椭圆内接四边形面积公式
面积的单位换算、公式及计算
⾯积的单位换算、公式及计算⾯积的单位换算、公式及计算计算长⽅形：{长⽅形⾯积=长×宽}[1]正⽅形：{正⽅形⾯积=边长×边长}平⾏四边形：{平⾏四边形⾯积=底×⾼}三⾓形：{三⾓形⾯积=底×⾼÷2}梯形：{梯形⾯积=（上底+下底）×⾼÷2}圆形（正圆）：{圆形（正圆）⾯积=圆周率×半径×半径}圆环：{圆形（外环）⾯积={圆周率×（外环半径^2-内环半径^2）}扇形：{圆形（扇形）⾯积=圆周率×半径×半径×扇形⾓度/360}长⽅体表⾯积：{长⽅体表⾯积=（长×宽+长×⾼+宽×⾼）×2}正⽅体表⾯积：{正⽅体表⾯积=棱长×棱长×6}球体（正球）表⾯积：{球体（正球）表⾯积=圆周率×半径×半径×4}椭圆(其中π(圆周率，a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长).半圆：(半圆形的⾯积公式=圆周率×半径的平⽅÷2）⾯积单位换算常⽤的⾯积单位有公顷、亩、平⽅公⾥、平⽅⽶、平⽅厘⽶等。
这⾥所说的换算，常指⾯积之间单位的互换计算。
如：1亩=0.0666666公顷=666.6666平⽅⽶等。
⽬录1常⽤公式2台湾公式3国外公式1常⽤公式常⽤⼟地⾯积换算公式 1亩=60平⽅丈=6000平⽅尺，1亩=666．6平⽅⽶其实在民间还有⼀个更实⽤的⼝决来计算：平⽅⽶换为亩，计算⼝诀为“加半左移三”。
1平⽅⽶=0.0015亩，如128平⽅⽶等于多少亩？计算⽅法是先⽤128加128的⼀半：128+64=192，再把⼩数点左移3位，即得出亩数为0.192。
亩换平⽅⽶，计算⼝诀为“除以三加倍右移三”。
如要计算24.6亩等于多少平⽅⽶，24.6÷3=8.2，8.2加倍后为16.4，然后再将⼩数点右移3位，即得出平⽅⽶数为16400。
椭圆内接四边形面积的计算
椭圆内接四边形面积的计算及应用昭通市巧家县第一中学 侯成顺云南师范大学数学学院 朱维宗(教授）摘要：本文通过类比圆锥曲线内接焦点三角形面积的计算,利用代数方法来探讨椭圆内接四边形面积的计算,主要讨论了两种椭圆内接四边形的面积计算,一种是椭圆内接焦点四边形,另外一种是椭圆内接以焦点为顶点的四边形. 关键词： 椭圆；焦点； 面积1.椭圆内接焦点四边形（过一个焦点,以右焦点为例）1.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆一个焦点的两条弦,故四边形ACBD 为椭圆内接焦点四边形. 1.2性质：(1)四边形ACB D的面积24122sin ACBD S a b λθλ=（其中22112(1)(1)k k λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++ ）.证明：如右图所示,有2(,0)F c ,并且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有：AB: 1()y k x c =- CD ：2()y k x c =- 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b+=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有：22222222(1)()ab k CD a k b +=+故242212222222122(1)(1)1sin sin 2()()ACBDa b k k S AB CD a k b a k b θθ++∴==++ （θ为AB 与CD 的夹角）, 令22222222112212(1)(1),()()k k a k b a k b λλ=++=++ 就有：24122sin ACBD S a b λθλ= . （2）推论A: 当12.1k k =-时,.2424422222212128()12ACBD a b a b S c a b a b k k =≥++++B:当120k k +=时,242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=+,并且有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=. 推论证明A ：当12.1k k =-时,说明AB, CD 相互垂直,有sin sin12πθ==,21221k k =,代入面F 2DCABθ积公式就有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++,再利用均值不等式有244222121212ACBD a b S c a b k k =-++242228()a b a b ≥-.B : 当120k k +=时, 有2212k k =,代入就有242222222(1)()ACBDa b k S a k b +=-成立.以下证明0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.证明：不妨把椭圆的方程化为221x y αβ+=(α与β不同是为零),已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,设A 、B 、C 、D 四个点的坐标为11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,44(,)D x y .直线AB 、DC 、AC 、BD 的斜率分别为AB k ,DC k ,AC k ,BD k .又点A 、C 在曲线C 上,22111x y αβ∴+=（1）及22331x y αβ+=（2）,用（2）带入（1）有1313()()AC x x ky y αβ+=-+,同理可得2424()()BD x x ky y αβ+=-+.已知有AB,CD 与x 轴的夹角相等,AC BD k k ∴=-,0AC BD k k +=132413240y y y y x x x x --∴+=--（3）及132413240y y y y x x x x +++=++（4）由这两个式子得：1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++-+++= （5） 1221344314233241()()0x y x y x y x y x y x y x y x y +++++++= （6）由（5）及（6）得到：12213443x y x y x y x y +++=0 （7） 14233241x y x y x y x y +++=0（8）同理有：1212()()AB x x ky y αβ+=-+ 3434()()DC x x ky y αβ+=-+43211324314214233241214321431[()()]()()AB DC y y y y k k x y x y x y x y x y x y x y x y x x x x x x x x --∴+=+=+++-+++----将（8）代入有：132431422143()()()AB DC x y x y x y x y k k x x y y ++++=-- （9）又34121234()AB DC x x x x k k y y y y αβ+++=-+++ 再将（8）代入得到： 132431421234()()()AB DC x y x y x y x y k k y y y y αβ++++=-++ （10）用（9）-（10）得到：132431422143123411()[]0()()()()x y x y x y x y x x x x y y y y αβ++++=--++若2143123411()()()()x x x x y y y y αβ+--++=0 故有： 14230y y y y += 结合平行截割线定理有：AB 与DC 平行,并且都平行于x 轴,它与AB,AC,DC,DB 的斜率不为零矛盾,132431420x y x y x y x y ∴+++= 0AB DC k k ∴+=说明直线AB,DC 与x 轴的夹角相等.同理可证明AD,BC 与x 轴的夹角也相等, 有0AC BD k k +=,0AD BC k k +=.1.3实例应用已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为23,过右焦点F 的直线L 与曲线相交于A 、B两点.当L 的斜率为1时,C(0,b)到AB的距离为延长CF 交椭圆于点B,求ACBD 的面积.解：由于e=23c a = 并且1AB k = 、F(c,0)故AB 的方程为：y x c =- 又C(0,b) 所以C 到AB 的距离为=4,2,2,3b c c b a +=∴=== 故椭圆的标准方程为：22194x y += 又1AB k =,1CD k =- 90AFC ∴∠= 即AB 与CD 垂直,代入公式有：244222121212ACBD a b S c a b k k =+++=139202椭圆内接焦点四边形（过两个焦点）2.1定义：在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中,AB,CD 为过椭圆右左两焦点的弦,并且交椭圆于四点A 、B 、C 、D.则有四边形ACBD 为过椭圆两个焦点的内接焦点四边形.2.2性质(1)面积：四边形面积32241222sin ACBD a b a b S λθλ+=[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++]证明: 如右图所示,有1F (-c,0),2(,0)F c ,并 且设AB,CD 的斜率分别为1k ,2k ,故有 AB: 1()y k x c =- CD ： 2()y k x c =+ . 联立方程：1()y k x c =-及22221(0)x y a b a b +=>>2211222212a k cx x a k b⇒+=+ 2211222212(1)2()()ab k AB a e x x a k b +∴=-+=+同理有： 2222222222()2()ak a c ab CD a k b ++=+ 1sin 2ACBDS AB CD θ∴==32241222sin a b a b λθλ+(θ为AB 与CD 的夹角)[2222121()()k a c k c λ=++,222222212()()a k b a k b λ=++].（2）推论A: 当12.1k k =-时,32222242222222212112()()21()()ACBD a b k a c c a b k S a k b a b k +++=++.B: 当120k k +=时,3222222411222212()()2sin ()ACBDa b k a c k c a b S a k b θ+++=+,并且有0A C B Dk k+=,0AD BC k k +=.2.3实例应用设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F (-1,0),2(1,0)F .右准线交x 轴x于点A,122AF AF =.过1F ,2F 分别作两条直线与椭圆相交于四个点D 、E 、M 、N.并且DE 与x 轴的夹角为4π.MN 与直线L 交于点G,并且有212AG AF =.求：（1）椭圆的标准方程.(2)四边形DMEN 的面积.解：（1）由于1F (-1,0),1c ∴=.又有A 2(,0)a c,2(1,0)F故有：221a AF c =- 同理211a AF c =+22212(1)3a aa c c∴+=-⇒=,22b = 所以椭圆的标准方程为：22132x y += (2)由于已知了DE与x轴的夹角为4π,故有1DE k =-,又221212AF AG AF =∴==,(3,1)G ∴ 所以有12MN k =设AN 与DE 的夹角为θ,32tan 132θ∴== 4πθ∴= ⇒sin θ=代入公式有：DMEN S =3椭圆内接以焦点为顶点的四边形3.1定义在椭圆 22221(0)x y a b a b+=>>中,1F ,2F 为其左右焦点,A 、B 为椭圆上任意的两点.则四边形12AF BF 称为双曲线以焦点为顶点的内接四边形. 3.2性质（1）面积： 四边形的面积为122(tan tan)22AF BF S b αβ=+证明：由椭圆的定义可知道：212AF AF a +=（1）由余弦定理有：22212122cos 4AF AF AF AF c α+-=(2)由（1）与（2）122121sin tan 22AF F S AF AF b αα∴== 同理有: 122tan2BF F S b β=122(tantan)22AF BF S b αβ∴=+（α为1AF 与2AF 的夹角; β为BF 1与BF 2的夹角）.y（2）推论：当α与β互为补角时,有：12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥. 证明：当α与β互为补角时,22αβπαβπ++=⇒=,所以有：11tantan()cot tan 22222tan 2βπαααα-=-=== 将其代入面积公式中就有; 12212(tan tan )222AF BF S b b αα-=+≥,(当2παβ==时取到“=”).3.3实例应用已知F ,2F 为椭圆2216425x y +=的两个焦点,A 、B 为椭圆上任意的两个焦点,并且A ∠与B ∠为补角,求：(1)当12AF F S =,求12AF BF S 的值. (2)当12AF BF S 取得最小值时,A ∠与B ∠的度数分别为多少？此时面积的最小值为多少？解：（1）由已知a=8,b=5,又122tan25tan 22AF F A A S b ∠∠===tan233A A π∠⇒=⇒∠=,并且A ∠与B ∠为补角,故有：23B π∠=所以有：12AF BF S =(2)由推论可以知道: 122(min)2502AF BF S b A B π==⇒∠=∠=参考资料：[1]董正洪圆锥曲线内接四边形面积的最值[M]数理化学习（高三）,2009,(3). [2]陈宇对椭圆焦点弦四边形面积最值探究[J]中学数学研究,2009,(4). [3]邱继勇圆锥曲线内接四边形的一个性质[J]中学数学研究,2005,(6).[4]王伯龙圆锥曲线中一类内接四边形性质的探究[J]中学数学月刊,2010,(11).[5] 舒金根圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似[J]中学数学研究,2011,(5).[6]马跃进、康宇圆锥曲线内接四边形的一个统一性质[J]中学数学研究,2011,(4).。
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法
与椭圆有关的四边形面积计算的三种方法作者：俞新来源：《广东教育·高中》2009年第10期在多年的高考中出现了与椭圆有关的四边形的面积问题.这类问题具有一定的难度,许多同学都感到无从下手,从而影响了水平的发挥和总体成绩,甚感可惜!其实,与椭圆有关的四边形的面积的计算还是有规律可找的.本文通过最近两年高考中的与椭圆有关的四边形面积问题的解法分析来指导同学们掌握该类问题的三种方法,仅供参考.解法一、对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半例1 已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2 . 过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且AC⊥BD,垂足为P.(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:+解析 (Ⅰ)椭圆的半焦距c==1,由AC⊥BD可知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x20+y20=1,所以+≤+=(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2)则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|==.因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-,所以|AC|==.四边形ABCD的面积S=|BD||AC|=≥=,当k2=1时,上式取等号.(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.综上所述,四边形ABCD的面积的最小值为.评注本题中因为四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直,所以四边形的面积就是AC 与BD乘积的一半.而AC与BD的长可以通过相交弦长公式求得.解法二、平行四边形的面积等于两条邻边与其夹角正弦值的乘积例2 已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(Ⅰ)当直线BD过点(0,1)时,求直线AC的方程;(Ⅱ)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.解析 (Ⅰ)由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD. 于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由x2+3y2=4,y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因为A,C在椭圆上,所以△=-12n2+64>0,解得-设A,C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为(,).由四边形ABCD为菱形可知,点(,)在直线y=x+1上,所以=+1,解得n=-2, 所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因为四边形ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|, 所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1+y2)2=,所以S=(-3n2+16)(-评注因为菱形是特殊的平行四边形,所以可以用平行四边形的面积计算方法求解,当然注意到菱形的对角线互相垂直,所以也可以用解法1的方法求解,但本题中对角线|BD|的长并不是直线y=x+1与椭圆的相交弦长,所以要注意避免下面的错误解法:把y=x+1代入椭圆方程x2+3y2=4并整理得4x2+6x-1=0,所以|BD|=•=,因此菱形ABCD的面积S=••,所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.解法三、四边形的面积等于两个三角形的面积之和例3 设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.(Ⅰ)若=6,求k的值;(Ⅱ)求四边形AEBF面积的最大值.(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为+y2=1,直线AB,EF的方程分别为x+2y=2,y=kx(k>0). 如图1,设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1(Ⅱ)法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点E,F到AB的距离分别为h1==,h2==.又|AB|==,所以四边形AEBF的面积为S=|AB|(h1+h2)=••==2=2=2≤2,所以当=4k,即当k=(∵k>0)时,上式取等号,所以S的最大值为2.法二:由题设,|BO|=1,|AO|=2.设y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0,故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2==≤=2,所以当x2=2y2时,上式取等号,所以S的最大值为2.评注本题中法一是将四边形AEBF的面积看成是三角形ABE与三角形ABF的面积之和,而法二是将四边形AEBF的面积看成是三角形BEF与三角形AEF的面积之和.我们知道,椭圆、双曲线和抛物线三种圆锥曲线的问题通常应该类比学习,即双曲线和抛物线的四边形面积的计算也可仿与椭圆中有关的四边形面积的计算方法进行,限于篇幅本文不再一一展开,在文末仅举抛物线中一例供同学们练习.例4 设F是抛物线y2=4x的焦点,A、B为抛物线上异于原点O的两点,且满足•=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D(如图2).求四边形ABCD面积的最小值.解析设A(x1,y1)、C(x2,y2),由题设知,直线AC的斜率存在,设为k.因直线AC过焦点F(1,0),所以直线AC的方程为y=k(x-1).联立方程组y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,由根与系数的关系知:x1+x2=,x1x2=1,于是|AC|====,又因为AC⊥BD,所以直线BD的斜率为-,从而直线BD的方程为y=-(x-1),同理可得|BD|=4(1+k2),故S ABCD=|AC|•|BD|==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.另解:设B(x3,y3)、D(x4,y4),联立方程组y=(x-1),y2=4x,得x2-(2+4k2)x+1=0,所以x3+x4=4k2+2,x3x4=1,又|FA|=x1+1,|FC|=x2+1,|FB|=x3+1,|FD|=x4+1,所以四边形ABCD的面积为SABCD=|AC|•|BD|=(x1+x2+2)(x3+x4+2)=(+2).(4k2+2+2)==8(k2++2)≥8×(2+2)=32,所以当k=±1时等号成立.所以,四边形ABCD的最小面积为32.责任编校徐国坚。
不等式证明中的思维艺术——变形策略
直径所 构成 的椭 圆 内接 四边 形 的 面积 也 为 ２ｂ ａ，
考察 函数 Ｙ— ｓ ｉ ｚ在区 间（ ， ） ｎ ０ ７ 上为上 凸函 ｃ
这样 ， 圆的 四个椭 心角 即便都 为直角 ， 是椭 圆 椭 但
的两条 共轭直 径 可 以在变 ， 而椭 圆的 内接 四边 从
则 因 Ｂ≥ ０， 故
Ａ≤ Ａ＋Ｂ＝ ６ｎ （ ＋ ｂ ＋ Ｃ ｄ ＋ ＋ ２ 。 。 ２ ａｂ＋ ａＣ ＋ ２ ＋ ２ ｚ＋ ２ 。 。＋ ２ 。 ）一 ６（ ＋ ｂ ａ ｄ。 ｂｃ ｂｄ ｃ ｎ 。＋ Ｃ 。＋ ｄ） ≤ ６ ．
评 析 数 学 中有 很 多 问题 有 着 和 谐 的对 称 美 ， 解 题 若 能 善 于挖 掘 与 利 用 这 种 关 系 ， 往 会 有 意 想 往 不 到 的收 获 ． 在解 某 些 数 学 问题 时 ， 对 其 中 式 子 Ａ 针 的特 点 ， 其 配凑 一 个 合 适 的 式 子 Ｂ 使 得 由 Ａ 和 Ｂ 为 ， 之 间 的运 算 ， 能产 生一 些 有 用 的 关 系式 ， 使 问题 向 促
（ ６一 ） ＋ （ ｃ— ） ，
证 等 ｒ （＋ｂ）Ｅ 明 ＋ 一× 一ｔ 等 ｚ ３ ＋ （ ］ ＋ｂ） ｎ ６ ｎ １ （ 一 一 等 ｚ ＋＋ ＋
６ ｚ６ ２１ｔ ・ ６ ｎ ２ ＋ ＋￣－ ａ ２ ／ ３ 一
＋ ２ｂ 一 （ ａ 口＋ ６ ． ）
参考 文献
≤４ ｓ ｉ ｎ
ｓｎ ａ ）≤ ２ｂ． ｉ ４ ａ
一４ 号一 ． ｓ ｉ ４ ｎ
所以 ｓＢ Ａ Ｄ一 ÷ （ｉ 口 ＋ｓ ＋ｓ ３ ｃ ｓ ｌ ｉ ａ ｉａ ＋ ｎ ｎ２ ｎ
一类椭圆内接四边形面积的最值——两道高考题的统一推广
，
“
’
２ ｂ．
（ｉ当 ｋ ０时 ， ｉ ） ＝ ＡＣ为椭 圆 的长 轴 ， 此时
故 ｓ ≥ ｉ ｎ
．
ＩＣｌ２， ＩＤ ｌ Ａ ：口 Ｂ ：
１Ｄ ｌ２ Ｂ ｂ ＝ ．
，： ｌｃ１ Ｊ Ａ ． ｓ
当ｍ ＝ ， ＝ 、 时等号成立． ｋ即 ±／
Ｂ Ｄ过同一焦点 Ｆ ｃ Ｏ 时（ 图 １ ， Ｃ （ ，） 如 ） 由Ａ 上
又 口 ６ Ｏ 所 以 ２ ６） Ｏ 因 此 Ｓ关 ＞＞． ６（ ． 一 ＞
维普资讯
・
２ ・ ６
中学数学 月 刊
１
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２０ 年第 ６期 ０８
于ｔ 的函数在 ［ ，∞） ２＋ 上为单调增 函数 ， 所以
②代入①整理 ， 得
（２２ｂ）２２２ ｘ ｋａ ２ａ ２Ｏ ａ ＋ ｘ－ ｋａ ＋ ２ －２ ＝ ． ｋ Ｙ ￣ ｂ 由弦长公 式 ， 得
ｆ － ￣ Ｍ￣－ 共线 ，且 ・ ＝ ，求 四边形 ０
Ｐ Ｎ 的面积 的最 小值 和最 大值 ． ＭＱ 考题 ２ （ｏ ７年 高考 全 国卷 Ｉ理 ２ ） ２ｏ １
２ｂ２ ２ ） ａ ＋ ２ （ 丢 ｔ ｆ
ａ ２ （２ ）ｂ ％ａｂ ．＋１ ＋ ｉ ｝ 令 ￡．＋１ ， ＝２ 则 ｉ ｝ ｓ ａ ＇２ ＝ ｂ Ｚ２ａ ｂ ） ＝２ ＋） Ｚ２ （２ ２￣ ２（ ｔ ｂ ｂ －
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（） ； １略 （ ） 四边 形 ＡＢ Ｄ的 面积 的最 小值 ． ２求 Ｃ 由于 考 题 １中 的 条 件 与 ， 与
椭圆面积公式
椭圆面积公式椭圆面积公式S=π（圆周率）×a×b（其中a，b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长），或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A，B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。
基本信息•中文名：椭圆面积公式•适应学科：数学•表达式：S=π×a×b•适用领域范围：几何数学相关推荐•椭圆离心率•焦半径公式•椭圆弦长公式•极坐标系•外心•幂函数•弧度•石竹•单连通区域•椭圆周长•圆锥曲线•角加速度•腺病毒•积分中值定理•双曲线•对数公式•弧长计算公式•椭圆•形心•扇形面积面积公式正在加载椭圆面积公式S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).c1c2clone可以依据关于圆的有关公式，类比出关于椭圆公式.定理内容如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。
那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πabc1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。
拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。
根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。
现在应用元素法，在图形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分步骤:(第一象限全取正，后面不做说明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx 设x^2/a^2=sin^2t 则∫[0:a]|sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)|dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式:∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率导数方法设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1取第一象限内面积有 y^2=b^2-b^2/a^2*x^2即y=√(b^2-b^2/a^2*x^2)=b/a*√(a^2-x^2)由于该式反导数为所求面积，观察到原式为圆方程公式*a/b，根据(af(x))'=a*f'(x),且x=a时圆面积为a^2π/4可得当x=a时，1/4S=b/a*1/4*a^2*π=abπ/4即S=abπ。
椭圆内接四边形有许多优美的性质
椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。
作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。
一、定理的提出指鹿为马者看清楚了：（别说莫须有，古代有，小时候见过，请截图为证据）图20中,D、A、B、C的调和分割，是完美四边形的命题，是四边形命题大狗熊yy定理是D、Q、B、R的四个极点调和分割，是切线命题。
大狗熊yy定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
如图1，椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。
大狗熊yy定理，，对于其他圆锥曲线----抛物线和双曲线也适合，，，幻灯播放新定理2：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。
新定理2是新定理1的一种特殊情况，如图2，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC ＝CB。
二、新定理的证明新定理证明思路：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简单易证。
采用坐标线性变换方法和坐标旋转方法，可将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。
这个能图形成立吗？1）需证明A、B、C、D四点共线，即四个极点共线于Q点的极线上；2）需证明F、Q、E、B四点共线，需证明A、G、Q、H四点共线；3）需证明GD、CH、FB三线共点于E点；4）需证明A、B、C、D四点是调和点列。
定义1：对于线段AB的内分点C和外分点D，满足则称点C、D调和分割线段AB或A、B、C、D是调和点列。
圆内接四边形课件
与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩 形，即对角线相等的平行 四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱 形，即四边相等的平行四 边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱 形的结合体，因此也是特 殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点 都在同一个圆周上的四边形。这 个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等 于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和 为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的 弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且 相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是 正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。 不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相 等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和 推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形 的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于 研究曲线的性质和函数的极值等问题。