连云港市灌南县灌河中学2012届中考数学二轮专题复习二 数形结合
江苏省2012届高考数学二轮复习：第20讲 数形结合思想
第20讲数形结合思想数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．它包含两个方面：(1) “以形助数”，把抽象问题具体化．这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；(2) “以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题．数形结合思想不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且是解决数学问题的一种重要的方法，因而在高考中占有非常重要的地位．数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系；“形”主要是指图形，有点、线、面、体等．实现数形结合的渠道主要有：(1) 实数与数轴上点的对应；(2) 函数与图象的对应；(3) 曲线与方程的对应；(4) 以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等．数形结合思想主要用于解填空题和选择题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是辅助手段，最终要用“数”写出完整的解答过程．1. 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(B)∩A＝{9}，则A ＝________.2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.3. 直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则实数a的取值范围是________．4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【例1】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1) 根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2) 根据(1)的结果，若函数y ＝ f(kx)(k>0)周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx) ＝ m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．【例2】 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f(x)＝x 2＋2x ＋b(x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1) 求实数b 的取值范围； (2) 求圆C 的方程；(3) 问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．【例4】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在自然数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．1. (2011·福建)已知O 是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．2.(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝2x 的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．3. (2009·全国)如图，三棱锥ABCD 的侧面是顶角为40°，腰长均为1的全等三角形，动点P 从三棱锥ABCD 的顶点B 沿侧面运动一圈再回到点B ，则动点P 所走的最短路径长为________．4.(2008·江苏)设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于x ∈[－1,1]都有f(x)≥0 成立，则实数a 的值为________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1) 设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹；(2) 设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标；(3) 设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．6.(2010·天津)已知函数f(x)＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a>0.(1) 若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2) 若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围．(2011·南通三模)(本小题满分16分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)离心率为22，焦点在圆x 2＋y 2＝1上． (1) 求椭圆的方程；(2) 设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cosθOA →＋si nθOB →.①求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ②求OA 2＋OB 2.解：(1)依题意，得 c ＝1.于是，a ＝2，b ＝1. (2分) 所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) ①设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 又设M(x ，y)，因OM →＝cosθOA →＋sinθOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cosθ＋x 2sinθ，y ＝y 1cosθ＋y 2sinθ.(7分)因M 在椭圆上，故(x 1cosθ＋x 2sinθ)22＋(y 1cosθ＋y 2sinθ)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cosθsinθ＝1. 将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x 1x 22＋y 1y 2＝0.所以，k OA k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值．( 10分) ② (y 1y 2)2＝⎝⎛⎭⎫－x 1x 222＝x 212·x 222＝(1－y 21)(1－y 22)＝1－(y 21＋y 22)＋y 21y 22，故y 21＋y 22＝1.又⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22＝2，故x 21＋x 22＝2. 所以，OA 2＋OB 2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝3. (16分)第20讲 数形结合思想1. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x ＋1x －x －1x 有四个公共点，则实数k 的取值范围是____________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18 解析：y ＝x ＋1x －x －1x 为偶函数，考查函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0＜x ＜12x，x ≥1，在直角坐标系中作出函数的图象，直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，直线与曲线y ＝2x (x ≥1)在第一象限内相切时，直线的斜率为－18，根据图形可知实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－18，0，18.2. 设f(x)＝－13x 3＋12x 2＋2ax.(1) 若f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； (2) 当0＜a ＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．解：(1) f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间(m ，⎝⎛⎭⎫23，＋∞使得f ′(x)＞0.由f ′(x)＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ，f ′(x)在区间⎣⎡⎭⎫23，＋∞上单调递减，则只需f ′⎝⎛⎭⎫23＞0即可．由f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ＞0，解得a ＞－19. 所以，当a ＞－19时，f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间． (2) 令f ′(x)＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2.所以f(x)在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x 2)， 又f(4)－f(1)＝－272＋6a ＜0，即f(4)＜f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.基础训练1. {3,9} 解析：画出韦恩图即可得到答案．2. 3 解析：从图象上可知周期为T ＝π－π3＝2π3，ω＝2π2π3＝3.3. ⎝⎛⎭⎫1，54 解析：方程1＝x 2－|x|＋a 转化为x 2－|x|＝1－a ，令f(x)＝x 2－|x|，g(x)＝1－a ，在同一个直角坐标系中作出两个函数的图象，可知－14＜1－a ＜0,1＜a ＜54.4. 12 解析：本题画出韦恩图即可. 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12人．例题选讲例1 解：(1) A ＋B ＝3，－A ＋B ＝－1，∴ A ＝2，B ＝1.T ＝11π6＋π6＝2π，∴ ω＝1，那么f(x)＝2sin(x ＋φ)＋1，2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，∴ φ＝5π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π3＋1. (2) y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx ＋5π3＋1，∵ T ＝2π3，∴ k ＝3，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1. 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1在⎣⎡⎦⎤0，5π18上增，在⎣⎡⎦⎤5π18，π3上减， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋5π3＋1∈[1－3，3)∩[1＋3，3)， 故实数m 的取值范围为[3＋1,3)．变式训练 已知函数y ＝asinx ＋bcosx ＋c 的图象上有一个最低点⎝⎛⎭⎫116π，1.如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的3π倍，然后向左平移1个单位，可得y ＝f(x)的图象．又知f(x)＝3的所有非负实根依次为一个公差是3的等差数列．试求f(x)的解析式和单调递减区间．解：－12a ＋32b ＋c ＝1，－a 2＋b 2＋c ＝1，c ＝1＋2a ，b ＝－3a ，∴ y ＝2asin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1＋2a ，∴ f(x)＝2asin π3x ＋1＋2a ，设f(x)＝3的非负实根为x 0，x 0＋3，x 0＋6，…，则f(x 0)＝3，f(x 0＋3)＝3，即2asin π3x 0＋1＋2a ＝3,2asin ⎝⎛⎭⎫π3x 0＋π＋1＋2a ＝3.两式相加得a ＝1.因此c ＝3，a ＝1，b ＝－ 3.∴ f(x)＝2sin π3x ＋3，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤32＋6k ，92＋6k (k ∈Z )． 例2 解：如题图，连结A 1B 2，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102，△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°， 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos45°， ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度大小为10220×60＝30 2.答：乙船每小时航行302海里．例3 (1) 解：令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b)；令f(x)＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0，实数b 的取值范围是b ∈(－∞，0)∪(0,1)．(2) 解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b. 令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1. 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3) 证明：假设圆C 过定点(x 0，y 0)，(x 0，y 0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b(1－y 0)＝0 (*)为使(*)式对所有满足b ＜1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0， 结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1， 经检验知，点(0,1)，(－2,0)均在圆C 上，因此圆C 过定点．例4 解：(1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5)， ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a. 由已知，得6a ＝12，∴ a ＝2，∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0， ∴ 方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数f(x)＝12x 2－alnx(a ∈R )．(1) 若函数f(x)在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论方程f(x)＝0的解的个数，并说明理由． 解：(1) 因为f ′(x)＝x －ax (x>0)，又f(x)在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＝1，2－aln2＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝－2ln2. (2) 若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f ′(x)＝x －a x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以有a ≤1.(3) 当a ＝0时，f(x)在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解．当a<0时，f ′(x)＝x －ax >0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上的增函数．∵ f(1)＝12>0，f ⎝⎛⎭⎫e 1a ＝12e 2a －1<0，∴ 方程有唯一解． 当a>0时，f ′(x)＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x.因为当x ∈(0，a)时，f ′(x)<0，f(x)在(0，a)内为减函数；当x ∈(a ，＋∞)时，f(x)在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f(x)有极小值，即为最小值f(a)＝12a －aln a ＝12a(1－lna)．当a ∈(0，e)时，f(a)＝12a(1－lna)>0，方程无解；当a ＝e 时，f(a)＝12a(1－lna)＝0，此方程有唯一解x ＝ a.当a ∈(e ，＋∞)时，f(a)＝12a(1－lna)<0，因为f ⎝⎛⎭⎫12>0且a>1， 所以方程f(x)＝0在区间(0，a)上有唯一解．因为当x>1时，(x －lnx)′>0，所以x －lnx>1，所以x>lnx.f(x)＝12x 2－alnx>12x 2－ax ，因为2a>a>1，所以f(x)>12(2a)2－2a 2＝0，所以方程f(x)＝0在区间(a ，＋∞)上有唯一解． ∴ 方程f(x)＝0在区间(e ，＋∞)上有两解． 综上，当a ∈(0，e)时，方程无解； 当a<0或a ＝e 时，方程有唯一解； 当a>e 时，方程有两解．高考回顾1. [0,2] 解析：作出可行域，设z ＝OA →·OM →，则z ＝－x ＋y ，作出l 0：－x ＋y ＝0，平移l 0，知l 过点(1,1)时，z min ＝0，过(0,2)时，z max ＝2，∴ OA →·OM →的取值范围为[0,2]．2. 4 解析：直接画图结合函数的对称性可知，当直线的斜率为1时，线段PQ 长为最小，最小值为4；或设直线为y ＝kx(k ＞0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，解得P ，Q 两点的坐标，再求线段PQ 长的最小值，此法相对计算量较大，不如利用函数图象和性质快捷．合理画出函数图象利用函数的性质是解决函数问题的常用方法．要掌握各种常见函数的图象和性质，选用适当的方法求解问题．3. 3 解析：将三棱锥沿PA 展开得一平面图形，用余弦定理可得12＋12－2×1×1×cos120°＝ 3.4. 4 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f(x)≥0显然成立；当x ＞0即x ∈(0,1]时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g(x)＝3x 2－1x 3，则g ′(x)＝3(1－2x )x 4， 所以g(x)在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g(x)max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x ＜0即x ∈[－1,0)时，f(x)＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g ′(x)＝3(1－2x )x 4＞0.g(x)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)max ＝g(－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4.5. 解：(1) 由题知得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)，设点P(x ，y)，则PF 2－PB 2＝[(x －2)2＋y 2]－[(x －3)2＋y 2]＝4， 整理得x ＝92.故所求点P 的轨迹为直线x ＝92.(2) 由x 1＝2，x 129＋y 125＝1及y 1>0得M ⎝⎛⎭⎫2，53，从而得直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y225＝1及y 2<0，得 N ⎝⎛⎭⎫13，－209，从而BN 的方程为y ＝56x －52.由⎩⎨⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫7，103. (3) 由题设知，直线AT 的方程为y ＝m 12(x ＋3)，直线BT 的方程为y ＝m6(x ＋3)．点M(x 1，y 1)满足⎩⎨⎧y 1＝m12(x 1＋3)，x 129＋y125＝1，得(x 1－3)(x 1＋3)9＝－m 2122·(x 1＋3)25.因为x ≠－3，则x 1－39＝－m 2122·x 1＋35， 解得x 1＝240－3m 280＋m 2，从而y 1＝40m80＋m 2. 点N(x 2，y 2)满足⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m6(x 2＋3)，x229＋y 225＝1，x 2≠3解得x 2＝3m 2－6020＋m ，y 2＝－20m20＋m 2.若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m>0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x＝1，过点D(1,0)；若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2， 直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，所以k MD ＝k ND .所以直线MN 过D 点．综上，直线MN 必过x 轴上的点(1,0)．6. 解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 3－32x 2＋1，f(2)＝3；f ′(x)＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6.所以曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)，即y ＝6x －9.(2) f ′(x)＝3ax 2－3x ＝3x(ax －1)．令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论：①若0＜a ≤2，则1a ≥12，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，f(x)＞0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，5＋a 8＞0.解不等式组得－5<a<5.因此0＜a ≤2.②若a>2，则0＜1a ＜12.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，f(x)>0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，1－12a 2＞0.解不等式组得22＜a ＜5或a ＜－22.因此2<a<5. 综合①②，可知a 的取值范围为0<a<5.。
中考数学二轮拔高专题复习—数形结合
二轮复习——数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，嘉峪关，10分）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？解：（1）y1=20x，y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销 10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.【例2】（2005，某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】（2005，江西课改，8分）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－3所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
2012年连云港市中考数学试卷解析
2012年连云港市中考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．－3的绝对值是【 】A ．3B ．－3C ． 1 3D ．－ 132．下列图案是轴对称图形的是【 】A ．B ．C ．D ．3．2011年度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪录，其中数据“31 000 000”用科学记数法表示为【 】A ．3.1×107B ．3.1×106C ．31×106D ．0.31×1084．向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于【 】A ． 1 6B ． 1 4C ． 3 8D ． 585．下列各式计算正确的是【 】A ．(a ＋1)2＝a 2＋1B ．a 2＋a 3＝a 5C ．a 8÷a 2＝a 6D ．3a 2－2a 2＝16．用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【 】 A ．1cm B ．2cm C ．πcm D ．2πcm 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b ，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3＝【 】A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】A ．3＋1B ．2＋1C ．2.5D ． 5二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）9．写一个比3大的整数是 ．10．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝32x －y ＝6的解为 ．11．我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6(单位：元/kg )，则该超市这一周鸡蛋价格的众数为 (元/kg )．12．某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在 ℃范围内保存才合适．13．已知反比例函数y ＝ 2x 的图象经过点A (m ，1)，则m 的值为 ．14．如图，圆周角∠BAC ＝55°，分别过B 、C 两点作⊙O 的切线，两切线相交与点P ，则∠BPC＝ °．15．今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元．16．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝ k 2 x 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜ k 2x－b 的解集是 ．三、解答题（本题共11小题，共102分）17．计算：9－(－ 15)0＋(－1)2012．8．化简：(1＋1m )÷ m 2－1 m 2－2m ＋1．19．解不等式： 32x －1＞2x ，并把解集在数轴上表示出来．20．今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表：组别 垫球个数x (个) 频数(人数)频率 1 10≤x ＜20 5 0.10 2 20≤x ＜30 a 0.18 3 30≤x ＜40 20 b 440≤x ＜50160.32合计 1.00(1)填空：a ＝ ，b ＝ ；(2)这个样本数据的中位数在第 组；(3)下表为《体育与健康》中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少人？排球30秒对墙垫球的中考评分标准分值 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 排球(个)403633302723191511721．现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm )，从中任意取出3根．(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．22．如图，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，直线y ＝x ＋b (b ＞0)与⊙O 交于A 、B 两点，点O 关于直线y ＝x ＋b 的对称点O ′． (1)求证：四边形OAO ′B 是菱形；(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．23．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元．(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？24．已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离B D的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)25．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．26．如图，甲、乙两人分别从A(1，3)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，t h后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．27．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．2012年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分) 1．(2011•义乌市)－3的绝对值是( )A．3 B．－3 C．D．考点：绝对值。
高考数学二轮专题复习 第二部分 专题2 数形结合思想课件 新人教版(江苏专版)
23
1 解析：易知a≠0，由f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x|－ 2 1 1 1 ＝－ax，分别画出函数y1＝|x|－2，y2＝－ax 1 的图象(如图所示)，由图易知当0<－a<1或 1 －1<－a<0时，y1和y2的图象有两个不同的交点， 即当a<－1或a>1时，函数y＝f(x)有且仅有两个零点． 所以a的范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
fx 解析：作出函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图，而 x 的几 何意义是图象上的点与坐标原点连线的斜率，由图象可知 fa fb fc a < b < c .
fa fb fc 答案： a < b < c
12
13
[典例1] 已知a，b为不共线的向量，设条件M：b⊥(a－b)；条件N： 对一切x∈R，不等式|a－xb|≥|a－b|恒成立．则M是N的 ________条件．
49<16a， f(4)<g(4)且f(5)>g(5)即可．由 81>25a，
49 81 得16<a<25.
22Leabharlann [答案]49 81 ， 16 25
当不等式的解集不易求出时，可构造函数，利用函数的图 象直观寻找不等式成立的条件．
[演练3] 已知a是实数，函数f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数y＝f(x)有且仅 有两个零点，则实数a的取值范围是________．
[－1,0]时，f(x)＝f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2 (0≤－x≤1)，由最小正周期为2，得当x∈ [1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x.
答案：x
10
4．若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有两个不同的 解，则实数m的取值范围是________． 解析：原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0<x<3)， 设y1＝－(x－2)2＋1(0<x<3)，y2＝m.
中考数学第二轮复习课件第11讲数形结合
y kx b
y xa
【考题解析】
例（2007恩施自治州）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著 特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米。下图 是正在修建的庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形 构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道. (1).建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解 析式;(2）在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯， 在⑴的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置; (3) 为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部 （设为平顶） 与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米。现有一辆汽 车，装载货物后，其宽度为米，车载货物的顶部与路面的距 离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由。
【考题解析】
例（2007乌兰察布盟）甲乙两同学从A地出发，骑 自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地 的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间的函数 关系的图象，如图所示。根据图中提供的信息， 有下列说法： ⑴他们都行驶了18千米。 ⑵甲车停留了0.5小时。 ⑶乙比甲晚出发了0.5小时。 ⑷相遇后甲的速度小于乙的速度。 ⑸甲、乙两人同时到达目的地。 其中符合图象描述的说法有（ C ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
60 y 日销售量/万件 60 y 销售利润/（元/件）
O 图 10
30
40
t /天OΒιβλιοθήκη 20 图 1140
t /天
【思维拓展】
学以致用
解：(1) 由图10可得， 当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝k t． ∵ 点（30，60）在图象上，∴ 60＝30k． ∴ k＝2．即 y＝2 t． 当30≤t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b． 因为点（30，60）和（40，0）在图象上， 所以 60 30 k1 b
2012年中考数学第二轮复习(全套)精讲精练
第二轮复习一 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+=点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。
2012版中考二轮复习精品课件人教版数学(含2011中考真题)专题一
2012 版中考二轮复习精品课件人教版数学（含2011
中考真题）专题一
2012 版中考二轮复习课件
人教版数学（含2011 中考真题）
专题一数与式目录第1 课时实数的有关概念
第2 课时实数的运算及实数的大小比较
第3 课时整式及因式分解
第4 课时分式
第5 课时数的开方与二次根式
专题一数与式
·人教版
专题一数与式
·人教版
第1 课时实数的有关概念
第1 课时│实数的有关概念
·人教版
第1 课时│考点聚焦
考点1实数的概念及分类正整数·人教版
第1 课时│考点聚焦零·人教版
第1 课时│考点聚焦
·人教版
第1 课时│考点聚焦
考点2实数的有关概念原点正方向。
2012年江苏省连云港中考数学试题(含答案)
更多内容见微信公众号或小编微信空间2012年连云港市中考数学试题一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．－3的绝对值是【】A．3 B．－3 C．13D．－132．下列图案是轴对称图形的是【】A．B．C．D．3．2011年度，连云港港口的吞吐量比上一年度增加31 000 000吨，创年度增量的最高纪录，其中数据“31 000 000”用科学记数法表示为【】A．3.1×107B．3.1×106C．31×106D．0.31×1084．向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形除颜色外完全相同)，假设沙包击中每一个小三角形是等可能的，扔沙包1次击中阴影区域的概率等于【】A．16B．14C．38D．585．下列各式计算正确的是【】A．(a＋1)2＝a2＋1 B．a2＋a3＝a5C．a8÷a2＝a6D．3a2－2a2＝16．用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为【】A．1cm B．2cm C．πcm D．2πcm7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3＝【】A．50°B．60°C．70°D．80°8．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D． 5二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）9．写一个比3大的整数是 ．10．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝32x －y ＝6的解为 ．11．我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6(单位：元/kg )，则该超市这一周鸡蛋价格的众数为 (元/kg )． 12．某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2)℃，该药品在 ℃范围内保存才合适．13．已知反比例函数y ＝ 2x的图象经过点A (m ，1)，则m 的值为 ．14．如图，圆周角∠BAC ＝55°，分别过B 、C 两点作⊙O 的切线，两切线相交与点P ，则∠BPC＝ °．15．今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调数台，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 元． 16．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2x交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式k 1x ＜k 2x－b 的解集是 ．三、解答题（本题共11小题，共102分）17．计算：9－(－ 15)0＋(－1)2012．8．化简：(1＋1m )÷ m 2－1 m 2－2m ＋1．19．解不等式： 32x －1＞2x ，并把解集在数轴上表示出来．20．今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”，为了了解某学校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表：组别垫球个数x(个)频数(人数)频率1 10≤x＜20 5 0.102 20≤x＜30 a0.183 30≤x＜40 20 b4 40≤x＜50 16 0.32合计 1.00(1)填空：a＝，b＝；(2)这个样本数据的中位数在第组；(3)下表为《体育与健康》中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上(包括7分)学生约有多少人？分值10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 排球(个)40 36 33 30 27 23 19 15 11 721．现有5根小木棒，长度分别为：2、3、4、5、7(单位：cm)，从中任意取出3根．(1)列出所选的3根小木棒的所有可能情况；(2)如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．22．如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O 关于直线y＝x＋b的对称点O′．(1)求证：四边形OAO′B是菱形；(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．23．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择：方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元．(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？24．已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离B D的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，2≈1.41，5≈2.24)25．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．26．如图，甲、乙两人分别从A(1，3)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，t h后，甲到达M点，乙到达N点．(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．27．已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长P A到E，使AE＝nP A(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．2012年江苏省连云港市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1．(2011•义乌市)－3的绝对值是( )A．3B．－3 C．D．考点：绝对值。
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中考数学专题复习二 数形结合一、总体概述数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。
既节省时间，又提高解题的准确性，越来越倍受命题者的青睐。
二、典型例题【例题1】 如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。
【例题2】如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A ．二次函数2y ax bx =+的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上． （1）求点A 与点C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+的关系式．【例题3】如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在A M N △中，设MN 的长为x ，MN上的高为h ．x yO 1 2 32 1 1- 1- 2-221y x x =-- ANMA（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？三、当堂达标1．如图所示的44⨯正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）A ．330°B ．315°C ．310°D ．320°2．如图，点A 的坐标是(22)，，若点P 在x 轴上，且APO △是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（ ）A ．(4)，0 B ．(1，0) C ．(220)-， D ．(2)，03．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，动点P 从点 B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积 S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中 有黑色瓷砖________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖_______________块（用含n 的代数式O3 1 1 3 Sx A ．O1 1 3 S x O3 S x 3O1 13 S xB ．C ．D ．2第1题图 7654 3 211 23 4 -1 12 xy AD C P BA表示）.5．如图，直线l 和双曲线ky x=（0k >）交于A 、B 两点，P 是线 段AB 上的点（不与A 、B 重合），过点A 、B 、P 分别向x轴作垂线，垂足分别为C 、D 、E ，连接OA 、OB 、OP ，设△AOC 的面积为1S 、△BOD 的面积为2S 、△POE 的面积为3S ， 则有（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ． 123S S S =<D ．123S S S =>6．二次函数223y x=的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x=位于第一象限的图象上， 若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .7．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．8．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x y 、轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE x ⊥轴于点E ，1tan 422ABO OB OE ∠===，，． yA D CBC 'D ' B '第7题图 E（1）求该反比例函数的解析式； （2）求直线AB 的解析式．9．某公司经销某品牌运动鞋，年销售量为10万双，每双鞋按250元销售，可获利25﹪，设每双鞋的成本价为a 元. (1)试求a 的值；(2)为了扩大销售量，公司决定拿出一定量的资金做广告，根据市场调查，若每年投入广告费为x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 与x 之间的关系如图所示，可近似看作是抛物线的一部分．①根据图象提供的信息，求y 与x 之间的函数关系式；②求年利润S (万元)与广告费x (万元)之间的函数关系式,并请回答广告费x (万元)在什么范围内，公司获得的年利润S (万元)随广告费的增大而增多？ （注:年利润S ＝年销售总额－成本费－广告费）O2 41y （倍）x （万元）1.36 1.64中考数学专题复习 数形结合参考答案一、例题参考答案【例题1】解：（1）由图象可知，函数my x=（0x >）的图象经过点(16)A ，， 可得6m =．设直线AB 的解析式为y kx b =+． ∵(16)A ，，(61)B ，两点在函数y kx b =+的图象上，∴66 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得17.k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为7y x =-+． （2） 3 ．y x6B AO 11 6【例题2】解：（1）2221(1)2y x x x =--=--，所以顶点A 的坐标为(12)-，．因为二次函数2y ax bx =+的图象经过原点，且它的顶点在二次函数221y x x =--图象的对称轴l 上，所以点C 和点O 关于直线l 对称，所以点C 的坐标为(20)，． ················ （6分） （2）因为四边形AOBC 是菱形，所以点B 和点A 关于直线OC 对称，因此，点B 的坐标为(12)，．因为二次函数2y ax bx =+的图象经过点B (12)，，(20)C ，，所以2420.a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，．所以二次函数2y ax bx =+的关系式为224y x x =-+．【例题3】解：（1）MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴= 34x h ∴=（2）1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ，①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时，1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴ ∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABCxyO 1 23211- 1- 2-221y x x =--ABl C BCNM AMNCB EFAA 1168242ABC S =⨯⨯= △ 22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭1△A1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述：当04x <≤时，238y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2912248y x x =-+-， 取163x =，8y =最大 86>当163x =时，y 最大，8y =最大 二、当堂达标参考答案1.B ；2. B ；3.B ；4.10、3n+1；5.C ；6.2008；7.21- 8．解：（1）42OB OE == ，，246BE ∴=+=． CE x ⊥轴于点E ．1tan 2CE ABO BE ∴∠==，3CE ∴=． ∴点C 的坐标为()23C -，． 设反比例函数的解析式为(0)my m x=≠． 将点C 的坐标代入，得32m =-， 6m ∴=-． ∴该反比例函数的解析式为6y x=-． （2）4OB = ，(40)B ∴，． 1tan 2OA ABO OB ∠== ， 2OA ∴=，(02)A ∴，．设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．将点A B 、的坐标分别代入，得240.b k b =⎧⎨+=⎩，解得122.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为122y x =-+．9．解：（1）200250%)251(=⇒=+a a （元）（2）依题意，设y 与x 之间的函数关系式为：12++=bx ax y⎩⎨⎧=-=⇒=++=++2.0,01.064.1141636.1124b a b a b a ∴12.001.02++-=x x y（3）x x x S -⨯-⨯⨯++-=2001025010)12.001.0(2500499252++-=x x S 01.2990)98.9(252+--=x S∴当98.90<<x 时，公司获得的年利润随广告费的增大而增多．（13分） 注：98.90,98.90≤≤≤<x x 均可。