6数值积分与微分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值积分与数值微分ppt课件
a
,
x1
b
2
a
,
x2
b
,h
b
2
a
Cotes系数:
C0( 2 )
1 4
2
1
(t 1)(t 2)dt
0
6
4.5 4
C1(2)
1 2
2
t(t 2)dt
0
4 6
3.5 3
2.5
C2(2)
1 4
2
1
(t 1)tdt
0
6
2 1.5
1
求积公式:
2
Q2( f ) (b a)
n (t j)h
0
0
jn
(k
j)h
h
dt
jk
jk
h (1)nk n
(t j)dt
k!(n k)! 0 0 jn
jk
Ak
ˆ
(b
a
)
C (n) k
C
(n)称
k
为Cotes系
数
(1)nk
n
Ak
(b a)
3
I3(
f
)
b
6
a
(a2
(a
b)2
b2
)
b3
3
a3
R( , x2 ) 0
（3）当 f (x) x3时，I ( f ) b4 a4
4
I3(
f
)
b
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微分的意义和作用
微分的意义和作用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
微分的意义和作用是研究函数的局部变化情况，通过微分可以求得函数在某一点的斜率，从而揭示函数的变化规律和性质。
微分的意义在于能够描述函数在某一点的瞬时变化率。
在数学中，函数的微分可以看作是函数在某一点附近的线性逼近。
通过对函数进行微分，可以得到函数在该点的切线斜率，这个斜率反映了函数在该点附近的变化趋势。
通过研究函数的微分，可以揭示函数的增减性、极值点、拐点等重要信息。
微分的作用十分广泛。
首先，在几何学中，微分广泛应用于曲线的研究。
通过对曲线的微分，可以得到曲线在某一点的切线方程，从而研究曲线的几何性质。
此外，在物理学中，微分也被广泛应用于描述物理量的变化。
例如，速度和加速度可以通过对位移函数进行微分得到。
微分还可以用于解决最优化问题，通过求解函数的极值点，可以得到函数的最大值和最小值。
微分的概念可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨。
牛顿和莱布尼茨分别独立发展了微积分学，他们的贡献被称为牛顿-莱布尼茨公式。
微分的计算通常使用导数的定义或者基本的微分法则。
导数的定义是通过极限来定义的，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
基本的微分法则包括常数法则、幂法则、指数法则、对数法则等，这些法则可以简化微分的计算。
微分的计算方法有多种，常见的方法有数值微分、符号微分和微分方程。
数值微分是通过数值逼近来计算微分，它适用于函数没有解析表达式的情况。
符号微分是通过对函数的表达式进行代数运算来求得微分，它适用于函数具有解析表达式的情况。
微分方程是描述函数导数与自变量之间关系的方程，通过求解微分方程可以得到函数的解析表达式。
微分作为微积分的重要概念，在数学和物理学中有着广泛的应用。
它可以描述函数的局部变化情况，揭示函数的性质和规律。
微分的计算方法有多种，可以根据具体的问题选择合适的方法。
微分的研究对于深入理解数学和物理学的原理和应用具有重要意义。
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
机械求积公式
说明：（1）式的特点是用求积节点处的函数值的 线性组合来计算定积分的近似值。
数值求积方法是近似方法，为保证精度，希望所 提供求积公式对于“尽可能多”的函数准确成立。
【定义1】 如果公式(1)对于所有次数不超过m的多 项式都能准确成立，而对于某个(m+1)次多项式等式 不能准确成立，则称公式(1)具有m阶代数精度。
———Cotes公式
代数精度为5 阶
说明：
(1) P 157 表1列出了 n:1-8 时 Cotes系数;
n
(2) Cotes系数之和等于1,即 ci(n) 1 i0
(3) Cotes系数越接近越好, 如果Cotes系数 出现负数,舍入误差增长很快,公式不宜采用.
例3 设 f ( x) x3 5x2 6x , 分7 别用梯形公式
于所求曲边梯形的面积。
取 a,b内若干个节点 xk 处的高度 f xk ，通过加权平均
的方法生成平均高度 f ，这类求积公式称机械求积公式：
b
n
n
f ( x)dx
a
Ai f ( xi )(b a)
i f ( xi ).........1()
i0
i0
xi 求积节点
i 求 积 系 数 ， 也 称 伴 随 节点xi的 权
例1 建立[-1,1]上以节点 x0 1, x1 0.5, x1 1 的数值积分公式.
三、插值型求积公式
从 另 一 角 度 考 虑 ， 用 关于{ xi }ni0的 插 值 多 项 式 的 积分 值 作为f ( x)的 定积 分 的近 似 值 ， 即
b
b
nb
a f ( x)dx a Ln ( x)dx a li ( x) f ( xi )dx
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
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第六章 数值积分与数值微分教学内容：1．机械求积公式与代数精度 2．牛顿—柯特斯求积公式 3．龙贝格求积公式 4．高斯求积公式 5．数值微分教学重点：代数精度，各种求积公式的构造、收敛性、收敛速度及误差估计教学难点：复化求积公式的误差估计，龙贝格算法，高斯求积公式计划学时：5-7学时 授课提纲：6．1 机械求积公式与代数精度6．1．1 数值求积的必要性在工程及实际工作中经常会遇到求定积分的问题。
如求一块石棉瓦曲边的长度，假定石棉瓦曲边服从函数f(x)=sinx ，从x=0到x=b ，则曲边弧长[]dx x dx x f L bb ⎰⎰+='+=0202)(cos 1)(1这是一个第二类椭圆积分。
又如在微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y的特解时，可以把解表示为dx y x f y x y xx ⎰+=0),()(0这是一个积分方程，其中需要求积分dx y x f xx ⎰0),(由微积分理论可知，只要被积函数在区间[a,b]连续，就可以使用牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式⎰-=baa Fb F dx x f )()()( )16(-计算。
然而，在许多实际问题中，这种解析方法是无能为力的，或者是非常麻烦的。
原因有三：(1) 找不到原函数F(x)，如第一个例子中的第二类椭圆积分，又如322221,s i n ,32,53,,s i n ,ln 12x x x x x x e x x x x ++++-等，有些被积函数是以表格形式给出，没有有限的解析表达式。
(2) 虽然可以找到原函数F(x)，但它比被积函数复杂得多，而且有时难以给出最后的数值结果。
(3) 除一些特殊的无穷积分外，通常很难求无穷积分的值。
故采用数值方法求定积是很有必要的，同时也可以证明后面给出的数值求积公式是有效的。
6．1．2 数值求积的基本思想对于积分⎰=badxx f f I )()( )26(-由积分中值定理，若],[)(b a C x f ∈，则有⎰∈-==bab a f a b dx x f f I ],[)()()()(ξξ )36(-这样，如何近似的代替平均高度)(ξf 是数值求积的根本问题。
如 用)(a f 代替)(ξf ，得到左矩形公式 )()()(a f a b f I -≈ 用)(b f 代替)(ξf ，得到右矩形公式 )()()(b f a b f I -≈用)2(b a f +代替)(ξf ，得到中矩形公式 )2()()(b a f a b f I +-≈用2)()(b f a f +代替)(ξf ，得到梯形公式 ))()((2)(b f a f ab f I +-≈)46(-用6)()2(4)(b f ba f a f +++代替)(ξf ，得到辛卜生公式 ))()2(4)((6)(b f ba f a f ab f I +++-≈ )56(- 一般地，我们可以在区间[a,b]上适当选取若干个节点k x ，然后用)(k x f 的加权平均值作为平均高度)(ξf 的近似值，构造求积公式)()(0∑==nk k k n x f A f I )66(-去近似)(f I 。
称k x 为求积节点，k A 为求积系数，)(f I n 为近似求积公式。
这类数值求积方法常称作机械求积，（6-6）称为机械求积公式。
该方法避开了牛顿—莱布尼兹公式需要求原函数的困难。
一但k x 、k A 确定，近似求积公式)(f I n 也就确定了。
即k x 、k A 的不同选取，得到不同的求积公式。
之后需要讨论的问题就是求积公式的代数精度、收敛性及稳定性。
6．1．3 求积公式的代数精度不同的数值求积公式好坏的度量，是将求积公式应用在多项式上进行比较的，希望求积公式对次数尽可能高的多项式能精确成立，这就是代数精度的概念。
定义6-1 若某个求积公式对任意次数不超过m 的多项式能精确成立，而对m+1多项式不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
定理6-1 求积公式)(0∑=nk k k x f A 具有m 次代数精度的充分必要条件是公式对),,2,1,0(m i x i =精确成立，而对1+m x 不精确。
证明 必要性 若求积公式具有m 次代数精度，即对任意的数m a a a ,,,10dx x a xa A bami i i nk mi ikik⎰∑∑∑====)()(0由积分性质，有dx x a x A a mi b ai i mi nk i kk i ∑⎰∑∑=-==000)(故⎰∑===bai nk i k k m i dxx x A ),,2,1,0(0由设求积公式对某个m+1次多项式不精确，即 dx x b xb A b a m i i i nk m i i kik⎰∑∑∑+==+=≠)()(1010dx x b x A b m i b ai i m i n k i kk i ∑⎰∑∑+=+-=≠10100)(由于⎰∑===bai nk i kkm i dxx xA ),,2,1,0(0即有 ⎰∑++=++≠bam m nk m k k m dxx b x A b 11011即⎰∑+=+≠bam nk m kkdxx xA 101充分性 若求积公式对),,2,1,0(m i x i =精确成立，即⎰∑===bai nk i k k m i dxx x A ),,2,1,0(0设)(x P m 为任一不超过m 次的多项式，则有⎰∑⎰∑∑∑∑∑=========b ami i i baimi i m i n k i kk i n k mi i kikdx x a dx x a x A a xa A 0)()(即 ⎰∑==b am ni k m k dx x P x P A )()(0又由于 ⎰∑+=+=bam ni m kkdx x xA 101故⎰∑+=+≠b am n i k m k dx x P x P A )()(101。
该定理给出了验证求积公式的代数精度的有效手段，即验证求积公式对),,2,1,0(m i x i =精确成立，而对1+m x 不精确成立，则公式就具有m 次代数精度。
不难验证梯形公式和辛卜生公式具有1次和3次代数精度。
例6-1 试确定一个至少具有2次代数精度的求积公式)3()1()0()(2410f A f A f A dx x f ++≈⎰解 为使求积公式至少具有2次代数精度，公式必须对210,,x x x 成立，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=++36498342121210A A A A A A A解之得 940=A ，341=A ，9202=A即有)]3(20)1(12)0(4[91)(4f f f dx x f ++≈⎰将3x 代入求积公式两端，由于 642740321=≠+⎰dx x A A ，故该求积公式 仅具有2次代数精度。
例6-2 试确定求积公式中的参数，使公式具有尽可能高的代数精度。
)21()()21()(211110A x f A f A dx x f ++-≈⎰- 解 令3210,,,)(x x x x x f =分别代入求积公式，并使等号成立，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++-=++=++-=++0818132414102121221310212102110210A A x A A A x A A A x A A A A 解之得01=x ，3420==A A ，321-=A由于⎰-=11452dx x ，而61)21(0)21(424140=++-A A A ，故求积公式仅有3次代数精度。
6．2 插值型求积公式给定一组节点b x x x x a n =<<<<= 210，且已知函数在这些节点处的函数值，容易得到以上述节点为插值基点的拉格朗日插值函数)(x L n ，令∑⎰⎰∑⎰=====nk k k bab an k k k ba n n x f dx x l dx x f x l dx x L f I 0)())(()()()()(记 ⎰-==kak k n k dxx l A )76(),,2,1,0()(得到插值型求积公式∑=-=nk k k n x f A f I 0)86()()(由插值公式的余项定理容易得到插值型求积公式的余项)96()()!1()()()(][)1(-+=-=⎰+dxx n f f I f I f R ban n ωξ式中ξ与变量x 有关，)())(()(10n x x x x x x x ---= ω。
推论6-1 对于插值型公式的求积系数，有∑=--=nk ka b A)106(定理6-2 形如（6-7）的求积公式至少具有n 次代数精度的充分必要条件是该公式是插值型求积公式。
证明 充分性 若公式是插值型求积公式，由于对不超过n 次的多项式)(x f ，其余项][f R =0，因此插值型求积公式至少具有n 次代数精度。
必要性 求积公式（6-8）至少具有n 次代数精度，则它一定是插值型的。
事实上，这时公式（6-8）对于插值基函数)(x l k 应能精确成立，即)()(0j banj k j kx l A dx x l⎰∑==注意到kj j k x l δ=)(，上式右端实际上等于k A ，因而（6-7）式成立。
6．2．1 牛顿—柯特斯（Newton-cotes ）公式1．牛顿—柯特斯求积公式的构造与柯特斯系数将积分区间[a,b]分为n 等分，步长h=(b-a)/n ，选取等距节点kh a x k +=构造插值型公式)116()()()(0)(--=∑=nk k n k n x f C a b f I称为牛顿—柯特斯（Newton-cotes ）求积公式，式中)(n k C 称为柯特斯系数。
引进变换th a x +=，则有)(n k C =⎰∏⎰∏≠=≠=----=---n n kj j n n kj j k n dt j t k n nk dt j k j t a b h 0000)()!(!)1( （6-12）当n=1时，21)1(10)1(0=--=⎰dt t C ，2110)1(1==⎰tdt C得到梯形求积公式⎰+-=≈bab f a f ab f I dx x f ))()((2)()(1 （6-13）当n=2时，61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t C ， 64)2(2120)2(1=--=⎰dt t t C ，61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t C 得到辛卜生（Simpson ）求积公式⎰+++-=≈bab f b a f a f a b f I dx x f ))()2(4)((6)()(2 （6-14） 而n=4时的牛顿—柯特斯公式则特别称为柯特斯公式，其形式为⎰++++-≈bab f x f x f x f a f ab dx x f ))(7)(32)(12)(32)(7(90)(221 （6-15）式中k ab a x k 4-+=。