计量经济学的基础工具

第2章计量经济学的基础工具在第1章中定义了计量经济学的主要工具是数学，包括优化理论和统计分析。

这些工具的基础知识是计量经济学的基础知识。

尽管这些知识在所有的专业书籍中都可以找到，但是考虑到知识的连贯性和应用的便利，这里将以一章来介绍这些基本知识，以备那些需要的读者参考。

关于矩阵部分，主要参考了Sydsaeter，Strom和Berch（2001）的文献，关于概率统计及其推断部分，主要参考了古亚拉提（2000）的文献，古扎拉蒂（2004），Sydsaeter，Strom和Berch（2001）以及王文中（2003）的文献。

第2章 计量经济学的基础工具 ·21·2.1 矩阵2.1.1 矩阵的定义111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 称为m n ⨯阶矩阵，其中a ij 称为位于矩阵的第i 行和第j 列的元素。

简记()ij m n a ⨯=A 。

当m n =时，称矩阵为n 阶方阵，A 称为A 的n 阶行列式。

如果0,1,≠⎧=⎨=⎩ij i ja i j则称该方阵为n 阶单位矩阵，记为I 。

有I =1。

I 是对角矩阵的特殊形式。

一般的对角矩阵记为1122diag{,,,}nn a a a =A并有 1122=nna a a A矩阵()ij m n a ⨯=A 的名称是由其元素的变化决定的。

比如，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵，所有位于主对角线下面的元素均为0，则称A 为上三角矩阵，反之则叫下三角矩阵。

定义112111222212⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭m m nn mn a a a a a a a a a B 为矩阵()ij m n a ⨯=A 的转置，记为'A 。

当m n =时，如果'=A A ，A 称为对称矩阵；如果'=-A A ，A 称为反对称矩阵；如果2=A A ，则A 是幂等矩阵；如果2=A I ，则A 是对合矩阵；若'=A A I ，则A 是正交阵且1=±A ；如果0=A 或0≠A ，则A 称为奇异的或非奇异的。

一个高阶矩阵，根据实际需要，可分成若干小块。

比如()ij m n a ⨯=A 可分成四块：11122122⎛⎫= ⎪⎝⎭A A A A A·22· 计量经济学导论其中ij A 为i j m n ⨯阶矩阵，且1212,,,1,2.m m m n n n i j +=+==如果11A 是满足条件110≠A 的最大(r r ≤min{,}rkA rkB 阶方阵，则称A 的秩为r ，记为rk().r =A 设()ij m n a ⨯=A ，()ij n l b ⨯=B ，则有rk()AB ≤min{rk(),rk()}A B 、rk()+A B ≤rk()rk()+A B设A 为n 阶方阵，A 的迹定义为主对角线上所有元素之和，即1122tr()nn a a a =+++A2.1.2 矩阵的计算及其性质同阶矩阵的加、减等于它们的对应元素相加、减后的矩阵。

两个矩阵可乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并且它们的乘积所得的矩阵的阶数由第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数决定，其元素由第一个矩阵相应的行向量和第二个矩阵列向量的对应元素乘积的和组成。

分块矩阵的加、减和乘可形式上比照一般矩阵的类似做法，此时记住分块矩阵的每个分块可视做相应矩阵的元素。

矩阵的加法满足结合律和交换律。

矩阵的乘法满足结合律。

矩阵的乘法和加法满足分配律。

不过，记住矩阵的乘法一般不满足交换律。

这一点从矩阵的乘积定义中很容易理解。

性质2.1 方阵A 可逆的充分必要条件是||0≠A如果方阵()ij n n a ⨯=A 可逆，方阵A 的逆矩阵1-A 的求法如下：11adj()||-=A A A 其中伴随矩阵adj()A 定义为第2章 计量经济学的基础工具 ·23·112111222212adj()n n n n nn ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A A A A A ij A 是元素ij a 的代数余子式，其定义为从矩阵A 中划去第i 行和第j 列后剩余的矩阵的行列式再乘上(1)i j +-。

分块矩阵的逆的求法设方阵A 分成四块如下：11211222⎛⎫= ⎪⎝⎭A A A A A如果111-A 存在，则A 的逆可表示成：1111111111112211111121112111----------⎛⎫+∆-∆= ⎪-∆∆⎝⎭A A A A A A A A A A 其中122211112-∆=-A A A A 。

如果122-A 存在，则A 的逆可表示成：11111112221111112221122222111222----------⎛⎫∆-∆= ⎪-∆+∆⎝⎭A A A A A A A A A A 其中1111122221-∆=-A A A A 。

矩阵的指数形式和导数形式分别表示为：01e !An n n ∞==∑A ，()1e e --=A A ，()d e e d x x x =A AA矩阵的导数等于各个元素分别求导后的矩阵。

对于矩阵A 和列向量X ，有以下求导公式：(')()∂'=+∂X AX A A X X性质2.2 设()ij n m a ⨯=A ，()⨯=ij m n b B 。

则有：n m +=+AB I BA I2.1.3 复矩阵的定义和性质元素在复数域的矩阵称为复矩阵。

下面把复矩阵的某些定义和基本性质叙述·24· 计量经济学导论如下。

定义2.1 设()ij m n a ⨯=A 为一个复矩阵，则有● ()ij m n a ⨯=A 称为()ij m n a ⨯=A 的共扼矩阵。

● *()ji m n a ⨯'==A A 称为()ij m n a ⨯=A 的共扼转置。

● ()ij m n a ⨯=A 称为Hermitian 矩阵，如果*=A A 。

●()ij m n a ⨯=A 称为酉矩阵，如果*1-=A A 。

性质2.3 设n m ij a A ⨯=)(为复矩阵。

则● ()ij m n a ⨯=A 是实的，当且仅当=A A 。

●如果()ij m n a ⨯=A 是实的，()ij m n a ⨯=A 是Hermitian 矩阵，当且仅当()ij m n a ⨯=A 是对称的。

性质2.4 设A 和B 为复矩阵，c 为复数。

则有● ()**=A A 。

● ()***+=+A B A B 。

● ()**c c =A A 。

●()***=AB B A 。

2.1.4 特征值与特征向量定义2.2 设A 是n 阶方阵。

λ称为A 的特征值，①如果λ满足以下方程0λ-=A I根据代数基本原理，0λ-=A I 是λ的n 阶代数方程，在复数域里，存在n 个根。

这些根叫做A 的特征值。

对于每一个特征值i λ，1,2,,i n =，存在一个非零向量i I 使得()0i i λ-=A I Ii I 称为A 关于i λ的特征向量。

特征值很重要，现在把一些相关性质叙述如下。

性质 2.5 设()f x 为多项式。

如果λ为A 的特征值，则()f λ为()f A 的特①特征值λ的一个显然性质就是使得方阵λ-A I 的秩小于n 。

第2章 计量经济学的基础工具 ·25·征值。

性质2.6 当且仅当0不是A 的特征值时，方阵A 可逆。

若A 可逆且λ为A 的一个特征值，则1λ-为1-A 的一个特征值。

性质2.7 当且仅当p A 的极限是零矩阵（p →∞）时，A 的所有特征值的模严格小于1。

性质2.8 设A 和B 为同阶矩阵。

则AB 和BA 有相同的特征值。

性质2.9 如果A 是对称矩阵且仅有实元素，则A 的所有特征值是实的。

性质2.10 如果1110()()()()n n n p b b b λλλλ--=-+-++-+是A 的特征多项式，则k b 是A 的所有n k -阶主子式的和（共有n k ⎛⎫⎪⎝⎭个主子式的和）。

()0p λ=称为A 的特征值方程或特征方程。

性质2.11 A 是可对角化的充分必要条件是存在P 矩阵和对角矩阵D 使得1-=P AP D ，A 与1-P AP 有相同的特征值。

性质2.12 如果()ij n n a ⨯=A 有n 个不同的特征值，则A 可对角化。

谱定理 如果()ij n n a ⨯=A 是对称的且有特征值12,,,n λλλ，则存在一个正交阵U ，使得12100000n λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U AU Jordan 分解定理 如果()ij n n a ⨯=A 有n 个特征值12,,,n λλλ，则存在可逆矩阵T ，使得12121()000()000()r k k k r J J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T AT其中，12r k k k n +++=且k J 是k k ⨯矩阵，1()λλ=J ，·26· 计量经济学导论1000100001000λλλ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k J Shur 引理 设()ij n n a ⨯=A 为一个复矩阵。

则存在酉矩阵U 使得1-U AU 是一个上三角矩阵。

Hermitian 矩阵的谱定理 设()ij m n a ⨯=A 是一个Hermitian 矩阵。

则存在酉矩阵U 使得1-U AU 是一个对角矩阵。

所有A 的特征值都是实的。

性质2.13 给定()ij n n a ⨯=A ，对任意0ε>，存在矩阵()ij n n b ⨯=B 有n 个不同的特征值，使得,1||nij ij i j a b ε=-<∑考虑二次型 11nnij i j i j a x x x Ax =='==∑∑Q ，其中12(,,,)n x x x x '=，且()ij n na ⨯=A性质2.14 ● x x 'A 是正定的，当且仅当0x x '>A 对所有x 成立或0,1,2,,ii a i n >=或A 的所有特征值都是正的。

●x x 'A 是半正定的，当且仅当x x 'A ≥对所有x 成立或ii a ≥0,1,2,,i n =或A 的所有特征值都是非负的。

●x x 'A 是负定的，当且仅当0x x '<A 对所有x 成立或0,1,2,,ii a i n <=或A 的所有特征值都是负的。

●x x 'A 是半负定的，当且仅当x x 'A 对所有x 成立或ii a ≤0,1,2,,i n =或A 的所有特征值都是非正的。

●x x 'A 是不定的，当且仅当0x x '<A 对某些x 成立或0ii a <对某些i 成立或A 的特征值有正有负。