一个有趣的圆内接四边形面积最大值
圆内接四边形面积最大值的探究
圆内接四边形面积最大值的探究数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法.比如，“问道于零”可以解决实数的很多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出“中点法”——倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线…教材编写的体例也是遵循这一原则，比如四边形→平行四边形→特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评指正.一、问题呈现如图1，在⊙O 中，1,1r AB BC ===，求圆内接四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图2，连结AC ，由条件易得120ABC ∠=︒，AC =ABC S ∆=. 要使四边形ABCD 的面积最大，只需ADC ∆的面积最大，即点D 是弦AC 的中垂线与圆的交点.此时，,,D O B 三点共线，四边形ABCD 反思 本题的关键是发现对角线AC 为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上的点到直线距离的最大值问题.但1AB BC ==这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论.二、条件变式变式1 如图3，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AB a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图4，连结AC ，因为弦AB 和BC 已知，则AB ，BC ，AB BC +也随之确定，所以弦AC 是定值.那么，解题思路与原题相同，当点D 是AC 中垂线与圆的交点，即DA DC =时，四边形ABCD 的面积最大.那么，如何计算此时的最大面积呢?思路1 先分别求出ACD ∆和ABC ∆的面积再相加.但,a b 如果不是特殊值，D ∠和B ∠就不是特殊角，那么AC 的计算过程会特别复杂，所以不适用.思路2 根据前面的分析，当四边形ABCD 面积最大时，有DA DC =，即BD 平分ABC ∠.常规的辅助线是作旋转.如图5，连结DB ，将DAB ∆绕点D 逆时针旋转，使得DA 与DC 重合，与DBC ∆拼接成等腰三角形'DBB ∆，且'BB a b =+.此时四边形的最大面积等于'DBB ∆的面积，但同样因为,a b 的非特殊性，使得'DBB ∠不是特殊角，从而导致面积求解困难，所以此方法也不适用.思路3 在同圆或等圆中，除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等.于是笔者再次尝试.如图6，连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).因为BF AD DC EC ===，所以四边形BCEF 是等腰梯形，且它的面积与四边形ABCD 的面积相等.如图8，再过点O 作,EF BC 的垂线，垂足分别为点,P Q .又因为,EF AB a BC b ===，所以OP =OQ =由梯形面积公式，可得 max ()BCEF ABCD S S =四边形四边形1(2a b =++ 如果把问题中“邻边已知”改为“对边已知”，情况又会怎么样呢?变式2 如图9， ⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AD a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.解析从条件来看，AD 与BC 是对边，也就不存在“弦AC 是定值”这样的结论.难道圆内接四边形面积最大值的公式仅限于“有一组邻边已知”的条件?上述“通过旋转改变四边形边与边的相邻关系，但不改变四边形面积”的思路为本题做了铺垫.如图10，同样连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).,BF AD a BC b ===，问题转化为变式1，解法同上，可得max 1()(2ABCD S a b =++四边形. 评注 在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了四边形边与边的相邻关系.一方面，“邻边”向“对边”转化有效地解决了面积最大值的求解问题;另一方面，“对边”向“邻边”转化，完善了圆内接四边形面积最大值与边有关的结论. 由变式1和变式2，可得结论:命题1 若⊙O 是四边形ABCD 的外接圆且半径为r ，已知四边形任意两边的长为,a b ，则四边形ABCD 面积的最大值为max 1()(2ABCD S a b =++四边形 ① 结论再反思 边是定值，则边所对的圆心角、圆周角、弧的度数也是定值;那反过来，如果给定的是圆心角、圆周角、弧的度数，也可转化为上述变式中边已知的情况，结论依然成立.在圆内接四边形中，一组邻边已知，则这组边所对的一个四边形内角是定值;反过来，已知一个四边形的内角，但无法确定四边形的任何一边.于是，笔者尝试从角度入手，进一步弱化边的条件，来增加四边形顶点中动点的个数.请见以下变式.变式3 如图12，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AB BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 如图13，连结AC ，由2AB BCm θ+，可得2AC θ=，则弦AC 是定值. 在四边形ABCD 中，不妨假设,A C 是定点，则,B D 是动点.分别过点,B D 作AC 的垂线，垂足是点,Q P ，则1()2ABCD S AC DP BQ =+四边形. 再连结BD ，因为斜大于直，2DP BQ BD r +≤≤.所以，当四边形ABCD 面积最大时，BD 过圆心O 且垂直于AC ，即BD 是AC 的中垂线(如图14).连结,OA OC ，因为2AC θ=，则ADC AOB θ∠=∠=，可得2sin AC r θ=，所以2max 1()2sin 22sin 2ABCD S r r r θθ==四边形. 根据前面的探究经验，可继续研究把“相邻弧的度数和”改为“相对弧的度数和”的情况.请见以下变式.变式4 如图15，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AD BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.解析 连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).因为BF AD =，则2BF BCm θ+，故问题转化为了变式3.同理，可得2max max ()()2sin ABCD BCEF S S r θ==四边形四边形.进一步发现，当四边形BCEF 面积最大时，EB 是FC 的中垂线，即BF BC =，EF EC =.如果将旋转后的图形还原，就有,AD BF BC AB EF EC DC =====，此时四边形ABCD 是矩形(如图17).通法归类在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了圆周上弧与弧的相邻关系，从而将“对弧”的条件向“邻弧”的条件转化，并由此得出圆内接四边形面积最大值与角度有关的结论。
圆内接多边形的面积最大值__解释说明
圆内接多边形的面积最大值解释说明1. 引言1.1 概述圆内接多边形是指一个正多边形的顶点都位于同一圆上，并且这个圆与多边形的边完全“接触”。
研究圆内接多边形的面积最大值对于数学和几何学领域具有重要意义。
本文旨在探讨圆内接多边形面积的计算方法以及影响其面积最大值的因素。
1.2 文章结构本文共分为五个部分，各部分主要内容如下：1) 引言部分概述了本文的研究背景和目标；2) 圆内接多边形的面积计算方法介绍了相关特征、性质以及推导面积公式的方法；3) 影响圆内接多边形面积最大值的因素分析包括边数、圆心角和边长等因素对面积的影响；4) 确定圆内接多边形最大面积方法与实现过程阐述了确定目标函数与约束条件、选择合适的最优化算法，并介绍了求解过程；5) 结论总结本文所研究的内容，提出未来研究的发展方向。
1.3 目的本文旨在研究圆内接多边形的面积最大值，并探讨影响其面积最大值的因素。
通过深入分析和计算具体案例，提出求解圆内接多边形最大面积问题的方法与实现过程，为相关领域的研究提供理论和方法支持。
此外，本文还将总结研究结果并指明未来研究方向，以促进该领域的进一步发展。
2. 圆内接多边形的面积计算方法2.1 圆内接多边形的特征与性质圆内接多边形是指所有顶点都位于同一个圆上的多边形。
这些多边形有一些特征与性质，值得我们研究和探索。
首先，对于任意一个圆内接多边形，它的每条边都与该圆的切线相切。
这是因为切线与半径垂直，并且过切点作该切线垂线必定会经过圆心。
其次，圆内接多边形的各个顶点处皆可构成一个等腰三角形。
由于半径垂直于圆的切线，并且等腰三角形两腰相等，则每条边所对应的两个半径均相等。
2.2 圆内接多边形的面积公式推导方法我们希望能够找到一种准确计算圆内接多边形面积值的公式，以便进一步研究和分析。
假设我们有一个正n边形（n大于等于3）在一个半径为r的圆内，我们可以从中心点引出n条半径。
将该正n边分成n个扇区，每个扇区的面积可以表示为圆心角θ与半径r的乘积的一半。
边长确定的四边形面积最大值定理
（ ）与 （ ） 平方相 加 ，整 理得 ： １ ２
４ 一 ［ 】 ｚ
笔者对此进行 了探究 ，得到如下定理 ： 定理 若给 出四条线段 ａ，ｂ，ｃ ，ｄ， 当其组成
＋ ｃｄ 一 ａ ｃ ｃ ｓ １ ）． 口ｂ ＋ ２ ｂｄ ｏ（ ＋ Ｏ
因 此 ， 当 ｃｓ ， Ｏ） １ Ｓ有 最 大 值 ， 而 ｏ（ ＋ ２：一 时 Ｏ
２１ ００年第 ９ 期
福建中学数 学
１ ７
又 由点 Ｐ在 椭 圆上 有 ｂｕ ＋ａｖ 一ａｂ ＝０， ２ ２ ２。
ｂ ［ ２ ｎ ｍ２ｘ ａｍ ２（ －ｍ ＋ ） ２ ． ａ －
．
．
．
］ ｚ
（ ｔ 一ａ ｍ ２ ）
ｂ — （ —了 …１． ） ２ ．（
—
Ｃ
的四边 之长依次为 Ｘ，Ｙ，
Ｚ， Ｗ，贺斌 老 师 利 用柯 西
不 等 式 求 得 最 大 面 积 为
（ ＋
．
／
连接 Ｂ ，则 四边 形面 积 Ｄ
Ｓ ＝ Ｓ 阳 ＋ Ｓ Ｂ Ｄ
＝
６ｓｎ ＋ ｃ ｓｎｏ ｉ ｉ ２，
２ Ｓ＝ａ ｓ ＋ ｄｓ … （ ） ｂｉ ｎ ｃ ｉ ｎ １
由于对 角线 互 相垂 直 ， 所 以 一 ｚ ＝Ａ Ｅ Ｙ ＝Ｗ 一 Ｅ 一Ｃ ， Ｘ ＋Ｚ ＝Ｙ ＋ｗ ，
在ＡＢ 与ＡＢ ＡＤ Ｃ Ｄ中 ，由余 弦 定理 得 ：
ａ ＋ｂ 一 ２ ｂｃ ｓ ｌ＝ｃ ａ ｏＯ ＋ ｄ 一２ ｄｃ ｓ ２ ． ｃ ｏｏ
）
、
ｍｉ ’ ｘ一
ｔ ２
ａ２， ２ ＂
一
＋ （ 口［ — ａ
—
２
－
ｍ ｎ
圆内接四边形性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判断定理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2分析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 切合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°分析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个分析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额一定相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.分析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.分析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.分析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF .S ABD＝22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。
椭圆内接过焦点的平行四边形面积最大值
椭圆内接过焦点的平行四边形面积最大值
1、当（根号2）/2≤e＜1时，最大面积为2ab
2、当0＜e＜（根号2）/2时，最大面积为4c(b^2)/a
其中e为该椭圆的离心率c/a
看到跟椭圆一部分的面积有关的问题，就把椭圆沿x轴（或y轴）等比例缩放，将椭圆缩放成圆，这样很好处理面积，做弦心距就行，还有勾股定理能用~你可以自己先试一下，而且这道题把椭圆缩放成圆的同时，平行四边形被缩放成了矩形（圆内的平行四边形都是矩形），处理它的面积更是得心应手~，最后别忘了再把面积缩放回来，把矩形的面积再乘个缩放比例系数就行~
我是把椭圆沿x轴缩放的，只要把原来的所有点的横坐标都乘以b/a，这样椭圆就缩放成了半径为b 的圆，焦点坐标变为（正负）cb/a
缩放后我就设过焦点的弦的弦心距为x，然后就是解决一个二次函数的问题。
论边长确定的四边形面积最大值定理
以何种方式连结 ， 面积的最大值不变． 因此可以调整线段的连结顺序 ， 使长度分别为 ，与 ） Ｗ的边相邻． ， ， 因为 ＋ ＝ ， Ｙ ＋ 显然其外接圆的直径为
１（ ＋ ）
．
＋ 此时四边形可分为 ２ ， 个直角三角形， 以其面积为 所
三 角 函 数 题 “正 确 解 法 ’后 的 反 思 ’
ｃ≠ ０，
［］ 中等 数 学 ，０ ８ １ ）１—４ Ｊ． ２０ （０ ：２１．
［ ］ 唐立华． ２ 长沙一 中奥赛标准讲义［ ． Ｍ］ 北京 ：
龙 门书局 出版 社 ，０ ４ ２０ ．
论 边 长 确 定 的 四 边 形 面 积 最 大 值 定 理
●王兵权 （ 河间市第一中学 河北河间 ０２５ ） ６４０
第 ９期
４ ＋４ ＋ １＝０ ．
王 兵 权 ： 边 长 确 定 的 四边 形 面积 最 大值 定 理 论
・２ ・ ５
且０ ｄ—ｂ ≠０ ， ０ ｃ ）贝
因 一是 ＝若的动 ．而 此。 ） ＝ 笔 不点 从 。５ｎ１ （＋） ａ
ａ＋ ｎ ｌ＋一 ２
．
（ ） 函数 厂 ）＝ａ １若 （ ｘ＋ｂ ２个相 异 的不 动 点 有
因此 ， ＣＳ０ ＋ ２ 当 Ｏ（ ０）＝一 时， 有最大值． ０ ０ ＋ ２ ２ 当 ０ ＋ ２ １ 即四边形为圆的内接四边形 ｌ Ｓ 而 ＜ ０ ＜ ， ０ ＝ Ｔ ，
Ｊ＝ 卜【 ｓ 一
１ ６
】 “ｃ＋ ）／ｂｄ－ａｂ－２２ ＝ ：４ ＋）［ ＋）ｃｄ２ ｃ ｆ ２ ￣ａｃ （ ２（ ） （ ２ ２ ＋］
‘
／ 口 ｂ 一 ｃ ｄ ］（＋ ）一 口 ６ ］ Ｅ ＋） （— ） ［ｃ ｄ （一 ） （
直径为4的圆内接矩形最大面积
直径为4的圆内接矩形最大面积
正如九年级的学生需要学习的那样，圆的最大面积是既定的，而内接矩形的最大面积可以通过计算求得。
求解直径为4的圆内接矩形最大面积，首先，把该问题又转化为求一个直径为4的圆周围的矩形最小面积，因为圆内接矩形的最大面积等于圆外接矩形的最小面积：
（1）根据扇形的性质，知道直径为4的圆周围有4条等分线：将4条等分线顺序连接起来，形成一个四边形，此四边形的最小面积即为外接矩形的最小面积。
（2）因为圆的面积为πr2，即有π×4×4=16π，那么外接矩形的最小面积为16π。
（3）因此，直径为4的圆内接矩形最大面积为16π。
综上所述，可以总结为：
1. 直径为4的圆周围有4条等分线；
2. 连接起来形成一个四边形，外接矩形的最小面积为16π；
3. 直径为4的圆内接矩形最大面积即为16π。
圆内接四边形的面积公式
圆内接四边形的面积公式在讨论了三角形的面积之后，我们将讨论一些求解四边形面积的公式。
由于任何四边形都可以看作是两个三角形被一条对角线分割的组合，所以我们给出的近百个三角形面积公式都可以用来求解四边形的面积，但是四边形也有自己的特点。
本文的目的是找出其特征，并推导出求面积的特殊公式。
注:本文讨论的四边形都是凸四边形。
就像三角形一样，在讨论之前，我们先给出四边形基本元素的记法。
如下图所示的四边形ABCD：我们记AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，A，B，C，D为四个顶点所在的角度，对角线AC=m，BD=n，它们的夹角取锐角，记为\theta ，交点记为O，四边形的面积记为S。
由于四边形与三角形不同，即便是给出了四边形的四条线段的长度，也无法确定一个四边形，即给出四条指定长度的线段，由它们围成的四边形不止一个（至于有几个，不在本文的探讨范围之内），但是如果知道了四边形的两条对角线的长度以及它们的夹角却可以求解面积，若要确定四边形的形状，则只需要再知道它们的交点位置即可，所以第一个四边形的面积就出现了，如下推导：S=S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot BO\cdot sin\theta +\frac{1}{2}AC\cdot DO\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot (BO+DO)\cdot sin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot BD\cdot sin\theta=\frac{1}{2}mnsin\theta我们记为四边形的面积公式一。
与我们在《三角形的面积公式七》中所讲述一样。
公式一是用两条对角线的长度及其夹角来求解四边形的面积，但是在通常的计算和问题中，我们总是会遇到知道四条边长，而不知道对角线长的情况，所以我们还是得要寻求以边长来求解面积的公式，可是前面说了，只知道四条边的长度没法确定一个四边形，那么面积也就不确定，为此，我们还需要一个量来确定形状，结合公式一，我们可以想到保留\theta 角，而用四条边长来替代对角线，而能够用长度和角度来求解长度的就是余弦定理。