河北省唐山市迁西县第一中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题

迁西一中2019-2020学年度第一学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}260A x x x =--<，集合{}10B x x =->，则()R A B =I ð（ ）A. ()1,3B. (]1,3C. [)3,+∞D. ()3,+∞ 【答案】C【解析】【分析】先根据一元二次不等式计算出集合A 中表示元素范围,然后计算出A R ð的范围,最后根据交集的含义计算()R A B ⋂ð的结果.【详解】因为260x x --<,所以()2,3x ∈-即()2,3A =-,所以(][),23,R A =-∞-⋃+∞ð,又因为()1,B =+∞,所以()[)3,R A B =+∞I ð.故选：C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,注意一元二次不等式的解集的求解.2.已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 是递减的，则m 的值为（ ）A. -1B. 2C. -1或2D. 3 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义求出m 的值，代入检验即可．【详解】由题意得：211m m --=，解得：2m =或1m =-，2m =时，()3f x x =，递增，不合题意，1m =-时，()3f x x -=，递减，符合题意. 故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和单调性问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题．3.已知()()()log 110,1a f x x a a =+->≠，则此函数恒过定点是（ ）A. ()1,0B. ()0,1C. ()0,1-D. ()1,1- 【答案】C【解析】【分析】令11x +=，求得自变量的值代入求y 即可求得答案．【详解】由11x +=得：0x =，此时()1f x =-，∴()()()log 110,1a f x x a a =+->≠恒过定点()0,1-.故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的过定点问题，令对数型函数的真数为1，求得自变量的值是关键，属基础题．4.函数()21f x +的图象可由()21f x -的图象经过怎样的变换得到（ ）A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位 【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象的变换规律，把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象，从而得出结论．【详解】把函数()21f x -的图象向左平移1个单位可得函数()()21121f x f x +-=+⎡⎤⎣⎦的图象.故选：C ．【点睛】本题主要考查函数的图象的变换规律，注意仔细审题，属基础题．5.分段函数()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()1f x =的x 值为（ ）A. 0B. 3C. 0或3D. 13【答案】C【解析】【分析】 对x 分类讨论，当0x ≤时，21x -=，当0x >时，3log 1x =，分别求解，即可得到满足()1f x =的x 的值．【详解】()32,0log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，依题意有，①当0x ≤时，()2x f x -=，∵()1f x =，∴21x -=，∴0x =；②当0x >时，()3log f x x =，∵()1f x =，∴3log 1x =，∴3x =．综合①②，满足()1f x =的x 的值为0或3．故选：C ． 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，分段函数的取值问题．对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．主要考查了根据函数值求变量的取值，解题的关键是判断该用哪段解析式进行求解．属基础题．6.下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）A. ()f x x =与()2x g x x= B. ()f x x =与()g x =C. ()f x =与()g x =D. ()0f x x =与()1g x =【答案】B【解析】【分析】逐项分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．【详解】选项A 中，()g x x =，函数的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项B 中，()g x x =，两个函数的定义域和对应法则相同，是相同函数；选项C 中，由210x -≥得1x ≥或1x ≤-；由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩，得1x ≥，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；选项D 中，()f x 的定义域为{}|0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是相同函数． 故选：B ．【点睛】本题主要考查相同函数的概念，分别判断函数的定义域和对应法则是解决本题的关键，属基础题．7.已知13log 4a =，4log 5b =，0.40.5c =，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<【答案】B【解析】【分析】 容易得出13log 40<，4log 51>，0.400.51<<，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵1133log 4log 10<=，44log 5log 41>=，0.4000.50.51<<=， ∴a c b <<．故选：B ．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性及其应用，注意仔细审题，属基础题.8.函数()log 1a f x x =+在()1,0-上是增函数，则()f x 在(),1-∞-上是（ ）A. 函数值由负到正且为增函数B. 函数值恒为正且为减函数C. 函数值由正到负且为减函数D. 没有单调性【答案】C【解析】 【分析】 由已知分析出外函数的单调性，进而可得()f x 在(),1-∞-上单调性和符号．【详解】内函数1t x =+在()1,0-上是增函数，若函数()log 1a f x x =+在()1,0-上是增函数，则外函数log a y t =为增函数； 内函数1t x =+在(),1-∞-上是减函数，故()f x 在(),1-∞-上是减函数， 又由()20f -=，()f x 在(),1-∞-上是函数值由正到负且为减函数. 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则是解答的关键，属基础题.9.已知函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列的图象错误的是（ ） A. ()1y f x =-的图象 B. ()y f x =-的图象C. ()y f x =的图象D. ()y f x =的图象【答案】D【解析】【分析】先画出函数()()()2,10,01x x f x x x ⎧--≤≤⎪=<≤的图象，再根据函数的图象特征以及图象的变化规律，判断各个选项的正确性．【详解】当10x -≤≤时，()2f x x =-，表示一条线段，且线段经过()1,2-、()0,0． 当01x <≤时，()f x x =，表示一段抛物线，如图所示：由于()1f x -的图象可由()f x 的图象向右平移一个单位得到，故A 正确；由于()f x -的图象可由()f x 的图象关于y 轴对称后得到的，故B 正确；由于()f x 的值域为[]0,2，故()()f x f x =，故()f x 的图象可与()f x 的图象完全相同，故C 正确；由于()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故当01x <≤时，它的图象和()f x 的图象相同，当10x -≤<时的图象，只要把()f x 在y 轴右侧的图象关于y 轴对称即可得到，且图象过原点，故D 不正确．故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象特征以及图象的变化规律，熟练掌握函数图象的变化规律是解题的关键，属基础题．10.函数lg y x x =+有零点的区间是（ ）A. ()1,2B. 1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()2,3D. (),0-∞【答案】B【解析】【分析】先求函数的定义域，再利用函数的零点存在性定理求解判断即可．【详解】函数lg y x x =+的定义域为()0,∞+，且在定义域()0,∞+上连续递增，而()0.110.10f =-+<，()1010f =+>，故函数lg y x x =+的零点所在的区间是()0.1,1．故选：B ．【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，注意认真计算，属基础题．11.已知函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A. 1a >B. 2a <C. 12a <<D. 12a <≤【答案】D【解析】【分析】根据函数恒增，列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】因为函数(23)43(1)()(1)x a x a x f x a x +-+≥⎧=⎨<⎩，在(),-∞+∞上是增函数， 所以有23012343a a a a a +>⎧⎪>⎨⎪+-+≥⎩，解得12a <≤.故选D【点睛】本题主要考查由分段函数单调求参数的问题，只需考虑每一段的单调性，以及结点处的大小即可，属于常考题型.12.已知函数()()21f x x =+，若存在实数a ，使得()24f x a x +≤-对任意的[]2,x t ∈恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 4 【答案】D【解析】分析】先由()()21f x x =+和()24f x a x +≤-得()2124x a x ++≤-，化简得()2250x a a +++≤，令()()225g x x a a =+++，利用函数性质将恒成立问题转化为()20g ≤且()0g t ≤，求解t 的范围，最后求出最值．【详解】∵()()21f x x =+，∴()24f x a x +≤-，即为()2124x a x ++≤-， 化简()2250x a a +++≤，设()()225g x x a a =+++，则()g x 的图象为开口向上的抛物线，若对任意的[]2,x t ∈，()0g x ≤恒成立，只需函数在两个端点处的函数值非正即可， 即()22690g a a =++≤，配方得()230a +≤，则30a +=，3a =-， 此时()0g t ≤，即为()()2310g t t =--≤，即131t -≤-≤，解得24t ≤≤， 又∵2t >，∴24t <≤，则t 的最大值为4．故选：D ．【点睛】本题考查恒成立问题的转化，利用二次函数的图象及性质求解不等式恒成立问题，是一种重要的方法，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在．．．．Ⅱ．卷答题卡上．．．．．） 13.函数y =的定义域是 【答案】2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足()122log 320032113x x x -≥∴<-≤∴<≤，定义域为2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：函数定义域点评：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围或题目中指定的自变量的范围14.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()41f x x =-+，写出分段函数()f x 的解析式_____．【答案】()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩【解析】【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．【详解】∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()00f =，若0x <，则0x ->， 即当0x ->时，()()41f x x f x -=+=-，即()41f x x =--， 则()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.故答案为：()41,00,041,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性是解决本题的关键，属基础题．15.已知()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()1y f f x =+的零点的个数是____. 【答案】3【解析】【分析】画出函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象，借助图象分析函数零点的个数，进而可得答案． 【详解】函数()32,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩的图象如下图所示：结合图象分析：()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，则()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，则()12f x =-或()13f x =； 对于()12f x =-，存在两个解；对于()13f x =，存在1个解， 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为3个.故答案为：3．【点睛】本题考查的知识点是函数的零点，分段函数的图象，对数函数的图象和性质，以及一次函数的图象和性质，熟练掌握图象的辨析和应用是解题的关键，属中档题．16.函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x R =+∈是单函数.下列命题:①函数2()2()f x x x x R =-∈是单函数; ②函数2log ,2,(){2, 2.x x f x x x ≥=-<是单函数; ③若()f x 为单函数,12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数.其中真命题是 (写出所有真命题的编号).【答案】③【解析】【详解】试题分析：根据单函数的定义可知如果函数()f x 为单函数，则函数()f x 在其定义域上一定是单调递增或单调递减函数，即该函数为一一对应关系，据此分析可知①不是，因为该二次函数先减后增；②不是，因为该函数是先减后增；显然④的说法也不对，故真命题是③.考点：新定义、函数的单调性，考查学生的分析、理解能力.三、解答题：（本大题共．．．．．．．．．．．6．小题，共．．．．70．．分．.．解答应写出文字说明、证明过程，答案填在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅱ．卷．答题卡上）．．．．． 17.计算：（1）112416254-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）()()22lg5lg 2lg 4-+． 【答案】（1）1；（2）1 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可求得结果； （2）根据对数的运算性质和平方差公式化简计算即可. 【详解】（1）原式113246452451=+-=+-=；（2）原式()()lg5lg2lg5lg2lg4=+-+lg5lg 22lg 2lg5lg 21=-+=+=．【点睛】本题考查指数和对数的运算性质，注意根式与指数式的关系，要求学生认真计算，仔细检查，属基础题.18.已知集合{|A x y ==，{|(1)(1)0}B x x m x m =-+--≤. （1）若3m =，求A B I ；（2）若0m >，A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|14A B x x ⋂=-≤≤;（2）5m ≥. 【解析】试题分析：本题考查集合间的基本关系与运算,一元二次不等式.求得{|16}A x x =-≤≤,(1)当3m =时, {|24}B x x =-≤≤, {|14}A B x x ⋂=-≤≤；(2) A B ⊆ ,1?1m -≤-且16m +≥,解得5m ≥.试题解析：（1）由2650x x +-≥，解得16x -≤≤,所以集合{|16}A x x =-≤≤,当3m =时，集合{|24}B x x =-≤≤,所以{|14}A B x x ⋂=-≤≤.（2）()()[]0,{|110}1,1m B x x m x m m m >=-+--≤=-+,因为A B ⊆，所以11{16m m -≤-+≥,所以5m ≥. 19.设()212xxa f x -=+，其中实常数1a >-. （1）求函数()f x 的定义域和值域； （2）已知()f x 为奇函数，求a .【答案】（1）定义域为(),-∞+∞，值域()1,a -；（2）1a =. 【解析】 【分析】（1）∵120x+>恒成立，∴函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，然后对()212xxa f x -=+进行变形整理可得()1112xa f x +=-+，又1a >-，由此可求出函数的值域； （2）根据奇函数的性质，()221()1212x x x xa a f x f x ---⋅--===-++，由此可求出1a =，最后再验证1a =时函数为奇函数即可.【详解】（1）∵120x +>恒成立，∴函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()112211121212xx x xxa a a f x +-+-+===-+++，∵1a >-，∴10a +>， ∵121x +>，∴10112x<<+，则10112x a a +<<++，11112x a a +-<-<+， 即函数的值域为()1,a -；（2）()2211212x x x xa a f x ---⋅--==++，()f x 为奇函数， 则()()f x f x -=-，即122x x a a -+⋅=-+，等式恒成立，故1a =. 反之，若1a =，易证此时函数为奇函数，所以1a =.【点睛】本题考查函数的定义和性质，着重考查学生的计算求解能力和逻辑推理能力，属中档题.20.设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）若()6f x =，求x 的值；（2）求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值． 【答案】（1）3x =；（2）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算性质对()f x 变形整理可得()()33()2log 1log f x x x =+⋅+，结合()6f x =可得()()33log 4log 10x x +⋅-=，即3log 4x =-或3log 1x =，又199x ≤≤，由此可求得结果；（2）令3log t x =，由（1）得，()()()233log 2log 132f x x x t t =+⋅+=++，令()22313224g t t t t ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，结合t 的范围和二次函数的性质即可求出结果.【详解】（1）∵函数()()()33log 9log 36f x x x =⋅=，则()()()()()()2333333log 9log 3log 3log 32log 1log 6x x x x x x ⋅=⋅=+⋅+=，整理得，()()33log 4log 10x x +⋅-=，即3log 4x =-或3log 1x =， 又199x ≤≤，则3x =； （2）令3log t x =，由（1）得， 函数()()()()()3333log 9log 3log 2log 1f x x x x x =⋅=+⋅+()2233log 3log 232x x t t =++=++，又∵199x ≤≤，∴32log 2x -≤≤，∴22t -≤≤， 令()22313224g t t t t ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，[]2,2t ∈-，当32t =-时，()min 14g t =-，即33log 2x =-，∴323x -==，∴()min 14f x =-，此时x =； 当2t =时，()()max 212g t g ==，即3log 2x =，9x =， ∴()max 12f x =，此时9x =．【点睛】本题考查对数型二次函数的相关问题，着重考查学生的计算求解能力和转化与化归的能力，复合函数的问题一般采用换元法进行转化，属中档题. 21.设()121log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数． （1）求证：()f x 是()1,+∞上的增函数；（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，101axx ->-，即()()110x ax -->，则令()()110x ax --=，得到的根必为相反数，从而求出a ，再根据定义法证明()f x 是()1,+∞上的增函数即可；（2）由题意知1211log 12xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()3,4x ∈时恒成立，令()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，根据单调性的运算可判断()g x 的单调性，从而求出最值. 【详解】（1）∵()f x 是奇函数，∴定义域关于原点对称，由101axx ->-，得()()110x ax -->．令()()110x ax --=，得11x =，21x a=， ∴11a =-，解得1a =-，()121log 1x f x x +=-，令()12111x u x x x +==+--，设任意12x x <，且()12,1,x x ∈+∞，则()()()()()211212211x x u x u x x x --=--，∵121x x <<，∴110x ->，210x ->，210x x ->，∴()()120u x u x ->，即()()12u x u x >．∴()()2111u x x x =+>-是减函数，又12log y u =为减函数， ∴()f x 在()1,+∞上为增函数；（2）由题意知1211log 12xx m x +⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()3,4x ∈时恒成立，令()1211log 12xx g x x +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，()3,4x ∈，由（2）知121log 1x y x +=-在[]3,4上为增函数，又12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()3,4上也是增函数， 故()g x 在()3,4上为增函数，∴()g x 的最小值为()938g =-， ∴98m <-，故实数m 的范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，奇偶性和恒成立问题，着重考查学生的逻辑推理能力和转化与化归的能力，恒成立问题一般转化为最值问题，属中档题.22.定义在R 上的函数()f x 满足对于任意实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，()12f =-．（1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）判断()f x 的单调性，并求当[]3,3x ∈-时，()f x 的最大值及最小值； （3）解关于x 的不等式()()()()221122f bx f x f b x f b ->-()22b ≠. 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）()f x 在R 上是减函数．最大值为6，最小值为-6； （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）令0x y ==，求出()00f =，再令y x =-，由奇偶性的定义，即可判断； （2）任取12x x <，则210x x ->．由已知得()210f x x -<，再由奇函数的定义和已知即可判断单调性，由()12f =-，得到()36f =-，()36f -=，再由单调性即可得到最值； （3）将原不等式转化为()()2222f bx x f b x b ->-，再由单调性，即得()22220bx b x b -++<，即()()20bx x b --<，再对b 讨论，分0b =，0b <<b >，0b <<，b <5种情况分别求出它们的解集即可.【详解】（1）令0x y ==，则()()020f f =，即有()00f =， 再令y x =-，得()()()00f f x f x =+-=，则()()f x f x -=-， 故()f x 为奇函数；（2）任取12x x <，则210x x ->．由已知得()210f x x -<，则()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-()210f x x -->=， ∴()()12f x f x >，∴()f x 在R 上是减函数．由于()12f =-，则()()2214f f ==-，()()()3126f f f =+=-，()()336f f -=-=．由()f x 在R 上是减函数，得到当[]3,3x ∈-时，()f x 的最大值为()36f -=，最小值为()36f =-；（3）不等式()()()()221122f bx f x f b x f b ->-，即为()()()()2222f bx f x f b x f b ->-.即()()()()2222f bxf x f b x f b ->-，即有()()2222f bxx f b x b ->-，由于()f x 在R 上是减函数，则2222bx x b x b -<-，即为()22220bx b x b -++<，即有()()20bx x b --<， 当0b =时，得解集为{}|0x x >； 当0b >时，即有()20x b x b ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，①0b <<2b b >，此时解集为2|x b x b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，②当b >2b b <，此时解集为2|x x b b ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭， 当0b <时，即有()20x b x b ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，①当0b <<时，2b b <，此时解集为2|x x x b b ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或，②当b <2b b >，此时解集为2|x x x b b ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．【点睛】本题考查抽象函数的基本性质和不等式问题，常用赋值法探索抽象函数的性质，本题第三小问利用函数性质将不等式转化为含参的一元二次不等式的求解问题，着重考查分类讨论思想，属难题.。