圆锥曲线的共轭直径
山东高考解析几何题的推广及背景溯源
2011年高考山东理科第22题，是一道以椭圆为背景考查定值问题、最值问题和存在性问题的解析几何压轴题，重点考查推理运算能力和数学综合素质。
本文笔者尝试对该题的结论作一般化推广，并对其背景作深度挖掘和溯源解析，与读者交流。
题目已知直线与椭圆交于两不同点，且面积，其中为坐标原点。
（Ⅰ）证明和均为定值；（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在三点，使得
若存在判断的形状；若不存在，请说明理由。
一、推广与简解
可求得，的最大值为，笔者对此结论作一般化推广可得椭圆有如下性质:
性质已知直线与中心为的椭圆相交于，两点，
则（1）的面积最大值为，且当时，有
；
（2）若线段的中点为，则的最大值为。
简解（1）设是直线上任意一点，则，又，因三点共线，所以，所以，此即为直线的方程。
故点到直线的距离为。
所以。
点评常规解法是先对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率存在时，
设直线方程为斜截式，与椭圆方程联立组成方程组，然后利用根与系关系、弦长公式和点到直线距离公式进行求解，由于涉及字母多运算量较大解答繁琐。
本解法运用三点共线充要条
件的向量表示得到直线的一般方程，首先，避免了对斜率存在性的讨论，充分显示了向量在解决直线问题中的特有魅力；其次，求直线的方程与求直线的方程相比，求解过程简单得出的方程也简单；其三，受思维定势影响，习惯以为底边以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积。
本解法以追求简单为目标，灵活选择以为底
边以点到直线的距离为底边上的高来计算的面积，显然运算量小达到了以简驭繁的效果。
法1（用不等式性质）因，两式相加并利用重要不等式和绝对值三角不等式得，，
故。
当且仅当满足①，且②，且异号③时等号成立。
所以，故的面积最大其值为。
由①②得，，即。
法2（用椭圆参数方程）设，，则。
等号当且仅当
时成立。
不妨设，因为，所以或，所以，故。
（2）法1 由中点坐标公式得，所以有。
同样可得，。
故，当且仅当时等号成立。
所以的最大值为。
法2 因为
，
所以，所以，当且仅当
时等号成立。
所以的最大值为。
由性质知，题设中面积为的恰好是两点在椭圆上另一点为中心的面积最大的三角形，可见这一条件是命题人精心设计的真可谓匠心独运。
二、背景溯源
下面笔者对上述性质中的（1）再给出一个较为直观的解法。
当时，则点为椭圆短轴的一个端点，显然当点为长轴的一个端点时，
的面积最大其值为。
当时，直线的方程为即。
由图形直观知，要的面积最大，则椭圆在点处的切线必平行于直线，设切线方程为，因为，所以，将其代入椭圆方程得整理得，。
由化简得，
，所以，故点到直线距离的最大值为
，故的面积最大值为。
实际上，当的面积取得最大值时，若直线的斜率存在，由性质1第一
问的椭圆参数方程解法知，，即是椭圆的两条共轭半径。
对于椭圆的共轭问题有如下性质（本文仅对性质7进行证明）。
性质1 经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径，若是椭圆的一条直径，在椭圆上作与平行的弦，
则弦中点的轨迹是椭圆的一条直径，我们称直径是的共轭直径，与平行的任一弦叫做的共轭弦。
与两共轭直径分别平行的弦或半径也共轭。
显然，椭圆的长轴和短轴是一对共轭直径，任意一对长半轴和短半轴是一对共轭半径。
性质2椭圆的长轴和短轴是椭圆的唯一的一对互相垂直的共轭直径。
若、是椭圆的一对非互相垂直的共轭直径，则。
性质3 若是椭圆的非直径的弦，点是上一点，直线的斜率都存在，
且满足，则点是弦的中点，即共轭。
性质4 若是椭圆的非直径的弦，过弦中点的直线和的斜率都存在，
且满足，则直线过椭圆的中心。
性质5 已知是中心为的椭圆的任一弦，则当且仅当半径共轭时，
的面积最大其值为。
性质6 已知是椭圆的任一直径，点是异于的任意一点，
则当且仅当心半径与直径共轭时，的面积最大其值为。
性质7 以椭圆的任意一对共轭直径为对角线的四边形的面积
为定值，
且该值即为该椭圆内接四边形面积的最大值。
证明（1）设是椭圆的一对共轭直径，由上述定理易知。
（2）设是椭圆的任一内接四边形，连，作直径（若为直径，则与重合），
再作的共轭直径，由（1）知。
由推论5知两点到的距离之和小于或等于直径的两个端点到共轭直径的距离之和，又显然有。
所以有。
当且仅当且即当四边形的对角线是一对共轭直径时面积最大，其值为。
圆是我们最熟悉的图形，对于圆有如下概念和性质：
（1）经过圆心的弦叫做圆的直径，若是圆的一条直径，在圆上作与平行的弦，
则弦中点的轨迹是圆的一条直径，并且这两条直径互相垂直。
（2）平分弦（非直径）的直径必垂直于弦。
（3）直径的垂直平分线必过圆心。
（4）垂直弦的直径必平分这条弦。
（5）已知是圆心为半径为的圆的任一弦，则当且仅当半径互相垂直时，的面积最大其值为。
（6）已知是圆心为半径为的圆的任一直径，点是异于的任意一点，则当且仅当心半径与直径垂直时，的面积最大其值为。
（7）以半径为的圆内接四边形中，对角线为直径且互相垂直的四边形面积最在其值为。
由此可见，椭圆有关共轭的诸性质是我们耳熟能详的圆的相应性质的类比和推广。
参考文献
①邹生书.有心圆锥曲线与直径相关的切线性质[J].河北理科教学研究，2010（5）
②邹生书. 由圆类比出有心曲线的几个性质.人教网高中数学，2011年5月4日发表.。
苏教版高中数学选修1-1知识讲解_圆锥曲线的共同性质(文)
圆锥曲线的共同性质（文）： ：【学习目标】1.了解圆锥曲线的统一定义；2.掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法. 【要点梳理】要点一：圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 当01e <<时，它表示椭圆； 当1e >时，它表示双曲线； 当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 要点诠释：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=． 要点二：关于椭圆的第二定义 焦点与准线的对应关系对于方程)0(12222>>=+b a b y a x ，左焦点)0,(1c F -对应的准线为c a x 2-=，右焦点)0,(2c F ，对应的准线为c a x 2=；对于方程)0(12222>>=+b a b x a y ，上焦点),0(1c F 对应的准线ca y 2=，下焦点),0(2c F -对应的准线为ca y 2-=。
椭圆上的任一点到焦点的连线段的长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上任一点，则0201,ex a PF ex a PF -=+=；椭圆焦点在y 轴上时焦半径公式为0201,ey a PF ey a PF -=+=。
要点三：关于双曲线的第二定义 焦点与准线的对应关系左焦点对应左准线，右焦点对应右准线，对于方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，对应焦点)0,(1c F -的准线方程c a x 2-=，对应焦点)0,(2c F 的准线方程ca x 2=。
双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长称为焦半径。
圆锥曲线论
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通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。 椭圆的通径： 双曲线的通径： 抛物线的通径：2p
中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程： 1、联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次 方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，再由中点坐标公式和两根之和的具体数值，求 出该弦的方程。 2、点差法（代点相减法） 设出弦的两端点坐标(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得 [ ( x ₁ + x ₂ ) ( x ₁ - x ₂ ) ] / a ²+ [ ( y ₁ + y ₂ ) ( y ₁ - y ₂ ) / b ²] = 0 由斜率为(y₁-y₂)/(x₁-x₂），可以得到斜率的取值（使用时注意判别式的问题）
极坐标方程
1、在圆锥中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中l表示半径，e表示离心率； 2、在平面坐标系中，圆锥曲线极坐标方程可表示为： 其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。
焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex(PF1>PF2)； |PF2|=a-ex(PF2<PF1)。 双曲线 P在左支，|PF1|=-a-ex，|PF2|=a-ex； P在右支，|PF1|=a+ex，|PF2|=-a+ex； P在下支，|PF1|= -a-ey，|PF2|=a-ey； P在上支，|PF1|= a+ey，|PF2|=-a+ey。 抛物线
圆锥曲线的直径及其求法
教育教学论文题目：圆锥曲线的直径及其求法地址：开远市第九中学作者：代顺志2017年5月16日目录摘要 (1)关键词 (1)1问题的提出. (1)1.1研究的问题 (1)1.2研究的意义 (1)1.3研究的方法 (2)2.二次曲线发展简史 (2)2.1圆锥曲线发展简史 (2)2.2圆锥曲线已有的一些研究结论 (3)3圆锥曲线的直径 (3)3.1 椭圆阿波罗尼定理及其证明. (3)3.2 双曲线阿波罗尼定理及其证明 (5)4.阿波罗尼定理的运用 (7)5.结论与思考 (13)参考文献 (14)圆锥曲线的直径及其求法摘要：圆锥曲线是解析几何的组成部分,其中阿波罗尼定理更是圆锥曲线的重要定理［1］,圆锥曲线直径的许多性质及定理使二次曲线的许多问题能够代数化、程序化从而得到方便的解决，阿波罗尼定理的发现是圆锥曲线的一个突破，同时圆锥曲线的研究促进了解析几何的发展，通过几何与代数相结合的方法.让其代数属性和几何属性得到重视.关键词：二次曲线；椭圆型；双曲型；抛物型；阿波罗尼圆锥曲线是二次曲线一个重要的组成部分,研究阿波罗尼定理的目的是使圆锥曲线的直径求解更为方便简洁,在理论运用上突出其价值,阿波罗尼定理使得圆锥曲线理论上更进一步,同时在几何上使人们更加直观的认识了圆锥曲线的性质.该文主要探讨了椭圆以及双曲线的阿波罗尼定理,以及阿波罗尼定理在理论上的运用.1问题的提出1.1研究的问题：圆锥曲线包括了椭圆、双曲线、抛物线以及圆,其中圆的直径是圆的最长的弦,而椭圆、双曲线、抛物线的直径是平行弦的中点的连线,平行于直径的弦的中点的连线形成了一条新的直径,叫做共轭直径［2］.椭圆与双曲线更有共轭半径，关于共轭半径有各自的阿波罗尼定理,本文旨在给出阿波罗尼定理及相关知识点的运用.1.2研究的意义：阿波罗尼定理是解析几何圆锥曲线的重要理论,它的发现使解析几何中许多问题代数化、简便化从而得到有效的解决［3］.圆锥曲线的应用价值表现为对数学和其它学科的关联以及他们在现实生活中广泛的应用,其在绘图上的深入的运用而体现了数学中数与形的完美结合,圆锥曲线的研究促进了解析几何的发展，通过几何与代数相结合的方法.使得圆锥曲线的代数属性和几何属性得以重视［4］.圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域还是在我们的实际生活中都占有重要的地位,通过对圆锥曲线的深入研究,导出了许多重要的曲面,诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面等各种抛物面,人们对它的研究也不断深化,其研究成果又广泛地得到实践应用.圆锥曲线作为数学问题的一个分支，到今天理论上几乎很难有什么突破，随着科技的发展,人们将圆锥曲线的一般性质编码程序化，很多复杂的圆锥曲线问题得以容易的解决,但是很多问题还是还需要不停的研究讨论在细节上力求突破创新,在圆锥曲线的直径及其定理的运用上还可以再深入讨论.1.3研究的方法：研究数学问题的思想方法众多,在圆锥曲线的直径及其求法这个问题上主要采用了文献法以及案例研究法,该项研究以江苏师范大学数学系出版的《解析几何》以及张泽湘的《二次曲线》为基础,并结合其他国内外出版物作参考.同时查阅圆锥曲线的直径求法解法以及最前沿的运用,确保了资料的广泛性、准确性、与时俱进.最后通过具体的理论运用感受阿波罗尼定理的理论价值,在运用中更加熟悉阿波罗尼定理在圆锥曲线中的重要地位,提高人们对于阿波罗尼定理的认识.2二次曲线发展简史2.1圆锥曲线发展简史：希腊数学家阿波罗尼对圆锥曲线理论研究后取得突出的成就,阿波罗尼的著作《圆锥曲线》总结了古人的著作,特别是是欧几里得的著作,将古人的研究成果去粗存精、并融会贯通,使新的著作更加系统化更加完善.随着对古人研究的深入了解,阿波罗尼又提出许多创新意见.并将其整理成8篇著作,共计487个命题,成功将圆锥曲线的性质研究达到最完善细致，以致后来的学者无法寻找到新的研究内容长达几个世纪之久［5］.阿波罗尼的8篇著作合称《圆锥曲线》，著作完成后的1300余年里,几乎所有的数学家在圆锥曲线的研究上没有新的发现［6］.17世纪初期,当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下,物理学家Kepler给了圆锥曲线的性质的新定义以及新发现.那就是圆锥曲线有离心率以及焦点，同时指出抛物线有一个在无穷远处的焦点,直线是圆心在无穷远处的圆.Kepler发现了有这样一个规律：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线,都可以相互转换，不用考虑其他的因素，只要注意焦点的变化即可［7］.后来大数学家欧拉发表了解析几何发展史上的一部经典著作《分析引论》.欧拉在《分析引论》中给出了二次曲线新的定义:从一般二次方程出发,圆锥曲线的各种情形,经过适当的坐标变换，得到标准形式［5］.之后的一个世纪里,数学界深入探讨了解析几何，在直角坐标系的基础上又建立极坐标系,直角坐标系跟极坐标系之间能够互相转换.在这样的历史背景下下使得椭圆、抛物线、双曲线、圆的二次方程可以在直角坐标与极坐标间转化.相距Kepler、欧拉之后圆锥曲线在理论上已经没有大的突破,两个世纪的时间里人们只能在细节上对圆柱曲线优化以及圆锥曲线的实际运用中寻求发展［8］.2.2圆锥曲线已有的一些研究结论：将过点(x0,y0)且具有方向X∶Y的直线{x=x0+Xty=y0+Yt代入二次曲线F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13y+a33中令A=a11x0+a12y0+a13+a12x0+a22y0+a23F(X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2于是可以写成F(X,Y)t2+2At+Ϝ(x0,y0)=0（1）F(X,Y)≠0.这时上式是关于t的二次方程,当t的判别式大于零时,直线与二次曲线有两个交点.当判别式小于零时,直线与二次曲线仅有一个交点.当判别式大于零时,直线与二次曲线无实交点.（2）F(X,Y)=0，但A≠0零时此时是t的一次方程,所以直线与二次曲线有唯一的交点.（3）当F(X,Y)与A均为零时,直线是二次曲线的一部分［9］.定义2.1满足F(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐进方向,否则叫非渐进方向［2］.由F(X,Y)=a11(XY )2+2a12(XY)+a22推出X：Y的值是由a122−a11a22来确定虚实,椭圆型曲线没有实渐进方向,抛物型曲线有一个实渐进方向,双曲型曲线有两个实渐进方向,这三种曲线的非渐进方向均有无数个.二次曲线的对称中心是二次曲线的中心,中心二次曲线有一个中心,所有其他的二次曲线叫做非中心二次曲线.二次曲线的渐近线通过它的中心并且以渐进方向为方向,由渐进方向的虚实可以判定椭圆、双曲线、抛物线渐近线的数目以及虚实.二次曲线的切线可以分为两类,一类是与二次曲线重合,直线上的点均可以看做切点.另一类是直线与二次曲线交于两个重合的点，这个点是唯一的切点.每一个奇异点二次曲线的切点,过奇异点的直线均为二次曲线的切线,而正常点的切线有且仅有一条.二次曲线的直径是二次曲线一组平行弦中点的轨迹,平行于直径的一组弦的中点的轨迹叫做共轭直径，椭圆型曲线与双曲型曲线的直径通过它们的中心,抛物型曲线的直径是它的中心直线.椭圆型曲线与双曲型曲线的共轭方向是非渐近方向.而抛物型曲线的共轭方向是渐近方向.椭圆一对直径满足kk′=−b2a2,则这对直径互为共轭直径.双曲线一对直径满足kk′=b2a2,则这对直径互为共轭直径.椭圆中心到它直径端点的线段叫做椭圆的半径,在共轭直径上的两条半径叫做这个椭圆的共轭半径.双曲线中心到它直径端点的线段叫做双曲线的半径,在共轭直径上的两条半径叫做这个双曲线的共轭半径.二次曲线的主直径是指所有直径中互相垂直的一组直径,主直径的方向叫做二次曲线的主方向,二次曲线的主方向由特征方程决定的,其中二次曲线的特征根不全为零且全都是实数,椭圆型曲线与双曲型曲线至少有两条主直径,抛物型曲线有且仅有一条主直径［9］.3圆锥曲线的直径3.1椭圆阿波罗尼定理及其证明设a′和b′是椭圆的共轭半径的长度,φ是它们所夹的角,则a′b′sinφ=ab(这里a和b是椭圆两个半轴的长).图1（椭圆阿波罗尼定理）证明:设OP和OR为椭圆的共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2.过P(x1,y1)和R(x2,y2)分别作椭圆的切线相交于A,可知四边形PORA为平行四边形,所以它的面积为S PORA=a′b′sinφ作OE⊥AP,E为垂足,则S PORA=|OR|∙|OE|点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2,则x1=acos t1,y1=bsin t1；x2=acos t2,y2=bsin t2.且t2=t1+kπ2这里k=±1.所以 |OR|=√x22+y22=√a2cos t22+b2sin t22=√a2cos(t1+kπ2)2+b2sin(t1+kπ2)=√a2sin t12+b2cos t12因为切线AP的方程为(bcos t1)x+(asin t1)y−ab=0，∴|OE|=|−ab|√a2sin t12+b2cos t12=ab√a2sin t12+b2cos t12从而S PORA=√a2sin t12+b2cos t12∙ab√a2sin t12+b2cos t12=ab综上所述a′b′sinφ=ab定理得证.当两个半轴交角为90°,ab=ab sin90°,所以这个定理实际上说的是a′b′sinφ是常数.所以这个定理也可以叙述为:作椭圆任意一对共轭直径上的平行四边形的面积是常数,等于作在两个半轴上的长方形的面积.这就是椭圆的第一个阿波罗尼定理.椭圆中任意一对共轭半径长度平方的和等于这两个半轴的长度的平方的和:a′2+b′2=a2+b2证明:设OP和OR为椭圆的一对共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且t2=t1+π2,从而x1=acos t1,y1=bsin t1x2=a cos(t1+π2)=−a sin t1y2=b sin(t1+π2)=b cos t1∴a′2+b′2=x12+y12+x22+y22=a2cos t12+b2sin t12+a2sin t12+b2cos t12=a2+b2定理得证.这个定理是说共轭半径的平方和是常数,即等于两条半轴的平方和,叫做关于椭圆的第二个阿波罗尼定理.3.2双曲线阿波罗尼定理及其证明设a′和b′是双曲线的共轭半径的长度,φ是它们所夹的角,则a′b′sinφ= ab(这里a和b是椭圆两个半轴的长).图2（双曲线阿波罗尼定理）证明:设OP和OR为双曲线的共轭半径,点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2.过P(x1,y1)和R(x2,y2)分别作双曲线的切线相交于A，可知四边形PORA为平行四边形,所以它的面积为S PORA=a′b′sinφ作OE⊥AP，E为垂足,则S PORA=|OR|∙|OE|点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且|t2−t1|=π2,则x1= a sec t1,y1=b tan t1；x2=a tan t2,y2=b sec t2且t2=t1.∴|OR|=√x22+y22=√a2tan t22+b2sec t22=√a2tan t12+b2sec t12因为切线AP的方程为b2x1x−a2y1y=a2b2,或b2(asec t1)x−a2(b tan t1)y−a2b2=0，即(bsec t1)x−(atan t1)y−ab=0所以 |OE|=|−ab|√a2tan t12+b2sec t12=ab√a2tan t12+b2sec t12从而S PORA=√a2tan t12+b2sec t12∙ab√a2tan t12+b2sec t12=ab综上所述a′b′sinφ=ab定理得证当两个半轴交角为90°，ab=ab sin90°,所以这个定理实际上说的是a′b′sinφ是常数.所以这个定理也可以叙述为:作双曲线上任意一对共轭半径上的平行四边形的面积是常数,等于半轴上的长方形的面积.这就是双曲线的第一个阿波罗尼定理.双曲线中任意一对共轭半径长度平方的和等于这两个半轴的长度的平方的和:a′2−b′2=a2−b2证明:设OP和OR为双曲线的一对共轭半径，点P(x1,y1)和点R(x2,y2)的离心角分别为t1和t2且t2=t1,从而x1=a sec t1,y1=b tan t1x2=a tan t2=a tan t1y2=b sec t2=b sec t1所以a′2−b′2=(x12+y12)−(x22+y22)=(a2sec t12+b2tan t12)−(a2tan t12+b2sec t12)=a2(sec t12−tan t12)−b2(sec t12−tan t12)=a2−b2定理得证.这个定理是说双曲线共轭半径的平方和是常数,即等于两条半轴的平方和,叫做关于双曲线的第二个阿波罗尼定理.4.阿波罗尼定理的运用例1试求双曲线x2−4y2=1的共轭直径的方程,其中一直径通过点A(8,1)［10］.设双曲线的两条共轭直径分别是y1=k1x1,y2=k2x2;y1=k1x1过(8,1)→1=k18,k1=1 8k1k2=b2a2=14→k2=2y1=18x1,y2=2x2综上所述y1=18x1,y2=2x2为双曲线x2−4y2=1的共轭直径的方程.例2已知双曲线x 2a2−y2b2=1的两共轭半径的长为a′和b′,求这两半径所夹的角［9］.图3（例2）设点A与点B的离心角分别为θ1和θ2,则A(asecθ1,b tanθ1),B(asecθ2,b tanθ2)则l1的斜率k1=basinθ1(asecθ1)2+(b tanθ1)2=a′2 a2secθ12+b2secθ12−b2=a′2secθ12=a′2+b2 a2+b2cosθ12=a2+b2 a′2+b2sinθ12=a′2−a2 a′2+b2k1=±ba√a′2−a2a′2+b2同理l2的斜率k2=basinθ2(asecθ2)2+(b tanθ2)2=b′2 a2secθ22+b2secθ22−b2=b′2secθ22=b′2+b2 a2+b2cosθ22=a2+b2 b′2+b2sinθ22=b′2−a2 b′2+b2k2=±ba√b′2−a2b′2+b2又k1k2=b2a2,l1与l2的夹角为αtanα=k1−k21+k1k2=±ba(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)1+b2a2=±ab(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)a2+b2综上所述双曲线x 2a2−y2b2=1的两共轭半径的长为a′和b′两半径所夹的角为α=tan−1±ab(√a′2−a2a′2+b2−√b′2−a2b′2+b2)a2+b2.例3已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一端点为P(x1,y1),求它的共轭直径的两端点.设双曲线的两条共轭直径分别是y1=k1x1,y2=k2x2;y1=k1x1,k1=y1x1,x12a2−y12b2=1,b2x12−a2y12=a2b2 k1k2=b2a2,y2=k2x2k2=b2a2x1y1,y2=b2x1a2y1∙x2x22 a2−b2x1a2y1∙x2b2=1b2x22−b4a2x12y12∙x22=a2b2(b2−b4a2x12y12)x22=a2b2x22=a2b2a2y12a2b2y12−b4x12=a4y12a2y12−b2x12=−a2y12b2x2=±bay1i→(x2,y2)→(±bay1i,±bax1i)综上所述双曲线x 2a2−y2b2=1的共轭直径的两端点为(±bay1i,±bax1i).例4已知椭圆x 2a2+y2b2=1的两共轭半径的长度为a′和b′,求这两半径所夹的角[9].图4（例4）设点P 与R 的离心角均为θ1,P (a cos θ1,b sin θ1),R (−a sin θ1,b cos θ1,)则l 1的斜率k 1=batan θ1(a cos θ1)2+(b sin θ1)2=a ′2a 2cos θ12+b 2−b 2cos θ12=a ′2cos θ12=a ′2−b 2a 2−b 2sin θ12=a 2−a′2a 2−b 2k 1=±√a 2−a ′2a ′2−b 2同理l 2的斜率k 2=−ba cot θ1(−a sin θ1)2+(b cos θ1)2=b ′2a 2−a 2cos θ12+b 2cos θ12=b ′2cos θ12=b ′2−a 2b 2−a 2sin θ12=b 2−b′2b 2−a 2sin θ22=b ′2−a 2b ′2+b 2k 2=±√b 2−b ′2b 2−a 2又k 1k 2=−b 2a2,l 1与l 2的夹角为αtan α=k 1−k 21+k 1k 2=±(√a 2−a ′2a ′2−b 2−√b 2−b ′2b 2−a 2)1−b 2a 2=±a 2(√a ′2−a 2a ′2+b 2−√b ′2−a 2b ′2+b 2)a 2−b 2综上所述双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两共轭半径的长为a ′和b ′两半径所夹的角为α=tan −1±a 2(√a ′2−a 2a ′2+b 2−√b ′2−a 2b ′2+b 2)a 2−b 2例5在椭圆的共轭直径四端点的切线所成平行四边形的面积是一个常数［9］.图5（例5、例6）证明:设AOA ′,BOB ′为正交笛卡尔坐标系下椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的任一对共轭直 径,它们的斜率各为λ，λ‘,由于椭圆一对共轭直径斜率满足λλ’=−b 2a 2.设点A 为 A (x 1,y 1),则λ=y 1x 1,从而得λ‘=b 2x 1a 2y 1.将BOB ′的方程y =λ；x 与x 2a 2+y 2b 2=1联立，求得交点B (ay 1b,bx 1a ),所求平行四边形的面积 S =8∙S AOB=4[001x 1y 11−ay 1b bx 1a1]=4ab (x 12a 2+y 12b2)=4ab(常量)综上所述椭圆的共轭直径四端点的切线所成平行四边形的面积是一个常数.例6共轭直径与椭圆的交点至中心的的距离称为共轭半径,证明任何两共轭半径之平方和等于定值.证明:设AOA ′,BOB ′为正交笛卡尔坐标系下椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的任一对共轭直 径,它们的斜率各为λ，λ‘,由于椭圆一对共轭直径斜率满足λλ’=−b 2a 2.设点A 为A (x 1,y 1),则λ=y1x 1,从而得λ‘=b 2x 1a 2y 1.将BOB ′的方程y =λ；x 与x 2a 2+y 2b 2=1联立，求得交点B (ay 1b,bx 1a)所求和=OA 2+OB 2=(x 12+y 12)+(a 2y 12b 2+a 2x 12a 2)=x 12(1+b 2a 2)+y 12(1+b 2a2)=(a 2+b 2)(x 12a 2+y 12b2)=a 2+b 2(常量)例7试求椭圆x 2+4y 2=1的一对共轭直径的方程,其中一直径与x 轴成45°的角［9］.k1k2=−b2a2=−14,令k2=tan45=1,则k1=−14 y1=−14x1,y2=x2综上所述椭圆x2+4y2=1的一对共轭直径的方程为y1=−14x1,y2=x2.5.结论与思考椭圆与双曲线的阿波罗尼定理是围绕椭圆与双曲线的直径与共轭直径的知识点中最重要的定律,不仅使我们在理论上更加深入的了解了两个半轴与共轭半径不同的数量关系,让我们从另一个角度感受到了椭圆与双曲线的魅力［3］.通过圆锥曲线例题不仅体现了数形结合的数学思想方法,也突出了在圆锥曲线中直径的重要性.通过对圆锥曲线直径的研究中不但学习了新的知识点，并用所学知识解决一些问题.而更重要的是,在学习的过程中能锻炼自己观察事物的能力，分析判断力及创新能力.参考文献：［1］吴光磊,姜伯驹.解析几何[M].北京:人民教育出版社出版社,1961.125-130. ［2］江苏师范学院数学系.解析几何[M].北京:人民教育出版社出版社,1960.209-250. ［3］项武义.几何学的源起与演进[M]. 北京:科学出版社，1983.57-62.［4］张映姜,欣赏圆锥曲线体验历史文化[J].《数学通报》，2012，（11）：41-43. ［5］李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2000.351-375.［6］N.B.伐西列也夫.直线与曲线[M].北京:北京出版社,1970. 29-33.［7］凯兹.数学简史[M].北京:机械工业出版社,2004.256-288.［8］比克斯.二次曲线和三次曲线[M].美国:世界图书出版公司,2011.66-75.［9］张泽湘.二次曲线[M].上海:上海教育出版社,1981.110-130.［10］尹建堂,彭跃丽.圆锥曲线的直径方程及其应用[J].《考试:高中》，2003 （10）：17-19.The Diameter of Cone Curve andIts Calculation MethodAbstract: The diameter of the cone curve is an important part of analytic geometry, Apollo's theorem is used to solve the problem of conic in analytic geometry and the diameter of the conic to many problems in algebra, convenient to get the solution of the stylized, Apollo's theorem is proved that the diameter of the conic have made a breakthrough in the drawing is simple, and the study of the conic will promote the development of analytic geometry, through the method of combining the geometry and algebra. Bring attention to their algebraic geometry and attribute.Keywords: conic；elliptic；hyperbolic；parabolic；Apollo。
圆锥曲线的直径
圆锥曲线的直径及方程关键字:直径的定义 直径的斜率 方程，应用高小奇 宝鸡高新实验中学第一部分：圆锥曲线直径的定义【提出问题】圆有直径，那么高中我们讲了椭圆，双曲线，抛物线以后，这些图形有没有直径？ 【动手体会】让我们从圆开始体会一下直径的定义，在平面内做一个圆，做出一系列平行弦，取出每一个弦的中点，然后把每一个弦的中点连结起来，你会发现所有中点的连线恰好是圆的直径，故圆的直径可以看做是圆中一系列平行弦中点的轨迹。
【类比定义】圆锥曲线直径的定义：圆锥曲线的直径是圆锥曲线的一系列平行弦中点的轨迹 【分类探讨】下面让我们分类认识一下圆锥曲线的直径：椭圆：椭圆的长轴12A A ，短轴12B B 都是椭圆的直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹，PQ也是椭圆的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出椭圆的直径是一条线段，并且经过椭圆的中心。
双曲线：在双曲线中，射线1M A ，2N A 及虚轴所在的直线都是其直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹；FG 也是双曲线的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
另外，双曲线不同于椭圆，它不是一个封闭图形，无论平行弦与双曲线交于一支，还是交于两支，其平行弦中点的轨迹都是双曲线的直径；当平行弦与双曲线交于一支时，直径是两条射线并且反向延长后都经过双曲线的中心（证明见附录）；当平行弦与双曲线交于两支时，直径是过双曲线中心的线段。
通过上面的观察，我们可以看出双曲线的直径可以是射线，直线和线段，它们经过双曲线的中心，或延长后经过双曲线的中心。
抛物线：在抛物线中，抛物线的对称轴是抛物线的直径，它可以看做是垂直于抛物线对称轴的一系列平行弦中点的轨迹;射线的DE 也是抛物线的直径，它可以看做是一系列与对称轴不垂直的平行弦的中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出抛物线的直径是位于抛物线内部的一条射线，并且平行于抛物线的对称轴。
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式中点弦抛物线中点弦公式抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。
中点弦椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
中点弦双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．定理1还可推广得到更一般的结论．定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
圆锥曲线的直径
圆锥曲线的直径及方程关键字:直径的定义 直径的斜率 方程，应用高小奇 宝鸡高新实验中学第一部分：圆锥曲线直径的定义【提出问题】圆有直径，那么高中我们讲了椭圆，双曲线，抛物线以后，这些图形有没有直径？ 【动手体会】让我们从圆开始体会一下直径的定义，在平面内做一个圆，做出一系列平行弦，取出每一个弦的中点，然后把每一个弦的中点连结起来，你会发现所有中点的连线恰好是圆的直径，故圆的直径可以看做是圆中一系列平行弦中点的轨迹。
【类比定义】圆锥曲线直径的定义：圆锥曲线的直径是圆锥曲线的一系列平行弦中点的轨迹 【分类探讨】下面让我们分类认识一下圆锥曲线的直径：椭圆：椭圆的长轴12A A ，短轴12B B 都是椭圆的直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹，PQ也是椭圆的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出椭圆的直径是一条线段，并且经过椭圆的中心。
双曲线：在双曲线中，射线1M A ，2N A 及虚轴所在的直线都是其直径，它们可以看做是平行于两轴的一系列平行弦中点的轨迹；FG 也是双曲线的直径，它可以看做是不与坐标轴垂直的一系列平行弦中点的轨迹。
另外，双曲线不同于椭圆，它不是一个封闭图形，无论平行弦与双曲线交于一支，还是交于两支，其平行弦中点的轨迹都是双曲线的直径；当平行弦与双曲线交于一支时，直径是两条射线并且反向延长后都经过双曲线的中心（证明见附录）；当平行弦与双曲线交于两支时，直径是过双曲线中心的线段。
通过上面的观察，我们可以看出双曲线的直径可以是射线，直线和线段，它们经过双曲线的中心，或延长后经过双曲线的中心。
抛物线：在抛物线中，抛物线的对称轴是抛物线的直径，它可以看做是垂直于抛物线对称轴的一系列平行弦中点的轨迹;射线的DE 也是抛物线的直径，它可以看做是一系列与对称轴不垂直的平行弦的中点的轨迹。
通过上面的观察，我们可以看出抛物线的直径是位于抛物线内部的一条射线，并且平行于抛物线的对称轴。
圆锥曲线知识要点及重要结论
圆锥曲线知识要点及重要结论圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种特殊的曲线形状。
本文将介绍圆锥曲线的基本定义、性质和重要结论，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个可移动的点P和两个固定点F1、F2组成的。
对于椭圆和双曲线而言，这两个固定点称为焦点，而抛物线只有一个焦点。
圆锥线还有一个固定的直线L，称为准线，通过焦点F1、F2的垂线交于准线上的点称为顶点。
圆锥曲线的定义可以用以下公式表示：椭圆：PF1 + PF2 = 2a，其中a为椭圆的大半轴长度；双曲线：|PF1 - PF2| = 2a，其中a为双曲线的距离焦点到准线的距离；抛物线：PF = PL，其中P为抛物线上任意一点，F为焦点，L为准线。
2. 圆锥曲线的性质2.1 椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数2a，其中a为椭圆的大半轴长度；- 椭圆的长轴是焦点的连线，短轴是准线的连线；- 椭圆是一个封闭曲线，对称于长轴和短轴。
2.2 双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 所有双曲线上的点到焦点的距离之差的绝对值等于常数2a，其中a为焦点到准线距离的一半；- 双曲线的两支分别相交于点F1、F2，这两个点称为焦点；- 双曲线是一个非封闭曲线，它与准线之间没有交点。
2.3 抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种，它的性质如下：- 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；- 抛物线是一个非封闭曲线，它与准线相切于顶点。
3. 圆锥曲线的重要结论3.1 椭圆的离心率椭圆的离心率是用来衡量椭圆形状扁度的指标，其定义为离心距与长轴长度的比值。
离心率的取值范围为0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆，而当离心率为1时，椭圆变成了一个线段。
3.2 双曲线的离心率双曲线的离心率也是衡量其形状的指标，其定义为离心距与焦点距离之差的比值。
离心率的取值范围大于1，当离心率趋近于无穷大时，双曲线的形状趋近于两个平行线。
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第53讲 圆锥曲线(二)
当 θ＝90° 时，λ＝4． 与左支相交时，θ＝±arccos
故 λ＝4． 说明 本题要充分考虑特殊位置和对称性． 3 例 6．已知抛物线 C1 的顶点( 2－1，1)，焦点( 2－4，1)，另一抛物线 C2 的方程 y2－ ay＋x＋2b＝0，C1 与 C2 在一个交点处它们的切线互相垂直，试证 C2 必过定点，并求该点的 坐标．(上海市 1985 年高中数学竞赛) 1 解 C1 的 p＝ ，方程(y－1)2＝x－( 2－1)，即 y2－2y－x＋ 2＝0． 2 1 设交点为(x0，y0)，则 C1 的切线方程为 y0y－(y＋y0)－ (x＋x0)＋ 2＝0.， 2 即 2(y0－1)y－x－2y0－x0＋2 2＝0． 1 1 同理可得，C2 的切线方程为 y0y－2a(y0＋y)＋2(x＋x0)＋2b＝0， 即 (2y0－a)y＋x－ay0＋x0＋4b＝0． 由题意知二者垂直，从而可得 1(－1)＋2(y0－1)(2y0－a)＝0， 整理得 4y02－2(a＋2)y0＋2a－1＝0． ① 由 y02－2y0－x0＋ 2＝0 和 y02－ay0＋x0＋2b＝0，相加得： 2y02－(a＋2)y0＋2b＋ 2＝0， ② ①－②×2 得：2a－1－4b－2 2＝0， 可得 4b＝2a－1－2 2． ③ 2 代入 C2 方程整理即可得：2y －2ay＋2x＋2a－1－2 2＝0， 即 2y2＋2x－2 2－1－2a(y－1)＝0，
y1＋y2 k ＝－ ． 2 2
1 1 由于 M 在直线 l 上，则 y0－1＝k(x0－1)，则可得 x0＝2－k． k 1 1 2 又 M 在抛物线的内部，即 y0＜x0，所以(－ )2＜ － ， 2 2 k k3－2k＋4 (k+2)(k2－2k＋2) 即 ＜0，也就是 ＜0， k k 解得 －2＜k＜0． 说明 在解涉及弦的中点等相关问题时， 可以采用这样的方法： 设弦的两个端点坐标为(x1，
高中数学圆锥曲线的知识点总结
高中数学圆锥曲线的知识点总结高中数学中的圆锥曲线是一类重要的曲线，它在高中数学中都有所涉及，对学生的理解具有重要的作用。
圆锥曲线的定义：圆锥曲线是椭圆的一类特殊形式，它是以一条直线为锥面，以点为锥顶，以椭圆的圆周组成锥体所组成的曲线。
一般用参数方程表示。
圆锥曲线一般有半径与切线长相等的正圆锥曲线和小于半径的负圆锥曲线。
正圆锥曲线的半径及切线长是有正负方向区分的，如螺旋线，假设曲线沿正方向旋转，负方向切线围绕它沿正方向旋转，负方向半径为负，如椭圆拱起来的圆锥曲线，半径随距离锥顶的距离递减，从而产生了负圆锥曲线。
参数方程表示：给定椭圆上一点选择点P（x0，y0），向x轴引一条角等于α的切线，以此点P为锥顶，椭圆上一点和此切线的交点M（x1， y），称此点M为锥轴上的右端点；它与点P连成直线称为锥轴，则圆锥曲线参数方程为：x=(x1-x0)cos t+x0其中0≤t≤2π。
圆锥曲线的特征：1、圆锥曲线是一种有界曲线，有开口和封闭两种形式；2、圆锥曲线的曲率K在x=x0点为0，随着t值的增大，K值却不断增大，此点叫曲率极值点；3、圆锥曲线的中心曲率等于曲率，等于锥面切线的长度；4、圆锥曲线是对称曲线，对称轴在椭圆上一点P。
椭圆拱起来的正圆锥曲线可以进行求积分，例如求椭圆拱起来的正圆锥曲线的面积S。
设椭圆的参数方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1。
其中a,b为椭圆的长轴和短轴，设M（x1, y1）为圆锥曲线的锥轴上的右端点（x1=a^2/b, y1=0），α为椭圆上点P（x0, y0）的切线的角，示意图如下：则S=∫a^2/b到x1的y方向的矩形的面积+∫x1到x0的平行四边形的面积+∫点O到点M的扇形面积，如下式：S=1/2b∫[(x1-a^2/b)cosα+(x^2-a^2/b)αsinα-a^3/b]dx+1/2b∫[x2-x1cosα-a^2/bcosα]dx+1/2b∫[x-x1sinα+(a^2/bcosα-x1)αcosα]dy1、圆锥曲线本身就是椭圆的一种特殊形式，它可以在科学仪器、飞机发动机以及航天工程中应用；2、圆锥曲线及它的参数方程可以用于是描述动力学系统中运动界面，在导弹领域有广泛的应用；3、由圆锥曲线可求出直线间的最短距离，广泛应用于计算机视觉原理中；4、用圆锥曲线及它的参数方程可以描述人脸、构建三维实体模型等。
《数学史》古希腊数学(3)解析
第二时期的希腊数学
第二卷 讨论双曲线渐近线的作法和性质，共轭双曲线的 性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心
的概念；怎样作满足某种条件的圆锥曲线的切线。
亚历山大里亚时期的希腊数学
第三卷 讨论了切线与直径所围成的图形的面积；论述了 极点和极线的调和性质，讨论了椭圆和双曲线的焦点的性
a b c ），其实这一公式最 a, b, c 为边长， （ 为三角形面积， s 2 先为阿基米德所发现。
这一时期的主要成就
(1) 几何: 海伦《量度》 (2) 三角学: 托勒玫《大成》 (3) 算术与代数: 丢番图《算术》 (4) 帕普斯《数学汇编》:希腊数学的安魂曲 希帕蒂娅之死(417A.D.):希腊数学的终结
在阿波罗尼奥斯之前，希腊人用三种不同圆锥面
导出圆锥曲线。阿波罗尼奥斯则第一次从一个对顶锥
得到所有的圆锥曲线（只要用一个平面曲截对顶锥即 可，圆锥曲线有五种可能的类型—椭圆、双曲线、抛 物线、圆和直线），并给它们以正式的命名，现在通 用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。
亚历山大里亚时期的希腊数学
另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式 s(s a)(s b)(s c)