2013年暑假讲义ppt 第259页：第7题. 证明：0tan3是无理数证明：反证法：假设0tan3Q ∈，因为0,,tan 61x yx y Q Q xy+∈=∈- 所以0000tan6,tan12,tan 24,tan30,Q Q Q Q ∈∈∈∈矛盾。
例：（2009年北京大学）是否存在实数x 使得tan 3x +与cot 3x +为有理数解：假设存在实数0x 使得0tan 3x +与0cot 3x +为有理数，由0tan 3x +为有理数，可知存在既约分数qp ，使得0tan 3q x p +=由0cot 3x +为有理数，可知存在既约分数nm，使得0cot 3n x m+=削去得(3)q p -(3)1n m-=，即3()2pn mq qn mp +=+所以3()pn mq +是有理数，则20pn mq qn mp +=+=解得222q p =，从而q 必为偶数，可设2q k =，于是222p k =即p 为偶数，这与q p为既约分数矛盾，所以假设不能成立，讲完这个例题后，还进行了变式训练：证明2是无理数，特别强调有理数的四则运算仍是有理数，任何一个有理数都可设成qp的形式。
2014北约自主招生试题及答案
2014北约自主招生试题及答案2014年北约自主招生试题及答案2014年北约自主招生试题及答案一、选择题在下列各题中，选出一个最佳答案，并将答题卡上对应的字母涂黑。
1. 以下哪个国家不是北约成员国？A. 美国B. 俄罗斯C. 英国D. 德国答案：B2. 北约的成立目的是什么？A. 经济合作B. 维护世界和平C. 扩大版图D. 提供军事援助答案：B3. 2014年北约峰会在哪个国家举行？A. 美国B. 德国C. 波兰D. 英国答案：C4. 北约总部位于哪个城市？A. 华盛顿DCB. 巴黎C. 伦敦D. 布鲁塞尔答案：D5. 北约的官方语言是：A. 英语B. 法语C. 西班牙语D. 俄语答案：A二、填空题根据题目要求，填写相应的信息。
6. 北约成立于______年。
答案：19497. 北约自主招生试题设有______个答题科目。
答案：58. 北约成员国中，以______为人口最多。
答案：美国9. 北约的基本原则之一是______。
答案：集体防御10. 北约的秘书长在任期内为期______年。
答案：4三、简答题根据问题要求，用简洁明确的语言回答。
11. 简述北约的主要任务是什么？答案：北约的主要任务是维护成员国的安全和稳定，促进地区和平与发展，以及加强国际安全合作。
12. 分析一下北约成立的背景和原因。
答案：北约成立的背景是第二次世界大战后世界政治格局的变化，以及西方国家面临的共产主义威胁。
北约的成立旨在通过加强军事合作和集体防御，来对抗苏联及其盟友。
13. 北约如何保障成员国的安全？答案：北约通过军事援助、军事演习、情报共享等多种方式来保障成员国的安全。
成员国之间承诺，在遭受武装攻击时给予援助和支持。
14. 请列举北约的核心价值观。
答案：北约的核心价值观包括：民主、自由、法治、人权以及民主的市场经济原则。
15. 请简要介绍一下北约自主招生考试的内容和目的。
答案：北约自主招生考试分为5个科目，测试考生在北约相关知识、国际安全、国际关系等方面的理解和能力。
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
20142015重点高中自主招生数学试题及答案.doc
2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一．选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ D ）A．2π+B ．83πC ．4πD．2π2.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数xy 1=在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721=+y y ，3512=-x x . 则=∆AOB S （ B ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 141323.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A ．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设2 015个整数为1x ，2x ，…，2015x .记1x +2x +…+2015x =M.不妨设M-i x =i （i =1，2，…，2014），M-2015x =A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A 除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当i x =1008-i （i =1，2，…，2014），2015x =1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D )A. 521.B. 27.C. 13D. 8214、解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）.5. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2 2 2侧（左）视222正（主）视俯视图.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5、解 当4n ≤时，易知381n +不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n +是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231k x +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n +为完全平方数.故选（B ）.6.如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，C D ⊥AB 于D ，AD=9，BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙O 相交于P,Q 两点，弦PQ 交CD 于E ，则PE •EQ 的值是（ D ）A ．24 B. 9 C. 36 D. 277.已知实系数一元二次方程x 2+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1，则ab 的取值范围（ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜21-8. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( )A.4+26+22B. 2+26+22C. 4+23 +42 D ．4+23+42 二．填空题（每小题6分，共36分） 9.设由1～8的自然数写成的数列为1a ，2a ，…，8a .则21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -的最大值为32 .由题意记S=21a a -+32a a -+43a a -+54a a -+65a a -+76a a -+87a a -+18a a -. 该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）-（4+3+2+1）]=32.如48-+74-+17-+51-+25-+62-+36-+83-=32.10.记[]x 表示不超过实数x 的最大整数，a k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 2014(k=1,2,,Λ100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z 满足x+y+z=1,则t=29x ++24y ++21z +12．如图所示，线段OA = OB = OC =1，∠AOB = 60º，∠B OC = 30º，以OA ，OB ，OC 为直径画3个圆，两两的交点为M ，N ，P ，则阴影部分的曲边三角形的面积是 ．解：如图，连接AC ，AN ，BN ，AM ，BM ， MP ，NP ，OM ，ON ，OP ，易知∠OP A =∠OPC =90º，∠ANO =∠BNO = 90º，∠BMO =∠CNO = 90º，所以A ，P ，C 共线；A ，N ，B 共线；B ，M ，C 共线．由OA =OB =OC =1，可知P ，M ，N 分别是AC ，BC ，AB 的中点，MPNB 为平行四边形，BN =MP ，BM =NP ，所以»BN与»MP 长度相等，¼BM 与»NP 长度相等，因此， 曲边三角形MPN 的面积= S MPNB =12S △ABC ， 而 S △ABC = S AOCB – S △AOC = S △AOB + S △BOC – S△AOC 1142-所以，曲边三角形MPN 的面积=12S △ABC 13. 将一个44⨯棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则 有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况： （1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定； （3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周顺时针滚动。
一道北约自招试题的解法与源流研究
摇 摇 摇 n … ·姨 姨 2 +x1x2…xn 姨 姨 2 ·姨 姨 2 · =
姨∏
i=1
n
n
（ 姨 2 +x） i
摇
姨
n i=1
i=1
∏
姨2 摇 姨 2 +xi
摇
≤
i ∑ ,i ∑ , i ∑ ,
m α1 m α2 m
ai ·
1
… · ai ·
2
Holder不等式）．实际 ai （
n
i=1
i=1
i=1 摇 摇 n 摇 摇 摇 摇 摇
摇
1 n
n i=1
（ ∑ln 姨 2 +e
n i=1 摇
摇
）≥ln （ 姨 2 +e n
摇
摇
1
n
∑a
i=1
i
）=ln （ 姨 2 +1），从
n i=1 摇
摇
而 ln ∏ （ （ （姨 2 +xi）≥ 姨 2 +e a ）≥ln 姨 2 +1）n，即 ∏
i
（ 姨 2 +1）n．
摇
（ （ （ 较 （ 姨 2 +1） 姨 2 +x1xn）与 姨 2 +x1） 姨 2 +xn）的大小， 而（姨 2 +1） （姨 2 +x1xn） （姨 2 +x1） （姨 2 +xn） = 1+x1xn-x1-xn）= 姨 2（ 1-x1） （ 1-xn）≤0，即∏ （ 姨 2（ 姨2
i=1 摇 摇 n 摇 摇 摇 摇 摇
n
n
+xi）≥ （ 姨 2 +1）n圳
n
2014年北约自主招生数学试题评析
所以底面半径为 1 ， 底面面积为 π， 故圆锥的 表面积为 6 π + π = 7 π 2 排练 组 合 基 础 题 型，部 分 均 匀 的 分 组 题2 10 个人分成 3 组， 一组 4 人， 两组 问题 每组各 3 人， 求共有几种分法？ 解： 部分均匀的分组问题： 分法为：
3 3 C4 10 C 6 C 3 = 2100 种 A2 2
2014 年第 2 期
河北理科教学研究
考试指导
2014 年北约自主招生 数学试题评析
山东省滕州市第一中学新校 试题综述： 2014 年高水平大学自主选拔学业能力 ）、 2014 年综合大学自主 测试（ 俗称“华约 ” ）、 2014 选拔录取招生联合考试 （ 俗称“北约 ” 年卓越人才培养合作高校联合自主选择录取 （ 俗称 “卓越 ” ） 三大高校联盟自主招生考试 落下帷幕． 从 2002 年以来， 自招走过了十几 年的风雨， 三大联盟试题整体难度趋于稳定 ， “三分之一高考， 维持着 三分之一边缘， 三分 之一略超纲" 的基本难度． 2014 年北约试卷的结构和 2013 年保持 都是 6 道选择加上 4 道解答． 选择题（ 1 一致， ～ 6 题） 偏常规， 难度不高， 大致相当于高考 中等或稍难一点的题目难度． 只是在个别题 目上考查学生是否有开放的数学思想， 比如 关于反三角函数的认知 （ 第 6 题 ） ． 其他的选 比如空间几何体 择题也基本属于高考难度， 的表面积问题（ 第一题 ） ， 排列组合中的分组 分配问题（ 第二题 ） ． 解答题 （ 7 ～ 10 题 ） 保持 了一定难度． 问题往往来源于一些很基本的 数学常识 （ 比如 tan3° 是无理数 ） ， 要求学生 ， 给出证明 实际上是对学生分析问题解决问 题能力的考查， 不强调复杂的计算， 但是要给 ， 出合理证明 则要求学生有一定的数学素养． 考题详析： 1 考查空间几何体表面积问题， 难度很低， π 的扇形面积为 6 π， 求 3 有利于稳定考生情绪 题1 圆心角为 张 彬 277500
2014北约自主招生数学试题及解答
2014年北约自主招生数学试题1.圆心角为60 的扇形面积为6π,求它围成的圆锥的表面积.2.将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,有多少种分法.3.如果2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ,求a 的取值范围.4.设2()2()()33a b f a f b f ++=,且(1)1,(4)7f f ==,求(2014)f .5.已知1x y +=-且,x y 都是负数,求1xy xy+的最值.6.已知22()arctan 14x f x c x +=+-在11(,)44-上是奇函数,求c .7.证明tan3 是无理数.8.已知实系数二次函数()f x 与()g x 满足3()()0f x g x +=和()()0f x g x -=都有双重实根,如果已知()0f x =有两个不同的实根,求证()0g x =没有实根.9.1213,,,a a a 是等差数列,{|113}i j k M a a a i j k =++≤<<≤,问:7160,,23是否可以同时在M 中,并证明你的结论.10.已知12,,,n x x x R +∈ ,且121n x x x = ,求证:12))1)n n x x x ≥ .2014年北约自主招生试题参考答案1.【解】设扇形的半径为r ,则由21623r ππ=⨯,得6r =.于是扇形的弧长为623l ππ=⨯=,其即为圆锥的底面周长,于是圆锥的底面半径为1,所以底面面积为21ππ⨯=,也所以圆锥的表面积为67S πππ=+=.2.【解】由题知所有分组方法有3341074222100C C C N A ==种. 3.【解】由题意22u x ax a =-+的值域包含区间(0,)+∞,则22u x ax a =-+与x 有交点, 故2(2)40a a ∆=--≥,解得1a ≥或0a ≤.4.【解】由(1)1,(4)7f f ==得421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===; 124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===,由数学归纳法可推导得*()21,f n n n N =-∈, 所以(2014)4027f =.5.【解】由0,0x y <<可知,1||1||||1x y x y x y +=-⇒+=⇒+=,所以2(||||)1||||||44x y xy x y +=⨯≤=,即1(0,]4xy ∈,令1(0,]4t xy =∈,则易知函数1y t t =+在(0,1]上递减,所以其在1(0,]4上递减,于是1xy xy +有最小值117444+=,无最大值.6.【解】奇函数(0)0f =,故arctan2c =-.7.【证明】由三角公式22tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβααβααβ+=+=--⋅, 若tan3 是有理数,则tan6,tan12,tan 24 为有理数,再由tan 6 和tan 24 可得tan30 为有理数,这与tan30=!因此,tan3 是无理数. 8.【证】由题可设2211223()()(),()()()f x g x a x b f x g x a x b +=--=-,其中120,0a a ≠≠,则22221222112211()[()()],()[()3()]44f x a x b a x bg x a x b a x b =-+-=---,由()0f x =有两个不同的实根,则必有12,a a 异号,且120a a +≠,此时22212112211221()[()2()]4f x a a x a b a b x a b a b =+-+++,即2222112212112212124()4()()4()0a b a b a a a b a b a a b b ∆=+-++=-->,所以12b b ≠,故此时观察2211221()[()3()]4g x a x b a x b =---可知,12,3a a -同号,且1230a a -≠,12b b ≠,故()0g x >恒成立,即证明()0g x =没有实根.9.【解】不可以同时在M 中,下面给予证明.假设7160,,23同时在M 中,设*(113,)k a a kd k k N =+≤≤∈,其中d 为公差,则*{3()|113}{3|636,}M a i j k d i j k a md m m N =+++≤<<≤=+≤≤∈于是存在正整数6,,36x y z ≤≤,使得30,73,21633a xd a yd a zd ⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩从而7(),216()3y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩也所以2132y x z x -=-,由于21,32互质,且,y x z x --为整数,则有||21,||32y x z x -≥-≥, 但||36630z x -≤-=,矛盾!假设错误,即证明7160,,3不可以同时在M中.10.【证】(一法:数学归纳法)①当1n =时,111x =≥=右边,不等式成立;②假设*(1,)nk k k N=≥∈时,不等式12))1)k k x x x ≥ 成立. 那么当1n k =+时,则1211k k x x x x += ,由于这1k +个正数不能同时都大于1,也不能同时都小于1,因此存在两个数,其中一个不大于1,另一个不小于1,不妨设11,01k k x x +≥<≤, 从而111(1)(1)01k k k k k kx x x x x x+++--≤⇒+≥+,所以1212)2(2)kk x xx x + 12112)2()]kk k k x x xx x x ++=+++11212)2(2(1)1)(21)k k k k x x x x ++≥≥= 其中推导上式时利用了1211()1k k k x x x x x -+= 及n k =时的假设,故1n k=+时不等式也成立.综上①②知,不等式对任意正整数n 都成立.(二法)左边展开得12))nx x x12121212111()()k k nn n n n k i i j i i i n i i j ni i i nx x x x x x x x x ---=≤<≤≤<<<≤=+++++∑∑∑由平均值不等式得1112121212111211()(())k kknn nk k k k C C C k k k i i i ni i i nn n i i i ni i i nx x x C x x x C x x x C --≤<<<≤≤<<<≤≥==∑∏故12))nx x x1122))2)(2)(21)n n n n k kn n n nnC C C C ---≥++++ ,即证. (三法)由平均值不等式有111(nnnk kn ==≥……①;111(nnnk k n==≥……②①+②得1()nkk nn x =≥,即12))1)n n x x x ≥ 成立.。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014高校自主招生北约模拟试题
1.函数y=f(x),定义域[1,+∞)，f(1)=e,单调递增且f(x+y)=f(x)f(y),求f(x).2. 一台计算机装置示意图如下图，J1,J2表示数据入口，C 是计算结果的出口。
计算规则：①当J1、J2分别输入1时，输出结果为1；②若J1输入数值不变，J2输入数值增大1，输出结果比原来增大2； ③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍。
问，J1、J2分别输入自然数m 和n 时，输出结果是多少？3.求方程式w!=x!+y!+z!的所有正整数解.4.设点P,M 分别是正方形ABCD 边DC,BC 上，PM 与以A 为圆心、AB 为半径的圆相切。
线段PA 与MA 分别交对角线BD 为Q,N 。
证明：P 、Q 、N 、M 、C 五点共圆。
{}111235.,,(), 2.221.n n n n a a a a n n --==≥≥<∑nk k=1数列求证：当n 1时，a21.(),(())1,()0,()x f x e f g x x g x g x ==-≥已知且求和定义域。
121211222.(,)0,0, 1.(,),),)f x y a b a b f ax bx ay by af x y bf x y =>>+=++≤+令且求证：（（3.一个投资者有200万的资金，有以下3个投资项目：①建造摩天大楼，利润为4x-2(万元，x 为投资额)（x ≤95万元）②拍电影，利润为1612x -51x+2(万元，x 为投资额)（x ≤50万元）③投资房地产，利润为3x+1(万元，x 为投资额)（x ≤100万元）试确定投资方案。
222114.sin ,sin ,()()55n n n a b a b a bππ==++设求证：恒为正整数。
5.P1、P2为抛物线上任意两点，过两点的切线交点为Q,求证：212QF PF P F =2014高校自主招生模拟测试三1 1.a ≠-（）已知：0<a<1,x>0,且x 1.求证：a(x-1)>x2,,πππ248（）求以coscos cos 为根的三次方程式。
2014年自主招生北约模拟试题及解析
(2)设 M 为线段 AB 的中点，P 为奇质数，且点 M 到 x 轴的 距离和点 M 到准线 l 的距离均为非零整数， 求证点 M 到坐 标原点 O 的距离不可能是整数.
E O B F
M x
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
【题 13】函数 y f ( x) ， x N ， y N ，满足：
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2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)
2014 年自主招生数学模拟试卷(北约)参考答案
【题 01】复数 Z1、Z2 满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为 60° ，则 A.
Z1 Z 2 ( Z1 Z 2
).
133 7
B. 5
C.
1 5
D. 133
x2 y 2 【题 06】 如图所示， 从双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的左焦点 F 引圆 x2 y 2 a 2 的切线， 切点为 T． 延 a b 长 FT 交双曲线的右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则 | MO | | MT | 与 b a 的
则
1 sin 2 ) 0 ， 2
m
的取值范围是(
). C．[-1，1] D．[-1，6]
A．[-6，1] B． [4， 8] 【解析】选 A.由题意知 λ+2=2m①
2 cos2 m 2 sin ② 2 由①得 2 ， m m 2 2 2 由①②得 4m 9m 2 sin cos 4 sin 2 sin 3 ， 1 故-6≤4m2-9m≤-2，即 ≤m≤2. 4 2 从而 2 [ 6,1] . m m
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2014年“北约联盟”自主招生数学模拟试题
考试时间： 90分钟，分值：满分120分
一、选择题（每题8分，共48分）
1.点(4,0)Q ，抛物线2
24
x y =+上动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值为（ ）
.2A + .11B
.1C + .6D
2. 若222111x yz y xz z xy ⎧-=⎪-=⎨⎪-=⎩
的解()x y z 、、（其中x y z 、、为有理数）组数（ ）
.A 无解 .3B .6C .D 无穷组
3.已知两个实数集合{}123100,,,,.A a a a a = 与{}12350,,,,.B b b b b = ，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且()()()12100f a f a f a ≤≤≤ ，则这样的映射共有（ ）
(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C
4.两个数列{}{},n n a b ，满足1112,1,537,n n n a b a a b +===++
135,(1,2,)n n n b a b n +=+= ，则2014a =( )
(A) 604020152
24+- (B) 60402015223+- (C) 60402015222+- (D) 60402015221+-
5. 点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x
=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②O A B ∆的周长有
最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）
（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０
6.三角式35cos cos
cos 777
πππ++的值为（ ） （A ）12， (B) 1 (C) 32 (D) 2
二、解答题（每小题18，共72分）
7.把多项式432
1x x x x ++++表示为两个次数不同的实系数多项式的平方差的形式， 并在实数范围内分解因式。
8. 已知)1(17≠∈=z C z z 且．
（Ⅰ）证明0165432=++++++z z z z z z ；
（Ⅱ）设z 的辐角为α，求ααα4cos 2cos cos ++的值．
9. △ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，证明OH OA OB OC =++ ，
10.将与105互素（互质）的所有正整数从小到大排成数列，求这个数列的第1000项。