内切圆
三角形的内切圆和外接圆的性质
三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，有很多有趣的性质。
其中，内切圆和外接圆可以为我们提供一些重要的信息和应用。
本文将探讨三角形的内切圆和外接圆的性质，并讨论其与三角形形状和尺寸的关系。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的内切圆，其圆心记作I，半径记作r。
1. 内切圆的圆心与三角形的角平分线相交于一点。
这意味着内切圆的圆心I与角A、B、C的平分线相交于D、E、F三点，如图1所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以半周长，即r = (a +b + c) / 2s，其中a、b、c分别为边BC、AC、AB的长度，s为半周长（s = (a + b + c) / 2）。
这个公式可以用于计算内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积之比等于定值2R / s，其中R为三角形的外接圆半径，s为半周长。
即r / S = 2R / s，其中S为三角形的面积。
这个性质称为“Euler公式”，对于证明一些三角形的性质也非常有用。
二、外接圆的性质外接圆是指可以通过三角形的三个顶点构造出来的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的外接圆，其圆心记作O，半径记作R。
1. 外接圆的圆心位于三角形的三条中线的交点。
中线是指连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段，如图2所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 外接圆的直径等于三角形的某条边的长度。
这意味着如果我们能够找到三角形的一条边的长度，就可以确定外接圆的直径，从而计算出外接圆的半径。
这个性质对于计算外接圆的尺寸非常有用。
3. 外接圆的半径与三角形的边长之比等于定值2r / R，其中r为三角形的内切圆半径，R为外接圆的半径。
即R / abc = 2r / R，其中a、b、c分别为三角形的边长。
这个性质也称为“Euler公式”，与内切圆的性质相对应。
中考重点三角形的内切与外切圆性质
中考重点三角形的内切与外切圆性质三角形是中学数学中的基础概念之一，而对于三角形的性质的理解和掌握是中考数学的重点内容之一。
本文将着重介绍三角形的内切与外切圆性质，并分析它们在中考考点中的应用。
一、内切圆的性质内切圆，顾名思义，是能够切合三角形内部的一个圆。
我们先来看一下内切圆的性质：1. 内切圆与三角形的接点内切圆与三角形的三边相切于三个点，分别为三角形的三个顶点。
这个性质可以帮助我们解决一些关于内切圆的问题。
例如，在已知三角形三个顶点的情况下，画出其内切圆时，只需计算三角形的边长，再以三角形的顶点为圆心，三角形的边长为半径，画一个等边三角形，其内切圆的半径就是所求。
2. 内切圆的半径与三角形的性质内切圆的半径具有一定的性质与三角形的边长和面积有关。
根据切线定理，内切圆半径与三角形的三边之和成正比，即 r = S / p，其中 r为内切圆的半径，S 为三角形的面积，p 为三角形的半周长。
3. 内切圆的面积与三角形的性质内切圆的面积与三角形的面积有一定的关系。
根据面积之间的关系，内切圆的面积是三角形面积的一半，即 S1 = S / 2，其中 S1 为内切圆的面积，S 为三角形的面积。
二、外切圆的性质外切圆与三角形的三个顶点都在圆上，且三角形的三边分别与圆相切。
下面我们来了解一下外切圆的性质：1. 外切圆的半径与三角形的性质外切圆的半径与三角形的边长和面积也有一定的关系。
同样根据切线定理，外切圆的半径与三角形的半周长成正比，即 R = a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 R 为外切圆的半径，a、b、c 分别为三角形的三边长，A、B、C 分别为对应的角度。
2. 外切圆的面积与三角形的性质外切圆的面积与三角形的面积也有一定的关系。
根据面积之间的关系，外切圆的面积是三角形面积的两倍，即 S2 = 2S，其中 S2 为外切圆的面积，S 为三角形的面积。
三、内切与外切圆性质的应用了解了内切与外切圆的性质，我们可以通过利用这些性质解决一些与三角形相关的问题。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的特性。
其中两个与三角形密切相关的圆形是外接圆和内切圆。
在本文中，我们将探讨这两个圆形在三角形中的性质和应用。
一、三角形的外接圆外接圆是经过三角形三个顶点的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心与三角形三个顶点A、B、C 共线，且圆的半径与三条边AB、BC、CA之间的距离相等，那么这个圆就是该三角形的外接圆。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条垂直平分线的交点上，这个交点被称为三角形的外心。
2. 外接圆的半径等于三角形任意一边的垂直平分线到该边的距离。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边长度。
外接圆的性质使得它在几何学中具有广泛的应用。
例如，外接圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
二、三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心到三角形三条边上的点的距离都相等，那么这个圆就是该三角形的内切圆。
内切圆具有以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点上，这个交点被称为三角形的内心。
2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的长度之和除以三角形的周长的一半。
与外接圆类似，内切圆也在几何学中有广泛的应用。
例如，内切圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
三、外接圆和内切圆之间的关系在一个三角形中，外接圆和内切圆有一定的关系。
具体来说：1. 外接圆的圆心、内接圆的圆心和三角形的重心（三条中线交点）共线。
2. 外接圆的半径是内接圆半径的两倍。
这些关系使得外接圆和内切圆在解决几何学问题时相互配合，提供了更多的几何性质和可用的信息。
综上所述，三角形的外接圆和内切圆是与三角形密切相关的两个圆形。
它们具有特定的性质和应用，能够帮助我们解决各种几何学问题。
三角形中的内切圆与外接圆性质
三角形中的内切圆与外接圆性质三角形是几何学中的基础概念之一，而与三角形密切相关的内切圆和外接圆更是常见的几何形状。
本文将介绍三角形中的内切圆和外接圆的性质，以及它们与三角形的关系。
一、内切圆性质内切圆指的是与三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
我们先来看一下内切圆的性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的角平分线的交点上。
三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的一条线段。
内切圆的圆心恰好位于三角形的三个角的平分线的交点上。
2. 内切圆的半径和三角形的三条边之间存在特定的关系。
设三角形的三个边长为a、b、c，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r与三条边有以下关系：r = √[(s-a)(s-b)(s-c)]/s其中，s = (a+b+c)/2是三角形的半周长。
3. 内切圆与三角形的接触点构成一个等边三角形。
内切圆与三角形的接触点是指内切圆与三角形的三条边相切的点。
这些接触点构成的三角形是一个等边三角形，即三条边的长度相等。
二、外接圆性质外接圆指的是可以将三角形的三个顶点放到一个圆上的圆。
接下来我们来介绍一下外接圆的性质。
1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
三角形的垂直平分线是指从一个顶点出发，与对边垂直且平分对边的线段。
外接圆的圆心位于三个垂直平分线的交点上。
2. 三角形的三条边是外接圆上的弦。
外接圆的弦是指连接圆上两点的线段。
三角形的三条边恰好是外接圆上的三条弦。
3. 外接圆的半径等于外接圆的直径，即三角形三个顶点与外接圆圆心的距离都相等。
三角形的三个顶点与外接圆圆心的距离相等，且等于外接圆的半径。
三、内切圆与外接圆的关系三角形中的内切圆与外接圆之间存在一定的关系。
1. 内切圆的圆心、外接圆的圆心和三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上。
内切圆和外接圆的圆心以及三角形的垂直平分线的交点位于同一条直线上，这条直线被称为欧拉直线。
2. 内切圆的半径是外接圆半径的一半。
内切圆公式
内切圆公式
内切圆公式，中文意思是指将圆内切于正多边形，即两个正多边
形首尾相接，圆以其顶点共点，穿过侧面线，形成正多边形内切圆。
根据欧几里得平面几何学原理，内切圆公式定理如下：若在正n边形中，任意一条边长为a，则内接圆的半径为R=a/(2*sin(π/n))。
这里，a表示正n边形的任意一边长，π表示圆周率，n表示正多边形的边数。
内切圆公式的应用非常广泛，在几何图形和几何学中占有重要地位。
比如，圆只有一个外接圆，依据内切圆公式，可以使多边形有多
个内接圆。
从而能够让图形看起来更加美观。
因此，在许多图像设计
软件中都要用到内切圆公式，以此来构造多边形内切圆。
此外，内切圆公式也可以用于机械加工，特别是圆孔加工中。
此时，可以根据正多边形的边长，用内切圆公式来计算出圆孔的大小，
以此来对机械元件进行加工，确保机械元件的质量和精度。
总之，内切圆公式是一个关于圆的理论，它在几何图形和加工加
工中都有重要作用，是几何学和加工中不可缺少的一部分。
通过这个
公式，可以更形象和精确地给出圆的位置、大小、曲率等参数，使几
何图形及机械元件得以完美呈现。
外接圆和内切圆的知识点
外接圆和内切圆的知识点
嘿，朋友们！今天咱要来好好聊聊外接圆和内切圆的那些事儿哟！
先说说外接圆吧！外接圆呀，就像是一个图形的“保护罩”。
比如说一个三角形，那经过它三个顶点的圆就是它的外接圆啦。
你想想看，这不就像给三角形穿上了一件特别的“衣服”嘛！比如说咱画个三角形 ABC，然后找到那个能把它三个顶点都包含在内的圆，哇，那就是它的外接圆呢！
再来讲讲内切圆，内切圆就像是图形内部的一个“小宝贝”。
还是拿三角形来说，和三角形三边都相切的圆就是内切圆喽。
这感觉就像是在三角形这个“大房子”里有个专属的宝贝呢！比如说三角形 DEF，那个在里面和三边都亲密接触的圆，就是它的内切圆呀！
外接圆和内切圆它们之间还有很多有趣的联系和区别呢！外接圆是从外面包裹着图形，而内切圆是在里面安静待着。
它们就像一对好朋友，各自有着自己独特的价值和作用呢！
哎呀，大家这下对外接圆和内切圆是不是有了更深的认识啦？赶紧自己也去研究研究吧！。
圆内切圆半径公式
圆内切圆半径公式在数学的奇妙世界里，圆内切圆半径公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们解开很多有趣的谜题。
咱们先来说说什么是圆内切圆。
想象一下，有一个大的圆，在它里面还有一个小的圆，小的圆刚好和大的圆相切，而且小的圆在大的圆里面，这种情况就是圆内切。
那这内切圆的半径怎么算呢？这就引出了咱们要说的圆内切圆半径公式。
这公式看起来可能有点复杂，但其实理解起来也没那么难。
假设大圆的半径是 R，小圆的半径是 r，两圆的圆心距是 d，那么圆内切圆半径公式就是 r = R - d 。
为了让大家更清楚这个公式，我给大家讲个事儿。
有一次我去菜市场买菜，看到一个卖西瓜的摊位。
摊主把大西瓜一个个摆得整整齐齐，然后在中间放了个小西瓜。
我就突然想到了圆内切圆的概念。
那个大西瓜就像是大圆，小西瓜就像是小圆。
摊主为了让小西瓜稳稳地放在大西瓜中间，特意调整了它们之间的距离。
这距离不就像是圆心距嘛！咱们再回到公式上来。
这个公式在解决很多数学问题的时候都特别有用。
比如说，在几何图形的计算中，如果知道了大圆的半径和圆心距，就能很快算出内切圆的半径。
而且在实际生活中，也有很多地方能用到这个公式呢。
就像建筑师在设计圆形的建筑结构时，可能就需要用到这个公式来计算不同部分的尺寸。
还有制造圆形零件的工人师傅，他们也得依靠这个公式来确保零件的精度和准确性。
再比如说，咱们做数学题的时候，经常会碰到那种给出大圆半径和两圆位置关系，让咱们求小圆半径的题目。
这时候，只要把已知条件代入圆内切圆半径公式，答案就能轻松算出来啦。
学习这个公式的时候，大家可别死记硬背，得多做几道题练练手，这样才能真正掌握它的用法。
总之，圆内切圆半径公式虽然看起来简单，但用处可大着呢。
希望大家都能熟练掌握，让它成为咱们解决数学问题的有力武器！。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图1
例2.如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°， 则∠BOC=
（2）若∠A=50°，则∠BOC= .
B
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
A O
C
1.通过今天的学习，你能谈谈你有哪些认识吗？
课后作业 《评价》P50~51.
问题2 任意画一个三角形,作出它的内切圆（尺 规作图）
知识运用 例1 如图1，⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别为D、
E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
图1
识运用 变式 如图1，⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别为
D、E、F，∠B＝60°，∠EDF＝70°，求∠C 的度数．
第2章 对称图形—圆 2.5.直线和圆位置关系-内切圆
金陵中学龙湖分校：朱英培
问题1 如图点D.E.F是⊙O上三点
（1）过点D画⊙O 切线 l1 (2) 过点E画⊙O 切线 l2 与l 1 相交于点B. (3) 过点F画⊙O 切线与l2 与 l1 相交于点A和C.
定义：
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.