小学奥数质数合数分解质因数

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

2． 质因数与分解质因数

质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

3． 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯L 其中为质数，

12k a a a <<

例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

4. 部分特殊数的分解

5-5质数合数分解质因数

教学目标

知识点拨

111337

=⨯⨯⨯⨯；

=⨯；199535719

=⨯⨯⨯；1998233337

=⨯；1000173137

=⨯；100171113

=⨯⨯；1111141271

=⨯⨯⨯.

=⨯⨯⨯；10101371337

200733223

=⨯⨯；2008222251

5. 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找

K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那一个大于且接近p的平方数2

么p就为质数.

例如：149很接近1441212

=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

例题精讲

模块一、质数合数的基本概念的应用

【例 1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；

杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云，九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．

请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大

找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．

【巩固】(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我

们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对

任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3

k=时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔

为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．

【巩固】(2003年“祖冲之杯”邀请赛)大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出π的值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把π的值精确到7位小数的人．现代人利用计算机已经将π

的值计算到了小数点后515亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左

起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，在3141，31415，314159，3141592，31415926，

31415927中恰有一个是质数，是哪个？

【巩固】(2004年全国小学奥林匹克)自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？

【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.

【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

【巩固】如果a，b均为质数，且3741

+=______.

+=，则a b

a b

【巩固】 A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.

【巩固】 已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？

【巩固】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba ，其中a b ≠，而且ab 和ba 都是质数(a 和b 是两个数字)．具有这种形式的数共有多少个？

【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去

参观兵马俑．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？

【巩固】 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个

数字的和，那么这个数是几？

【巩固】 (第五届“华杯赛”口试第15题)图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之

和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中．

问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?

【巩固】 (全国小学数学奥林匹克)从1～9中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排

好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？

【巩固】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用L 表示所有被3除余1的全体正整数．如果L 中的数(1

不算)除1及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L—质数”．问：第8个“L—质数”是什么？

【例 4】 9个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组

【巩固】 (我爱数学少年数学夏令营)用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，

每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法．请将所有方法都列出来． 质数列乙填“积数”甲填“和数”97

8913117532351561285........................

.........

【巩固】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12。这样的数有几组？

【例 5】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数.

【巩固】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.

【巩固】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.

【例 6】7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g。已知它们的和是偶数，那么d是多少？

【巩固】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？

【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？

A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）

【巩固】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13．已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？

【例 7】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少

【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？

【巩固】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

【巩固】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？

模块二、分解质因数

【例 8】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?

【巩固】三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？

【巩固】把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.

【巩固】把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

【例 9】4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？

【巩固】将1～9九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？

【例 10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

【巩固】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?

【巩固】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

【例 11】（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？

【巩固】甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？

【例 12】甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？

【巩固】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？

【巩固】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？

【巩固】2004720

⨯⨯的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？

【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.

【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．

【例 13】3个质数的倒数之和是1661

1986

，则这3个质数之和为多少．

【巩固】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？

【巩固】一个分数，分母是901，分子是一个质数．现在有下面两种方法：⑴分子和分母各加一个相同的一位数；⑵分子和分母各减一个相同的一位数．用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后

是

7

13

．那么原来分数的分子是多少．

【例 14】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为

1872．那么原来的乘积是多少?

【巩固】 某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同

且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

【例 15】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙

两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数各是多少？

【巩固】 已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？

模块三、质数合数综合型题目

【例 16】 P 是质数，10P +，14P +，210P +都是质数．求P 是多少？

【巩固】 已知P 是质数，21P +也是质数，求51997P +是多少？

【例 17】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的

表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少．

【巩固】 如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？

【巩固】 求1-100中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？

【例 18】 已知P ，Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=

【巩固】将1到9这9个数字在算式()

()

()

()()()

1

-=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，

并且要求所填每一个括号内数字均为质数?

【巩固】三个质数△、□、○，如果□>△>1，△+□=○，那么△是多少？

【例 19】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？

【巩固】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936。如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？

【例 20】如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数

【巩固】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数．如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数．②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积．在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？

【巩固】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。

【例 21】有人说：“任何7个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的．

【巩固】写出10个连续自然数，它们个个都是合数．

【巩固】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200个连续的自然数它们个个都是合数．