5_3 向量的乘法运算
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
高教社2024高等数学第五版教学课件-7.1 空间解析几何
平面上点的坐标为(, , 0),平面上点的坐标为
(0, , ),平面上点的坐标为(, 0, ).
2.两点间距离公式
类似于平面上任意两点的距离,对于空间直角坐标系中任意
点1 (1 , 1 , 1 ),2 (2 , 2 , 2 )可以推出1 、2 的距离公式为：
→
→
→
→
→
→
( ) = ()
( + ) = +
( + ) →
= →
+→
其中、都是实数.
∘
→
→
→
设 是一个非零向量,常把与 同方向的单位向量记 ,
∘
→
则 =
→
→
,且±
→
→
均是与→
平行的单位向量（同向或反向
的两向量称为平行向量）.
→
= {1 , 1 , 1 }.
例2
→
→ → →
→
→
已知 = {2, −1,3}, = {1,2, −2},求 + , − ,
→
→
3 + 2 .
→
→
解 + = {2 + 1, −1 + 2,3 + (−2)} = {3,1,1},
→
→
− = {2 − 1, −1 − 2,3 − (−2)} = {1, −3,5},
定义2
设→
是一个非零向量,是一个非零实数,则→
与的
乘积仍是一个向量,记作 →
向量相乘运算公式
向量相乘运算公式
向量相乘是在向量运算中常用的一种操作，有两种形式：点积和叉积。
1.点积（又称为内积、数量积）：点积是指两个向量按照相同位置的元素分别相乘，并将得到的乘积相加的运算。
点积的计算公式如下：
对于两个n维向量A和B：A·B=A1B1+A2B2+...+AnBn
其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示两个向量A和B在对应位置的元素。
点积的结果是一个标量（即一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
2.叉积（又称为外积、向量积）：叉积是指根据右手法则，通过两个向量的模和夹角计算出一个与这两个向量同时垂直的新向量的运算。
叉积的计算公式如下：
对于三维空间中的向量A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)：A×B=(A2B3A3B2,A3B1A1B3,A1B2A2B1)
叉积的结果是一个新的向量，它的模表示两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于两个向量所在的平面，并符合右手法则。
需要注意的是，点积和叉积只适用于特定维度的向量运算，分别是点积适用于任意维度的向量，而叉积只适用于三维空间中的向量。
此外，点积和叉积具有不同的性质和应用领域，在物理、数学等领域都有广泛的应用。
第五章向量法
T
i
O T
t
* 电网频率：我国 50 Hz ，美国 、日本 60 Hz * 高频炉频率：200 ~ 300 kHz * 中频炉频率：500 ~ 8000 Hz * 无线通信频率： 30 kHz ~ 30GMHz
电
路
理
论
分
析
（2）相位、初相位、相位差（变化进程）
①相位（ω t+） 确定正弦量瞬时值的电角度，与时间t有关。 ②初相位（ ） t=0时的相位；确定正弦量初始值的电角度。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i R
W RI T
2
W
T
0
Ri (t ) d t
2
电流有效值定义为： 均方根值
电
路
理
论
分
析
I
def
1 T
T
0
i (t )dt
2
同理，电压有效值定义为：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值与幅值的关系：
A B A e j a B e j B A j ( a b ) A e ( a b ) B B j
几何意义：
模相除 角相减
B
A 1 A/B
电
路
理
论
分
析
例1
解
5 47 10 25 ?
原 式 (3 .41 j3 .657 ) (9 .063 j4 .226 ) 12 .47 j0 .569 12 .48 2 .61
电
路
理
论
解析几何课件(第五版)精选全文
所求平面方程为
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解
§3.2 平面与点的相关位置
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点到平面距离公式
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在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
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定义
（通常取锐角）
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
§3.3 两平面的相关位置
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按照两向量夹角余弦公式有
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数性积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.4 空间曲线的方程
§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程
第三章 平面与空间直线
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
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从柱面方程看柱面的特征：
（其他类推）
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线// 轴
母线// 轴
母线// 轴
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a
b
椭圆柱面
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y
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
其中法向量
已知点
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解
所求平面方程为
化简得
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第五章 解线性方程组的迭代解法
定义迭代法为： 定义迭代法为：
x ( k + 1) = G J x ( k ) + g
其中Jacobi迭代矩阵：GJ = D1 ( L + U ) 迭代矩阵： 其中 迭代矩阵
g = D 1b = (7.2, 8.3, 8.4)T 取 x ( 0 ) = (0, 0, 0)T , 代入迭代式，得x(1) = Bx ( 0 ) + g = (7.2, 8.3, 8.4)T x ( 2 ) = Bx (1) + g = (9.71,10.70,11.5)T x (9 ) = (10.9994,11.9994,12.9992) 精确解为 x = (11,12,13)T .
记
A = D L U
其中 D = diag (a11 ,, ann ) , L, U 分别为 A 的 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵 严格下、上三角形部分元素构成的三角阵. Gauss-Seidel方法的矩阵形式为 方法的矩阵形式为
x ( k +1) = D1 ( Lx ( k +1) + Ux ( k ) + b)
或者
x ( k +1) = ( D L)1Ux ( k ) + ( D L)1 b
( 这说明Gauss-Seidel方法的迭代矩阵为 D L)1U 方法的迭代矩阵为 这说明
从而有
定理5.2 定理5.2 Gauss-Seidel方法收敛的充分必要条件为 方法收敛的充分必要条件为
ρ (GG ) < 1 或
5-4内积、外积、混和积
a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120
求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以
S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为
0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.
《三角形式下复数的乘除运算》 讲义
《三角形式下复数的乘除运算》讲义一、复数的三角形式在深入探讨三角形式下复数的乘除运算之前，我们先来了解一下什么是复数的三角形式。
对于一个复数\（z ＝ a ＋ bi\），其中\（a\）为实部，＼（b\）为虚部。
它的三角形式可以表示为\（z ＝ r(＼cos\theta ＋ i\sin\theta)＼），其中\（r ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），称为复数的模，＼（＼theta\）称为复数的辐角。
例如，对于复数\（z ＝ 1 ＋＼sqrt{3}i\），我们可以计算其模\（r ＝＼sqrt{1^2 ＋（＼sqrt{3}）＾2} ＝ 2\），辐角\（＼theta ＝＼arctan(＼frac{＼sqrt{3}｝｛1}）＝＼frac{＼pi}｛3}＼），所以其三角形式为\（z ＝ 2(＼cos\frac{＼pi}｛3} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛3}）＼）。
二、复数三角形式的乘法当两个复数都以三角形式表示时，乘法运算变得相对简单。
设\（z_1 ＝ r_1(＼cos\theta_1 ＋ i\sin\theta_1)＼），＼（z_2 ＝r_2(＼cos\theta_2 ＋ i\sin\theta_2)＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ r_1r_2(＼cos(＼theta_1 ＋＼theta_2) ＋i\sin(＼theta_1 ＋＼theta_2)）＼）简单来说，两个复数相乘，其模相乘，辐角相加。
为了更好地理解这一运算规则，我们来看一个具体的例子。
假设\（z_1 ＝2(＼cos\frac{＼pi}｛4} ＋i\sin\frac{＼pi}｛4}）＼），＼（z_2 ＝ 3(＼cos\frac{＼pi}｛6} ＋ i\sin\frac{＼pi}｛6}）＼）则\（z_1 ＼times z_2 ＝ 2×3(＼cos(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}）＋ i\sin(＼frac{＼pi}｛4} ＋＼frac{＼pi}｛6}））＼）＼＼begin{align}＆＝6(＼cos(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}）＋ i\sin(＼frac{3\pi ＋ 2\pi}｛12}））＼＼＆＝6(＼cos\frac{5\pi}｛12} ＋ i\sin\frac{5\pi}｛12}）＼end{align}＼通过这个例子，我们可以清晰地看到，在三角形式下进行复数乘法，能够直观地得到乘积的模和辐角。
线性代数同济5版
解法
通过高斯消元法或克拉默法则求 解，解的形式同样包括唯一解、 无穷多解和无解。对于无解的情 况，可以通过最小二乘法求得近 似解。
线性方程组的解法与应用
解法概述
线性方程组的解法主要包括直接法和迭代法两大类。直接法 包括高斯消元法、克拉默法则等，适用于中小规模问题；迭 代法包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等，适用于大规模问 题。
两个矩阵的行数相等、 列数相等且对应元素都 相等。
两个矩阵的对应元素相 加。
用该数乘以矩阵的每一 个元素。
第一个矩阵的列数等于 第二个矩阵的行数，且 结果矩阵的第$i$行第 $j$列元素等于第一个矩 阵的第$i$行的元素与第 二个矩阵的第$j$列对应 元素乘积之和。
矩阵的逆与转置
逆矩阵
对于$n$阶矩阵$A$，如果有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$为单位矩阵，则称矩阵 $A$是可逆的，并把矩阵$B$称为$A$的逆矩阵。
二次型的标准形
通过坐标变换，二次型可以化为只含有平方项的标准形$f = k_1y_1^2 + k_2y_2^2 + ... + k_ny_n^2$，其中$k_i$为常数。
二次型的矩阵表示
二次型可以表示为矩阵形式$f = X^TAX$，其中A为对称矩阵，X为列向量。
二次型的正定性与负定性
01
正定二次型
矩阵的转置
把矩阵$A$的行和列互换所得到的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
矩阵的秩与初等变换
矩阵的秩
在$m times n$矩阵中，任取$k$行和$k$列（$k leq m, k leq n$），位于这些行列交叉处 的$k^2$个元素，不改变它们在原矩阵中的位置次序而得的$k$阶行列式，称为矩阵的$k$-
向量运算5
同样也可看成由 n 个 m 维列向量组成，如
a11 a21 a 31 a 41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a15 a25 a35 a45
可以看成 4 个 5 维行向量的向量组；也可以看成 5 个 4 维列 向量的向量组。 定义（线性相关）设 a1 , a2 ,..., ak 为 k 个同维向量，若存在 不全为 0 的 k 个数c1 , c2 ,..., ck ，使
证
（ 1）由 a1 , a2 ,..., am 线性相关，故存在不全为 0 的数
c1 , c2 ,..., cm ，使
c1 a1 c2 a2 ... cm am 0
则
c1 a1 c2 a2 ... cm am 0 am1 0
b1 (b11 , b12 , b13 ) b2 (b21 , b22 , b23 ) b3 (b31 , b32 , b33 )
A A 则不难说明矩阵 B 经初等变换可化为 O ，因而有
R(AB)=R(A)
而由于显然有R(AB)不小于R(B)，由此也不难说明定理结 论成立。
c1 a1 c2 a2 ... ck ak 0
称 a1 , a2 ,..., ak 线性相关
( linear dependence)。
不满足线性相关的向量组称为线性无关
(linear
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内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
角形 ABC 的面积,以及C到直线AB的距离d. B 教材的例6 解: 如图所示, d 1 S ABC AB AC sin 2 A 1 AB AC 2 i j k 1 1 2 2 2 ( 4, 6, 2 ) 2 2
C
1
2
4
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
M OQ F OP F sin
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP
P
Q
L
F
M F
o
M
P
OQ OP sin
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结束
1. 定义
定义 设 a , b 的夹角为 ， 向量 c
方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin
B
c a sin B
CB CA a b sin C
所以
c
A
b
a
C
a b c sin A sin B sin C
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( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
i j j k k i 0
a b a x bx a y by a z bz
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b
a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作
b
c ab
引例中的力矩
(叉积,外积)
a c ab
思考: 右图三角形面积
S＝
a 返回 结束
2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0
证明: 当 a 0 , b 0 时,
(1) a a
(2) a , b 为两个非零向量, 则有
a b 0
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3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
a y by ( j j )
a z bz ( k k )
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
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k
i
返回
j
结束
向量积的行列式计算法
(a y bz a z by ) i (a z bx a x bz ) j (a x by a y bx ) k
a , b , c 共面
( ab )c 0
ax a y az b x b y bz 0 cx c y cz
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作业
P23 1 , 2.(1,2) , 3 , 4.(2) ,
5.(1) .
第三节
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结束
思考与练习
1. 设 a i 2 j k , b i j , 计算 a b 及 a b , 并求 a , b 夹角 的正弦与余弦 . 答案: a b 1 ,
i j ax a y k az
a ax i a y j az k b bx i by j bz k
ax bx az bz
bx
b y bz
,
( 行列式计算见 P314～P318 )
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例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三
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例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
中学里的题目
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
第三节 向量的乘法运算
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第五章
三、向量的混合积
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一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
a
b
c
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例6. 已知一四面体的顶点
4 ) , 求该四面体体积 .
解: 已知四面体的体积等于以向量 A1 A2 , A1 A3 , A1 A4
为棱的平行六面体体积的 故
A4 A3 A1 A2
[ A1 A2 A1 A3 A1 A4 ]
1 6
x2 x1 y2 y1 z2 z1 x3 x1 y3 y1 z3 z1 x4 x1 y4 y1 z4 z1
cz
ax a y az bx b y bz cx c y cz
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3. 性质
(1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c 0
(2) 轮换对称性 :
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式推出)
a b (1, 1, 3) 1 11 cos , sin 2 3 12
2. 用向量方法证明正弦定理: a b c sin A sin B sin C
B
c
A
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a
b
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C
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证: 由三角形面积公式
因
1 S ABC AC AB 2 1 1 BA BC CB CA 2 2 AC AB b c sin A
记作
M1
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积,内积) .
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b 在a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
Pr ja b
b
a 0, b 0
此式倒过来更有用! 则 a b 0
2
a 2 a b cos b 3 2 2 ( 2 ) 2 2 3 cos 3 4 17
a b 17
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4. 数量积的坐标表示
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则
( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k )
a x bx ( i i )
a∥ b
ab 0
3. 运算律
a b sin 0 sin 0， 0 或 即
a∥ b
(1) a b b a 方向相反,不是交换律
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c
(证明略)
(3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
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余弦定理的应用例题
已知向量 解：
3 a , b 的夹角 , 且 | a | 2, | b | 3, 4
( a b )( a b )
aa
2
bb
c
Pr jc a Pr jc b Pr jc ( a b )
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
a b c c Pr jc a b c Pr jc a Pr jc b
c Pr jc a c Pr jc b a c b c
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y by a z bz
i j k a b ax a y az
bx b y bz
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ax a y az 混合积: a b c ( a b ) c bx b y bz cx c y cz 2. 向量关系: bx b y bz ab 0 ax a y az a x bx a y by a z bz 0