椭圆内接四边形面积最大值的一种简捷求法
椭圆中四边形面积最值问题一例刘向阳
椭圆中四边形面积最值问题一例-------教学设计扬中市第二高级中学刘向阳一、引入问题背景：生活中我们经常要研究最优解的问题。
在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用.二、教学内容分析：解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破.几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题.三、学生学习情况分析：椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力.在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。
由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。
四、教学目标：1、 在学生原有的认知基础上进一步理解椭圆定义、标准方程和几何性质。
题型(35)圆锥曲线之四边形面积最大值问题
将 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 分别带入椭圆方程中，两式做差可得，
b2 a2
3 , a2 4
b2
1 a2
4, b2
3
（2）由题设可知，CD 不平行于 x 轴，设 CD: x my 1 ，与抛物线联立可得
(3m2 4) y2 6my 9 0 ，由对称性可知 ABCD 是平行四边形，其面积为 OCD 面积的
我们不妨设 M (x0 , y0 ), N (x1, y1) ，则
kMB2
y0 x0
3
k
NB2
x0 y0 3
kMB1
y0 x0
3
k
NB2
x0 y0 3
所以联立直线
NB1, NB2 x1
y02 9 x0
x0 2
, y1
3
x0 y0
3
x1
y0
0)
。当直
4
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3 线 AB 不垂直于坐标轴时，AB 与 CD 的斜率乘积为 4
（1）求椭圆 E 的方程； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值。
解：（1）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，则由对称性可得 D(x2 , y2 ) ，直线 AB 与 AD 的乘积为
x0
2 x1 ,
y0
y1
N
:
2 9
x2
1 9
y2
1
（2）四边形的面积为
椭圆内接四边形面积的计算
椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学 侯成顺云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词： 椭圆；焦点； 面积1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD 为椭圆内接焦点四边形. 1.2性质：(1)四边形ACB D的面积24122sin ACBD S a b λθλ=（其中22112(1)(1)k k λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++ ）.证明：如右图所示,有2(,0)F c ,并且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有：AB: 1()y k x c =- CD ：2()y k x c =- 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b+=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有：22222222(1)()ab k CD a k b +=+故242212222222122(1)(1)1sin sin 2()()ACBDa b k k S AB CD a k b a k b θθ++∴==++ （θ为AB 与CD 的夹角）, 令22222222112212(1)(1),()()k k a k b a k b λλ=++=++ 就有：24122sin ACBD S a b λθλ= . （2）推论A: 当12.1k k =-时,.2424422222212128()12ACBD a b a b S c a b a b k k =≥++++B:当120k k +=时,242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=+,并且有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=. 推论证明A ：当12.1k k =-时,说明AB, CD 相互垂直,有sin sin12πθ==,21221k k =,代入面F 2DCABθ积公式就有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++,再利用均值不等式有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++242228()a b a b ≥-.B : 当120k k +=时, 有2212k k =,代入就有242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=-成立.以下证明0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.证明：不妨把椭圆的方程化为221x y αβ+=(α与β不同是为零),已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,设A 、B 、C 、D 四个点的坐标为11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .直线AB 、DC 、AC 、BD 的斜率分别为AB k ,DC k ,AC k ,BD k .又点A 、C 在曲线C 上,22111x y αβ∴+=（1）及22331x y αβ+=（2）,用（2）带入（1）有1313()()AC x x ky y αβ+=-+,同理可得2424()()BD x x ky y αβ+=-+.已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,AC BD k k ∴=-,0AC BD k k +=132413240y y y y x x x x --∴+=--（3）及132413240y y y y x x x x +++=++（4）由这两个式子得：1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++-+++= （5） 1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++= （6）由（5）及（6）得到：12213443x y x y x y x y +++=0 （7） 14233241x y x y x y x y +++=0（8）同理有：1212()()AB x x ky y αβ+=-+ 3434()()DC x x ky y αβ+=-+43211324314214233241214321431[()()]()()AB DC y y y y k k x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x x x --∴+=+=+++-+++----将（8）代入有：132431422143()()()AB DC x y x y x y x y k k x x y y ++++=-- （9）又34121234()AB DC x x x x k k y y y y αβ+++=-+++ 再将（8）代入得到： 132431421234()()()AB DC x y x y x y x y k k y y y y αβ++++=-++ （10）用（9）-（10）得到：132431422143123411()[]0()()()()x y x y x y x y x x x x y y y y αβ++++=--++若2143123411()()()()x x x x y y y y αβ+--++=0 故有： 14230y y y y += 结合平行截割线定理有：AB 与DC 平行,并且都平行于x 轴,它与AB,AC,DC,DB 的斜率不为零矛盾,132431420x y x y x y x y ∴+++= 0AB DC k k ∴+=说明直线AB,DC 与x 轴的夹角相等.同理可证明AD,BC 与x 轴的夹角也相等, 有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.1.3实例应用已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过右焦点F 的直线L 与曲线相交于A 、B两点.当L 的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为延长CF 交椭圆于点B,求ACBD 的面积.解：由于e=23c a = 并且1AB k = 、F(c,0)故AB 的方程为：y x c =- 又C(0,b) 所以C 到AB 的距离为=4,2,2,3b c c b a +=∴=== 故椭圆的标准方程为：22194x y += 又1AB k =,1CD k =- 90AFC ∴∠= 即AB 与CD 垂直,代入公式有：244222121212ACBD a b S c a b k k =+++=139202椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A 、B 、C 、D.则有四边形ACBD 为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积32241222sin ACBD a b a b S λθλ+=[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++]证明: 如右图所示,有1F (-c,0),2(,0)F c ,并 且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有 AB: 1()y k x c =- CD ： 2()y k x c =+ . 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b +=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有： 2222222222()2()ak a c ab CD a k b ++=+ 1sin 2ACBDS AB CD θ∴==32241222sin a b a b λθλ+(θ为AB 与CD 的夹角)[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++].（2）推论A: 当12.1k k =-时,32222242222222212112()()21()()ACBD a b k a c c a b k S a k b a b k +++=++.B: 当120k k +=时,3222222411222212()()2sin ()ACBDa b k a c k c a b S a k b θ+++=+,并且有0A C B Dk k+=,0AD BC k k +=.2.3实例应用设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F (-1,0),2(1,0)F .右准线交x 轴x于点A,122AF AF =.过1F ,2F 分别作两条直线与椭圆相交于四个点D 、E 、M 、N.并且DE 与x 轴的夹角为4π.MN 与直线L 交于点G,并且有212AG AF =.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN 的面积.解：（1）由于1F (-1,0),1c ∴=.又有A 2(,0)a c,2(1,0)F故有：221a AF c =- 同理211a AF c =+22212(1)3a aa c c∴+=-⇒=,22b = 所以椭圆的标准方程为：22132x y += (2)由于已知了DE与x轴的夹角为4π,故有1DE k =-,又221212AF AG AF =∴==,(3,1)G ∴ 所以有12MN k =设AN 与DE 的夹角为θ,32tan 132θ∴== 4πθ∴= ⇒sin θ=代入公式有：DMEN S =3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>中,1F ,2F 为其左右焦点,A 、B 为椭圆上任意的两点.则四边形12AF BF 称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形. 3.2性质（1）面积： 四边形的面积为122(tan tan)22AF BF S b αβ=+证明：由椭圆的定义可知道：212AF AF a +=（1）由余弦定理有：22212122cos 4AF AF AF AF c α+-=(2)由（1）与（2）122121sin tan 22AF F S AF AF b αα∴== 同理有: 122tan2BF F S b β=122(tantan)22AF BF S b αβ∴=+（α为1AF 与2AF 的夹角; β为BF 1与BF 2的夹角）.y（2）推论：当α与β互为补角时,有：12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥. 证明：当α与β互为补角时,22αβπαβπ++=⇒=,所以有：11tantan()cot tan 22222tan 2βπαααα-=-=== 将其代入面积公式中就有; 12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥,(当2παβ==时取到“=”).3.3实例应用已知F ,2F 为椭圆2216425x y +=的两个焦点,A 、B 为椭圆上任意的两个焦点,并且A ∠与B ∠为补角,求：(1)当12AF F S =,求12AF BF S 的值. (2)当12AF BF S 取得最小值时,A ∠与B ∠的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又122tan25tan 22AF F A A S b ∠∠===tan233A A π∠⇒=⇒∠=,并且A ∠与B ∠为补角,故有：23B π∠=所以有：12AF BF S =(2)由推论可以知道: 122(min)2502AF BF S b A B π==⇒∠=∠=参考资料：[1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习（高三）,2009,(3). [2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4). [3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6).[4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11).[5] 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5).[6]马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4).。
椭圆中面积最大的内接三角形和平行四边形构造
性质 ２ 坐标平 面内， ： 中心在原点， 焦点在 轴上的椭圆中一 内接三 角形的一条边若经过椭 圆中心， 则该三 角形另两条边所在直线的斜率之
个 命 题， ３ 第 小题 则是 考 查学 生能 否 应用 此 结 论
Ｍ Ⅳ和 Ｄ相交于点 Ｅ（ 为了便于研 究， 本文中 各条与椭 圆相关的结论和性质均以此题设为条 件） ．
＾ ＝一 ５ ｌ ０５ 口 ｓ ０ 米 厘 Ｏ
完成一个几何构造 （ 解答过程不赘述） 就命题而 ． 言， 题 的试 题结 构 和题 中数学 结 论 的另 一 种表 此
一
的一个命题， ３ 第 小题则是考查学生能否应用该
结论 完成 寻 找椭 圆中 心的 几何 作 图过 程 （ 答过 解 程 不赘 述 ） ． 这 两 道 试 题 都 体 现 出 常 见 的数 学 问题 研 究 的思维过程， 即先解决一个或一类特殊的问题， 然后将结论加以推广或转化， 并应用于新的问题 情 境 中．
２ １ 年第 ６ ０１ 期
数 学教 学
６ ｌ ９
椭 圆 中面积 最大 的 内接三 角形 和 平行 四边形 构造
２ ０ 上海市普陀区教育学院教学研究室 刘 达 ０６ ０３
椭 圆中有关 内接三 角形和 内接平 行四边形 面积的最值问题， 近年在专业杂志上有过一些同 行 们各具 匠 心 的研 究 和 结 论．笔 者 在 研 究 ２ １ ００
、
源起： 两道 结 构 相似 的 数学 高考 试 题
试题一
２ １ 年上海数学高考 （ 压轴题： ００ 理）
已知椭 圆ｒ的方程为 ＋ Ｕ ＝ １ ｎ＞ｂ＞０， （ ） Ｕ
点 Ｊ的坐 标 为 （ ，） Ｆ ） 一０ｂ．
（） １ 若直角坐 标平面上 的点 Ｍ 、 Ａ（， ｂ， Ｏ一 ）
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法作者：俞新来源：《广东教育·高中》2009年第10期在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同学都感到无从下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面积的计算还是有规律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法分析来指导同学们掌握该类问题的三种方法,仅供参考.解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x20+y20=1,所以+≤+=(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|==.四边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.评注本题中因为四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC 与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过相交弦长公式求得.解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为(,).由四边形ABCD为菱形可知,点(,)在直线y=x+1上,所以=+1,解得n=-2, 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|, 所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1+y2)2=,所以S=(-3n2+16)(-评注因为菱形是特殊的平行四边形,所以可以用平行四边形的面积计算方法求解,当然注意到菱形的对角线互相垂直,所以也可以用解法1的方法求解,但本题中对角线|BD|的长并不是直线y=x+1与椭圆的相交弦长,所以要注意避免下面的错误解法:把y=x+1代入椭圆方程x2+3y2=4并整理得4x2+6x-1=0,所以|BD|=•=,因此菱形ABCD的面积S=••,所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.解法三、四边形的面积等于两个三角形的面积之和例3 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图1,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1(Ⅱ)法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==,h2==.又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=••==2=2=2≤2,所以当=4k,即当k=(∵k>0)时,上式取等号,所以S的最大值为2.法二:由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2,所以当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为2.评注本题中法一是将四边形AEBF的面积看成是三角形ABE与三角形ABF的面积之和,而法二是将四边形AEBF的面积看成是三角形BEF与三角形AEF的面积之和.我们知道,椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的问题通常应该类比学习,即双曲线和抛物线的四边形面积的计算也可仿与椭圆中有关的四边形面积的计算方法进行,限于篇幅本文不再一一展开,在文末仅举抛物线中一例供同学们练习.例4 设F是抛物线y2=4x的焦点,A、B为抛物线上异于原点O的两点,且满足•=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图2).求四边形ABCD面积的最小值.解析设A(x1,y1)、C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率存在,设为k.因直线AC过焦点F(1,0),所以直线AC的方程为y=k(x-1).联立方程组y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,由根与系数的关系知:x1+x2=,x1x2=1,于是|AC|====,又因为AC⊥BD,所以直线BD的斜率为-,从而直线BD的方程为y=-(x-1),同理可得|BD|=4(1+k2),故S ABCD=|AC|•|BD|==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.另解:设B(x3,y3)、D(x4,y4),联立方程组y=(x-1),y2=4x,得x2-(2+4k2)x+1=0,所以x3+x4=4k2+2,x3x4=1,又|FA|=x1+1,|FC|=x2+1,|FB|=x3+1,|FD|=x4+1,所以四边形ABCD的面积为SABCD=|AC|•|BD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=(+2).(4k2+2+2)==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.责任编校徐国坚。
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。
圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。
要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。
本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。
第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax yk a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+ax y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或2222)ab a b ≤=-，得：03b a <≤，由e =136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
椭圆中的最值、定值(一)
椭圆中的最值和定值问题一 椭圆中的定值问题由于椭圆只研究中心在原点、对称轴为坐标轴的椭圆问题，故动态椭圆过动点问题一般不会出现，椭圆中的定值问题包括以下几个方面： 1、与椭圆有关的直线过定点(1)00)(y x x k y +-=表示横过定点),(00y x 的直线；(2)0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 的交点；2、与椭圆有关的圆过定点问题0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ表示横过直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆的方程； 3、与椭圆有关的参数的定值问题 二 椭圆中的最值问题 1、参数的取值范围由直线和椭圆的位置关系或几何特征引起的参数如),(,,,,y x c b a k 等值的变化，此类问题主要是根据几何特征建立关于参数的不等式或函数进行求解； 2、由于直线或椭圆的动点引起的长度或面积的变化。
此类问题主要是建立参数)),((y x k 或如的函数，运用函数或基本不等式求值；探究一 与椭圆有关的定值问题 在椭圆中出现的定值问题，椭圆本身一般为固定的椭圆，主要是椭圆上的动点构成的直线或与准线有关的动直线过定点问题。
例1 椭圆1422=+y x 的左顶点为A ，过A 做两条相互垂直的弦AN AM ,交椭圆于N M ,两点(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点；若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请给出理由。
例2 椭圆的两焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，且椭圆过)23,1( (1)求椭圆的标准方程；(2)过)0,56(-作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于N M ,两点，A 为左顶点，试判断MAN ∠是否为定值；探究二 与椭圆有关的最值问题与椭圆有关的最值问题一般建立两类函数：一是关于k 的函数，二是关于点),(y x 的函数；例3 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆于y 轴交于B A ,两点，其右准线与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆弧AC 上一点 (1)求证：T C A ,,三点共线；(2)如果FC BF 3=，四边形APCB 的最大面积是326+，求此时椭圆的方程和点P 的坐标；探究三 椭圆和圆的综合问题 椭圆和圆的综合问题中，题目中往往存在多种曲线混合，椭圆以考查标准方程和离心率为主，而圆中会涉及定值或最值问题。
椭圆内接多边形面积最大值
椭圆内接多边形面积最大值1. 引言嘿，朋友们！今天咱们聊聊一个有趣又看似复杂的话题——椭圆内接多边形的面积最大值。
别担心，我保证不讲那些复杂的公式，让我们一起用轻松幽默的方式来理解这个问题。
想象一下，如果你有一个椭圆，里面可以画一个多边形，那这个多边形的面积最大可以有多大？这就像是在椭圆这个大家庭里，找出最能展现自己风采的小伙伴！是不是听起来很有意思？2. 椭圆的基本概念首先，我们得搞清楚什么是椭圆。
椭圆就像是一颗椭圆形的鸡蛋，外面光滑，里面却可以容纳不少内容。
它的两个焦点像是一对亲密的朋友，无论怎么转动，总是形影不离。
椭圆的主要特点是它的长短轴，长轴就是那条特别拉长的线，短轴则是它的小伙伴。
我们可以把椭圆想象成一个大舞台，而多边形就像是这个舞台上表演的小演员，想在这里占据最大的位置。
2.1 椭圆与多边形的关系好了，咱们明白椭圆是什么了，现在来聊聊它跟多边形的关系。
想象一下，你要在这个椭圆里放一个多边形，比如说三角形、正方形甚至是五边形。
可是，想要让它们的面积最大，就得在椭圆的限制下，灵活变动，像是个变色龙一样。
这就像在一个超大的游乐场里，想尽可能多地玩到各种游戏，怎么才能不让自己掉队呢？2.2 为什么选择正多边形说到多边形，咱们不妨聊聊正多边形。
你知道吗，正多边形就像是超级英雄，凭借着对称性，能在椭圆里优雅地舞动。
其实，正多边形的优势就藏在它的结构里。
比如说，正六边形，六条边均匀分布在椭圆内，像是在为椭圆量身定做的一样，面积自然就大得惊人。
你可不能小看这六条边，组合起来的力量可真不是盖的！3. 最大面积的探讨那么，怎样才能求出这个最大面积呢？其实，简单来说，就是把多边形的每条边都紧贴椭圆的边缘，咱们把这称为“内切”。
就像打篮球，你得紧紧贴着三分线，才能保证投篮的角度最佳。
通过几何的思维，正多边形的边数越多，它就越接近椭圆的边缘，面积也会相应地增加。
简直是画龙点睛，完美无瑕！3.1 数学小秘密哎，你知道吗，其实数学里也有小秘密。